1.6.1解直角三角形的应用-仰俯角

解直角三角形的应用——仰俯角（2015•衡阳）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A．50 B．51 C．50+1 D．101【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH．【解答】解：设AG=x，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG=，∴EG==x，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG=，∴CG==x，∴x﹣x=100，解得：x=50．则AB=50+1（米）．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米 B．200米 C．220米 D．100（）米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．【解答】解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，∵CD⊥AB于点D．∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD===100在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°∴DB=CD=100米，∴AB=AD+DB=100+100=100（+1）米．故选D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．（2010•青海）如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为（）A．150米 B．180米 C．200米 D．220米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】此题可利用俯角∠ECA、∠FCB的正切值求得AD、AB的长，则建筑物A、B间的距离即可求出．【解答】解：由题意得∠A=30°，∠B=60°．AD==150（米），BD==50（米），则AB=AD+BD=150+50=200（米）．故选C．【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．（2010•汾阳市校级自主招生）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如图）则A，B两个村庄间的距离是（）米．A．300 B．900 C．300 D．300【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】过P作AB的垂线，垂足是C，根据两个俯角的度数可知△ABP是等腰三角形，AB=BP，在直角△PBC中，根据三角函数就可求得BP的长．【解答】解：∠A=30°，∠PBC=60°，∴∠APB=60°﹣30°，∴∠APB=∠A，∴AB=PB．在Rt△BCP中，∠C=90°，∠PBC=60°，PC=450米，所以PB=．所以AB=PB=300．故选D．【点评】本题主要考查了俯角的定义，正确理解解直角三角形的条件，熟练运用三角函数是解题关键．（2009•西藏）如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度为（）米．A．60（+1） B．30（﹣1） C．30（+1） D．60（﹣1）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】由于AB是Rt△ABD和Rt△ABC的公共直角边，可在Rt△ABC中，根据∠ACB的正切值，用AB表示出BC的长；同理可在Rt△ABD中，根据∠D的度数，用AB表示出BD的长；根据CD=BD﹣BC，即可求得AB的长．【解答】解：Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=AB；Rt△ABD中，∠ADB=30°，∴BD=AB÷tan30°=AB，∴DC=BD﹣BC=（﹣1）AB=60米．∴AB==30（+1）米，故选C．【点评】此题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后利用三角函数和已知条件构造方程解决问题．当两个直角三角形有公共边时，利用这条公共边进行求解是解此类题的常用方法．（2007•舟山）如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（）A．82米 B．163米 C．52米 D．30米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】利用所给角的三角函数用AB表示出DB，BC；根据DB﹣BC=CD=60得方程求解．【解答】解：设楼高AB为x．在Rt△ADB中有：DB==x，在Rt△ACB中有：BC==x．而CD=BD﹣BC=（﹣1）x=60，解得x≈82．故选A．【点评】本题考查运用三角函数的定义解直角三角形．（2007•台州）一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B处测量时，测角器中的∠AOP=60°（量角器零度线AC和铅垂线OP的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F处（点B，F，D在同一直线上），这时测角器中的∠EO′P′=45°，那么小山的高度CD约为（）（注：数据≈1.732，≈1.414供计算时选用）A．68米 B．70米 C．121米 D．123米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】易得CG=EG，利用30°的正切值可求得CG，加上1.6即为山高．【解答】解：由已知易得AE=50，∠ACD=60°，∠ECD=45°．∴CG=EG．∵tan∠ACD==．∴CG=25×（+1）≈68.3．∴CD=68.3+1.6=69.9≈70（米）．故选B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的关键是熟记三角函数公式．（2005•海淀区）如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45°，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为（）A．a B．2a C． D．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】利用所给角的正切值求得BC，利用中点定义求得AB．【解答】解：∵tan∠CDB=，∴BC=BD=a．∵AB的中点为C．∴AB=2a．故选B．【点评】本题考查仰角的定义，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．（2004•黄石）如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）为30°，在比例尺为1：50000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为（）A．1732米 B．1982米 C．3000米 D．3250米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】根据地形图上的等高线的比例尺和图上距离求得两点间的实际距离，再利用解直角三角形的知识求得山顶的海拔高度即可．【解答】解：∵两点的图上距离为6厘米，例尺为1：50000，∴两点间的实际距离为：6÷=3000米，∵从M点测量山顶P的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）为30°，∴MP=3000×tan30°=3000×=1732米，∵点M的海拔为250米，∴山顶P的海拔高度为=1732+250=1982米．故选B．【点评】本题考查了仰俯角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形．（2004•淮安）如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m，眼睛与地面的距离为1.6m，那么这棵树的高度大约是（）A．5.2m B．6.8m C．9.4m D．17.2m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】三角尺和树构成直角三角形，根据一直角边和三角尺的度数，可将眼睛到树尖的距离求出，加上眼睛与地面的距离即为这棵树的高度．【解答】解：由图中所示：眼睛到树尖的距离h1=tan30°×9=，眼睛与地面之间的距离：h2=1.6，∴这棵树的高度h=h1+h2=3+1.6≈6.8（m）．故选B．【点评】本题主要是将实际问题与解直角三角形联系起来，使求解过程变得简单．（2002•鄂州）如图，挂着“庆祝凤凰广场竣工”条幅的氢气球升在广场上空，已知气球的直径为4m，在地面A点测得气球中心O的仰角∠OAD=60°，测得气球的视角∠BAC=2°（AB、AC为⊙O的切线，B、C为切点）．则气球中心O离地面的高度OD为（）（精确到1m，参考数据：sin1°=0.0175，=1.732）A．94m B．95m C．99m D．105m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】连接圆心和切点，利用构造的直角三角形求得OA长，进而求得所求线段长．【解答】解：连接OC．在Rt△OAC中，OC=2，∠OAC=1°．∴AO=114.2．在Rt△OAD中，有OD=OA×sin60°≈99．故选C．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，建立数学模型并解直角三角形．（2001•山东）如图，从地面上C，D两处望山顶A，仰角分别为30°和45°，若C，D两处相距200m，那么山高AB为（）A．100（+1）m B．100m C．100m D．200m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】易得AB=BD；在△ABC中用AB表示出BC．根据BC﹣BD=CD得方程求解．【解答】解：设山高AB为x，在Rt△ACB中有：CB==x，在Rt△ADB中有：BD==x．而CD=CB﹣BD=（﹣1）x=200．解得：x=100（+1）．故选A．【点评】本题考查直角三角形的解法，熟练运用三角函数的定义解题．（1997•河南）如图，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C在BD上，则山高AB=（）A．100米 B．米 C．米 D．米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】直角△ABC与直角△ABD有公共边AB，若设AB=x，则在直角△ABC与直角△ABD就满足解直角三角形的条件，可以用x表示出BC与BD的长，根据BD﹣BC=CD，即可列方程求解．【解答】解：设AB=x米，在直角△ACB中，∠ACB=45°，∴BC=AB=x米．在直角△ABD中，∠D=30°，tanD=，∴BD==x，∵BD﹣BC=CD，∴x﹣x=100，解得：x=50（+1）．故选：D．【点评】本题主要考查了解直角三角形的方法，解决的关键是注意到两个直角三角形有公共的边，利用公共边表示其它的量，从而把问题转化为方程问题．（1997•山西）如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物的高为（）A．a米 B．acotα米 C．acotβ米 D．a（tanβ﹣tanα）米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】作DE⊥AB于点E，分别在直角△ADE和直角△ABC中，利用三角函数即可表示出AB于AE的长，根据DC=BE=AB﹣AE即可求解．【解答】解：作DE⊥AB于点E．在直角△AED中，ED=BC=a，∠ADE=α∵tan∠ADE=，∴AE=DE•tan∠ADE=a•tanα．同理AB=a•tanβ．∴DC=BE=AB﹣AE=a•tanβ﹣a•tanα=a（tanβ﹣tanα）．故选D．【点评】本题考查了利用三角函数解决有关仰角、俯角的计算问题，关键是作出辅助线，把实际问题转化成解直角三角形问题．初三（1）班数学兴趣小组，用高为1.2米的测倾器、皮尺测量校内一办公楼的高AB时，设计如图所示的测量方案（测点E、F与楼底B在同一直线上），并有四个同学分别测量出以下四组数据（角的度数、线段的长）：①∠2、FB；②∠1、∠2、EF；③∠2、EF；④∠1、EB，则能根据所测数据求出楼高AB的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】利用矩形性质得出对应边相等，再利用已知角的正切值得出AD的长，即可得出AB的长，分别分析得出答案即可．【解答】解：①当已知∠2、FB，即可得出DG的长，进而利用tan∠2=，即可得出AD，求出AB即可，故此选项正确；②当已知∠1、∠2、EF，即可得出CG=EF，假设DG=x，可以表示出AD，再利用tan∠1=，求出AD，进而得出AB即可，故此选项正确；③当已知∠2、EF，无法求出AD，以及AB，故此选项错误，④当已知∠1、EB，根据EB=CD，利用tan∠1=，求出AD即可，进而得出AB的长，故此选项正确；①②④，故正确的有3个，故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，解直角三角形即可求出．如图，小亮用一个两个锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知他与树之间的距离AE=8.0m，∠DAE=30°，眼睛与地面的距离AB为1.5m，那么这棵树的高度CD（精确到0.1m）大约为（）A．4.5m B．5.5m C．6.1m D．15.4m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】易得CE=AB，利用30°的正切值可求得DE的长，相加即为树的高度．【解答】解：∵AE=8cm，∠DAE=30°，∴DE=AE•tan30°=，∴CD=CE+DE=1.5+≈6.1（m）．故选C．【点评】考查三角函数的运用，关键是得到和所求线段相关的线段的长度．（2014•曲阜市模拟）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是100（+1）米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题；探究型．【分析】先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠BCD与∠ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论．【解答】解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，∴∠BCD=90°﹣45°=45°，∠ACD=90°﹣30°=60°，∵CD⊥AB，CD=100m，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD=100m，在Rt△ACD中，∵CD=100m，∠ACD=60°，∴AD=CD•tan60°=100×=100m，∴AB=AD+BD=100+100=100（+1）m．故答案为：100（+1）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．（2013•十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为750米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B=30°求出AB的长．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣30°=45°，AC=30×25=750（米），∴AD=AC•sin45°=375（米）．在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∴AB=2AD=750（米）．故答案为：750．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．（2013•大连）如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为15.3m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，，1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】在Rt△ACD中求出AC，在Rt△BCD中求出BC，继而可得出AB．【解答】解：在Rt△ACD中，CD=21m，∠DAC=30°，则AC=CD≈36.3m；在Rt△BCD中，∠DBC=45°，则BC=CD=21m，故AB=AC﹣BC=15.3m．故答案为：15.3．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，理解俯角的定义，能利用三角函数表示线段的长度．（2012•大连）如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为8.1m．（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】根据CE和tan36°可以求得AE的长度，根据AB=AE+EB即可求得AB的长度，即可解题．【解答】解：如图，在Rt△ACE中，∴AE=CE•tan36°=BD•tan36°=9×tan36°≈6.57米，∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）．故答案为：8.1．【点评】本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE的值是解题的关键．（2012•广西）如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是12米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】在直角三角形ABC中，根据BC=8，∠ACB=56°即可求得AB的长．【解答】解：由题意知BC=8，∠C=56°，故AB=BC•tan56°≈8×1.483≈12米，故答案为12．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求解．（2012•崇左）在2012年6月3号国际田联钻石联赛美国尤金站比赛中，百米跨栏飞人刘翔以12.87s的成绩打破世界记录并轻松夺冠．A、B两镜头同时拍下了刘翔冲刺时的画面（如图），从镜头B观测到刘翔的仰角为60°，从镜头A观测到刘翔的仰角为30°，若冲刺时的身高大约为1.88m，请计算A、B两镜头之间的距离为2.17m．（结果保留两位小数，≈1.414，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】如图作PC⊥AB于C，可知PC=1.88米，由三角函数值可以求出BC的值，设AB=x，则由三角函数值可以求出x的值，而得出答案．【解答】解：如图，作PC⊥AB于C，则∠ACP=90°．∵∠PBC=60°，∴tan∠PBC==．∵PC=1.88，∴BC=．设AB=x，则AC=（x+），∴tan∠PAC=．∵∠PAC=30°，∴=，变形为：x+1.88=3×1.88，解得x≈2.17．故答案为：2.17m．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值的运用，解直角三角形中的仰角问题的运用，一元一次方程的解法及运用，解答时创建直角三角形是关键．（2012•南通模拟）如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离（CE的长度）为8米，测得旗杆顶的仰角为∠ECA=30°，旗杆底部的俯角∠ECB=45°，那么旗杆AB的高度是（8+）米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】利用CE分别表示出AE和BE长，让这两条线段相加即可．【解答】解：在△EBC中，有BE=EC×tan45°=8，在△AEC中，有AE=EC×tan30°=，∴AB=8+（米）．故答案为：8+．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．（2012•凯里市校级一模）青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃，如图所示，一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°．已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，则至少需7秒钟后能抓到懒羊羊．（结果精确到个位）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】由题意可得：∠BCD=90°﹣30°=60°，∠ABD=60°，然后分别在Rt△BCD与Rt△ABD中，利用三角函数求解即可求得BD的长，继而求得答案．【解答】解：根据题意得：∠BCD=90°﹣30°=60°，∠ABD=60°，在Rt△BCD中，∵∠BCD=60°，∴则BD=CD•tan60°=CD，在Rt△ABD中，∵∠ABD=60°，∴=tan60°，即=，解得：CD=20，∴t=≈=7，∴约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊．故答案为：7．【点评】此题考查了俯角的应用．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．（2010•潼南县）如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为82.0米（精确到0.1）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】易得CD=AD=30，利用60°的正切值可求得BD长．BD+CD即为电梯楼的高．【解答】解：作AD⊥BC于点D．∵∠DAC=45°，∴CD=AD=30．∵∠BAD=60°，∴BD=AD×tan60°=30≈51.96．∴BC=BD+CD=81.96≈82.0（米）．【点评】构造仰角和俯角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．（2011•山东模拟）升国旗时，某同学站在离国旗杆底部18米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰好为45°，若双眼离地面1.5米，则旗杆高度为19.5米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】此题可由仰角的正切函数求得目高以上旗杆的高度，再加上目高即得旗杆的高度．【解答】解：由于某同学站在离国旗杆底部18米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰好为45°，则目高以上旗杆的高度h1=18×tan45°=18（米），旗杆的高度h=h1+1.5=19.5（米）．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．（2010•岳阳）如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，从B点测得点D的仰角为α，从A点测得点D的仰角为β．已知甲乙两建筑物之间的距离为a，甲建筑物的高AB为a（tanα﹣tanβ）（用含α、β、a的式子表示）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△ADE、△DBC，应借助AE=BC，求出DC，DE，从而求出AB即可．【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E．根据题意，得∠DBC=∠α，∠DAE=∠β，AE=BC=a，在Rt△AED中，tan∠DAE=tanβ=，∴DE=AEtanβ=atanβ，在Rt△DCB中，tan∠DBC=tanα=，∴DC=BCtanα=atanα，∴AB=EC=atanα﹣atanβ=a（tanα﹣tanβ）．故答案为：a（tanα﹣tanβ）．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键．（2009•济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角∠CBD=60°；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC的长度为70米；（3）量出测倾器的高度AB=1.5米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为62.1米．（精确到0.1米，≈1.73）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】在Rt△CBD中，知道了斜边，求60°角的对边，可以用正弦值进行解答．【解答】解：在Rt△CBD中，DC=BC•sin60°=70×≈60.55（米）．∵AB=1.5，∴CE=60.55+1.5≈62.1（米）．故答案为：62.1．【点评】本题属于基础题，考查了利用三角函数的定义进行简单计算的能力．（2009•仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°、35°，则广告牌的高度BC为3.5米（精确到0.1米）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】图中有两个直角三角形△ABD、△ACD，可根据两个已知角度，利用正切函数定义，分别求出BD和CD，求差即可．【解答】解：根据题意：在Rt△ABD中，有BD=AD•tan52°．在Rt△ADC中，有DC=AD•tan35°．则有BC=BD﹣CD=6（1.28﹣0.70）=3.5（米）．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．（2008•襄阳）如图，某同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45度．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为10+3米．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】作CF⊥AB于点F，构成两个直角三角形．运用三角函数定义分别求出AF和BF，即可解答．【解答】解：作CF⊥AB于点F．根据题意可得：在△FBC中，有BF=FC×tan45°=9．在△AFC中，有AF=FC×tan30°=3．故AB=9+3．∵旗杆台阶高1米，∴点A离地面的高度=1+9+3=（10+3）m．即旗杆顶点A离地面的高度为（10+3）m．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．（2006•烟台）如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】延长CD交AM于点E．在Rt△ACE中，可求出CE；在Rt△ADE中，可求出DE．CD=CE﹣DE．【解答】解：延长CD交AM于点E，则AE=30．∴DE=AE×tan30°=10．同理可得CE=30．∴CD=CE﹣DE=20（米）．【点评】命题立意：考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．（2006•内江）某学校的教学大楼和行政办公大楼相对而立，如图所示：两楼间的距离AC=10cm，某学生在教学大楼底A处测得行政办公大楼顶B处的仰角为45°，随后他又到行政办公大楼C处测得教学大楼顶D处的仰角为60°，那么教学大楼比行政办公楼高7.3m．（精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】运用三角函数定义求出AD和BC后，再求差即为所求．【解答】解：在直角△DAC中，AD=10tan60°=10，在直角△BAC中，CB=10tan45°=10，那么教学大楼比行政办公楼高10﹣10≈7.3（米）．【点评】本题要求学生借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．（2006•青海）在一次数学实践活动课上，九（1）班同学计划测量山脚下脚AB的高度，李丽同学从A沿山坡向上走30m，到达点C，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶B的仰角为10°，已知山坡的坡角为12°，则D点到树AB的距离为29.3m，树AB的高为12.9m（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°≈0.208，cos12°≈0.978，tan12°≈0.213，sin10°≈0.174，cos10°=0.985，tan10°≈0.176）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】利用12°的余弦值即可求得CF也就是DE长；树高AB即为BE+CD+AF长．【解答】解：过点D、C分别作DE、CF垂直于AB，且垂足为E、F．∴DE=CF=AC×cos12°≈29.3．∴故D点到树AB的距离为29.3m．∵AF=AC×sin12°，BE=DE×tan10°．∴树AB的高为BE+EF+FA≈12.9米．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．（2006•宜昌校级模拟）如图，甲、乙两楼相距20m，甲楼高20m，自甲楼顶A看乙楼楼顶C，仰角为30°，则乙楼的高为．（结果可用根式表示）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥CD，交CD于点E；可构造Rt△ACE，利用已知条件解可得：CE=；而乙楼高CD=AB+CE；代入可得答案．【解答】解：过点A作AE⊥CD，交CD于点E；在Rt△ACE中，AE=36，∠CAE=30°，故CE=20×tan30°=，CD=AB+CE=20+，答：乙楼高为（20+）m．【点评】此题主要考查了俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．（2004•陕西）用科学记算器或数学用表求：A0′6′12′18′…1′2′3′65°2.1452.1542.1642.174…235如图，有甲、乙两楼，甲楼高AD是23米，现在想测量乙楼CB的高度．某人在甲楼的楼底A和楼顶D，分别测得乙楼的楼顶B的仰角为65°13′和45°，处用这些数据可求得乙楼的高度为46.47米．（结果精确到0.01米）注：用数学用表求解时，可参照下面正切表的相关部分．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】过点D作DE⊥BC，交BC于点E．在Rt△BAC中可得：BC=AC•tan65°13′；在Rt△DEC中可得：DE=BE=AC•tan45°，且AD=BC﹣BE=23．结合题中所给的正切表的相关部分，求解可得BC的值．【解答】解：Rt△BAC中，BC=AC•tan65°13′．Rt△DEB中，BE=AC•tan45°．∵AD=BC﹣BE=23，∴BC﹣BC÷tan65°13′=23．解得BC≈46.47（米）．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．（2002•盐城）测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选择M点作为观测点，从M点测得山顶P的仰角为30°，在比例尺为1：50000的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为3cm，则山顶P的海拔高度为1116m（取=1.732）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】由比例尺易得PM实际长．利用相应的三角函数求得MP的高度差，加上M点的高度即可．【解答】解：在比例尺为1：50000的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为3cm，则实际距离为1500m．∵从M点测得山顶P的仰角为30°，∴MP高度差为：PC=1500×tan30°=866（m）．∵M点的海拔为250m，∴山顶P的海拔高度为250+866=1116（m）．【点评】本题是跨学科综合题，看图理解题意是关键．考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．（2016•贵阳模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60°，∴CO=AO•tan60°=100（米）．设PE=x米，∵tan∠PAB==，∴AE=2x．在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=100﹣x，PF=OA+AE=100+2x，∵PF=CF，∴100+2x=100﹣x，解得x=（米）．答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．（2015•甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．【解答】解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，EF∥AB，CD⊥AB于点D．∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°．在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD==90×=90．在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=，∴DB==30．∴AB=AD+BD=90+30=120．答：建筑物A、B间的距离为120米．【点评】解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．（2015•宜兴市二模）如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑马线的宽度是AB=3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】根据已知角的度数，易求得∠BAC=∠BCA=30°，由此得BC=AB=3米；可在Rt△CBF中，根据BC的长和∠CBF的余弦值求出BF的长，进而由x=BF﹣EF求得汽车车头与斑马线的距离．【解答】解：如图：延长AB．∵CD∥AB，∴∠CAB=30°，∠CBF=60°；∴∠BCA=60°﹣30°=30°，即∠BAC=∠BCA；∴BC=AB=3米；Rt△BCF中，BC=3米，∠CBF=60°；∴BF=BC=1.5米；故x=BF﹣EF=1.5﹣0.8=0.7米．答：这时汽车车头与斑马线的距离x是0.7米．【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．（2013•临夏州）某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF（如图所示），已知立杆AB的高度是3米，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC的值．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】在Rt△ABD中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt△ABC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长；进而由BC=AC﹣AB得解．【解答】解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，AB=3米，∴DA=3米，在Rt△ADC中，∠CDA=60°，∴tan60°=，∴CA=3．∴BC=CA﹣BA=（3﹣3）米．答：路况显示牌BC是（3﹣3）米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．（2013•郴州）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF和△PDG中分别求出BF、GD的值，继而可求得BD=BF+FG+GD的值．【解答】解：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分别为F、G，由题意得：AF=PG=CE=5km，FG=AP=20km，在Rt△AFB中，∠B=45°，则∠BAF=45°，∴BF=AF=5，∵AP∥BD，∴∠D=∠DPH=30°，在Rt△PGD中，tan∠D=，即tan30°=，∴GD=5，则BD=BF+FG+GD=5+20+5=25+5（km）．答：飞机的飞行距离BD为25+5km．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，然后解直角三角形，难度一般．（2013•铁岭）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PD•tan26.6°；解Rt△CPD，得出CD=PD•tan37°；再根据CD﹣BD=BC，列出方程，求出PD=320，进而求出PE=60，AE=120，然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°；在Rt△CPD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan37°；∵CD﹣BD=BC，∴PD•tan37°﹣PD•tan26.6°=80，∴0.75PD﹣0.50PD=80，解得PD=320（米），∴BD=PD•tan26.6°≈320×0.50=160（米），∵OB=220米，∴PE=OD=OB﹣BD=60米，∵OE=PD=320米，∴AE=OE﹣OA=320﹣200=120（米），∴tanα===0.5，∴坡度为1：2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．（2013•营口）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°．已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度为（即tan∠PCD=）．（1）求该建筑物的高度（即AB的长）．（2）求此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】（1）过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，在Rt△ABC中，求出AB的长度即可；（2）设PE=x米，则BF=PE=x米，根据山坡坡度为，用x表示CE的长度，然后根据AF=PF列出等量关系式，求出x的值即可．【解答】解：（1）过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，又∵AB⊥BC于B，∴四边形BEPF是矩形，∴PE=BF，PF=BE∵在Rt△ABC中，BC=90米，∠ACB=60°，∴AB=BC•tan60°=90（米），故建筑物的高度为90米；（2）设PE=x米，则BF=PE=x米，∵在Rt△PCE中，tan∠PCD==，∴CE=2x，∵在Rt△PAF中，∠APF=45°，∴AF=AB﹣BF=90﹣x，PF=BE=BC+CE=90+2x，又∵AF=PF，∴90﹣x=90+2x，解得：x=30﹣30，答：人所在的位置点P的铅直高度为（）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，难度适中．（2013•广安）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的长．（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．【解答】解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG，故四边形EGHD是矩形，∴ED=GH，在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=8÷tan45°=8（米），在Rt△FGE中，i=1：2=，∴FG=2EG=16（米），∴AF=FG+GH﹣AH=16+2﹣8=10（米）；（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长=×（2+10）×8×400=19200（立方米）．答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为10米；（2）完成这项工程需要土石19200立方米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．（2013•盘锦）如图，图1是某仓库的实物图片，图2是该仓库屋顶（虚线部分）的正面示意图，BE、CF关于AD轴对称，且AD、BE、CF都与EF垂直，AD=3米，在B点测得A点的仰角为30°，在E点测得D点的仰角为20°，EF=6米，求BE的长．（结果精确到0.1米，参考数据：）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】延长AD交EF于点M，过B作BN⊥AD于点N，可证四边形BEMN为矩形，分别在Rt△ABN和Rt△DEM中求出AN、DM的长度，即可求得BE=MN=AD﹣AN+DM的长度．【解答】解：延长AD交EF于点M，过B作BN⊥AD于点N，∵BE、CF关于AD轴对称，且AD、BE、CF都与EF垂直，∴四边形BEMN为矩形，EM=MF=EF=3米，∴BN=EM=3米，BE=MN，在Rt△ABN中，∵∠ABN=30°，BN=3米，=tan30°，∴AN=BNtan30°=3×=（米），在Rt△DEM中，∵∠DEM=20°，EM=3米，=tan20°，∴DM=EMtan20°≈3×0.36=1.08（米），∴BE=MN=（AD﹣AN）+DM=3﹣+1.08≈3﹣1.73+1.08=2.35≈2.4（米）．答：BE的长度约为2.4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角的知识构造直角三角形，运用解直角三角形的知识分别求出AN、DM的长度，难度适中．（2013•凉山州）小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在A处（如图），为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：第一步：小亮在测点D处用测角仪测得仰角∠ACE=β．第二步：小红量得测点D处到树底部B的水平距离BD=a．第三步：量出测角仪的高度CD=b．之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图．请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题．（1）把统计图中的相关数据填入相应的表格中：abβ第一次15.711.3129.5°第二次15.831.3330.8°第三次15.891.3229.7°平均值15.811.3230°（2）根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度AB（参考数据：，，结果保留3个有效数字）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；条形统计图；折线统计图．【专题】压轴题．【分析】（1）根据图中的信息将数据填入表格，并求平均值即可；（2）过C作CE⊥AB于E，可知四边形EBDC是矩形，可得CE=BD=a，BE=CD=b，在Rt△AEC中，根据β=30°，解直角三角形求出AE的长度，继而可求得树AB的高度，即风筝的高度．【解答】解：（1）填写表格如图：abβ第一次15.711.3129.5°第二次15.831.3330.8°第三次15.891.3229.7°平均值15.811.3230°（2）过C作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，∴CE=BD=a，BE=CD=b，在Rt△AEC中，∵β=30°，a=15.81，∴AE=CEtan30°=15.81×≈9.128（米），则AB=AE+EB=9.128+1.32=10.448≈10.4（米）．答：风筝的高度AB为10.4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了条形统计图和折线统计图的知识，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，锻炼了同学们读图的能力．（2013•重庆模拟）课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测角仪（离地高度为1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进27米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用在Rt△EDF中，由，得出EF的长度，进而可求出答案．【解答】解：∵∠ECD=15°，∠EDF=30°，∴∠CED=15°，∴∠CED=∠ECD．所以DC=DE=27米．在Rt△EDF中，由sin∠EDF=，得EF=DE•sin∠EDF=27•sin30°=27×=13.5（米），又FG=CA=1.5米，因此EG=EF+FG=13.5+1.5=15（米），答：旗杆EG的高度为15米．【点评】此题主要考查了仰角问题应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．（2013•香洲区校级一模）如图所示，当一热气球在点A处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点B的仰角为45°，看高楼底部点C的俯角为60°，这栋楼高120米，那么热气球与高楼的水平距离为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】过A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=120﹣x，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出AD，则可解出x的值，继而得出答案．【解答】解：过A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=120﹣x，在Rt△ABD中，∠BAD=45°，BD=x，则AD=BD=x，在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CD=120﹣x，则AD=CDcot∠CAD=（120﹣x）×，则（120﹣x）×=x，解得：x≈43.9，即热气球与高楼的水平距离为距离为43.9米．答：热气球与高楼的水平距离为距离约为43.9米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，注意掌握仰角、俯角的定义，难度一般．（2013•仁寿县校级二模）某班学生的社会实践课，他们走到某地看到前方不远处有幢大楼顶部有广告牌CD（如图）．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在A处看大楼顶端点D的仰角为30°．乙：我站在B处看广告牌顶端点C的仰角为45°．甲：我们的身高都是1.60米．乙：我们相距14米，我到大楼的距离为31米．请你根据两位同学的对话，求这幢大楼的高DH和这块广告牌CD的高度．（≈1.732，计算结果保留一位小数）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形Rt△DME与Rt△CNE，分别求出DE，CE的长度，然后根据EH=1.60可求出DH的长度，继而求出CD的长度．【解答】解：在Rt△DME中，tan∠DME=，∴DE=45×=15×1.732≈25.98（米），∴DH=25.98+1.6≈27.6（米），在Rt△CNE中，∠CNE=45°，则NE=CE=31（米），∴CD=CE﹣DE=31﹣25.98≈5.0（米）．答：楼高DH为27.6米，广告牌CD的高度为5.0米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．（2012•自贡）如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡长AB=10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH即为AC长度．【解答】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．，∴BE=8，AE=6．∵DG=1.5，BG=1，∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5，AH=AE+EH=6+1=7．在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5，tan30°=，∴CH=9.5．又∵CH=CA+7，即9.5=CA+7，∴CA≈9.435≈9.4（米）．答：CA的长约是9.4米．【点评】构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．（2012•娄底）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，≈1.732）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】首先根据题意可得GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米，然后设AG=x米，GF=y米，则在Rt△AFG与Rt△ADG，利用正切函数，即可求得x与y的关系，解方程组即可求得答案．【解答】解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，∴GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米，设AG=x米，GF=y米，在Rt△AFG中，tan∠AFG=tan60°===，在Rt△ADG中，tan∠ADG=tan30°===，∴x=4，y=4，∴AG=4米，FG=4米，∴AB=AG+GB=4+1.5≈8.4（米）．∴这棵树AB的高度约为8.4米．【点评】本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．（2012•凉山州）某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：小明：我站在此处看树顶仰角为45°．小华：我站在此处看树顶仰角为30°．小明：我们的身高都是1.6m．小华：我们相距20m．请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度．（参考数据：，，结果保留三个有效数字）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】延长BC交DA于E．设AE的长为x米，在Rt△ACE中，求得CE=AE，然后在Rt△ABE中求得BE，利用BE﹣CE=BC，解得AE，则AD=AE+DE．【解答】解：如图所示，延长BC交DA于E．设AE的长为x米，在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∠AEB=90°，则∠CAE=45°，∴AE=CE=x米，在Rt△ABE中，∠B=30°，AE=x，∴tanB=即：tan30°=∴BE=x∵BE﹣CE=BC，BC=20米∴x﹣x=20解得x=10+10∴AD=AE+DE=10+10+1.6≈28.9（米）答：这棵汉柏树的高度约为28.9米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的利用直角三角形各边之间的关系得到有关未知量的关系式．（2012•遂宁）小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后，双休日组织教学兴趣小组的小伙伴进行实地测量．如图，他们在坡度是i=1：2.5的斜坡DE的D处，测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B的仰角分别是60°、45°，斜坡高EF=2米，CE=13米，CH=2米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔AM的高度！请你写出解答过程．（数据≈1.41，≈1.73供选用，结果保留整数）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】先根据斜坡的坡度是i=1：2.5，EF=2，求出FD的长，再根据CE=13，CE=GF，求出GD的长，在Rt△DBG和Rt△DAN中，根据∠GDB=45°和∠NAD=60°，分别求出BG=GD和ND的长，从而得出AN=ND•tan60°，最后再根据AM=AN﹣MN=AN﹣BG，即可得出答案．【解答】解：∵斜坡的坡度是i==，EF=2，∴FD=2.5EF=2.5×2=5，∵CE=13，CE=GF，∴GD=GF+FD=CE+FD=13+5=18，在Rt△DBG中，∠GDB=45°，∴BG=GD=18，在Rt△DAN中，∠NDA=60°，∴ND=NG+GD=CH+GD=2+18=20，AN=ND•tan60°=20×=20，∴AM=AN﹣MN=AN﹣BG=20﹣18≈17（米）．答：铁塔高AM约17米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，要掌握坡度、仰角、俯角的定义，关键是能借助仰角和俯角构造直角三角形，并解直角三角形．（2012•锦州）如图，大楼AB高16米，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶的仰角为38.5°，爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD及大楼与塔之间的距离BD的长．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米，设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE=BD=x，分别在Rt△BCD中和Rt△ACE中，用x表示出CD和CE=AE，利用CD﹣CE=DE得到有关x的方程求得x的值即可．【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE=BD=x（不设未知数x也可以）∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=∴CD=BDtan38.5°≈0.8x∵在Rt△ACE中，tan∠CAE=∴CE=AEtan22°≈0.4x∵CD﹣CE=DE∴0.8x﹣0.4x=16∴x=40即BD=40（米）CD=0.8×40=32（米）答：塔高CD是32米，大楼与塔之间的距离BD的长为40米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答．（2012•东台市一模）如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，求电梯楼BC的高．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题；探究型．【分析】先根据CE=30m得出AD=30m，由∠DAC=45°可知△ADC是等腰直角三角形，故可求出CD的长，由∠BAD=60°可得出∠2的度数，在△ABD中利用锐角三角函数的定义即可求出BD的长，进而可得出答案．【解答】解：∵CE=30m，AD⊥BC，∴AD=CE=30m，∵∠DAC=45°，∴AD=CD=30m，在Rt△ABD中，BD=AD×tan∠BAD=30×=30，∴BC=CD+BD=30+30（m）．故答案为：30+30m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及到特殊角的三角函数值及等腰三角形的判定，熟知以上知识是解答此题的关键．（2012•海门市校级模拟）热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B处的仰角为30°，看这栋高楼底部C处的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为120m，则这栋高楼有多高？（结果精确到0.1，）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD，即可求解．【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为D（1分）在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，∴BD=AD•tan30°=120×=m，（3分）在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，∴CD=AD•tan60°=120×=m，（5分）BC==277.12≈277.1m．（6分）答：这栋楼高为277.1m．（7分）【点评】本题主要考查了仰角与俯角的计算，一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．（2012•安徽模拟）如图，在高出海平面1000米的山顶A处观测一艘在海平面上行驶的快艇，快艇沿D，B，C三点所在的直线方向行进，快艇在D处时，测得它的俯角为30°，2分钟后又测得到达B处的快艇的俯角为45°，求该快艇的速度．（参考数据：≈1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】分别在两个直角三角形中求得线段BD和线段CD的长，然后相减求得线段BD的长，除以时间即可得到速度．【解答】解：在Rt△ABD中，∵∠ADC=30°，AC=1000米，∴DC==1000在Rt△ABC中，∵∠ADC=450°，AC=1000米，∴BC=AC=1000∴BD=（1000﹣1000）米，∵快艇从D到B共用2分钟∴快艇的速度为：（1000﹣1000）÷2=365/分．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，从纷杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此问题的关键．（2012•花山区校级模拟）如图，我校九年级某班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在佳山公路上测量“佳山”高AB．于是他们采用了下面的方法：在佳山公路上选择了两个观察点C、D（C、D、B在一条直线上），从C处测得山顶A的仰角为30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，已知测角仪的高CE与DF的高为1.5m，量得CD=450m．请你帮助他们计算出佳山高AB．（精确到1m，，）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】连接EF并延长交AB于H，则可得到△AEH、△AFH均为直角三角形，在Rt△AFH中，根据∠AFH=45°得到AH=FH，最后设AH=FH=x（m），则EH=450+x利用在Rt△AEH中，利用30°的正切值列出有关x的方程即可求解．【解答】解：连接EF并延长交AB于H，则△AEH、△AFH均为直角三角形，在Rt△AFH中，∵∠AFH=45°，∴∠FAH=45°，∴AH=FH，设AH=FH=x（m），则EH=450+x（m），在Rt△AEH中，∵tan30°=，∴，解得x=225+225∴AB=225+225+1.5≈225×1.73+226.5≈616（m）．答：佳山高约为616（m）．【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．（2011•宿迁）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取=1.732，结果精确到1m）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】根据CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m，再利用解直角得出x的值，即可得出CD的长．【解答】解：设CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m．在Rt△AEC中，tan∠CAE=，即tan30°=，∴，3x=（x+100），解得x=50+50=136.6，∴CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1≈138（m）．答：该建筑物的高度约为138m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据tan∠CAE=得出x的值是解决问题的关键．（2011•大连）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6m．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】（1）先过点E作ED⊥BC于D，由已知底部B的仰角为45°得BD=ED=FC=12，DC=EF=1.6，从而求出BC．（2）由已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°可求出AD，则AB=AD﹣BD．【解答】解：（1）过点E作ED⊥BC于D，根据题意得：EF⊥FC，ED∥FC，∴四边形CDEF是矩形，已知底部B的仰角为45°即∠BED=45°，∴∠EBD=45°，∴BD=ED=FC=12，∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=13.6，答：建筑物BC的高度为13.6m．（2）已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°，即∠AED=52°，∴AD=ED•tan52°≈12×1.28≈15.4，∴AB=AD﹣BD=15.4﹣12=3.4．答：旗杆AB的高度约为3.4m．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．（2011•綦江县）如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】易得CE=BE，利用30°的正切值即可求得CE长，进而可求得DE长．CE减去DE长即为广告屏幕上端与下端之间的距离．【解答】解：∵∠CBE=45°，CE⊥AE，∴CE=BE．∴CE=21，∴AE=AB+BE=21+6=27．在Rt△ADE中，∠DAE=30°，∴DE=AE×tan30°=27×=9，∴CD=CE﹣DE=21﹣9．答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为（21﹣9）m．【点评】本题考查了仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段．（2011•