1.5.1解直角三角形的应用

解直角三角形的应用（2015•江西校级模拟）数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（）A．0组 B．一组 C．二组 D．三组【考点】解直角三角形的应用；相似三角形的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于（1）（3），根据AB=即可解答．【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；第③组中设AC=x，AD=CD+x，AB=，AB=；因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB．故选D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，，60千米/小时≈16.7米/秒）【考点】解直角三角形的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由于A到BC的距离为30米，可见∠C=90°，根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度，与60千米/小时进行比较即可．【解答】解：（1）法一：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC=30，∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．…（5分）法二：在BC上取一点D，连接AD，使∠DAB=∠B，则AD=BD，∵∠BAC=75°，∴∠DAB=∠B=15°，∠CDA=30°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=30，∠CDA=30°，∴AD=60，CD=，BC=60+≈112（米）…（5分）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7（米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．…（8分）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键．（2014•白云区校级模拟）如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【考点】解直角三角形的应用；圆柱的计算．【专题】压轴题．【分析】首先根据液体的体积相等可求得液体在乙中的高度．在直角三角形中，求得直角边为4cm，斜边是8cm，可以求出另一直角边就是12cm，然后根据三角形的面积可知直角三角形的斜边上的高是6cm，所以可求出乙杯中的液面与图中点P的距离．【解答】解：甲液体的体积等于液体在乙中的体积．设乙杯中水深为xcm，则AP=AB=4cm，则π×（2）2×16=π×（4）2×x，解得x=4．在直角△ABP中，已知AP=4cm，AB=8cm，∴BP=12cm．根据三角形的面积公式可知直角△ABP斜边上的高是6cm，所以乙杯中的液面与图中点P的距离是16﹣6﹣4=6（cm）．故选：C．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，是一道圆柱与解直角三角形的综合题，要求乙杯中的液面与图中点P的距离，就要求直角三角形中的高和乙杯中的液体的高度．（2012•宜昌）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°（tan27°≈0.51），此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米 B．20米 C．16米 D．12米【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题；探究型．【分析】直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BC•tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入进行计算即可．【解答】解：∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC•tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入得，AB≈24×0.51≈12米．故选D．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．（2011•台湾）如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分（）A． B．16+π C．18 D．19【考点】解直角三角形的应用；钟面角．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分得出AD=10，进而得出A′C=16，从而得出A′A″=3，得出答案即可．【解答】解：连接A″A′，∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．∴AD=10，∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，∴A′C=16，∴AO=A″O=6，则钟面显示3点50分时，∠A″OA′=30°，∴A′A″=3，∴A点距桌面的高度为：16+3=19公分．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形以及钟面角，得出∠A′OA=30°，进而得出A′A″=3，是解决问题的关键．（2008•枣庄）如图，两个高度相等且底面直径之比为1：2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（）A．cm B．6cm C．8cm D．10cm【考点】解直角三角形的应用；圆柱的计算．【专题】压轴题．【分析】首先根据液体的体积相等可求得液体在乙中的高度．在直角三角形中，求得直角边为4cm，斜边是8cm，可以求出另一直角边就是12cm，然后根据三角形的面积可知直角三角形的斜边上的高是6cm，所以可求出乙杯中的液面与图中点P的距离．【解答】解：甲液体的体积等于液体在乙中的体积．设乙杯中水深为x，则π×12×16=π×48×x，解得x=4．在直角△ABP中，已知AP=4cm，AB=8cm，∴BP=12cm．根据三角形的面积公式可知直角△ABP斜边上的高是6cm，所以乙杯中的液面与图中点P的距离是16﹣6﹣4=6（cm）．故选B．【点评】本题是一道圆柱与解直角三角形的综合题，要求乙杯中的液面与图中点P的距离，就要求直角三角形中的高和乙杯中的液体的高度．（2006•新疆）如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO=a，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（）A．（60+100sina）cm B．（60+100cosa）cmC．（60+100tana）cm D．以上答案都不对【考点】解直角三角形的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】墙角O到前沿BC的距离OE是O到AD的距离加上AD与BC的距离60cm．【解答】解：根据直角三角形的边角关系，O到AD的距离=100sinacm．∵AD与BC的距离60cm．∴OE=（60+100sina）cm．故选A．【点评】本题考查了三角函数定义的应用．（2006•佛山）如图，矩形草坪ABCD中，AD=10m，AB=10m．现需要修一条由两个扇环构成的便道HEFG，扇环的圆心分别是B、D．若便道的宽为1m，则这条便道的面积大约是（）（精确到0.1m2）A．9.5m2 B．10.0m2 C．10.5m2 D．11.0m2【考点】解直角三角形的应用；扇形面积的计算．【专题】压轴题．【分析】由四边形ABCD为矩形得到△ADB为直角三角形，又∵AD=10，AB=10，由此利用勾股定理求出BD=20，又∵cos∠ADB==，∴∠ADB=60°，又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，所以每个扇环都是圆心角为30°且外环半径为10.5，内环半径为9.5．这样可以求出每个扇环的面积．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴△ADB为直角三角形，又∵AD=10，AB=10，∴BD==20，又∵cos∠ADB==，∴∠ADB=60°．又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，所以每个扇环都是圆心角为30°，且外环半径为10.5，内环半径为9.5．∴每个扇环的面积为=．∴当π取3.14时整条便道面积为=10.4666≈10.5m2．便道面积约为10.5m2．故选C．【点评】此题考查内容比较多，有勾股定理、三角函数、扇形面积，做题的关键是把实际问题转化为数学问题．（2005•海南）如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l1=5.2m、l2=6.2m、l3=7.8m、l4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【考点】解直角三角形的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】根据30度直角边等于斜边一半，高是5，然后用勾股来算；或根据正弦函数等于对边比斜边即可解答．【解答】解：方法1：∠ACD=90°﹣60°=30°，设拉线AC=x，则AD=x，则．x2=（x）2+52，AC=x=≈5.77，AC=x=﹣（不合题意舍去）．方法2：如图CD=5米，∠A=60°∴AC===≈5.77米所以最好选用l2故选B．【点评】此题主要考查三角函数的运用能力．（2005•湘潭）如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB为（）A．（+1）米 B．（+）米 C．3米 D．（+1）米【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形，我们所要求的AO、BO都是已知角45°、60°的邻边，所以可根据余弦定义解题．首先求出AO，BO，然后求出AB．【解答】解：由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形．∵cos45°==，∴；而cos60°==，∴BO=．∴AB=AO+BO==．故选A．【点评】此题主要考查余弦定义，在本题中用了两次余弦定义，分别求出AO和BO，从而求出AB．（2003•绍兴）身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（）同学甲乙丙放出风筝线长100m100m90m线与地面交角40°45°60°A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低【考点】解直角三角形的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用所给角的正弦函数可得到垂直高度，比较即可．【解答】解：甲所放风筝的高度为100sin40°；乙所放风筝的高度为100sin45°≈70米；丙所放风筝的高度为90sin60°≈78米．而100sin40°＜100sin45°，因此可知丙的风筝飞得最高，乙次之，而甲最低．故选B．【点评】本题考查解直角三角形在实际生活中的应用．（2002•福州）如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】求出三角形地的面积即可求解．如图所示，作BD⊥CA于D点．在Rt△ABD中，利用正弦函数定义求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．【解答】解：如图所示，作BD⊥CA于D点．∵∠BAC=150°，∴∠DAB=30°，∵AB=20米，∴BD=20sin30°=10米，∴S△ABC=×30×10=150（米2）．已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要150a元．故选C．【点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．（2000•甘肃）若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10米，则树高h的范围是（）（）A．3＜h≤5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．h＞15【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】如图所示，BC为树高h，AC=10为影长，∠A=37°，求BC，∵BC⊥AC，∴tan∠a=，即BC=ACtan37°=10tan37°，又∵30°＜37°＜45°∴tan30°＜tan37°＜tan45°，即＜tan37°＜1，由此可以求出树高h的范围．【解答】解：如图所示，BC为树高h，AC=10为影长，∠A=37°，∵BC⊥AC，∴tan∠a=，即BC=ACtan37°=10tan37°，又∵30°＜37°＜45°，∴tan30°＜tan37°＜tan45°，即＜tan37°＜1，∴10×＜h＜10，当时，5＜h＜10．故选B．【点评】此题主要考查特殊角度的三角函数值和应用，关键是把实际问题抽象到解直角三角形中．（2014•无锡模拟）如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为19公分．【考点】解直角三角形的应用；钟面角．【专题】压轴题．【分析】根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分得出AD=10，进而得出A′C=16，从而得出FA″=3，得出答案即可．【解答】解：∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．∴AD=10，∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，∴A′C=16，∴AO=A″O=6，则钟面显示3点50分时，∠A″OA′=30°，∴FA″=3，∴A点距桌面的高度为：16+3=19公分．故答案为：19．【点评】此题主要考查了解直角三角形以及钟面角，得出∠A′OA=30°，进而得出FA″=3，是解决问题的关键．（2012•沭阳县一模）如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为10米．（保留根号）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题；探究型．【分析】如图，因为60°的角是△ABC的一个外角，且∠B为30°已知，所以根据三角形外角和可知∠CAB=30°，即AC=BC=10m，从而利用△ABD求出BD的长，即可求出CD，利用30°角的余弦值，进而求出AB．【解答】解：如图，作AD⊥CD于D点．∵∠B=30°，∠ACD=60°，∠ACD=∠B+∠CAB，∴∠CAB=30°．∴BC=AC=10m，在Rt△ACD中，CD=AC•cos60°=10×0.5=5m，∴BD=15．∴在Rt△ABD中，AB=BD÷cos30°=15÷=10m．故答案为：10．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．（2011•莆田）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为5．【考点】解直角三角形的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】延长AC交x轴于B′．根据光的反射原理，点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．路径长就是AB′的长度．结合A点坐标，运用勾股定理求解．【解答】解：如图所示，延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4．∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．即光线从点A到点B经过的路径长为5．【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键．（2011•福建）如图，小亮在太阳光线与地面成35°角时，测得树AB在地面上的影长BC=18m，则树高AB约为12.6m（结果精确到0.1m）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】利用所给角的正切函数求解．【解答】解：tanC=，∴AB=tanC×BC=tan35°×18≈12.6（米）．故答案为12.6．【点评】此题主要考查三角函数定义的应用．一般角的三角函数值需要利用计算器计算．（2011•潼南县）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°，∠ACD=60°，则直径AD=260米．（结果精确到1米）（参考数据：，）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】根据假设CD=x，AC=2x，得出AD=x，再利用解直角三角形求出x的值，进而得出AD的长度．【解答】解：∵∠ABD=30°，∠ACD=60°，∴假设CD=x，AC=2x，∴AD=x，tanB==，∴=，解得：x=150，∴AD=x=×150≈260米．故答案为：260米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知假设出CD=x，AC=2x，从而表示出AD，进而利用解直角三角形的知识解决是解决问题的关键．（2010•义乌市）课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是13.9米．（结果保留3个有效数字，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】在Rt△ABC中，已知了直角边BC的长以及∠ACB的度数，可根据∠ACB的正切函数求出AB的长．【解答】解：Rt△ABC中，BC=24米，∠ACB=30°，∴AB=BC•tan30°=24×=8≈13.9（米）．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系式是解答此类题的关键．（2010•佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米．（假设夏至正午时的阳光与地平面的夹角是60°）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】当阳光正好射到D处时，阳光刚好不能射入窗户．则在直角△ABD中，已知AD=3米，∠ABD=60°，根据三角函数求解．【解答】解：直角△ABD中，已知AD=3米，∠ABD=60°．∵tan∠ABD=，∴AB===（米）．【点评】考查把实际问题转化为数学题的能力，正确理解正午时刻阳光刚好不能射入窗户的条件，是解决本题的关键．（2010•济宁）如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点，如果MC=n，∠CMN=α，那么P点与B点的距离为．【考点】解直角三角形的应用；轴对称的性质．【专题】压轴题．【分析】由于P点沿MN经边BC反弹到AB，那么∠PNB=∠MNC，即∠BPN=α，可在Rt△MNC中，用α和MC的长表示出NC，进而可求出BN的表达式；进一步可在Rt△PBN中，求出PB的长．【解答】解：由题意知：∠NPB=∠NMC=α．Rt△MNC中，MC=n，∠NMC=α，∴NC=MC•tanα=n•tanα，∴BN=BC﹣NC=m﹣n•tanα．Rt△BPN中，∠BPN=α，∵tanα=，∴PB•tanα=BN，∴PB=BN÷tanα=．故答案为：．【点评】此题是跨学科综合题，主要考查的是入射角等于反射角和解直角三角形的应用．（2010•天门校级模拟）如图，两个高度相等且底面直径之比为1：2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒人乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是6cm．【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】首先根据液体的体积相等可求得液体在乙中的高度，在直角三角形中，已知一直角边为4，斜边是8，可以求出另一直角边就是12，然后根据三角形的面积可知直角三角形的斜边上的高是6，所以可求出乙杯中的液面与图中点P的距离．【解答】解：把甲杯中的液体全部倒人乙杯，设此时乙杯中的液面高xcm．∵甲液体的体积等于液体在乙中的体积，∴即π×（2）2×16=π×（4）2×x，解得x=4，在直角三角形中，已知一直角边为4，斜边即是8，∴另一直角边就是12，∴根据三角形的面积公式可知直角三角形的斜边上的高是6，所以乙杯中的液面与图中点P的距离是16﹣6﹣4=6（cm）．故答案为6．【点评】本题是一道圆柱与解直角三角形的综合题，要求乙杯中的液面与图中点P的距离，就要求直角三角形中的高和乙杯中的液体的高度．（2010•西湖区校级模拟）身高1.7米的小明站在平坦的公路上，见前方有AB，CD两建筑物，这时还能从CD的上端见到AB的一部分，且他的视线与水平线的夹角α=30°，已知CD=16.7米高，若小明继续向前走到N的位置时，AB刚好被CD遮住，此时他的视线与水平线的夹角β=45°，则小明从M向N行进了（15﹣15）米．【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】将题目中的已知条件总结为CD=16.7，HM=GN=1.7，∠CHE=30°，∠CGE=45°，然后在两个直角三角形中求得DM和DN的长，相减即可求得MN的值．【解答】解：如图，由已知得：CD=16.7，HM=GN=1.7，∠CHE=30°，∠CGE=45°，∴CE=CD﹣HM=16.7﹣1.7=15米，∴EH=DM===15m在Rt△CEG中，∵∠CGE=45°，∴EG=DN=CE=15m∴MN=DM﹣DN=15﹣15∴小明从M向N行进了（15﹣15）米，故答案为：（15﹣15）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解．（2010•开福区模拟）如图，AB、CD是两栋楼，且AB=CD=30m，两楼间距AC=24m，当太阳光与水平线的夹角为30°时，AB楼在CD楼上的影子是16.2m．（精确到0.1m）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】过点B作BF交CD于F，过点F作FE⊥AB于点E，求出BE的长，则CD﹣BE即为甲楼的影子在乙楼上的高度．【解答】解：过点B作BF交CD于F，过点F作FE⊥AB于点E，∵太阳光与水平线的夹角为30°，∴∠BFE=30°，∵AC=EF=24m，∴BE=EF•tan30°=24×=8（m），∴CD﹣BE=（30﹣8）≈16.2m．答：甲楼的影子在乙楼上的高度约为16.2m．故答案为：16.2．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．（2009•黔南州）如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，tan∠BCA=4：3，则梯子AB的长度为5米．【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】在直角三角形ACB中利用锐角三角函数定义和勾股定理求解即可．【解答】解：由题意可知三角形ACB是直角三角形，∠ACB=90°，∵tan∠BAC=4：3，AC=3米，∴BC=4米，∴AB==5米，故答案为5．【点评】本题主要考查了正切函数和勾股定理的应用，题目比较简单．（2008•永州）一棵树因雪灾于A处折断，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为（）米．（答案保留根号）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】树高CB=AC+AB．解直角三角形ABC求解．【解答】解：∵AC⊥BC，∠ABC=45°，BC=4，∴AC=BC=4，AB=4，∴，即树未折断之前为（）米．【点评】解此题关键是把实际问题转化为数学问题，利用三角函数的定义解题即可．（2008•泰安）四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当AC⊥BD时（如左图），四边形ABCD的面积S=mn，那么当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图），四边形ABCD的面积S=mnsinθ．（用含m、n、θ的式子表示）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】设AC、BD交于O点，在①图形中，设BD=m，OA+OC=n，所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC，由此可以求出四边形的面积；在②图形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由于AC、BD夹角为θ，所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD•AE+BD•CF=BD•（AE+CF），由此也可以求出面积．【解答】解：如图，设AC、BD交于O点，在①图形中，设BD=m，OA+OC=n，所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=m•OC+m•OA=mn；在②图形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由于AC、BD夹角为θ，所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD•AE+BD•CF=BD•（AE+CF）=mnsinθ．故填空答案：mnsinθ．【点评】此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．（2006•新疆）林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示．现已知∠BAC=53°8′，AB=0.5米，则这棵大树的直径约为0.5米．【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】在直角三角形AOB中，运用三角函数定义求OB，即半径，由此求出树的直径．【解答】解：由题意可知∠OAB=∠BAC=26°34′，且OB=AB•tan∠OAB=0.5tan26°34′≈0.25，∴树的直径为2OB=0.5，【点评】此题关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到直角三角形中来考虑问题．（2006•泰州）为美化小区环境，某小区有一块面积为30m2的等腰三角形草地，测得其一边长为10m，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则其长度为2+10或20+2或20+6m．【考点】解直角三角形的应用．【专题】应用题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）如图，当底边BC=10m时，由于S=30m2，所以高AD=6，然后根据勾股定理求出AB，AC，最后求出三角形的周长；（2）①当△ABC是锐角三角形时，如图，当AB=AC=10m时，高CE=6m，根据勾股定理可以求出AE=8m，BE=2m，然后在RT△BEC中，可以求出BC，最后求出周长；②当△ABC是钝角三角形时，作AD⊥BC，设BD=xm，AD=hm，求出x的长，进而可得出△ABC的周长．【解答】解：（1）如图1，当底边BC=10m时，由于S=30m2，所以高AD=6m，此时AB=AC==（m），所以周长=（2+10）m；（2）①当△ABC是锐角三角形时，如图2，当AB=AC=10m时，高CE=6，此时AE=8m，BE=2m，在Rt△BEC中，BC=2m，此时周长=（20+2）m．②当△ABC是钝角三角形时，如图3，设BD=xm，AD=hm，则在Rt△ABD中，×2x×h=30，xh=30，，解得或（舍去），故△ABC是钝角三角形时，△ABC的周长=2×10+3=（20+6）（m），故填空答案：2+10或20+2或20+6．【点评】解此题关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到三角形中．另外要分类讨论．（2005•河北）如图是引拉线固定电线杆的示意图．已知：CD⊥AB，CD=m，∠CAD=∠CBD=60°，则拉线AC的长是6m．【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】利用60°的正弦值求解．【解答】解：AC=CD÷sin60°=6（米）．【点评】本题考查了正弦函数的应用．（2004•潍坊）某落地钟钟摆长为0.5m，来回摆到最大，夹角为20°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最高高度为bm，则b﹣a=，m．（结果精确到0.0001，参考数据cos10°=0.985）【考点】解直角三角形的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】依题意得到OA=OB=0.5，∠AOB=10°，AE=b，BD=a，b﹣a=BC=OB﹣OC，而CO可以根据三角函数求出，从而求出b﹣a了．【解答】解：作AC⊥OD于点C．依题意得OA=OB=0.5m，∠AOB=10°，AE=bm，BD=am．在Rt△ACO中，CO=OA•cos10°m，∴b﹣a=BC=OB﹣OC=0.5﹣OA•cos10°=0.5﹣0.5cos10°≈0.0075（m）．【点评】解本题的关键是把实际问题转化为数学问题，把实际问题抽象到解直角三角形中来，利用三角函数解题．（2004•龙岩）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为12m，∠A=26°，则中柱BC（C为底边中点）的长约为2.93m．（精确到0.01m）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】在Rt△ABC中运用三角函数定义求解．【解答】解：在△ABC中，BC⊥AC，AC=×跨度=6．∵tanA=且∠A=26°，∴BC=ACtan26°=6×tan26°≈2.93．【点评】此题主要考查了我们对正切知识的理解和应用，做题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到解直角三角形中来解决问题．（2003•荆门）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是5．【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题；跨学科．【分析】如图设A关于x轴的对称点A'坐标是（0，﹣1），作DB∥A'A，A'D∥OC，交DB于D，在Rt△A'BD中，利用勾股定理即可求出A'B，也就求出了从A点到B点经过的路线长．【解答】解：A关于x轴的对称点A'坐标是（0，﹣1）连接A′B，交x轴于点C，作DB∥A'A，A'D∥OC，交DB于D，故光线从点A到点B所经过的路程A'B===5．【点评】构造直角三角形是解决本题关键，属于中等难度题目．（2002•宁德）如图，建筑物甲、乙的楼高均为20米，在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30°，如果两楼间隔为18米，则楼甲的影子落在楼乙上的高度AB=（20﹣6）米（结果保留根号））．【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】在直角△ACD中，根据三角函数可求CD的长．CE﹣CD=AB．【解答】解：直角△ACD中：tan∠CAD=，∴CD=AD•tan∠CAD=18×tan30°=6．∴AB=20﹣CD=20﹣6．【点评】本题主要考查了三角函数定义的应用．（2001•嘉兴）如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长约为10m，则大树的长约为17m（保留两个有效数字，下列数据供选用：，）．【考点】解直角三角形的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】画出示意图，过树梢向地面引垂线，利用60°的正弦值求出CD后，进而利用30°的正弦值即可求得AC长．【解答】解：∵太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，作∠CBD=60°，则C在地面的影子是点B，‘即AB是大树在地面的影长，∵∠CAB=30°∠CBD=60°，∴∠ACB=30°．∴∠CAB=∠ACB．∴BC=AB=10．作CD⊥AB于点D．那么CD=BC×sin∠CBD=5，∴AC=CD÷sin30°=10≈17（m）．故答案为：17．【点评】本题考查锐角三角函数的运用，构造所求线段所在的直角三角形是难点．（1997•武汉）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10米，∠A=26°，则中柱BC（C为底边中点）的长约是2.44米（精确到0.01）附：①sin26°=0.4384②cos26°=0.8988③tan26°=0.4877④cot26°=2.0503．【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题；探究型．【分析】先根据等腰三角形的性质求出AC的长，再根据BC=AC•tan∠A即可得出结论．【解答】解：∵△ABD是等腰三角形，C为底边中点，AD=10米，∴BC⊥AD，AC=AD=×10=5米，∴BC=AC•tan∠A=AC•tan26°=5×0.4877≈2.44（米）．故答案为：2.44．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知等腰三角形的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键．（2015•嘉兴）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O′C⊥OA于点C，O′C=12cm．（1）求∠CAO′的度数．（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？【考点】解直角三角形的应用；旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OB•sin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解答】解：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D∵sin∠BOD=，∴BD=OB•sin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OB•sin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，正确的画出图形是解题的关键．（2014•佛山）我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．（1）如图，若B1B=30米，∠B1=22°，∠ABC=30°，求AC（精确到1）；（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73）（2）如图2，若∠ABC=30°，B1B=AB，计算tan15°的值（保留准确值）；（3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式，则无需化简）【考点】解直角三角形的应用；勾股定理．【专题】几何图形问题；压轴题；转化思想．【分析】（1）在Rt△ABC和Rt△AB1C中，利用三角函数，用AC分别表示出BC和B1C，根据B1B=B1C﹣BC，列方程求得AC的长；（2）设B1B=AB=x，在Rt△ABC中，利用三角函数用x表示出AC和BC的长，则B1C即可求得，根据正切的定义即可求解；（3）按照（1）（2）的规律，画出含有7.5°角、15°角和30°角的直角三角形，如答图3所示，利用勾股定理、等腰三角形的性质及正切的定义，求出tan7.5°的值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，tan∠ABC=，则BC==AC，同理，B1C=，∵B1B=B1C﹣BC，∴﹣AC=30，解得：AC≈39（米）；（2）∵B1B=AB，∴∠B1=∠B1AB=∠ABC=15°，设B1B=AB=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AC=AB=x，BC=x，∴B1C=x+x，∴tan15°====2﹣；（3）如答图3所示，图中三角形依次是含有7.5°角、15°角和30°角的直角三角形．设AC=a，则AB=2a，BC==a．∴B1B=AB=2a，∴B1C=2a+a=（2+）a．在Rt△AB1C中，由勾股定理得：AB1===2a，∴B2B1=AB1=2a，∴B2C=B2B1+B1C=2a+（2+）a∴tan7.5°=tan∠AB2C==∴tan7.5°=．【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．（2013•益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5°．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）【考点】解直角三角形的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】设PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置．【解答】解：设PD=x米，∵PD⊥AB，∴∠ADP=∠BDP=90°，在Rt△PAD中，tan∠PAD=，∴AD=≈=x，在Rt△PBD中，tan∠PBD=，∴DB=≈=2x，又∵AB=80.0米，∴x+2x=80.0，解得：x≈24.6，即PD≈24.6（米），∴DB=49.2（米）．答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．（2013•娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出关于x的方程，解出即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，则AD=CD•cot30°=CD=x，在Rt△BCD中，∠CBD=45°，则BD=CD=x，由题意得，AD﹣BD=AB，即x﹣x=4，解得：x==2（+1）≈5.5．答：生命所在点C的深度为5.5米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用．（2013•巴中）2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】过点C作CD⊥AB交AB于点D，则∠CAD=30°，∠CBD=60°，在Rt△BDC中，CD=BD，在Rt△ADC中，AD=CD，然后根据AB=AD﹣BD=4，即可得到CD的方程，解方程即可．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D．∵探测线与地面的夹角为30°和60°，∴∠CAD=30°，∠CBD=60°，在Rt△BDC中，tan60°=，∴BD==，在Rt△ADC中，tan30°=，∴AD==，∵AB=AD﹣BD=4，∴﹣=4，∴CD=2≈3.5（米）．答：生命所在点C的深度大约为3.5米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形，也考查了把实际问题转化为数学问题的能力．（2012•长春）如图，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架OA、OB的长均为108cm，支架OA与水平晾衣杆OC的夹角∠AOC为59°，求支架两个着地点之间的距离AB．（结果精确到0.1cm）[参考数据：sin59°=0.86，cos59°=0.52，tan59°=1.66]【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】作OD⊥AB于点D，在直角三角形OAD中，利用已知角的余弦值和OA的长求得AD的长即可求得线段AB的长．【解答】解：作OD⊥AB于点D，∵OA=OB∴AD=BD∵OC∥AB∴∠OAB=59°，在RtAOD中，AD=OA•cos59°，∴AB=2AD=2OA•cos59°=2×108×0.52≈112.3cm．答：支架两个着地点之间的距离AB约为112.3cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解．（2012•邵阳）某村为方便村民夜间出行，计划在村内公路旁安装如图所示的路灯，已知路灯灯臂AB的长为1.2m，灯臂AB与灯柱BC所成的角（∠ABC）的大小为105°，要使路灯A与路面的距离AD为7m，试确定灯柱BC的高度．（结果保留两位有效数字）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】如图，过点B作BE⊥AD，垂足为E，则四边形BCDE为矩形，根据矩形的性质和解直角三角形求解即可．【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD，垂足为E，则四边形BCDE为矩形．∴DE=BC，∠CBE=90°．∵∠ABC=105°，∴∠ABE=15°．在△ABE中，AB=1.2，∠ABE=15°，∴sin15°==，∴AE=1.2×sin15°≈1.2×0.26=0.312∴BC=DE=AD﹣AE=7﹣0.312=6.688≈6.7．答：灯柱BC的高度约为6.7m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答此题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，将求灯柱高的问题转化为解直角三角形的问题解答．（2012•渝北区一模）如图1，在平面直角坐标系中有一个Rt△OAC，点A（3，4），点C（3，0）将其沿直线AC翻折，翻折后图形为△BAC．动点P从点O出发，沿折线0⇒A⇒B的方向以每秒2个单位的速度向B运动，同时动点Q从点B出发，在线段BO上以每秒1个单位的速度向点O运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）如图2，固定△OAC，将△ACB绕点C逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△A′CB′设A′B′与AC交于点D当∠BCB′=∠CAB时，求线段CD的长；（3）如图3，在△ACB绕点C逆时针旋转的过程中，若设A′C所在直线与OA所在直线的交点为E，是否存在点E使△ACE为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】解直角三角形的应用；一次函数综合题；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；旋转的性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据勾股定理和折叠的性质易求得OA=AB=5，OB=6，可用t表示出OP、OQ的长，分两种情况讨论：①点P在线段OA上运动，即0≤t≤2.5，以OQ为底，OP•sin∠AOC为高，即可得S、t的函数关系式；②点P在线段AB上运动，即2.5＜t≤5，以OQ为底，BP•sin∠ABC为高，即可得S、t的函数关系式．（2）若∠BCB′=∠CAB，那么∠DCB′、∠ABC为等角的余角，而根据旋转的性质知：∠ABC=∠B′，通过等量代换后可发现此时D点是斜边A′B′的中点，即CD=A′B′，由此得解．（3）首先根据A点坐标，求出直线OP的解析式，然后设出点E的坐标；再根据A、C的坐标，分别表示出AE2、CE2的长，然后分三种情况讨论：①AE=CE，②AE=AC，③CE=AC；根据上述三种情况所得不同等量关系，即可求得符合条件的E点坐标．【解答】解：（1）由题意知：OA=AB=5，OC=BC=3，OB=6；P从O→A→B，所用的总时间为：（5+5）÷2=5s；Q从B→O所用的总时间为：6÷1=6；因此t的取值范围为：0≤t≤5；①当0≤t≤2.5时，点P在线段OA上；OP=2t，OQ=OB﹣BQ=6﹣t；∴S=×2t××（6﹣t）=﹣t2+t；②当2.5≤t≤5时，点P在线段AB上；OP=2t，BP=10﹣2t，OQ=6﹣t；∴S=×（10﹣2t）××（6﹣t）=t2﹣t+24；综上可知：S=．（2）∵∠BCB′=∠CAB，∴∠DCB′=∠ABC=90°﹣∠CAB=90°﹣∠BCB′，由旋转的性质知：∠ABC=∠B′，即∠DCB′=∠B′；∴∠A′=∠A′CD=90°﹣∠DCB′=90°﹣∠B′，∴A′D=DB′=CD，即CD=A′B′=AB=2.5．（3）由A（3，4），可得直线OA：y=x；设点E（x，x），已知A（3，4），C（3，0）；∴AE2=（x﹣3）2+（x﹣4）2，CE2=（x﹣3）2+（x）2，AC=4；①当AE=CE时，AE2=CE2，则有：（x﹣3）2+（x﹣4）2=（x﹣3）2+（x）2，解得x=，∴E1（，2）；②当AE=AC时，AE2=AC2=16，则有：（x﹣3）2+（x﹣4）2=16，整理得：25x2﹣150x+81=0，解得：x=，x=；∴E2（，），E3（，）；③当CE=AC时，CE2=AC2=16，则有：（x﹣3）2+（x）2=16，整理得：25x2﹣54x﹣63=0，解得：x=﹣，x=3（舍去）；∴E4（﹣，﹣）；综上可知：存在符合条件的E点：E1（，2），E2（，），E3（，），E4（﹣，﹣）．【点评】此题是一次函数的综合题，涉及到图形的旋转、图形面积的求法、等腰三角形的构成情况等知识，难度较大．（2012•石景山区一模）生活中，有人用纸条可以折成正五边形的形状，折叠过程是将图①中的纸条按图②方式拉紧，压平后可得到图③中的正五边形（阴影部分表示纸条的反面）．（1）将两端剪掉则可以得到正五边形，若将展开，展开后的平面图形是平行四边形；（2）若原长方形纸条（图①）宽为2cm，求（1）中展开后平面图形的周长（可以用三角函数表示）．【考点】解直角三角形的应用；图形的剪拼．【专题】压轴题．【分析】（1）实际操作一下即可得到展开后的平面图形是平行四边形；（2）过顶点A作对边垂线，垂足为H、I，…．求得∠ABI的度数后，用锐角三角函数表示总周长即可．【解答】解：（1）平行四边形…..（2分）（2）如图，过顶点A作对边垂线，垂足为H、I，…..（3分）则∠ABI=∠AEH==72°∴AB=AE==EH=AHtan18°=2tan18°∴总周长=4AB+2AE+4CE=+，（或）（sin72°可换成cos18°）…..（5分）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，及图形的拼剪，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．（2012•长春一模）从水平地面到水平观景台之间有一段台阶路和一段坡路，示意图如下．台阶路AE共有8个台阶，每个台阶的宽度均为0.5m，台阶路AE与水平地面夹角∠EAB为28°．坡路EC长7m，与观景台地面的夹角∠ECD为15°．求观景台地面CD距水平地面AB的高度BD（精确到0.1m）．[参考数据：sin28°=0.47，cos28°=0.88，tan28°=0.53；sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27]．【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】作EM⊥CD于M，EN⊥AB于N，在直角三角形ANE中求出EN的值，在直角三角形CME中，求出ME的值，进而求出BD的长．【解答】解：作EM⊥CD于M，EN⊥AB于N．在△ANE中，∠ENA=90°，，∵∠BAE=28°，AN=0.5×8=4m，∴EN=AN•tan28°=4×0.53=2.12m，在△CME中，∠CME=90°，sin∠ECM=，∵∠DCE=15°，EC=7m，∴ME=CE•sin15°=7×0.26=1.82m，∴NE+ME=2.12+1.82=3.94m，答：观景台地面CD距水平地面AB的高度BD约3.9m．【点评】此题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握三角函数在解直角三角形的应用，求出涉及的线段长度，难度一般．（2012•南关区校级模拟）如图所示，一辆吊车的吊臂以63°的倾角倾斜于水平面，如果这辆吊车支点A距地面的高度AB为2m，且点A到铅垂线ED的距离为AC=15m，求吊臂的最高点E到地面的高度ED的长．（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，精确到0.1m）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】在直角△ACE中利用三角函数即可求得EC的长度，ED=EC+AB据此即可求解．【解答】解：∵在直角△ACE中，tan∠EAC=，∴EC=AC•tan∠EAC=15tan63°≈15×1.96=29.4m，∴ED=EC+AB=29.4+2=31.4m．答：吊臂的最高点E到地面的高度ED的长是31.4m．【点评】本题考查了解直角三角形，正确求得ED的长是关键．（2011•营口）如图所示，点P表示广场上的一盏照明灯．（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）；（2）若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574）【考点】解直角三角形的应用；锐角三角函数的定义；中心投影．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）第一问作图相对简单，直接连接P点和小敏头顶，延长线和地面交点C和A的连线即为影子；（2）第二问．过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，要求P到地面的距离，由题可知，只需求出PD即可，而在三角形PDQ中，55°角的邻边数值已知，求对边，可用正切便可求出PD=3tan55°≈4.3（米），再加上眼睛高度1.6，便可求出照明灯到地面的距离为5.9米．【解答】解：（1）如图线段AC是小敏的影子；（2）过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，则PF⊥EQ，在Rt△PDQ中，∠PQD=55°，DQ=EQ﹣ED=4.5﹣1.5=3（米），∵tan55°=，∴PD=3tan55°≈4.3（米），∵DF=QB=1.6米，∴PF=PD+DF=4.3+1.6=5.9（米）答：照明灯到地面的距离为5.9米．（10分）【点评】解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，利用三角函数即可解答．（2011•宁德）图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知，斜屋面的倾斜角为25°，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求（1）真空管上端B到AD的距离（结果精确到0.01米）；（2）铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）．【考点】解直角三角形的应用；矩形的判定与性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】（1）过B作BF⊥AD于F．构建Rt△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．（2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD与ED的长，再用CD的长减去ED的长即可解答．【解答】解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF=，∴BF=ABsin∠BAF=2.1sin40°≈1.350．∴真空管上端B到AD的距离约为1.35米．…（4分）（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF=，∴AF=ABcos∠BAF=2.1cos40°≈1.609．…（6分）∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF=CD，BC=FD．…（7分）在Rt△EAD中，∵tan∠EAD=，∴ED=ADtan∠EAD=1.809tan25°≈0.844．…（9分）∴CE=CD﹣ED=1.350﹣0.844=0.506≈0.51∴安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米．…（10分）【点评】本题以常见的太阳能为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用．（2011•益阳）如图，AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．（参考数据：sin67.4°≈，cos67.4°≈，tan67.4°≈）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】根据sin∠DCB=，得出CD的长，再根据矩形的性质得出DF=AB=8，AF=BD=6，进而得出拉线CDE的总长L．【解答】解：在Rt△DBC中，sin∠DCB=，∴CD==6.5（m）．作DF⊥AE于F，则四边形ABDF为矩形，∴DF=AB=8，AF=BD=6，∴EF=AE﹣AF=6，在Rt△EFD中，ED==10（m）．∴L=10+6.5=16.5（m）【点评】此题主要考查了解直角三角形以及矩形的性质，得出CD的长度以及EF的长是解决问题的关键．（2011•泰州）一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，∠OCD=25°，外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH，测得FG∥EH，GH=2.6m，∠FGB=65°．（1）求证：GF⊥OC；（2）求EF的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91）【考点】解直角三角形的应用；平行线的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）根据∠OCD=25°，四边形ABCD是矩形，∠FGB=65°，得出∠FMC=65°，即可得出答案．（2）根据矩形的判定得出EF=NG，再利用解直角三角形的知识得出NG的长．【解答】（1）证明：CD与FG交于点M，∵∠OCD=25°，四边形ABCD是矩形，∠FGB=65°．∴∠FMC=65°，∴∠MFC=90°，∴GF⊥CO；（2）解：作GN⊥EH于点N，∵FG∥EH，GF⊥CO；∴四边形ENGF是矩形；∴EF=NG，∵∠FGB=∠NHG=65°，∴sin65°==≈0.91，∴EF=NG=2.366m≈2.4m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出四边形ENGF是矩形进而得出EF=NG是解决问题的关键．（2011•长春）平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A为54°，斜边AB的长为2.1m，BC边上露出部分的长为0.9m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38】【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】首先根据三角函数求得BC的长，然后根据CD=BC﹣BD即可求解．【解答】解：在直角三角形中，sinA=，则BC=AB•sinA=2.1sin54°≈2.1×0.81=1.701，则CD=BC﹣BD=1.701﹣0.9，=0.801≈0.8m．【点评】本题主要考查了解直角三角形的计算，正确利用三角函数解得BC的长是解题关键．（2011•通州区二模）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时．（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：）【考点】解直角三角形的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）利用三角函数算出阳光可能照到居民楼的什么高度，和6米进行比较．（2）超市不受影响，说明32°的阳光应照射到楼的底部，根据新楼的高度和32°的正切值即可计算．【解答】解：（1）如图，设CE=x米，则AF=（20﹣x）米，，即20﹣x=15•tan32°，x≈11，∵11＞6，∴居民住房的采光有影响．（2）如图：，=32（米）．故两楼应相距32米．【点评】本题考查锐角三角函数的应用．需注意直角三角形的构造是常用的辅助线方法．（2011•东城区二模）如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图4的侧面展开图．为了得到裁剪的角度，我们可以根据展开图拼接出符合条件的平行四边形进行研究．（1）请在图4中画出拼接后符合条件的平行四边形；（2）请在图2中，计算裁剪的角度（即∠ABM的度数）．【考点】解直角三角形的应用；几何体的展开图；平行四边形的性质；矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）将图4中的△ABE向左平移30cm，△CDF向右平移30cm，拼成如图中的平行四边形，此平行四边形即为图2中的▱ABCD．（2）根据题意先求得AB=30cm，由纸带的宽为15cm，根据三角函数求得∠AMB=30°．【解答】解：（1）如图所示：（2分）（2）由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30．∵纸带宽为15，∴sin∠ABM=，∴∠ABM=30°．（5分）【点评】本题是一道综合题，考查立体图形的侧面展开图，结合三角函数进行计算，难度较大．（2010•兰州）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）过A作BC的垂线AD．在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长．（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值是否大于2米即可．【解答】解：（1）如图，作AD⊥BC于点D．Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4×=2．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=4≈5.6．即新传送带AC的长度约为5.6米；（2）结论：货物MNQP应挪走．解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4×=2．在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2．∴CB=CD﹣BD=2﹣2=2（﹣）≈2.1．∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.1=1.9＜2，∴货物MNQP应挪走．【点评】应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．（2010•郴州）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性．如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）．若AB=40cm，当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？（，结果保留整数）【考点】解直角三角形的应用；等边三角形的性质；等边三角形的判定．【专题】压轴题．【分析】连接AC，分别求出当∠ADC从60°变为120°两种情况下AC的长，相减即可．当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形，AC=AB；当∠ADC=120°时，在直角△AOD中，利用三角函数即可求得AC．【解答】解：连接AC，与BD相交于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO．当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形．∴AC=AD=AB=40；当∠ADC=120°时，∠ADO=60°，∴AO=AD•sin∠ADO=40×=20，∴AC=40，因此增加的高度为40﹣40=40×（﹣1）≈29（cm）．【点评】菱形的问题，可以通过连接两条对角线，转化为直角三角形求解．（2010•丽江）如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离CB为2米，阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为75°，求这棵竹子比楼房高出多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732）【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】要求的高度即为AB、AC的差．在Rt△ABC中，运用三角函数定义解直角三角形求AB、AC的值得解．【解答】解：在直角△ABC中，∵∠ABC=75°，BC=2，∴AB=≈7.722（米），AC=BCtan75°=7.464（米）．∴AB﹣AC=7.722﹣7.464=≈0.3，即竹子比楼房高出0.3米．【点评】此题主要考查的是解直角三角形的应用，难度不大．（2010•江西校级模拟）中华人民共和国国旗的型号如下（单位：mm）：国庆60周年，大街小巷到处悬挂国旗．按国旗法规定，在一般街巷两侧的单位、商户用4号国旗．插挂国旗的不锈钢旗杆或竹竿长度可为1.5米，插挂旗杆的下端离人行道地面2米，与地面夹角呈60°角．升挂国旗要规格、高度一致，国旗旗面整洁鲜艳．（1）观察表中数据，写出长与宽的关系；（2）如图1，国旗展开时，E点离墙面AB最远的距离（结果保留四个有效数字）；（3）如图2，国旗垂下时，F点离地面AG最近的距离（结果保留四个有效数字）．【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）国旗的长和宽成比例关系，进行判断即可；（2）E点离墙面AB最远的距离为：EN=EH+HN，根据勾股定理即可求得DF，在直角△BCN中，根据三角函数即可求得；（3）F点离地面AG最近的距离为：MA﹣DF，在直角△DMB中，根据三角函数即可求解．【解答】解：（1）长：宽=2880：1920=2400：1600=660：440=3：2；（2分）（2）分别做DM⊥AB，EN⊥AB，DH⊥EN垂足分别是点M，点N，点H，由题意知∠DBM=∠DBE=30°，ED=1.44m，BD=1.5m，（3分）∴DM=HN=DBsin30°=1.5×=0.75m，EH=DEcos30°=1.44×≈1.2470m，（5分）∴E点离墙面AB最远的距离为：EN=EH+HN=1.997m；（6分）（3）DF=≈1.7307m，（7分）MB=DBcos30°=1.5×≈1.2990m，MA=MB+AB=1.2990+2=3.2990m，（8分）∴F点离地面AG最近的距离为：MA﹣DF=3.2990﹣1.7307=1.5683≈1.568m．（9分）【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．（2009•宁德）某大学计划为新生配备如