能量定理和守恒定律教材

第3章能量定理和守恒定律力的累积效应对积累对积累动量、冲量、动量定理、动量守恒动能、功、动能定理、机械能守恒力的瞬时作用：牛顿运动定律§3.2基础知识§3.2.1动量定理动量守恒定律1.质点的动量定理冲量（力的作用对时间的积累，矢量）（矢量）动量

（描述质点运动状态，矢量）微分形式积分形式

动量定理

在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量．某方向受到冲量，该方向上动量就增加．说明分量表示（1）

F为恒力（2）

F为变力讨论Ftt1t2OFt1t2tFO动量定理常应用于碰撞问题注意越小，则越大在一定时注意：1、动量为状态量；3、动量定理可写成分量式，即：4、质点的动量定理的应用（1）由动量的增量来求冲量；（2）进而求平均冲力，增大作用时间，缓冲2、冲量为过程量，是力的作用对时间的积累。例1

一质量为0.05kg、速率为10m·s-1的刚球，以与钢板法线呈45º角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来．设碰撞时间为0.05s．求在此时间内钢板所受到的平均冲力．O解由动量定理得：方向与轴正向相同．O例2.质量m=140g的垒球以速率v=40m/s沿水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿仰角60o飞出。求棒对垒球的平均打击力。设棒和球的接触时间为

t=1.2ms。60ov2v1因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动量改变，基本上由打击力的冲量决定。重力、阻力的冲量可以忽略。mv160omv2mg

t打击力冲量F

t

F

t合力冲量平均打击力约为垒球自重的5900倍！在碰撞过程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。F

tmv160omv230om=140g例3.一轻绳跨过一定滑轮，两端分别系有质量为m和M的物体A和B（M>m）。M静止在地面上，当m自由下落h后，绳才拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以及B能上升的最大高度。BAhMgmgTT解：已知物体m自由下落h后，正好绳拉紧，此时m的速度为:当绳子拉紧时，m和M除受重力外，还同时受到绳子的冲力作用，经过极短时间△t后，它们以相等的速率运动。我们以向上为正方向，按动量定理有：对m：对M：考虑到在△t之内，冲力

m和M所受重力可以忽略不计，故有：

即：

绳子拉紧后，m和M分别向下、向上做加速运动，其加速度a可由牛顿第二定律得：对m：对M：M向上减速，由于上升到最大高度H时的瞬时速度为0，故：质点系2.质点系的动量定理对两质点分别应用质点动量定理：因内力，故将两式相加后得：作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量——质点系动量定理区分外力和内力内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量.注意例一柔软链条长为l，单位长度的质量为

，链条放在有一小孔的桌上，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围．由于某种扰动,链条因自身重量开始下落.m1m2Oyy求链条下落速度v与y之间的关系．设各处摩擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开．解

以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统，建立坐标系由质点系动量定理得则又m1m2Oyy两边同乘以则m1m2Oyy质点系动量定理若质点系所受的合外力——动量守恒定律则系统的总动量不变3.动量守恒定律(1)系统的总动量不变，但系统内任一物体的动量是可变的．(2)守恒条件：合外力为零．当时，可近似地认为系统总动量守恒．讨论(3)

内力能使系统各质点的动量发生变化，即内力只能在系统内各个物体之间传递能量.(4)若，但满足有(5)动量守恒定律只适用于惯性系。(6)

动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一．例1设有一静止的原子核，衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核．已知电子和中微子的运动方向互相垂直，且电子动量为1.2

10-22

kg·m·s-1，中微子的动量为6.4

10-23

kg·m·s-1．问新的原子核的动量的值和方向如何？

(中微子)(电子)解图中或

(中微子)(电子)

例2一枚返回式火箭以2.5

103

m·s-1的速率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不计．现使火箭分离为两部分,前方的仪器舱质量为100kg，后方的火箭容器质量为200kg，仪器舱相对火箭容器的水平速率为1.0

103m·s-1．求仪器舱和火箭容器相对惯性系的速度．已知求

,解

VM对地

yMl

0(m对M)m

x例3已知：大炮质量M，炮弹质量

m

，炮筒长

l，仰角

炮弹出口速度(相对于炮车)，水平轨道光滑求：(1)炮车反冲速度V(2)炮弹出口时，炮车移动的距离D

解：(1)·分析：

过程：自点火

炮弹出口

系统：m---M

条件：水平合外力为零

水平分动量守恒

·守恒式·注意:

(why?)

代入守恒式有

(2)·在过程中的任一时刻t都有·两边对t积分

·注意：d

lcos

d=lcos

-D·代入有

系统末动量

p末m

弹末MV讨论：系统动量是否守恒?(1)由结果看系统初动量为零系统末动量(不为零)(2)由守恒条件看点火前：地面支持力N=(M+m)g、重力(M+m)g

y向合力为零

点火后：N>(M+m)g

y向合力不为零y向动量不守恒

系统动量不守恒一、功

力的空间累积效应：，动能定理对积累1恒力作用下的功3.2.2动能定理能量守恒定律B**A2

变力的功(1)

功的正、负讨论(2)

作功的图示（3）功是一个过程量，与路径有关．（4）合力的功，等于各分力的功的代数和．功的单位（焦耳）平均功率

瞬时功率功率的单位

（瓦特）

例1一质量为m的小球竖直落入水中，刚接触水面时其速率为．设此球在水中所受的浮力与重力相等，水的阻力为,b为一常量.求阻力对球作的功与时间的函数关系．解建立如右图所示的坐标系而二、质点的动能定理ABθ功是过程量，动能是状态量；注意合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量

——质点的动能定理功和动能依赖于惯性系的选取，但对不同惯性系动能定理形式相同．

例2一质量为1.0kg的小球系在长为1.0m细绳下端，绳的上端固定在天花板上．起初把绳子放在与竖直线成角处，然后放手使小球沿圆弧下落．试求绳与竖直线成角时小球的速率．解

由动能定理得(1)万有引力作功1.万有引力和弹性力作功的特点对

的万有引力为移动时，作元功为三、保守力的功势能m从A到B的过程中作功：重力的功（2）重力的功（2）重力作功得()gmWabbhahgmdybhgmahgm给定，重力的功只与质点的始末位置有关。、rdabgmabgmrdcosqWab质点在重力作用下mab)经任一路径重力所做的功,或ab)dy见图YXOZybbhaahrdrdqydqmgrrmgm重力的功(3)弹性力作功xFdxdWx2x1O保守力所作的功与路径无关，仅决定于始、末位置．2.保守力与非保守力保守力作功的数学表达式弹力的功引力的功重力的功质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作的功为零．非保守力：力所作的功与路径有关．（例如摩擦力）3.势能与质点位置有关的能量．弹性势能引力势能弹力的功引力的功保守力的功令势能计算——保守力作功，势能减少势能函数dyEpgm0gmhh0Yhgm因为重力势能重力势能EpmgmhhEp0选地面为重力势能零点几种常见保守力的势能根据EpaadrhF能点零势可得弹性势能弹性势能xEp12kx2X0为弹性势能零点选无形变处Ep0因为Epkxdxx012kx2弹性恢复力总是与位移反向万有引力势能万有引力势能rMmEp1mGrM选无穷远处为万有引力势能零点Ep02Epr8mGMdrr1mGMr((1mGMr8r因为选无穷远处为万有引力势能零点Ep0几种常见的势能Mm任意路径a物体系或质点系F保守力mb零势能点mM相对于处于点位置时系统所具有的势能，a等于将m从a点沿任意路径移到势能零点，保守力所做的功。若选点为零势能点Epb0，badrhFb则EpaadrhF零势能点关于势能概念理解的几个要点势能属物体系所共有，例如地球要在系统内才有重力势能；势能是相对量，与势能零点选择有关。保守性只有在保守力场中才有；系统性相对性势能概念的要点力、势能比较表注意比较其空间变量的特点重力弹性力万有引力Fmgkxr2mGMEPmgh21kx2rmGM保守力空间变量的特点

4.势能曲线弹性势能曲线重力势能曲线引力势能曲线外力功内力功四、质点系的动能定理质点系动能定理

内力可以改变质点系的动能注意对质点系，有对第个质点，有注意：动能定理由牛顿第二定律导出；标量方程；只涉及初态和终态；不用注意过程细节；应用动能定理解题的思路：选择研究对象，分析物理过程；受力分析，画受力图；确定各力做功和研究对象的始末动能；由动能定理列方程并求解；非保守力的功五、质点系的功能原理机械能——质点系的功能原理说明：Wex是系统所有外力做功之和，不是合外力做的功；Winnc是系统内非保守外力做功之和。须选好系统，使计算方便。功能原理只适用于惯性系。功是能量变化与转化的量度，是过程量；能量代表系统在一定状态下所具有的做功本领，是状态量。d）功能原理与动能定理不同之处：功能原理将保守内力做功用势能查来代替。e）计算功的方法主要有三种：已知F(r)表达式时，用积分求功；已知前后动能（速度）或动能的增量时，用动能定理求功；已知两个状态的机械能或机械能增量时，用功能原理求功。例1雪橇从高50m的山顶A点沿冰道由静止下滑,坡道AB长为500m．滑至点B后，又沿水平冰道继续滑行，滑行若干米后停止在C处.若μ=0.050．求雪橇沿水平冰道滑行的路程.已知求解六、机械能守恒定律当时，有

——只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变．例2一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的顶点P，另一端系一质量为m

的小球,小球穿过圆环并在环上运动(μ=0)．开始球静止于点A,弹簧处于自然状态，其长为环半径R;当球运动到环的底端点B时，球对环没有压力．求弹簧的劲度系数．解以弹簧、小球和地球为一系统只有保守内力做功系统即又所以取点B为重力势能零点时间累积效应空间累积效应牛二律，瞬时效应动量定理角动量定理动能定理范围：惯性系、宏观低速运动（只有动量守恒、角动量守恒、能量守恒对宏观、微观都适用）。

10各定理、定律的表达式，适用条件，适用范围。

20由牛顿第二定律推出：动量定理动能定理机械能守恒定律动量守恒定律功能原理解决问题的思路按此顺序倒过来，首先考虑用守恒定律解决问题。若要求力的细节则必须用牛顿第二定律。

30有些综合问题，既有重力势能，又有弹性势能，注意各势能零点的位置，不同势能零点位置可以同，也可以不同。（问：一般选哪里为势能零点？）注意40

有些问题涉及临界现象（如弹簧下面的板刚好提离地面、小球刚好脱离圆形轨道、木块刚好不下滑等）。解题时先建立运动满足的方程，再加上临界条件（往往是某些力为零或v、a为零等）。50

特别注意用高等数学来解的问题。凡有极值问题要用求导的方法。例3.质量为

m的小球系在线的一端，线的另一端固定，线长L，先拉动小球，使线水平张直，然后松手让小球落下求：线摆下

角时，小球的速率vb

和线的张力T解法一：用牛顿第二定律研究对象：小球用dS乘方程（1）的两边：将上述结果代入（2）建立自然坐标如图受力分析：运动方程：解法二：用动能定理研究对象：小球解法三：用机械能守恒定律研究对象：小球、线、地球组成的系统。只有重力作功，Ea=Eb，机械能守恒。令

b

处势能为零力的空间累积效应：

力的功、动能、动能定理．力矩的空间累积效应：

力矩的功、转动动能、动能定理．七、刚体定轴转动动能定理力矩的功1.力矩作功2.力矩的功率比较3.转动动能4.刚体绕定轴转动的动能定理——刚体绕定轴转动的动能定理比较

5.定轴转动的功能原理1.）刚体的重力势能如果刚体受到保守力的作用，也可以引入势能的概念。重力势能：在重力场中的刚体具有一定的重力势能。它的重力势能就是它的各个质元重力势能的总和。对一个不太大，质量为m的刚体，重力势能

mi

cyoxhihcm有

即：一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的重力势能一样。由质心定义，此刚体质心的高度：机械能：2.）功能原理对于包括有刚体的系统，功能原理形式仍为：

A外+A非保内=E末-E初若系统内只有保守内力作功，其机械能亦守恒。例1留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率

作匀速转动．放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动．设唱片的半径为R，质量为m，它与转盘间的摩擦系数为

，求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩；(2)唱片达到角速度

时需要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？Rrdrdlo解(1)如图取面积元ds=

drdl，该面元所受的摩擦力为此力对点o的力矩为于是，在宽为dr的圆环上，唱片所受的摩擦力矩为Rrdrdlo(3)由

可得在0

到t的时间内，转过的角度为(2)由转动定律求

，(唱片J=mR2/2)（作匀加速转动）驱动力矩做的功为由

可求得例2、一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略各轴处摩擦，求物体由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。

解：以滑轮、物体和地球作为研究的系统。在物体下落的过程中，滑轮随同转动。滑轮轴对滑轮的支持力（外力）不做功（因为无位移）。因此，对所考虑的系统只有重力这一保守力做功，所以机械能守恒。滑轮的重力势能不变，可以不考虑取物体的初始位置为重力势能零点，则系统初态的机械能为0机械能守恒：

例3转轴光滑，初态静止，求下摆到

角时的角加速度，角速度，转轴受力。解：（1）讨论此棒的下摆运动时，不能把棒当作质点，而视其为刚体处理。棒的下摆是一加速转动，所受外力矩即重力对转轴O的力矩。由定轴转动定律，棒的角加速度：

（2）求棒摆下角时的角速度，可用定轴转动的动能定理，亦可用机械能守恒定律。①动能定理

棒的角加速度：

②机械能守恒，取棒的水平初位置为势能零点取棒、地球为研究系统，由于棒在下摆过程中，外力（轴对棒的支持力）不做功，只有重力做功，故系统机械能守恒。（3）为了求棒受轴的力，需考虑棒的质心C的运动而用质心运动定理。当棒摆到角时，其质心有：法向加速度

切向加速度

、分别表示棒受轴的沿棒的方向和垂直于棒的方向的分力。由质心运动定理得：法向：

切向：

德国物理学家和生理学家．于1874年发表了《论力(现称能量)守恒》的演讲，首先系统地以数学方式阐述了自然界各种运动形式之间都遵守能量守恒这条规律．是能量守恒定律的创立者之一．亥姆霍兹

(1821—1894)八、能量守恒定律能量守恒定律：对一个与自然界无任何联系的系统来说,系统内各种形式的能量可以相互转换，但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭。（1）生产实践和科学实验的经验总结；（2）能量是系统状态的函数；（3）系统能量不变,但各种能量形式可以互相转化；（4）能量的变化常用功来量度．下列各物理量中，与参照系有关的物理量是哪些？（不考虑相对论效应．）(1)质量(2)动量(3)冲量

(4)动能(5)势能(6)功答动量、动能、功．讨论

力的时间累积效应：冲量、动量、动量定理．

力矩的时间累积效应：冲量矩、角动量、角动量定理．§3.2.3角动量定理角动量守恒定律一质点的角动量定理

质点运动描述刚体定轴转动描述1

质点的角动量质量为的质点以速度在空间运动，某时对

O

的位矢为，质点对O的角动量大小的方向符合右手法则角动量单位：kg·m2·s-1质点以作半径为

的圆周运动，相对圆心作用于质点的合外力对参考点O

的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率.2质点的角动量定理质点角动量定理的推导质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.冲量矩二、质点的角动量守恒定律若则

质点所受的合外力对某固定点的力矩为零时，质点对该点的角动量守恒。1020

是普遍规律，宏观、微观都适用。30有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。力心特征：质点对力心的角动量永远守恒！40质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。50

角动量守恒，不见得动量守恒。讨论

例1一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为m的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点A

(该点在通过环心O的水平面上)，然后从A点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略去不计．求小球滑到点B

时对环心O

的角动量和角速度．解小球受力、作用,的力矩为零，重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理考虑到得由题设条件积分上式例2一质量为m

的登月飞船，在离月球表面高度h

处绕月球作圆周运动．飞船采用如下登月方式：当飞船位于点A

时，它向外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相切地到达点B

,且OA

与OB垂直．飞船所喷气体相对飞船的速度为试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量是多少?BhORA已知解设飞船在点A的速度,月球质量mM,由万有引力和牛顿定律BhORABhORA飞船在A点以相对速度向外喷气的短时间里,飞船的质量减少了

而为

,并获得速度的增量,使飞船的速度变为,其值为质量

在A点和B

点只受有心力作用,角动量守恒飞船在A点喷出气体后，在到达月球的过程中，机械能守恒即于是而二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1刚体定轴转动的角动量O对定轴转的刚体，2刚体定轴转动的角动量定理质点mi受合力矩Mi(包括Miex、Miin

)合外力矩非刚体定轴转动的角动量定理3

刚体定轴转动的角动量守恒定律，则若=常量对定轴转的刚体，受合外力矩M，从到内，角速度从

变为

，积分可得：

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

内力矩不改变系统的角动量.

守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.讨论

在冲击等问题中常量守恒条件是守恒定律中必须是对同一转轴而言；刚体碰撞中，如遇质点时，质点的转动惯量和角动量必须以碰撞瞬时由质点相对转轴的位置来计算转动惯量和角动量。应用角动量定理解题的思路选定研究对象，并对研究对象进行受力分析，从而确定各个力的力矩；确定研究对象的初态和末态的角速度方向，即角动量的方向；规定力矩的正方向，再用角动量定理列方程并求解。应用角动量守恒定理时应注意：许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰跳水运动员跳水自然界中存在多种守恒定律动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等以子弹和沙袋为系统动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒.讨论子弹击入沙袋细绳质量不计子弹击入杆以子弹和杆为系统机械能不守恒．角动量守恒；动量不守恒；圆锥摆圆锥摆系统动量不守恒；角动量守恒；机械能守恒．

被中香炉惯性导航仪（陀螺）

角动量守恒定律在技术中的应用

例3一长为l

,质量为m

的竿可绕支点O自由转动．一质量为m’、速率为v

的子弹射入竿内距支点为a

处，使竿的偏转角为30o

.问子弹的初速率为多少?解子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，E=常量．例4质量很小长度为l

的均匀细杆，可绕过其中心