2024年中考数学考试易错题-尺规作图

中考特色题型专练之尺规作图

几何篇

题型一、与三角形结合

I.在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边中，点。是

边上任意一点，连接S,过点/的射线/E交3c于点E,交CD于点、F,当

7砌£=7/CD时，则必有8D=C£.为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用

图，作7BAE=7ACD,再通过证全等得出结论.请根据小睿的思路完成以下作图与填

空：

(1)用直尺和圆规在图的基础上作7氏4£=7NC£>,AE交BC于点E,交CD于点?(不

写作法，不下结论，只保留作图痕迹)

(2)证明：••・A/5C为等边三角形，

:AC=AB=BC,①

试卷第1页，共16页

在A/CD和&BAE中，

“②)I

—)=N£M£

••.△ACD卧BAE(ASA),

:-------③，

又•:AB=BC

:.AB-AD=④，

:.BD=CE.

2.如图，itRtA43C中，上C=90。，_bl=30。,.

（1）用尺规作图作43边上的中垂线DE,交4c于点D,交4B于点E,再连接AD（保

留作图痕迹，不要求写作法和证明）

⑵在（1）题的基础上，求证：CD=DE

3.如图，在A/3C中，,点。在的延长线上，连接40.

（1）在线段4。上确定点P,使得上。尸。=上5；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写

作法）

⑵在（1）的条件下，如果48=5,40=8,求24的长.

4.（1）如图，已知RtZUBC中，1ACB=90o,O是Z8上一点.求作。。，使得。。过

点A,且与3c相切.

要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明.

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（备用图1）（备用图2）

（2）如图，在RtAiBC中，±ACB=90o，上CBN=30。，/C=1,。是边N5上一点（点。

与点A不重合）.若在的直角边上存在不同的点分别和点A、。构成直角三角

形，直接写出不同的点的个数及对应的月。的长的取值范围.

题型二、与四边形结合

（1）若点£为边4D上一点，且上8EC=_tOEC,请在图1中用尺规作图确定点E的位置,

并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹，并将痕迹描粗加黑）

（2）在（1）的条件下，已知线段DE=2,线段/5=6,求2C的长.（请用图2进行探

究）

6.如图，在AN5C中，±ACB=90o.

（1）按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）.

①作线段N8的垂直平分线，交线段3C于点。，连接40.

②以点8为圆心，8。长为半径画弧，交线段48的垂直平分线于另一点E.

③连接/E,BE.请作出四边形4D8E.

（2）在（1）的条件下，若月E=5,sin上=[,求CB的长.

7.如图，已知“3C.

A

BC

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(1)请用无刻度的直尺和圆规在边2C'CA'48上分别确定点D,E,尸，使四边形3DE厂是

菱形，并画出菱形(要求：不写作法，保留作图痕迹)

(2)若48=10,2C=15,求(1)中所作菱形3。£下的边长.

8.如图1,在矩形Z8CD中，AB=3,3c=5,点尸是边8C上的一个动点，连接/P,

点。是CD边上的一点，且满足△PC0sAABP.

(1)在图1中作出点Q；(要求：尺规作图，保留作图痕迹并用黑笔描黑加粗，不写作法)

(2)当AP=1时,则C0=_；

(3)随着点P的运动，C0是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明

理由.

题型三、与圆结合

9.在。。中，AB=AC,连接3。.

A

/•\

\o\\

(i)尺规作图：过点/作40nBe1,交BO的延长线于点。(不写作法，保留作图痕

迹)；

(2)求证：AD为00的切线；

(3)若=2,1JDBC=2上48。，则。。的半径为.

10.如图，8c是。。的直径，点A在。。上.

图1图2

⑴请在图1中的。。上作一点D(异于点8),使和=W，连接AD并延长交NC的延

长线于点〃，过A作3c的垂线交9于点G；(作图使用没有刻度的真尺和圆规，不

写作法，保留作图痕迹，并在图中标注必要的字母)

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(2)在(1)中所作的图形中，求证：ABAGsABDA.(如需画草图，请使用图2)

(3)在(1)中所作的图形中，若/3=12,AC=9,求/G的长.(如需画草图，请使用

图2)

11.尺规作图：

如图，已知，在AN8C中，上C=90。，

(1)已知点。在边2C上，请用圆规和直尺作出。。，使。。经过点C,且与48相切(保

留作图痕迹，不写作法和证明)

(2)若。。与48切于点D,与C8的另一个交点为E,若上5=30。，。。的半径为2,求

劣弧DE与线段3。、所围成的图形的面积.(结果保留万)

12.已知，正方形/2CO,边长为4,点尸是边48、3c上一动点，以。尸为直径作

00,

(1)点尸在边48上时(如图1)

1*11

①求证：点。在边月。的垂直平分线上；

②如图2,若。。与边3C相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，(不写作法，保留作

图痕迹)，并求出■长；

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@如图3,点尸从A运动到点5的过程中，若7/始终是F77D的中点，写出〃点运动的

轨迹并求出路径长:

图3

(2)当点厂在边2C上时(如图4),若H始终是RD的中点，连接四，—,连接

题型四、与相似结合

13.如图，RtA48C中，上/CB=90。.

为二

(1)作M3C的外接圆。。(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在(1)的条件下，点。在。。上且与点。位于异侧，连接3D并延长交的垂

直平分线于点E,过点E作昉±CB交CB延长线于点色上BEF=2上BEO.

①求证：ED=EF;

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@喑《求?的值.

14.“关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多…

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”.

小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等“，利用“等面积法”.

请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明.

【作图应用】(2)如图@,48是0。的弦，在优弧48上作出点P,使得1=3.

PR

要求：①用直尺和圆规作图；

@保留作图的痕迹.

【结论应用】(3)在A48C中，最大角＜4是最小角＜C的2倍，且N3=3,NC=4,

求.

15.如图，A4BC中，AB=BC,D、E分别为边48、NC的点，DEIIBC,

AD=2BD.

(1)用圆规和没有刻度的直尺在线段DE上求作一点尸，使工„=邑尊/(两种工具分别

只限使用一次，并保留作图痕迹)；

(2)在(1)的条件下，过点尸作尸G2IZC交48于G,AC=9,求尸G的值.

16.如图，在菱形/BCD中，DP_LAB于P.

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D

B

(1)尺规作图：求作。。，使得43、cz＞分别切eo于点尸、D；要求：保留作图痕迹,

不写作法)

(2)在(1)的条件下，设分别交BD于点E、F,连接E7L求证：

DE.DA=DF.DB.

题型五、与三角函数结合

17.如图，海中有一个小岛/,该岛四周lOnmile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，

开始在/岛南偏西58。的2处，往东行20mnile后到达该岛的南偏西30。的C处之后，货

轮继续向东航行.(tan58oa160,.a1.73)

R(

(1)请用尺规作图，找到货轮距离小岛4最近时的位置点P(不写过程，需保留作图痕

迹)；

(2)当货轮航行到尸点位置时，距离小岛N有多远，货轮有触礁危险吗？

18.小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形

成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部.

如图1是俯视图，OA,。2分别表示门框和门所在位置，M,N分别是04,03上的定

点，3/=27cm,ON=36cm,MF,NF的长度固定，上WFN的大小可变.

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(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，04_LOB,±MFN=1800,求上必®的度

数.

(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点9的位置如图3所示，请在图3中作出此

时门的位置03.

(用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(3)在门开合的过程中，sin上的最大值为.(参考数据：

sin37o~0.60,cos37o~0.80,tan37o~0.75)

19.为了加强树木的稳定性，园林部门常常在树的周围打上木撑子(如图1),若木撑在

地面上的三个落脚点构成等边三角形，即图中的树的根部正好在等边三角形的

中心O处.

图1图2

(1)若。/的长为50cm,求*ABC的边长.

(2)如图2,已知树根部。及木撑的落脚点A确定，试只用圆规确定另两个落脚点3、

C.(不写作法，保留作图的痕迹)

20.(1)如图①，射线与直线/N垂直相交，交点为。，且＜W=3,ON=4,请

你在直线/N和射线ON上找出一点尸，使得APMN为等腰三角形，请用尺规作图，在

试卷第9页，共16页

图中作出所有满足条件的点尸（用乙，尸2，…表示）；（保留作图痕迹，不必写作法）

（2）如图②，平地上一幢建筑物48与铁塔CD相距50m,在建筑物的顶部A处测得

铁塔顶部C的仰角为280,铁塔底部。的俯角为400,求铁塔CD的高度.（参考数据：

sin28o工0.47,cos28o«0.88,tan28o«0.53,sin40o«0.64,cos40o«0.77,

tan40o=0.84）

函数篇

题型一、与一次函数结合

21.已知一次函数v=+b（左、b为常数，k卞03的图像如图所示.

（1）若图像经过点（一1,0）和（0,2）.

①求了与x的函数表达式；

②当TVxV1时，y的取值范围是.

（2）尺规作图：在同一坐标系中作产一6一2b的函数图像.（保留作图的痕迹，写出必要

的文字说明.）

22.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数）=!尤的图像为直线/,已知两点

/（0,1）、5（0,3）.

试卷第10页，共16页

(1)在直线/找一点C,使得7G4B=7CBH.(尺规作图，不写画法，保留作图痕迹)；

(2)直接写出点C的坐标为；

(3)若点尸在直线/上，点尸关于x轴的对称点为0,且PQ=3,则点尸的坐标是

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(6,0),B是y轴上一点.

(1)3上求作点m，使得人/“。-\4。5(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)的条件下，AB=AAM,0c是A/02的中线，过点V的直线交。C于点D,

交x轴于点尸，当儿/。=〃尸时，求点。的坐标.

24.如图，直线y='jx+m(m>0)与x轴交于/,与y轴交于3,/C平分NA40.

(1)尺规作图：过点。作交48于。(保留作图痕迹，不写作法)；

(*求证：AD=\BD+AO；

(3)若沉=41，点E、/分别为/C、/。上的动点，求OE+E尸的最小值.

题型二、与反比例函数结合

试卷第11页，共16页

25.如图，一次函数y=左ix+6的图象与反比例函数1=2的图象交于4（4,-1）,

Y

两点.

（2）点尸（〃,0）为x轴上一动点，请用无刻度的直尺和圆规，过图中所标的尸点作x轴的

垂线，分别交反比例函数及一次函数的图象于C,。两点（要求：不写作法，保留作图

痕迹，使用2B铅笔作图）.

（3）在（2）的条件下，当点C位于点D上方时，请直接写出〃的取值范围.

26.如图，反比例函数।J［一的图象与正比例函数1=L的图象交于点/（2,加），

过点A作/C_Lx轴，垂足为C,3为y轴上一点，点3的坐标为（0,4）,连接48.

（1）求反比例函数的解析式.

（2）请用无刻度的直尺和圆规在图中找出的中点。（保留作图痕迹，不写作法）.

（3）在（2）的条件下，连接C。，求"CD的面积.

27.如图，已知反比例函数、・：（，）的图象经过点（1,、i3）,点P为该图象上一动点,

连接。尸.

试卷第12页，共16页

(1)求该反比例函数解析式；

(2)在图中请你利用无刻度的直尺和圆规作线段OP的垂直平分线交x轴于点

A.(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用22铅笔作图).

(3)当上尸=30。时，求点4的坐标.

28.如图,已知，/(0,4),5(—3,0),C(2,0).

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出点3关于直线NC的对称点D.(要求：不写作法，保

留作图痕迹)

(2)若反比例函数,♦='的图象过点。，求此反比例函数的解析式；

T

(3)求sin±DAC的值.

题型三、与二次函数结合

29.如图，在平面直角坐标系xQy中，抛物线＞=!犬+乐+。经过点/(一4,0),点8在^

轴上，直线N3与抛物线在第一象限交于点C(2,6).

(1)求抛物线的解析式;

试卷第13页，共16页

(2)点P在抛物线上，若使得SA^C=。的点尸恰好只有三个，求。的值;

(3)请使用圆规和无刻度直尺，在x轴下方的抛物线上确定一点。，使得。/=2D。，并

说明理由(保留作图痕迹，不写作法).

30.在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数

性质并对其性质进行应用的过程.小丽同学学习二次函数后，对函数了=/-2卜|(自

变量x可以是任意实数)图象与性质进行了探究.请同学们阅读探究过程并解答：

⑴作图探究：

②在平面直角坐标系xQy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画

出该函数的图象：

(2)深入思考：

根据所作图象，回答下列问题：

①方程9-2|x|=0的解是;

②如果y=x2-2M的图象与直线y=上有4个交点，则k的取值范围是；

⑶延伸思考：

将函数＞=/-2卜|的图象经过怎样的平移可得到乃=(X+1)2-2|X+1|-2的图象？请写

出平移过程.

31.对函数y=/-443的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整.

试卷第14页，共16页

【作图】①列表

②描点并连线：请根据上述数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出该函数

的图象.

①平行于X轴的一条直线＞=在与了=卜-443的图象有两个交点，则后的取值范围为

②已知函数y=x-3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程

p-4x|-3=x-3的解为.

32.在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数

性质并对其性质进行应用的过程.小丽同学学习二次函数后，对函数y=N-3|x|（自变

量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究.请同学们阅读探究过程并解答：

⑴作图探究：

①下表是y与x的几组对应值：

X-201234

431

y40-2m0-2-2n4

m=,n-

②在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画

出该函数的图象：

试卷第15页，共16页

③根据所画图象，写出该函数的一条性质：;

(2)深入思考：根据所作图象，回答下列问题：

①方程N-3恸=0的解是；

②如果y=N-3博的图象与直线y=左有4个交点，则k的取值范围是；

(3)延伸思考：将函数y=N-3团的图象经过怎样的平移可得到%=(x+1)2-3|x+l|-2

的图象？写出平移过程，并直接写出当-39/〈-2时，自变量x的取值范围

试卷第16页，共16页

1.⑴见解析；

(2)等边三角形的性质，AC=AB,AD=BE,BC-BE.

【分析】本题考查了作图一基本作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练

掌握全等三角形的性质是解题的关键.

(1)根据题意作出图形即可；

(2)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】(1)解：如图所示，即为所作的角；

(2)证明：△48c为等边三角形，

:AC=AB=BC(等边三角形的性质),

在MCD和4BAE中,

:AACD冬BAE(ASA),

-,AD=BE,

又•；AB=BC,

■.AB-AD=BC-BE,

:BD=CE,

故答案为：等边三角形的性质，AC=AB,AD=BE,BC-BE.

2.(1)见解析

(2)见解析

【分析】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，正确掌握

线段垂直平分线的性质是解题关键.

答案第1页，共47页

(1)直接利用线段垂直平分线的作法得出答案;

(2)直接利用中垂线的性质结合角平分线的性质得出CD=DE.

【详解】⑴解：如图所示：

(2)证明：7C=90o,7A=300

:7CBA=900-30o=600

又•••£)£垂直平分48

:AD=DB

:1DBA=7A=30o

:7CBD=1DBA=300

v7C=900,DELAB

■.CD-DE

3.(1)见解析

(2>.4/»=Y

【分析】本题考查了作图一复杂作图，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练

掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)在/C右侧作7/CT=7。，CT必。于点P,点尸即为所求；

(2)利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】(1)解：如图，点尸即为所求；

BCD

答案第2页，共47页

由作图可得：7ACT=7D,

：7D+7CPD+7PCD=1800,7ACP+7ACB+7PCD=1800,

:7ACB=7CPD,

：AB=AC,

：7ACB=7B,

\7CPD=IB；

(2)解：：CAP=7CAD,7ACP=7D,

,MAPS八DAC,

.ACAP

AD-

：AB=AC=5,AD=S,

T

\AP=■.

8

4.(1)图见解析(2)见解析

【分析】(1)根据题意，确定圆心。的位置，再以04为半径画圆即可；

(2)当以4。为直径的圆与5C相切时，求出此时圆的半径，分四种情况进行讨论求解即

可.

【详解】解：(1)作＜氏4。的角平分线，交BC于点M,过点〃作(WT5C,交45于点

O,以。为圆心，以04为半径画圆，。。即为所求，如图：

(2)当以4。为直径的圆与5C相切时：如图

答案第3页，共47页

R

-7ACB=900,7CBA=300,AC=1,

-.AB=2,

设。O的半径为「，贝!hOA=OD=OM=rf

•・•OM\BC,7B=300,

:OB=OM=2r,

:2r+r=2,

当存在1个点时，此时5C与。。相离，或3、。两点重合，40=2,

U(D\_____

当存在2个点时，止匕时3C与00相切'"3,

答案第4页，共47页

B

当存在3个点时，此时2C与OO相交，,<AD<2,

3

【点睛】本题考查复杂作图一作圆，含30度角的直角三角形的性质，切线的判定和性质，

直线与圆的位置关系，掌握尺规作角平分线，作垂线的方法，利用数形结合和分类讨论的思

想进行求解，是解题的关键.

5.（1）见解析

(2)5C=10

【分析】本题考查了作图-复杂作图，矩形的性质，勾股定理:

（1）以点3为圆心，长为半径画弧交4D于点E即可；

（2）根据矩形的性质可得上J=900,CD=AB=6,BC=AD,由（1）可得BE=BC,根据

勾股定理可得结论.

【详解】（1）解：如图，以点2为圆心，3c长为半径画弧交ZD于点E,

B

答案第5页，共47页

；._tBCE=±_BEC,

•••四边形/BCD是矩形，

■■.ADIIBC,

.■.±BCE=±J)EC,

；.±BEC=±DEC；

.••点E即为所求；

(2)解：•.•四边形NBC〃是矩形，

.■■±A=900,CD=AB=6,BC=AD,

■■DE-7.,

AEAD-DE=BC-2,

由(1)可知：BE=BC,

在中，根据勾股定理得：AE2+AB2=BE2

：.(3C-2)2+6?=BC2

:.BC=10.

6.(1)见解析

!2>T

【分析】(1)根据题意用尺规作图即可；

(2)由作图可知4£=8£1=/。=8。=5,则四边形ND8E是菱形，设N8与DE的交点为

F,在RtA/EF中，求出所=)』£=3,求出3月=4尸=4,DF=EF=3,即可得到

AB=AF+BF=8,在RtA^SC和Rtz\NCD中,由勾股定理得到

AC2=AB2-BC2=AD2-CD2,贝的?T，八•、?=5'—CD?,解得CD=:,即可得到答

案.

【详解】(1)如图所示即为所求，

答案第6页，共47页

n

(2)解：・・・。£垂直平分45,

\AE=BE,AD=BD,

BD-BE,

-AE=BE=AD=BD=5,

:四边形4O8E是菱形，

设与DE的交点为「

:AB±DE,DF=EF,AF=BF,

在RtME尸中，AE=5,sin上EN3=-,

Eh--cAE—3,

■BF=AF=.-'-=4,DF=EF=3,

:AB=AF+BF=S,

在和Rt^/CD中，由勾股定理得到，

AC2=AB2-BC2=AD2-CD2,

:82-{CD+5『=52-CD2,

解得1/»=-s,

7

=CD+fiZ)=-s+5=—s1

即C5的长为1.

【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、线段垂直平分线的作图、勾股定理、解直角三角形

等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键.

7.(1)见解析

⑵边长为6

【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的性质与判定，角平分线，线段的垂直平分线以及

答案第7页，共47页

相似三角形的判定与性质等知识.

(1)作V/2C的角平分线交NC于点E,作线段3E的垂直平分线交于点F，交BC于

点。，连接ERED,四边形斯即为所求.

(2)根据菱形性质可得_b48C,进一步证明得•让_LL，代入相

AHW

关数据可得结论.

【详解】(1)解：如图所示，菱形区)跖为所求.

(2)解：•••四边形所是菱形，

:BF=EF,EFIIBD,

■./\AFE^ABC,

AFEF

*%(

AHRC

谊FE-x,则AF-10—x,

,--,解得x=6,

inK

：(1)中所作菱形瓦)跖的边长为6.

8.(1)详见解析

(3)Cg存在最大值为三

【分析】(1)过点P作尸。_L4P,交CD于点。，即点。为所求；

DB|D

(2)通过证明△儿?2s^pc。,可得为=—.即可求解；

bhj6

(3)由相似三角形的性质可得,由二次函数的性质可求解.

【详解】(1)如图，点。为所求点；

答案第8页，共47页

D

0

BP\C

(2)•・•四边形45CQ是矩形，

:=±C=900,

•・•/尸_L尸。，

：_b4P2=-t^=±C=900,

\±APB+上CPQ=900=±APB+1A4P,

:±LBAP=上CPQ,

:Z\ABPs△尸0。,

RPAB

•而一而‘

-AB=3,BC=5,BP=1,

:CP=4,

I3

41

・・.CQ=]

i

故答案为:。.

(3)C。存在最大值；

.BP_IB

理由I*.一，

COCP

…卧(A")\(on5Y.25

v33{2)12

:当BP=:时，C。存在最大值为::.

【点睛】本题考查了复杂作图——作垂线，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函

数的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键.

9.(1)图见解析

⑵证明见解析

(3)2

答案第9页，共47页

【分析】本题考查了圆的综合，熟悉相关的知识点是解题的关键，（1）以“为圆心，8C长

为半径画弧，以C为圆心48长为半径画弧交于点P,连接NP,延长80交4尸于点。即可；

（2）连接/。并延长交8C于点证明是线段8C的垂直平分线即可；G）证明

Z.ADO=AAOD=450即可.

【详解】（1）如图所示：

（2）如图连接/。并延长交8c于点”,

：AM是线段8C的垂直平分线;

■.AMJ_BC;

■■■ADIIBC；

:OA±AD；

■.AD为。。的切线.

⑶设±XSZ）=Q8c=（2x）0；

OA-OB；

:N0AB=ZABD=xO；

ADIIBC；

:/BAD+ABC=1800；

即2x+x+x+90=180；

解得:x=22.5；

:±ADB=±VBC=450；

:上4OD=_b4DO=45O；

答案第10页，共47页

-'-AO=AD=2；

故答案为：2.

10.(1)见解析

⑵见解析

⑶1。

【分析】本题考查了弧与弦的关系，垂线的作图，圆周角定理，三角形相似的判定和性质,

三角函数的应用

(1)以点/为圆心，为半径画弧，得到=23即得力，/，再根据垂线的基本作

图，利用圆规，规范画出即可.

(2)根据上4BG=±JDBA,±ADB=上G43证明AA4Gs△2/)/即可.

一过点/作于点X,根据7=显得至以。=AB,利用等腰三角形的三线合

一性质，得到DH,±ABD=±ADB=±GAB=±BCA,得到4G=BG,根据

4B=12,/C=9,得3C=,,.=15,根据

BH=ABCOSiiABD=42cos上BC4=ABx〔=',，得至llBD,继而利用Z\BAGsABDA,

*r*c

求得NG的长.

【详解】(1)以点/为圆心，N5为半径画弧，得至以。=ZB即得77>_Tf!再根据垂线的

基本作图，利用圆规，直尺画图如下：

(2)设/G与8C得交点为点E,

•••8C是。。的直径，AG±BC,

.•.±&4C=±3E4=90O,

1BAG=±BCA=900—±ABC,

_tBDA=±BCA

答案第11页，共47页

■.1JSAG=±BDA,

±ABG=±JDBA,

:ABAGsABDA.

(3)过点A作4/_LBD于点H,

AD=AB

AD=AB,

：■BH=DH,1ABD=±ADB,

,.公BAGsABDA,

±ADB=上GAB,

1ABD=±ADB=±.GAB

：.AG=BG,

•••3C是0O的直径，AG±BC,

.■■±BAC=±^EA=90O,

.­■±BAG=±BCA=90O—±ABC,

..hABD=±ADB=±GAB=±BCA,

12,NC=9,

tiC'=JAB'+AC'®IS<

一.“93

cos.W,4=—=—=一・

HCK5

AH…II,3,

S

BH=dBcos£ABH=-xl2=—1

•：/\BAGsABDA,

答案第12页，共47页

II.⑴见解析

⑵28:

【分析】本题是一道圆的知识的综合题，考查了切线的判定和性质、尺规作图、勾股定理等

知识：

（1）作的平分线与8C的交点即为圆心O,然后以点。为圆心，以OC的长为半径

作圆。即可；

（2）连接0。，根据切线的性质可得可得上20。=600,从而得到2。=2」；，再

由劣弧DE与线段8。、所围成的图形的面积为SBOO—S扇形E8，即可求解.

【详解】（1）解：如图，。。即为所求；

(2)解：如图，连接OD,

・••48是圆。的切线，

・•・OD1.AB,

：.±ACB=±ADO=900,

-.-±B=3CO,

.•.±BG©=60O,

答案第13页，共47页

■••00的半径为2,

・•.OD=2,

•••OB-2OD=4,

•••8D==2>/3

劣弧DE与线段3。、BE所围成的图形的面积为

12.(1)①证明见解析；②见解析，4F=3；③H点运动的轨迹为线段MC,线段MC=2•石

(2)%s=12；/2-16

【分析】此题考查了切线的性质，线段垂直平分线的作法、等腰三角形的判定与性质、相似

三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等.此题的关键是注意掌握辅助线的作法，注

意数形结合思想的应用.

(1)①证明。/=0D即可证明点。在边4。的垂直平分线上；②作ND的垂直平分线，作

切点与N所连线段的垂直平分线，即可找到圆心；③由由△曲是等腰直角三角形，证明

△DFBs/XDHC,进而即可求解；

(2)先证明△DEgsaoac,设CH=k,则CF=2k,BF=•、k,-k+2k=4,进而即

可求解.

【详解】(1)解：①：。尸为直径，上/l=90O；

:点A在圆上，

连接/O,

：AO=DO,

:点。在的垂直平分线上；

答案第14页，共47页

D

F

B

图1

②设。。与边8C相切于点E,则OA=OD=OE,如图所示:

^OA=OD=OE=x,则08=4—x,

22

...（4-x）+2=?,解得：

...aw-4-1-2,

•••OH是尸的中位线，

■.AF=2OH=3；

③连接,HD；

答案第15页，共47页

D

田始终是玲。的中点,

•AFHD是等腰直角三角形，

.■■±FDH=450,

连接8。、AC交于点M,则上BDC=450,

±BDF=上CDH=450—1BDH,

DFDB后

•：-----=—=V2■

DHDC

•••4DFBsADHC,

:上DBF=±DCH=450；

当点尸与A点重合，H点与〃■点重合，当点尸与3点重合，石点与C点重合,

\H点运动的轨迹为线段MC,MC=2、小

(2)解：连接BD,DH、FH,过点〃作aGj_FC,

由(1)③可得：dDFRsADHC,

二空.空mQ±MZ)=45O,

1)((H

.,.上〃CG=45O,

设=k,贝!JCF=2后，BF=J、k,^-k+2k=4,

解得：左=4一25，//G«^(4-272)=2x2;，

二、\,“=—,2«(4—2>/2HlSVZ_2)=12^2—16.

答案第16页，共47页

D

13.(1)见详解；

⑵①见详解；②!的值为［.

【分析】(1)由上NCB=900知，8是。。的直径，先作线段45的垂直平分线，垂直平分线

与4B的交点即为圆心。，再以O为圆心，04长为半径作圆即可；

(2)①由£。是48的垂直平分线，可证Rt^BEO之Rt54E。，得上BEO=±AEO,再结合

上BEF=2上3E。，可以得出上BEF=±AEB,再证明出ABEF沿AAED,进而证明出

ED-EF-,

②由ABEF名AAED和圆内接四边形幺DBC得出±J)AE=±.CAD,再证明^MDA2^EDA得

出"D=DE,可设EF=\5x,则DE=15x,ME=30x,证明E尸〃WW,通过平行线分线

段成比例得二二人-士，再设2b=切，在RtzXB跖中，通过勾股定理可求出y=5x,

REW/S

则5F=20x,BE=25x,再通过线段加减关系求出BC=4xfBD=lOx,由ABEFmAAED

得4D=BF=20x,再利用勾股定理依次求出4g=10J*,AC=22x,进而得出

BC4x2

----■------■—

AC21s11

【详解】(1)解：。。如图所示：

答案第17页，共47页

(2)①连接ZE，AD,

是。。的直径，

：±ADE=±ADB=900,

:EO是4B的垂直平分线，

:AE=BE,±BOE=±AOE=900，

：EO=EO,

：Rt△BEORt△AEO(HL),

：±BEO=±AEO,

：±AEB=±BEO+±AEO=2±5EO,

:上BEF=2上BE。，

：±BEF=±AEB,

：EF±CB,

：±F=±ADE=900,

：AE=BE,

:ABEF冬AED(AAS),

：ED=EF.

②延长E8,交NC的延长线于M,

：^BEF^4AED,

：±EBF=±DAE,AD=BF,

：±LEBF+上CBE=1800,±.CAD+±_CBE=1800,

：上EBF=±CAD,

：±DAE-±CAD,

答案第18页，共47页

：AD=AD,±ADE=±ADB=90o,

:也△瓦M（ASA）,

：MD=DE,

\ME=IDE,

设EF=15x,则DE=15x,ME=30x,

•产5

一।

CFX

:CF-24x,

：±F+±ACB=180o,

：EFIIAM,

BhCF24J4

/.—=-----=------=-1

AAl/Ain.«

设2尸=4y,贝UBE=5y,

在RtZXBE尸中，跖=-JBP—BF2=3y=15x,

'.y=5x,

：AD=BF=4y=20x,BE=5y=25x,

：BC=CF—BF=24x—20x=4x,BD=BE—DE=25x—l5x=lOx,

22

在RtZXABD中，AB=•I，；；—，，=J（10x）+（20x）=10v5x,

在RtZXABC中，/C=、IT-pi）=22%,

ffC4x2

,\4r"»7"7T'

【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和

判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线模型的常见辅助线的做法，平行线分线段成

比例，勾股定理求边长；

14.（1）证明见解析；Q）见解析；（3）J21

【分析】（1）小明思路，BD//PC,利用平行线分线段成比例定理得到匚=立，再利

PI）M

用等角对等边求得尸。=PB,即可证明结论；

小红思路，作尸CE1.PA,CF±PB,利用面积法即可证明结论；

（2）作弦Z3的垂直平分线，再作线段3。的垂直平分线，利用垂径定理即可求解；

（3）利用相似三角形利用相似三角形的性质，即可求出8C的长.

答案第19页，共47页

【详解】⑴解：小明思路：过点B作尸。交4尸的延长线于点O,

,上1二-toJz2二Jz3,

pnHC

・•・PC是SAB的角平分线，

•••上1=Jz2,

±P二上3,

:・PD=PB,

PAAC

••--=；

PHfK'

小红思路：分别过点尸，。作CE_LPA,CF_LPB,垂足为D,E,F,

P

PC是APAB的角平分线，

:.CE=CF,

IIII

.­5...»-PACt»-A(PD,S・一PBd-Bi-PD,

PACEACPD

PRCF-.

PiiC

iRC'

(2)解：①作弦45的垂直平分线，交弦45于点。，交。。点E,

由垂径定理得/5-BE'

②再作线段的垂直平分线，交弦45于点C,

③连接EC并延长交。。点P,

点尸即为所求；

答案第20页，共47页

,AE-HE,

:PC平分<APB,

....4/)=«/)=-(/)=«(=-«/).

M

Tv

由⑴的结论得言.■-3,

同理，点尸2也为所求;

(3)如图所示，作V诩。的平分线交于点，

•••45=3,AC=4,

BDAB3

,♦・——■——--,

CH4C4

7

±BAC=2±J3AD,±J3AC=2上C,

\±BAD=±.Cf

又；±ABD;上CBA,

:ABDAsABAC,

BD2U

--=।

fi4M

-.AB2=BD.BC

答案第21页，共47页

即3：.BC

-BC2=21,

:BC=（负值舍去）.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的作法确定的圆的条件，平行线分线

段成比例定理，相似三角形的性质与判定等知识，解决问题的关键是掌握题意，正确的作出

图形.

15.（1）见解析

（2）FG=2

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相似

三角形的判定与性质，平行线的性质.

（1）以点3为圆心，8。为半径画弧交3C于点连接交DE于一点，该点即为歹点；

（2）由（1）可证明ABDMSABAC,得到月C〃DA/,推出DM=-IL,再证明

1?

RDFMSZEFA,得至l」匕L=-=-,最后证明&AFGS4AMD,得到,进而得

〃54"l）\f

到震喑4即可求解.

【详解】（1）如图所示即为所求，

A

A

/♦\

/：\

,/9.\\

P/-L______V

/诺\

/,\

//\

R1/€

（2）连接。拉，由（1）可得BD=BM,

:AB=BC,上B=上3,

：^BDMsABAC,

:AC//DM,

：DM-।=-AE,±AEF=上MDF,上EAF=上DMF,

x?

:△DFMs