2024年内蒙古高三数学（文科）4月第二次模拟考试卷及答案解析

2024年内蒙古高三数学（文科）4月第二次模拟考试卷

2024.04

注意事项：

L考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，

考试时间120分钟.

2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知全集。={尤|一1<”5},集合A满足①A={x|0Wx<3},则（）

A.0GAB.l^A

C.2eJD.3eA

2.已知复数z=l+gi（i为虚数单位），贝匹的虚部为（）

A.-73B.-V3iC.-1D.-i

3.设机，neR,贝『'帆〃=1”是“lg机+lg〃=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.若非零向量久6满足1&1=历1=:+石1，则向量。与向量a+8的夹角为（）

A.150B.120C.60D.30

5.从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍

数的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

5535

6.已知函数=的值域为若（L+e）aM,则实数。的取值范围是（）

A.（-oo,l）B.（-co,l]C.（l,+oo）D.[1,+co）

7.已知数列｛q｝为等比数列，且4=1,%=16,设等差数列也J的前n项和为S“，若么=%，则$9=（）

A.—36或36B.—36C.36D.18

8.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=AsinM,但我们平

时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数

/（x）=sinx+^sin2x（xeR）,则下列说法正确的是（）

A.“X）的一个周期为无B.的最大值为］

C.的图象关于点go）对称D.在区间［0,兀］上有2个零点

9.在平面直角坐标系宜刀中，设A（2,4）,B（-2,-4）,动点尸满足尸O.pA=-l,贝！Itan/PBO的最大值

为（）

2口「2^41d0

AA.--而-D.-4-A/-2-9-C.----U.---

2129412

10.在正方体ABC。-A用G2中，E为8。的中点，则直线耳£与4。所成角的余弦值为（）

A.0B-Ic-TD-T

11.设g(x)是定义域为R的奇函数，且g(l-x)=g(l+x).若j=g,则()

22

12.已知双曲线C：二一与=1（。>0*>0）的左、右焦点分别为耳、工，双曲线C的离心率为e,在第

ab

一象限存在点P,满足e-sin/尸片为=1,且5耳时=4/,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.2x±y=0B.x±2y=Q

C.3%土y=0D.x±3y=0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.抛物线炉=1>的准线方程为y=l,则实数a的值为.

a

14.在J1SC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=0,6=4,c-cosB+a^O,则边c=.

x+y-5>0

15.若实数XD满足约束条件，x-2y+140,贝ljz=x+y的最小值为.

尤21

16.已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为4兀的球。的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17〜21题为必考题，每个试题考生都

必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入加（万元）与科技升级

直接收益y（万元）的数据统计如下：

序号i234567

m234681013

y13223142505658

根据表格中的数据，建立了y与机的两个回归模型：模型①：9=4.1根+11.8;模型②：9=21.3诟-14.4.

（1）根据下列表格中的数据，比较模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型；

⑵根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.

回归模型模型①模型②

回归方程9=4.1根+11.8夕=21.3诟-14.4

7

Z（.V,-X）2182.479.2

1=1

（附：刻画回归效果的相关指数笈=1-「~」，后越大，模型的拟合效果越好）

S（z-y）2

Z=1

18.如图，在多面体中，ABC是等边三角形，AB=AD=2,DB=DC=EB=EC=啦.

（1）求证：BCLAE-,

（2）求三棱锥3-AC。的体积.

19.已知函数/（无）=。（%2-111彳）+（1-2〃）尤（々2。）.

⑴若X=1是函数y=〃x)的极值点，求。的值；

⑵求函数y=/(x)的单调区间.

22_

20.已知椭圆石:台=1(。〉匕>0)过点(0,1),且焦距为2g.

ab

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过点S(l,。)作两条互相垂直的弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N.证明：直线必过定点.

21.已知数列｛q｝为有穷数列，且a.eN*,若数列｛a“｝满足如下两个性质，则称数列｛%｝为优的%增数

列：

①4+。2+。3+…+=相；

②对于1W。，使得4<%的正整数对(。)有左个.

⑴写出所有4的1增数歹(J；

(2)当〃=5时，若存在加的6增数列，求机的最小值.

(二)选考题：共10分.请者生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所写的第一题计分.

［选修4・4：坐标系与参数方程］

]

x=

cosa

22.在直角坐标系中,曲线。的参数方程为,(。为参数,a手——)以坐标原点

A/3sin2

y=

cosa

。为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕cos［o+(J=l.

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程;

(2)已知点P(2,。)，若直线/与曲线C交于4B两点,求向一向1的值•

PB\

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知/(%)=|2x+2|+k—31

⑴求不等式/(%卜5的解集;

111g

(2)若“司的最小值为加，正实数"，b,。满足a+b+c=m,求证：--+--+——>—.

a+bb+ca+c2m

1.B

【分析】根据全集和集合A在全集中的补集易得集合A,逐一判断选项即可.

【详解】由U={尤|-1<彳<5},©A={x[0Vx<3},可得A={x|-l<x<。或3Vx<5}

则0e4,1把A,2eA,3GA,故B项正确，A,C,D项均是错误的.

故选：B.

2.A

【分析】由共轨复数以及虚部的概念即可得解.

【详解】因为复数z=l+石i,所以1=1-后的虚部为-石.

故选：A.

3.B

【分析】通过举反例说明“〃切=1”不是“1g”2+1g〃=0”的充分条件，再由对数的运算性质由lg"Z+1g〃=0

推得〃以=1,即得结论.

【详解】由〃?〃=1不能推出1g机+lg〃=O,如7〃=〃=-1满足〃"7=1,

但lgm,lg”无意义,故“mn=1”不是，1g根+1gw=0”的充分条件；

再由1gm+1g〃=0可得lg(mn)=0,即得mn=1,故"mn=/是”1g根+1g〃=0”的必要条件.

即“mn=1”是“1g机+1g九=0”的必要不充分条件.

故选：B.

4.C

【分析】利用向量加法的三角形法则作出图象，根据图象得答案.

【详解】如图：若|a|=|6|=|a+b|,则ABC为等边三角形

则向量a与向量“+b的夹角为60.

故选：C.

【分析】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积

是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案.

【详解】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种取法,

其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,6),

(5,6),共9种情况，

则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率尸=9怖=3:；

故选：A.

6.B

【分析】化复合函数〃尤)=2y+2工为〃“)=2","=d+2x+a,根据已知条件=确定a的

取值范围，再根据"的取值范围确定a的取值范围即可.

【详解】因为“*=2'+2』，令“=尤2+2》+°,所以=

令函数〃=炉+2尤+a的值域为N,因为(1,+8)UM,

所以(O,+“)UN,所以尤2+2元+4必须能取到(0,+。)上的所有值,

4xa-2-4tz—4助殂,

“min=---=^—解侍aW1L

故选：B

7.C

【分析】根据等比数列的通项公式求得/=4,继而求得仇=%的值，利用等差数列前〃项和公式进行计

算即可.

【详解】数列｛%｝为等比数列，设公比为“，且4=1,%=16,

则&=d=16,则/=4,

ax

贝！J方5=%=Qi/=4,

贝”广^1^=94=36,

故选：C.

8.D

【分析】对于A,考查函数、=sinx与y=；sin2x的周期即可；对于B,考查函数y=sinx与y=；sin2x

的最大值，验证同时取最大值时的条件即可判断；对于C,利用中心对称的条件进行验证即可；对于D,

令〃x）=0,解方程即可.

【详解】对于A,因为y=sinx的周期为2兀，y=；sin2x的周期为兀，所以〃尤）=sinx+；sin2x的周期为

271,故A错误；

对于B,因为函数，=5皿工的最大值为l,y=；sin2x的最大值为，

故两个函数同时取最大值时，/（X）的最大值为］,

TTTT

此时需满足％=—+2lai,k£Z且2%=—+2kR,kGZ,不能同时成立,

22

故最大值不能同时取到，故/（x）的最大值不为则B错误；

对于C,〃兀一尤）=sin（兀一元）+gsin［2（兀一X）］=sinx-gsin2x,贝/（x）+/（7T-x）=2sinxwO,

故"X）的图象不关于点加对称，c错误;

对于因为时,

D,/'(x)=sinx+gsin2x=sinMl+cosx)=0sinx=O,又xe[O,兀],

所以x=0或者及=无；或者l+cosx=0,止匕时cosx=-l,又xe[0,7c],

所以x=无，综上可知，“X）在区间［0,可上有2个零点，故D正确,

故选：D.

9.C

【分析】设出点尸（％y）,利用数量积的坐标表示得到点尸的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可.

【详解】设尸(x,y),则尸O=(—x,-y),PA=(2-xA-y),

贝°P0-PA=-x(2-x)-y(4-y)=-1,BPx2-2.x+y2-4y+1=0,

化为(x-l)2+(y-2)2=4,则点尸的轨迹为以。。,2)为圆心，半径为2的圆,

-44

XkOB=—=2=kOD=~,所以6O,。三点共线，

显然当直线尸3与此圆相切时，tanNPBO的值最大.

又BD=M+62=3区PD=2,

贝UPB=7BD2-PD2=745-4=如，

则，皿加。="=二=孚.

PB741V41

故选：C.

10.D

【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量的夹角余弦公式求出答案.

【详解】以点。为坐标原点，。4,。。,。2所在直线分别为工，％2轴，建立空间直角坐标系,

设正方体ABCD-A及6R的棱长为2,

则A（2,0,2）,0（0,0,0）,4（2,2,2）,E。,1,0）,

则直线用E与4。所成角的余弦值为

|co"DBE|-目1(-2,。,-2)3,T-2)16一石

151；

Ir|AD|.|B,£p目X标4-272x76-2

故选：D

11.A

【分析】结合抽象函数的奇偶性，周期性求解即可.

【详解】若g(lT)=g(l+X),且g(X)是定义域为R的奇函数，故一g(x)=g(—X),

贝1Jg(-x)=g(x+2),-g(x)=g(x+2),变形得g(x+4)=-g(x+2)=g(x),

可得g(x)周期为4,贝=g(；j=_gU=_j故A正确.

故选：A

12.A

【分析】由题意设归耳卜心^\\PF2\=t-2a,而sin/P耳g=：=/,闺闾=2c,由三角形面积公式可得

|P6|=4。，从而忸用=2°,在工中，运用余弦定理可得,=2,由此即可得解.

设|尸耳仁心则|P阊=-2a,而e-sinNP£鸟=1,所以sin/两g=：=2,

所以点尸到久居的距离为|「盟sin/P4B=」，

C

又闺闾=2c,所以S彷=；-2。/3=44,

解得f=4a,即|P周=4°,从而|尸阅=2a,

又因为sin/P耳月=工=9

ec

所以cos/尸耳入

在中，由余弦定理有cosNPE居=2=（4"）一+（2。）一一（2。）一，

c2•4a•2c

A24〃

所以4ab=4a2-^-c2-a2=b2+4a2，即一^---F4=0,

aa

b

解得旦二2,双曲线。的渐近线方程为2x土y=0.

a

故选：A.

13.--##-0.25

4

【分析】根据抛物线方程及准线方程列出方程，解出即可.

【详解】依题可知-《=1,

4〃

贝一:，

4

故答案为：

4

14.Vio

【分析】由余弦定理化角为边，化简整理后，代值计算即得.

^22_>2

【详解】因c-cos3+a=0,由余弦定理，c/+，+a=0,化简得34+°2=62,

2ac

因。=0，6=4，故c=扪—3a1二回.

故答案为：回.

15.5

【分析】利用约束条件画出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合图形即可得解.

x+y-5>0

【详解】画出约束条件，x-2y+lV0的可行域如下图所示阴影,

x>l

由2=工+〉，得〉=一%+2,移动直线簇y=-x+z,

当〉=_彳+Z与x+y_5=0重合时，Z取得最小值;

x+y-5=0fx=3

联立，解得。，则4(3,2),

x-2y+l=QU=2

止匕时点A(3,2)在直线z=x+y上，故z=3+2=5.

故答案为：5.

16.27r

【分析】由题意，先求出球的半径，再由球和圆柱的位置关系得到圆柱的底面半径、母线和球的半径的

关系，然后利用基本不等式求出圆柱的侧面积的最大值.

【详解】设球的半径为R,圆柱的底面半径为人母线为/,

由题意可知，S=4TTR。=4兀解得7?=1,

又圆柱的两个底面的圆周在表面积为4兀的球。的球面上，

+[]=R2=1,

所以圆柱的两个底面的的圆心关于球心对称，且户

圆柱的侧面积S=2加7,/>0,

因为产十:22/x'=",当且仅当r=4，即/=也,/=血时，等号成立，

4222

所以力41,S=2nrl<2兀.

故答案为：271.

17.(1)模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高、更可靠.

(2)198.6

【分析】(1)利用相关指数的定义判断相关性即可.

(2)将给定数值代入拟合模型中求预测值即可.

【详解】(1)由表格中的数据，182Q79.2,

•---18-2-.4-->---7-9-.2---1।----18-2-.4--<1----7-9-.2---

2(%一斤S(x-y,)2SU-y,)2Z(x-x)2

Z=1Z=11=1Z=1

所以，模型①的相关指数小于模型②的相关指数，

即模型②的拟合效果精度更高、更可靠.

(2)当〃2=100万元时，科技升级直接收益的预测值为：

y=21.3V100-14.4=213-14.4=198.6(万元)

18.(1)证明见解析

⑵近

3

【分析】(1)首先取8C中点。，连接AQEO,根据题意易证AO1BC,EOLBC,从而得到BC1平

面AEO,再根据线面垂直的性质即可得到3CJ_AE.

(2)首先连接。0,易证”>_L5C,DOLAO,即可得到DO,平面4BC,再根据％一人⑦=%-ABC求解

即可.

【详解】(1)取BC中点0,连接AO,E。

ABC是等边三角形，。为BC中点,

AOLBC,

又班=XC,，EO_LBC,

AOr>EO=O,AQEOu平面AEO,「.BCJ_平面A£O,

又AEu平面AEO,

.\BC±AE.

(2)连接DO,如图所示：

因为O5=OC,。为BC中点，则。OJ_5C,

由A5=AC=5C=2,05=DC=砂=EC=血得AO=百,00=1,

XAD=2,/.AO2+DO2=AD2,:.DOLAO,

又AOBC=O,AO,BCu平面A5C,.•.。。，平面45。，

所以％ACD=VDABC=-SABC-DO=--X22XI=~-

D—A\^L)L)—At3(^3ADC343

19.(1)1

(2)单调减区间为(O,a),单调增区间为(a,y)

【分析】(1)由x=l是函数y=/(x)的极值点，/，(D=0,求解验证即可;

(2)利用导函数求解函数的单调区间即可.

【详解】(1)函数定义域为(0,+e),尸⑺=2"?+(1-2/b--

因为x=l是函数y=/(x)的极值点，

所以/'(1)=1+a_2/=0,解得q=_g或。=1,

因为a»0,所以a=1.此时尸(x)=2-"1=(2x+l)(l),

XX

令/'(x)>0得X>1,令/'(x)<0得0<x<l,

在(0,1)单调递减，在。,+。)单调递增，所以x=l是函数的极小值点.

所以4=1.

/人、Zdx?+(1—2/)%—a

⑵(⑺=————1—(2ox+l)(x—6Z)

X

因为a20,所以2办20,令/'(">。得x>〃；令r(x)<0得0(尤<〃；

・・・函数的单调减区间为(0,〃)，单调增区间为(。,+a).

丫2

20.(1)1-+/=1；

4

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据给定条件，求出。力即可求出椭圆E的方程.

(2)直线A3不垂直于坐标轴时，设出直线方程并与椭圆方程联立求出中点坐标，求出直线MN即得,

再验证AB,CD之一垂直于x轴的情况即可.

【详解】(1)依题意，椭圆半焦距C=A/L而6=1,则q2=/；2+c2=4,

所以椭圆的方程为工+y2=l.

4

(2)当直线AB不垂直于坐标轴时，设直线AB的方程为了=阳+1(x。0),4玉,乂),3(兀2，%)，

由CDLA8,得直线8的方程为+

m

[x=my+1cc

由<,“，，消去X得：(m2+4)y2+2my-3=0,

[x+4y=4

m

贝|]公=16〃/+48>0,%+%=,故司+x,=m(yx+y1)+2=—―-)

m+4m+4

T/4—TTl、.1八、++4=4根?m

于是M(,“)，由代替加，得N(-----；

m+4m+4m1+4加，I+4m

44m244

当一=即力，=1时，直线MN：x=~,过点K[,0),

m+41+4m5

m-m

当工4m2l+4m2m2+45m

,即加22I时，旦或MN的斜率为

l+4m4m24-4(7712-l)

l+4m2m2+4

土/4m5m44(m-1)44m+164

直线MTV：--27--~2~~---27)，令y=0,X=--2-----1---2----=---2----==，

m+44(m-1)m+45(m+4)(m+4)5(m+4)5

4

因此直线MN恒过点K1,0),

4

当直线A8,8之一垂直于x轴，另一条必垂直于y轴，直线为x轴，过点K（『0）,

4

所以直线MN恒过点长（+0）.

/

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情

况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，

根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的

方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点.

21.⑴所有4的1增数列有数列1,2,1和数列1,3

⑵7

【分析】（1）利用给定的新定义，求出所有符合条件的数列即可.

（2）运用给定的新定义，分类讨论求出结果即可.

【详解】（1）由题意得4+%++。,=4,则1+1+2=4或1+3=4,

故所有4的1增数列有数列1,2,1和数列1,3.

（2）当〃=5时，因为存在沉的6增数列，

所以数列｛。,｝的各项中必有不同的项，所以加26且〃?wN*,

若根=6,满足要求的数列｛。“｝中有四项为1,一项为2,

所以上V4,不符合题意，所以机＞6

若m=7,满足要求的数列｛%｝中有三项为1,两项为2,符合加的6增数列.

所以，当九=5时，若存在，W的6增数列，加的最小值为7.

2_

22.（1）C：x2-^=l,直线/：X-A/3V-2=0

*

\x=pcosO

【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式,。化极坐标方程为直角坐标方程;

[y=夕sm”

(2)化直线方程为尸点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解.

1

x--------

cosaIT

【详解】(1)曲线C的参数方程为(。为参数，a^k7i+—),

J^sina

y=----------

cosa

1y2_si•n2a2,2

所以％2=，所以——匕=1.即曲线。的普通方程为九2一乙=1.

cos2a'o3cos2a33

直线I的极坐标方程为pcosf6>+yU1,则「上osecos7g1-sin。sin兀!

=1,

33

转换为直角坐标方程为X-也y-2=0.

J+乌，

(2)直线/