福建省漳州市七校2024年高考冲刺数学模拟试题含解析

福建省漳州市七校2024年高考冲刺数学模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知椭圆3+==1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为耳、F2,过及的直线交椭圆于A,B两点,交y轴于点

ab

若耳、M是线段4B的三等分点，则椭圆的离心率为（）

2.已知命题〃：任意都有log2x22；命题4：a>b9则有〃则下列命题为真命题的是（)

A.P^QB.p八5q）C.D.vq

3.函数尸""kinZx的图象可能是

A.1B.2C.3D.7

5.（x+l）（2x+l）（3x+l）…（nx+D（〃eN*）的展开式中x的一次项系数为（）

A.C：B.%C.C；；-1D,2

6.若样本1+%：1+%,l+w，,1+七的平均数是10,方差为2,则对于样本2+2为,2+2々,2+2%,.，2+2%,下列

结论正确的是（）

A.平均数为20,方差为4B.平均数为11,方差为4

C.平均数为21,方差为8D.平均数为20,方差为8

7.已知双曲线=-/=1的一条渐近线方程是丁=3％,则双曲线的离心率为（）

CL3

A73RV6「君n2百

3323

y>x

8.已知x,y满足<x+y«2,且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则。的值是（）

x>a

321

A.4B.—C.—D・一

4114

9.集合A={x,2_%_2<0},3={尤|%-1<。},则AB=（）

A.1}B.|x|-l<x<l）

C.{x|x<2}D.|x|-2<x<1}

22

10.已知双曲线C：二—与=l（a>0/>0）的实轴长为2,离心率为2,耳、与分别为双曲线c的左、右焦点，点

ab

尸在双曲线C上运动，若△耳7线为锐角三角形，则归叫+卢闾的取值范围是（）

A.（2A/7,8）B.（275,7）C.（26,8）D.（2屿,7）

11.已知AB是过抛物线/=4x焦点厂的弦，。是原点，则。4.08=（）

A.-2B.-4C.3D.-3

12.已知向量a,6满足|a|=l,仍1=2,且a与人的夹角为120。，则k-34=（）

A.而B.后C.2A/10D.V?3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y=e'（f+2）在点（0,2）处的切线方程为.

-I.•

14.已知复数z满足一=i（i为虚数单位），则复数z的实部为

z

|尤2+5%+4x«0

r1，-

15.已知函数，（幻=<,:-，若函数丁=/（幻—恰有4个零点，则实数。的取值范围是

2|x-2],x>0

16.已知函数〃x）=65皿21+9）-85（2%+0）（0<°<兀）是定义在尺上的奇函数，则/的值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名

2221

同学答对的概率都是彳，乙班三名同学答对的概率分别是彳，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响.

（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件4,求事件A发生的概率；

（2）用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望.

_1,

18.（12分）已知点P是抛物线C:y=工厂-3的顶点，A,5是C上的两个动点，且pA./>5=—4.

（1）判断点。（0,1）是否在直线AB上？说明理由；

（2）设点M是△砂的外接圆的圆心，点M到x轴的距离为d,点N（l,0）,求|"N|-d的最大值.

19.（12分）对于正整数〃，如果左（左eN"）个整数如a2,...,如满足1Wq</（W<"，

且见+出+…+/="，则称数组（％，a2,...,以）为九的一个“正整数分拆”.记％，a2,...,如均为偶数的“正整数分

拆”的个数为力，&%…，氏均为奇数的“正整数分拆”的个数为g“.

（I）写出整数4的所有“正整数分拆”；

（II）对于给定的整数〃（〃24）,设（如%，…，%）是〃的一个“正整数分拆“，且4=2,求上的最大值；

（III）对所有的正整数〃，证明：力<g,;并求出使得等号成立的九的值.

（注:对于九的两个“正整数分拆”（a为,...,以）与（4，%…，々”），当且仅当人=7"且4=%出=%…，ak=bm

时，称这两个“正整数分拆”是相同的.）

20.（12分）如图在直角AABC中，B为直角,AB=2BC,E,尸分别为AB,AC的中点，将AAER沿环折起,

使点A到达点。的位置，连接BD,CD,M为CD的中点.

（I）证明：板，面5C。；

（II）若DELBE,求二面角E—MF—C的余弦值.

21.（12分）如图，在四面体ZMBC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求证:平面ABC，平面AC。；

(2)若NC4D=30。，二面角C—AB—。为60，求异面直线AD与所成角的余弦值.

22.(10分)已知数列｛4｝为公差不为零的等差数列，S“是数列｛4｝的前几项和，且4、为、%成等比数列，跖=49.

设数列也｝的前几项和为Tn,且满足log?(1+2)=6二.

(1)求数列｛?｝、也｝的通项公式；

(2)令q证明:q+c++c„<3.

b2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据题意，求得6的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.

【详解】

由已知可知，M点为AF1中点，可为BM中点,

故可得X耳+=2%M=。，故可得—C;

1221

代入椭圆方程可得C二+v3=1,解得y=土b幺，不妨取以=b幺，

a"b'aa

(b2}

故可得4点的坐标为c,一

、aJ

则M0,—,易知3点坐标—2c,-丁

、2a/I2a)

J?

将B点坐标代入椭圆方程得4=5,2,所以离心率为二,

5

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得A瓦7点的坐标，属中档题.

2、B

【解析】

先分别判断命题，q真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.

【详解】

。为真命题；命题q是假命题，比如当

或。=1,6=—2时,则标>尸不成立.

贝!|2入4,(可)A([q),(「p)vq均为假.

故选:B

【点睛】

本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.

3、D

【解析】

分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在4,兀)上的符号，即可判断选择.

详解：令/(%)=2®sin2x,

因为九£氏/(一%)=2Tsin2(-％)=-2Msin2x=一于(x),所以f(x)=2凶sin2x为奇函数，排除选项A,B;

jr

因为^^(,，兀)时，/(%)<0,所以排除选项C,选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值

域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性;

（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复.

4、D

【解析】

求出（2%+1）3展开项中的常数项及含X的项，问题得解。

【详解】

（2%+1）3展开项中的常数项及含X的项分别为：

C1（I）3（2x）°=1,C；（2x）ixl2=6%,

所以,+!|（2x+l）3展开式中的常数项为：Ixl+Jx6x=7.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。

5、B

【解析】

根据多项式乘法法则得出x的一次项系数，然后由等差数列的前〃项和公式和组合数公式得出结论.

【详解】

由题意展开式中X的一次项系数为1+2++〃=女士D=

2

故选:B.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数.同时本题考查了组合数公式.

6、D

【解析】

由两组数据间的关系，可判断二者平均数的关系，方差的关系，进而可得到答案.

【详解】

样本1+尤］,1+%,1+%,•』+x”的平均数是10,方差为2,

所以样本2+2的,2+2工2,2+213,…,2+2%的平均数为2x10=20,方差为2?x2=8.

故选:D.

【点睛】

样本西,々,％3,…，X"的平均数是x，方差为/，则叼+6,4尤2+。@3+仇，吗+6的平均数为OX+。,方差为a2s2.

7、D

【解析】

222

双曲线的渐近线方程是y=±4x,所以工=走，即。=百/=1,c=a+b=4，即c=2,e=-=1V3,

aa3a3

故选D.

8、D

【解析】

y-xx-a

试题分析：先画出可行域如图：由{-c，得3(1,1),由{,得C(a,a),当直线z=2x+y过点8(1,1)时，

x+y=2y-x

目标函数z=2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z=2x+y过点C(a,a)时，目标函数z=2x+y取得最小值,

最小值为3a；由条件得3=4x3。，所以。=工，故选D.

考点：线性规划.

9、C

【解析】

先化简集合A,B,结合并集计算方法，求解，即可.

【详解】

解得集合A=卜卜―2)(x+1)<0}={x\-l<x<2},B=<1}

所以4°5={尤归<2},故选C.

【点睛】

本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B,难度较小.

10、A

【解析】

2

由已知先确定出双曲线方程为好一］_=1,再分别找到△耳pg为直角三角形的两种情况，最后再结合

I尸耳尸鸟1=2即可解决.

【详解】

由已知可得2。=2,-=2,所以a=i,c=2,6=Jc2_q2=6,从而双曲线方程为

2

x2-^-=l,不妨设点P在双曲线C右支上运动，则|所卜归闾=2,当|PR」P闾时，

此时阀「+归研=16=（四|-|尸闾）2+2附||尸闾，所以|尸制尸引=6,

（|尸N+1尸"|）2=|PG「+|p闾2+2|尸用户阊=28,所以户胤+户闾=2不；

当忸耳艮x轴时，归耳「=归6「+16,所以归耳|+|尸闾=g=8,又鸟为锐角三

角形，所以|W|+|P闾e（2j7,8）.

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到△耳「鸟为锐角三角形的临界情况，即△耳P8为直角三角形,

是一道中档题.

11、D

【解析】

设A”，X,B］、—，为，设AB：x=my+l,联立方程得到以为=.，计算

22

OAOB=岂萨+%%得到答案.

【详解】

设A，B,y2,故OAOB=%为+.

I4）I4）16

x=my+1

易知直线斜率不为0,设AB：x=my+l9联立方程21，

[y=4x

22

得到y2—4加y—4=0,故X%=_4,故。4.08=277^+^1^=-3-

16

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为％=砂+1可以简化运算，是解题的关键.

12、D

【解析】

先计算。力，然后将卜-3。|进行平方,，可得结果.

【详解】

由题意可得：

a-b=|a||z?|cosl20=1x2x]—g)=—l

(a-36)-a-6a-b+9b^=1+6+36=43

贝!11a-3Z?|=J43.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、y=2x+2

【解析】

对函数求导，得出在(0,2)处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.

【详解】

令〃x)=e«2+2),r(x)=eX(/+2x+2),所以尸(0)=2,又/(0)=2,.•.所求切线方程为)，-2=2彳，即

y=2x+2.

故答案为：y=2x+2.

【点睛】

本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基

础题.

14、2

【解析】

利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案.

【详解】

2=9===2—，，所以复数z的实部为2.

II

故答案为：2

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

15、(1⑶

【解析】

函数V=/(x)—。国恰有4个零点，等价于函数/(x)与函数y=a|x|的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用

数形结合思想进行求解即可.

【详解】

函数y=/(X)-a国恰有4个零点，等价于函数/(X)与函数y=的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图

故答案为：(1,3)

【点睛】

本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.

16、—0

【解析】

先利用辅助角公式将/(%)=若sin(2%+O)-cos(2x+°)转化成/(x)=2sin|2x+。，根据函数是定义在R

上的奇函数得出(P=弓,从而得出函数解析式，最后求出ff]即可.

【详解】

解:/(x)=A/3sin(2%+^)-cos(2x+(p)=2sin^2x+^-^,

又因为/(x)定义在R上的奇函数，

贝!|/(O)=2sin12xO+Q—W1=O,

则0—2=左乃，又因为

所以9=g,/(x)=2sin(2x),

所以/[一小=2sin]—(x2]=一忘.

故答案为：-行

【点睛】

本题考查三角函数的化简,三角函数的奇偶性和三角函数求值，考查了基本知识的应用能力和计算能力，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)匕(2)分布列见解析，期望为20

243

【解析】

(1)利用相互独立事件概率公式求解即可；

(2)由题意知，随机变量X可能的取值为0,10,20,30,分别求出对应的概率，列出分布列并代入数学期望公式求解即

可.

【详解】

0001A

（1）由相互独立事件概率公式可得,P（A）=（可义.xW）义（3义a义不）=淑

（2）由题意知，随机变量X可能的取值为0,10,20,30.

P(x=o)=cf1-1।4

p(x=io)=cj<71-|

24

P(X=20)=C

39

8

P(X=30)=C

27,

所以，X的概率分布列为

X0102030

1248

P

279927

1948

所以数学期望E（x）=oX—+10x-+20x-+30x—=20.

279927

【点睛】

本题考查相互独立事件概率公式和离散型随机变量的分布列及其数学期望;考查运算求解能力;确定随机变量可能的取

值，求出对应的概率是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

18、（1）不在，证明见详解；（2）质+1

8

【解析】

（1）假设直线方程丫=履+6,并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算P/4.P3=T，可得b=-1，然后验证可

得结果.

（2）分别计算线段PAP6中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点〃的轨迹方程丁=2必，然后可得焦

+g,计算可得结果.

点尸，结合抛物线定义可得|MN|-司

【详解】

（1）设直线方程、=履+6,A（石,乂）,3（%2，%）

根据题意可知直线斜率一定存在，P（0,-3）

y=kx+b

则12—4立—4(3+b)=0

y=「3

=T(3+>),％+x,=4k

A=(-4A;)2+16/7+48

PA=(x1,yl+3),PB=(x2,y2+3)

则丛=%%+(%+3)(%+3)

PA-PB=x1x2+y1y2+3(y1+y2)+9

2

yxy2=(fct,+Z?)(fcr2+b^—lcxix2+姑(石+x2)+Z7

%+%=kx^+b+kx2+b=k(^xl+x2^+2b

11

PAPB=[k+1)西无2+(3左+祐)(玉+x2)+b+6Z>+9

由PAP5=T

所以(k~+1)+(3k+kb)(x[+/)+〃+6b+9=—4

将XjX2=T(3+5),玉+%=4左代入上式

化简可得^+2人+1=0,所以3=—1

则直线方程为丁=辰-1,

所以直线过定点(O,—l),A=(^)2+16/7+48>0

所以可知点。(0,1)不在直线上.

⑵设以(应，坨)

线段的中点为

线段的中点为■，上U]

M+3

则直线PA的斜率为kPA=)—,

不

直线PB的斜率为kpB=比生

y,-3x

可知线段PA的中垂线的方程为丁-=——彳x-1-

2%+3

14x2

由％=:片—3,所以上式化简为丁=——尸+±-1

4x18

4%2

即线段的中垂线的方程为y=——了％+力—1

玉8

同理可得：

4-

线段总的中垂线的方程为y=--r龙+十--1

.%8

2

4%21

V=-----+~1

%2832

则=><

4X：石2+x；+Xj%2—8

y=——-x+--ly=

x；8M32

由（1）可知：芯+九2=4匕菁%2=-4（3+/?）=—8

X1X2（演+%2）

“=

32XM=k

所以＜

石2+X；+石工2—8=2k之

%二

32

即〃（左,2左2）,所以点"轨迹方程为y=2/

焦点为p[o,g],

1

所以|2W|-d=|施v|-+-

8

当M,N,尸三点共线时，|MN|-d有最大

所以|MN|—d=|M^|-|MF|+|<|A^F|+|=聋±1

【点睛】

本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处b,第（2）问中关键在于得到点M的轨迹方程，直

线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.

19、（I）（1,1,1,1），（1,1,2）,（1,3）,（2,2）,（4）；（II）〃为偶数时，k=g〃为奇数时，左=?；（皿证明

见解析，〃=2,〃=4

【解析】

(I)根据题意直接写出答案.

nn—1

(H)讨论当〃为偶数时，上最大为左=7,当〃为奇数时，上最大为左==，得到答案.

(HI)讨论当n为奇数时，fn=0,至少存在一个全为1的拆分，故力＜g”，当n为偶数时，

根据对应关系得到力＜g，，再计算&=g2=l,h=gA=2,得到答案.

【详解】

(I)整数4的所有“正整数分拆”为：(1,1,1,1),(1,1,2),(1,3),(2,2),(4).

(II)当九为偶数时，%=4=%=•••=%=2时，攵最大为左=5；

72—1

当R为奇数时9=出=。3=…=%一1=2,%=3时，k最大为k————；

综上所述：”为偶数，上最大为左=—V!,〃为奇数时，攵最大为人=■n—.1

(III)当〃为奇数时，f“=0,至少存在一个全为1的拆分，故力＜g„；

当”为偶数时，设(4,%，••・，%)是每个数均为偶数的“正整数分拆”，

则它至少对应了和(LL…9-1,4一1，…，为—1)的均为奇数的“正整数分拆”，

故力＜g”.

综上所述：fn＜gn.

当〃=2时，偶数“正整数分拆”为⑵，奇数“正整数分拆”为(U),于2=g2=L

当”=4时，偶数“正整数分拆”为(2,2),(4),奇数“正整数分拆”为(1,3)

故力==2；

当“26时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故

fn＜g"♦

综上所述：使力=g〃成立的〃为：〃=2或"=4.

【点睛】

本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

20、(I)详见解析；(H)且.

3

【解析】

(I)取中点N,连结肱V、E7V,四边形是平行四边形，由EFLBE，EF工DE,得EF工平面BDE,

从而EF工EN,MF±MN,求出MR_LCD,由此能证明MF1_L平面BCD.

(II)以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x,V,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角

E—"F—C的余弦值.

【详解】

证明：(I)取。8中点N,连结MN、EN,

,：MN-BC,EF\[-BC,

=2=2

四边形是平行四边形，

VEFLBE,EF工DE,BEEF=E,

二EF_L平面

:.EF±EN,：.MF±MN,

在ANC中，DF=FC,

又：〃为CD的中点，•••MPLCD,

又•:MFMN=M,7WF_L平面BCD.

解：(II):DE_LBE,DE±EF,BEEF=E,

Z)E_L平面3£F,

以E为原点，BE、EF、矶)所在直线分别为x,丁，z轴，建立空间直角坐标系，

设BC=2,则E（0,0,0）,F（0,1,0）,C（-2,2,0）,M（-1,1,1）,

/.££=（0,1,0）,FM=（-1,0,1）,CF=（2,-1,0）,

设面EMF的法向量m=(尤,y,z),

m-EF=7y=0

则取x=l得加=（1,0,1）,

m-FM=-x+z=0

同理，得平面的法向量〃=(1,2,1),

设二面角E-MF-C的平面角为0,

m-n

贝I]cos6==3

\m[\n\3

•*.二面角E—A1F—C的余弦值为走

3

【点睛】

本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分

析求解能力，属中档题.

21、(1)证明见解析

⑵近

6

【解析】

(1)取AC中点b，连接得DFLAC,可得E4=EB=FC,

可证DFS.DFB,可得。进而D-，平面ABC,即可证明结论；

(2)设瓦G,“分别为边4瓦。,5。的中点，连DE,EF,GF,FH,HG,可得GN//A。，GH//BC,EF//BC,

可得NFGH(或补角)是异面直线AD与所成的角，BC±AB,可得即，AB,NDEF为二面角C—AB—D

的平面角，即ND£F=60，设AD=a,求解AFGH,即可得出结论.

【详解】

(1)证明:取AC中点/，连接

由DA=DC,则DBLAC,

AB1BC,则用=用=尸。，

JT

故DFA^DFB,ZDFB=ZDFA=-,

DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

.•.OF，平面ABC,又。尸u平面AC。，

故平面ABC_L平面ACD

(2)解法一:设G,H分别为边。,8。的中点，

则/G//AD,G〃/ABC,

ZFGH(或补角)是异面直线AQ与所成的角.

设E为边的中点，则即/ABC,

由知所，AB.

又由（1）有。尸，平面ABC,，。A8,

EF。/=£AB,平面Z>E”..DE，Afi.,

所以NDEF为二面角C—AB—D的平面角，.•./£>石尸=60，

设。4=£>。=。3=之则£）尸=4£>./04£>=0

-2

在RtADEF中,EF^--—^—a

236

从而GH=LBC=EF=®a

26

在RNBDF中,FH=-BD=-,

22

又FG=LAD=«,

22

从而在.FGH中,因FG=EH,

-GH0

:.cosZFGH=2——=—'

FG6

解法二:过点歹作府，AC交AB于点M,

由（1）易知尸CEO,外f两两垂直，

以r为原点，射线刊W,尸。,尸。分别为x轴，

y轴，z轴的正半轴，