9.2.3总体集中趋势的估计课件高一下学期数学人教A版2

第九章统计9.2用样本估计总体9.2.3总体集中趋势的估计内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数)．2.会求样本数据的众数、中位数、平均数．3.理解集中趋势参数的统计含义．活动方案活动一理解平均数、中位数与众数的概念为了了解总体的情况，前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计总体的分布规律，但有时候，我们可能不太关心总体的分布规律，而更关注总体取值在某一方面的特征．例如，对于某县今年小麦的收成情况，我们可能会更关注该县今年小麦的总产量或平均每公顷的产量，而不是产量的分布；对于一个国家国民的身高情况，我们可能会更关注身高的平均数或中位数，而不是身高的分布；等等．思考1►►►求52,49,48,54,47,48,55,52的平均数．方法一：方法二：1.一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数．将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数．2.关于平均数有如下结论：(3)在一组数据中，a1的频率是p1，a2的频率为p2，…，an的频率为pn，则这组数据的平均数为a1p1＋a2p2＋…＋anpn.【解析】

集中趋势．思考2►►►平均数、众数、中位数这三个量都是反映一组数据的什么趋势？例1利用下面100户居民用户的月均用水量的调查数据(单位：t)，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数．9.0

13.6

14.9

5.9

4.0

7.1

6.45.4

19.4

2.0

2.2

8.6

13.8

5.410.24.9

6.8

14.0

2.0

10.5

2.15.7

5.1

16.8

6.0

11.1

1.3

11.27.7

4.9

2.3

10.0

16.7

12.012.4

7.8

5.2

13.6

2.6

22.4

3.67.1

8.8

25.6

3.2

18.3

5.1

2.03.0

12.0

22.2

10.8

5.5

2.0

24.39.9

3.6

5.6

4.4

7.9

5.1

24.56.4

7.5

4.7

20.5

5.5

15.7

2.65.7

5.5

6.0

16.0

2.4

9.5

3.717.0

3.8

4.1

2.3

5.3

7.8

8.14.3

13.3

6.8

1.3

7.0

4.9

1.87.1

28.0

10.2

13.8

17.9

10.1

5.54.6

3.2

21.6该市某个小区有2000户，你能估计该小区的月用水总量吗？即100户居民的月均用水量的平均数为8.79t.8.79×2000＝17580(t)，故该小区的月用水总量为17580t.小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数，但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数．【解析】

平均数由原来的8.79t变为9.483t，中位数没有变化，还是6.8t．平均数的值变化更大．这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变．思考3►►►将例1与跟踪训练的样本平均数和中位数作比较，哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感．思考4►►►在下图的三种频率分布直方图的形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？图1

图2

图3【解析】

一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说：①直方图形状对称：平均数≈中位数；②直方图右边“拖尾”：平均数>中位数；③直方图左边“拖尾”：平均数<中位数，结论：和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边．活动二平均数、中位数与众数的简单应用例2某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格．据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示.校服规格155160165170175合计频数39641679026386如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用上表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性．【解析】

为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据，如下图．可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适．由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理．思考5►►►你能根据居民用水的频率分布直方图提供的信息，估计出样本的平均数、中位数和众数吗？中位数即第50百分位数，由于0.077×3＝0.231，(0.077＋0.107)×3＝0.552，因此中位数落在区间[4.2,7.2)内．设中位数为x，由0.077×3＋0.107×(x－4.2)＝0.5，得x≈6.71，所以中位数约为6.71.在频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值．平均数：频率分布直方图中每个小矩形面积乘以各个小矩形底边中点的横坐标的和．中位数：把频率分布直方图分成面积相等的左右两部分．众数：最高矩形的底边中点的横坐标．例3某高中教师从高一学生的数学成绩中随机抽取40名学生的成绩，分成六段：[40,50)，[50,60)…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中实数a的值；(2)估计这40名学生的成绩的众数、中位数和平均数．【解析】(1)a＝(1÷10)－(0.005＋0.01＋0.02＋0.025＋0.01)＝0.030.众数为75；设中位数为x，因为前三个矩形面积之和为0.35，第四个矩形面积为0.3,0.35＋0.3＝0.65>0.5，所以中位数位于第四个矩形内，所以0.35＋0.03(x－70)＝0.5，所以x＝75，即中位数为75.目前用外卖网点餐的人越来越多，现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图，其中等餐所需时间的范围是[0,120]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]．【解析】(1)由频率分布直方图，得(0.02＋x＋0.008＋0.004＋0.002＋0.002)×20＝1，解得x＝0.014.(1)求频率分布直方图中x的值；(2)利用频率分布直方图估计样本的众数、中位数．因为(0.002＋0.004＋0.014)×20＝0.4<0.5，所以中位数位于[60,80)．设中位数为x，则(0.002＋0.004＋0.014)×20＋(x－60)×0.02＝0.5，解得x＝65，故中位数为65.检测反馈245131.从某中学抽取100名学生进行阅读调查，发现每位同学的年阅读量都在50篇至350篇之间，频率分布直方图如图所示，则下列结论中正确的是(

)A.a的值为0.004B.平均数约为200C.中位数大约为183.3D.众数约为35024513【答案】C245132.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能值的和为(

)A.6 B.8C.12 D.1424513【答案】C245313.(多选)对于一组数据1,2,3,4,6,8,8,8，下列说法中正确的是(

)A.中位数为4 B.平均数为5C.众数为8 D.第40百分位数是4【答案】BCD245314.某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙3个班中，按分层随机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间(单位：h)，数据如下：甲66.577.58

乙6789101112

丙34.567.5910.51213.5估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间为________.24531【答案】8.2h245315.(2023通辽高一阶段练习)某实验中学对选择生物学学科的200名学生的高一下学期期中考试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知成绩均在区间[40,100]内，不低于90分视为优秀，低于60分视为不及格．同一组中的数据用该组区间的中间值作代表值．24531【解析】(1)成绩在区间[70,80)内的频率为0.03×10＝0.3，所以在区间[70,80)内应抽取40×0.3＝12(人)．(1)根据此次成绩采用分层随机抽样法从中抽取40人开座谈会，求在区间[70,80)内应抽取多少人？(2)根据频率分布直方图，估计这次考试成绩的平均数、众数和中位数．24531(2)成绩在区间[40,50)内的频率为0.01×10＝0.1；区间[50,60)内的频率为0.015×10＝0.15；区间[60,70)内的频率为0.02×10＝0.2；区间[70,80)内的频率为0.03×10＝0.3；区间[80,90)内的频率为0.015×10＝0.15；区间[90,100]内的频率为0.01×10＝0.1，估计这次考试成绩的平均数为45×0.1＋55×0.15＋65