2024年中考数学训练-辅助圆定点定长（专项训练）（原卷版+解析）

辅助圆定点定长（专项训练）

1.如图，四边形ABC。中，AB=AC=AD,若/CAO=76°,则/CB£）=度.

2.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=4,。是8C边上一动点，将沿

对折，得到△AB7）,当点8落在AC边上时，点。停止运动，若则在点。

2

的运动过程中，点9的运动路径长为.

3.如图，在菱形中，ZABC=60°,BC=3,将菱形ABC。绕点2逆时针旋转，得

到菱形ABCD,,求出当点。，在BA的延长线上时，点C运动的路径长.

4.如图，已知四边形ABC。是矩形，BC=4,AB>2,若CE=2,且点E在矩形ABC。的

内部，求NABE的取值范围.

5.如图，在矩形4BC。中，已知A8=3,8c=4,点尸是8C边上一动点（点P不与8,C

重合），连接AP,作点B关于直线AP的对称点则线段MC的最小值为（）

C.3D.V1Q

6.如图，点A,8的坐标分别为A(4,0),B(0,4)，C为坐标平面内一点，BC=2,

点尸是O”上的任意一点，PALPB,且以、P3与X轴分别交于A、3两点，

若点A、点B关于原点0对称，则AB的最大值为.

8.(2022•武功县模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=5,点、E在BC

上，且CE=43E,点M为矩形内一动点，使得NCME=45°,连接AM,则

线段AM的最小值为.

9.在Rt^ABC中，ZA=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点，若等腰Rt

△AOE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt^AOiEi,设旋转角为a(0<a<180°),记直

线与CE1的交点为P.

(1)如图1,当a=90°时，线段BD1的长等于,线段CE1的长等于；(直

接填写结果)

(2)如图2,当a=135°时，求证：BDi=CEi,且8Oi_LCEi；

(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值.(直接写出结果)

E,

10,P是o。外的一点，直线P。分别交o。于点A、B,则以是点P到。。上

的点的最短距离.

(1)如图2,在。。上取一点C(不与点A、3重合)，连PC、0C.求证:

PA<PC.

(2)如图3,在中，ZACB=90°,AC=BC=2,以5c为直径的

半圆交A3于。，P是面上的一个动点，连接AP,则AP的最小值是.

(3)如图4,在边长为2的菱形A3CD中，ZA=60°,“是AD边的中点，

N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到丛'MN,连接A'

C,请求出43长度的最小值.

(4)①如图5,E,R是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连

接B交5。于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段

DH的最小值是.

②如图6,平面直角坐标系中，分别以点A(-2,3),3(3,4)为圆心，

以1、2为半径作。4、QB,M、N分别是0403上的动点，P为x轴上的

动点，则PM+PN的最小值等于

11.如图①，在△ABC中，ZACB=90°，点。，E分别是AB,8c边上的点，且AC=C。

=3,连接AE,DE,ZCA£+ZAEB=180°.

(2)当C£)=3。时，求处的值；

DE

(3)如图②，若点尸是线段AC上一点，且A尸=1,连接。REF,EF交CD于点G,

求面积的最大值.

12.在边长为4的菱形A8C。中，/8=60°,点E,尸分别是48,8C上的动点，将

沿EF翻折得到△GER连接DG.

(1)如图①，若点E是43的中点.

①当点G落在BC边上时，求sin/CGO的值；

②当点歹从点B运动到BC的中点时，求S四边形AEGD的取值范围;

（2）如图②，若BF=26,当点G落在AD边上时，求BE的长.

辅助圆定点定长（专项训练）

1.如图，四边形ABC。中，AB=AC=AD,若NCA£）=76°,则度.

【解答］解：\'AB=AC=AD,

.•.点2,C,£）可以看成是以点A为圆心，为半径的圆上的三个点，

ZCBD是弧CD对的圆周角，ZCAD是弧CD对的圆心角；

,:NCAD=16°,

：.ZCBD=AZCAD=Ax760=38°.

22

2.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=4,。是BC边上一动点，将△ABD沿

对折，得到△ABT）,当点3落在AC边上时，点。停止运动，若则在点。

2

的运动过程中，点3的运动路径长为.

【答案】匡兀

3

【解答】解：由折叠知

'：AB'=^AC,

2

；.AB=^AC,

2

sinC=—,

2

.•./C=30°,

：.ZBAC^60°,

.•.点2'的运动路径长为6°兀X4=刍兀,

1803

故答案为：刍兀.

3

3.如图，在菱形ABC。中，ZABC=60°,BC=3,将菱形ABC。绕点2逆时针旋转，得

到菱形ABC。，求出当点。在BA的延长线上时，点。运动的路径长.

由旋转的性质可知，BC=BC,

...点C在以点8为圆心，BC长为半径的圆上运动，

当点）在BA的延长线上时，AABC=ZD'BC=ZCBC,

.四边形ABC。是菱形，ZABC=60°,

AZCBC=30°,BC=AB=3,

.•.点。运动的路径长为3。n*3=J£.

1802

4.如图，已知四边形ABC。是矩形，2C=4,AB>2,若CE=2,且点E在矩形ABC。的

内部，求/A8E的取值范围.

【解答】解：：点C为定点，CE为定长，

:.点E在以点C为圆心，CE为半径的圆弧上，如图:

B

当BE与圆C相切时，NCBE最大,即/ABE最小，此时NCEB=90°,

sinZCBE=^2」

BC1^2

：.ZCBE=3Q°，

•；NABE+NCBE=90°，

：.ZABE^60°,

•.•点E在矩形ABC。内，

ZAB£<90°,

.•.60°^ZABE<90°.

5.如图，在矩形ABC。中，已知A8=3,BC=4,点尸是2C边上一动点(点P不与2,

重合)，连接AP,作点8关于直线AP的对称点则线段MC的最小值为()

A.2B.aC.3D.V7o

2

【答案】A

【解答】解：连接AM,

•点2和M关于AP对称，

：.AB=AM=3,

.•.M在以A圆心，3为半径的圆上，

...当A,M,C三点共线时，CM最短，

22

'：AC=V3+4=5，AM=AB=3f

：.CM=5-3=2,

故选：A.

6.如图，点A,8的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C为坐标平面内一点，BC=2,

点M为线段AC的中点，连接。M,0M的最大值为

【答案】1+2A/2_

【解答】解：：C为坐标平面内一点，BC=2,

：.点C的运动轨迹是在半径为2的08上，

如图，取。£>=。4=4,连接0D

•.•点M为线段AC的中点，

0M是△AC。的中位线，

•••0M=/cD，

最大值时，C。取最大值，此时。、B、C三点共线,

此时在RtZXOB。中，BD==4近,

：.CD=2+4y/2<

的最大值是1+2加.

故答案为：1+2&.

7.（2022•鱼峰区模拟）如图，OM的半径为2,圆心”的坐标为（6,8）,

点P是OM上的任意一点，PA±PB,且必、P3与x轴分别交于A、3两点,

若点A、点B关于原点0对称，则AB的最大值为.

【答案】24

【解答】解：连接0P,

"JPALPB,

：.ZAPB=9Q°,

'：AO=BO,

：.AB=2P0,

若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，

连接并延长交于点P,当点尸位于P位置时，0P取得最大值,

过点M作MQLx轴于点Q,

则。。=6,航。=8,

：.0M=10,

又,：MP=2,

：.0P'=10+2=12,

：.AB=2OP'=24,

故答案为：24.

8.（2022•武功县模拟）如图，在矩形A3CD中，AB=6,BC=5,点、E在BC

上，且CE=43E,点舷为矩形内一动点，使得NCME=45°,连接AM,则

线段AM的最小值为.

【答案】5-272.

【解答】解：如图，作的外接圆O。，连接49,CO,EO,作

AB,ON.LBC,

,.•BC=5,点E在上，＜CE=4BE,

:.BE=LEC=4,

"：ZCME=45°,

AZEOC=90°,

：.OE=OC=2如,ON=EN=CN=2,

:・BN=OF=3,AF=6-2=4,

在Rt^AF。中，AO=1/32+42=5，

当点M是。4与O。的交点时，AM最小,

：.AM的最小值=。4-0E=5-2A/2.

故答案为：5-2^2-

9.在Rtz^ABC中，ZA=90°,AC=AB=4,D,£分别是边AB,AC的中点，若等腰Rt

△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt^AOiEi,设旋转角为a(0<aW180°),记直

线BDi与CEi的交点为P.

(1)如图1,当a=90°时，线段BDi的长等于,线段CE1的长等于；(直

接填写结果)

(2)如图2,当a=135°时，求证：BDi=CEi,且2£»i_LCEi；

(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值.(直接写出结果)

【解答】(1)W：VZA=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点，

.\AE=AD=2,

等腰Rt^ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰RtAADiEi,设旋转角为a(0<aW180°),

.,.当a=90°时，AEi=2,Z£iA£=90°,

:.BDi==2疾,£1C=^42+22=2V5；

故答案为：2遥，2遥；

(2)证明：当a=135°时，如图2,

,.,RtAADiEi是由RtAADE绕点A逆时针旋转135°得至!I,

：.ADi^AEi,ZDiAB=ZEiAC=135°,

在△£>142和△EMC中

AD^AEj

ZD1AB=ZE1AC,

AB=AC

：./\DiAB^/\E\AC(SAS),

：.BDi=CEi,且NDiBA=NEiCA,

记直线BDi与AC交于点F,

：.ZBFA=ZCFP,

：.ZCPF=ZFAB=9Q°,

：.BDi±CEi；

(3)解：如图3,作尸GLAB,交48所在直线于点G,

,：D\,Ei在以A为圆心，AO为半径的圆上，

当BDi所在直线与0A相切时，直线BD\与CE1的交点P到直线AB的距离最大,

此时四边形AD1PE1是正方形，PDi=2,则8£>i==2我，

故/ABP=30°,

贝ijPB=2+2V3.

故点尸到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+V3.

10,P是OO外的一点，直线P。分别交。。于点A、B,则必是点P到。。上

的点的最短距离.

(1)如图2,在OO上取一点C(不与点A、3重合)，连PC、OC.求证:

PA<PC.

(2)如图3,在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,以3C为直径的

半圆交A3于。，P是面上的一个动点，连接AP,则AP的最小值是.

(3)如图4,在边长为2的菱形A3CD中，ZA=60°,“是AD边的中点，

N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到匕N'MN,连接A'

C,请求出43长度的最小值.

(4)①如图5,E,歹是正方形A3CD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连

接CR交于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段

DH的最小值是.

②如图6,平面直角坐标系中，分别以点A(-2,3),3(3,4)为圆心，

以1、2为半径作。4、QB,M、N分别是0403上的动点，P为x轴上的

动点，则PM+PN的最小值等于__________.

【解答】(1)证明：如图2,在O。上任取一点C(不为点A、B),连接PC、

0C.

\'P0<PC+0C,P0=PA+0A,0A=0C,

：.PA<PC.

(2)解：连接A。与O。相交于点P,如图3,由已知定理可知，此时AP最

短，

VZACB=9Q°,AC=BC=2,3c为直径，

.,.PO=CO=1,

=7AC2-K：02=遍，

：.AP=45T，

故答案为：Vs-1；

(3)解：如图4,由折叠知4M=AM,又般是AD的中点，可得的4=昭北

=MD,

图4

故点A'在以AD为直径的圆上，

由模型可知，当点A'在上时，A'8长度取得最小值，

:边长为2的菱形A3CD中，NA=60°,M是边的中点,

"：MA=MA'=MD,

贝ljBM±AM,

BM—^22-l=V3，

故A'5的最小值为：V3-1；

(4)①解：在正方形ABC。中，AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,ZADG

ZCDG,

AE

。臼

B邺，

在△ABE和△OCT中，

:.AABEHDCF(SAS),

：.Z1=Z2,

在△ADG和△CDG中，

...△ADG丝△COG(SAS),

.•.N2=N3,

.•.N1=N3,

ZBAH+Z3=ZBAD=90°,

.,.Nl+NR4H=90°,

AZAHB=18Q°-90°=90°,

取AB的中点。，连接OH、OD,

则OH=AO=^-AB=1,

2

在中，。。=4AC|2+AD2=代，

根据三角形的三边关系，0H+DH>0D,

.•.当。、D、H三点共线时，DH的长度最小，

DH最小值=。。-OH=45-1.

故答案为：V5-1；

②解：作OA关于x轴的对称OM，连接A4'分别交OA'和03于航、N,

交x轴于P,如图6,

则此时PM+PN最小，

•.•点A坐标（-2,3）,

•••点A'坐标（-2,-3）,

•.,点3（3,4）,

.♦.A，B=（3+2）2+（4+3）2=>

：.MN=A'B-BN-AM=4TI-2-1=774-3,

：.PM+PN的最小值为旧-3.

故答案为：V74-3.

11.如图①，在△ABC中，ZACB=90°,点、D,E分别是A8,BC边上的点，S.AC=CD

=3,连接AE,DE,ZCAE+ZAEB=1?>00.

(2)当CZ)=B。时，求处的值；

DE

(3)如图②，若点尸是线段AC上一点，且AP=1,连接。F,EF,EF交CD于点、G,

求△£)所面积的最大值.

【解答】(1)证明：VZCAE+ZA£B=180°,ZCEA+ZAEB^180°,

：.ZCAE=ZCEA,

；.AC=CE,

"：AC=CD,

：.AC=CD=CE,

VZB=22.5°,ZACB=90°,

：.ZCAD=ZCDA=90°-22.5°=67.5°,

ZACZ)=180°-2X67.5°=45°,

：.ZBCD=90°-45°=45°,

・•・/ACD=/BCD,

・・・C0平分NACB；

(2)解：由(1)得：AC=CD=CE,

如图①，以点C为圆心，C4长为半径作圆，过点E作于尸,

■:CD=BD,

:・/DCB=/B,

VZACZ)+ZBCr>=90°,ZCAD+ZB=90°,

・•・ZACD=ZCADf

:・CD=AD,

•：AC=CD,

：.AC=CD=AD,

・・・△ACO是等边三角形，

：.ZCAD=60°,CD=AD=BD=3,

.\ZB=30o,

VZACB=90°,

AZADE=180°-AZACB=180°-Ax90°=135°,

22

：.ZEDP=180°-135°=45°,

・・・ADPE是等腰直角三角形，

:・DP=EP,

DP=EP=x,贝|3尸=3-羽

在RtZ\5E尸中，tan3=®=里

3BP3-x

解得：X=3V§-3,

2

VZACE=90°,AC=CE,

：.ZCAE=45°,

：.ZCAE=ZPDE,

VZACE=ZDPE=90°,

・•・AACE^ADPE,

.•・胆=£=T~=y+i；

DEDP3禽-3

~2~

(3)解：由(1)得：AC=CD=CE,

如图②，以点C为圆心，CA长为半径作圆，

,:CE=CD=3,CF=AC-AF=3-1=2,ZACB=90°,

EF—>/CF2-K?E2=A/22+3^=^^13，为定值，

：。为定值，

...当COLE尸时，CG取得最小值，

此时，点。到EF的距离取得最大值，

即△£)£厂的面积取得最大值，

•；S&CEF=—CF'CE=工EF，CG最小,

22

即_LX2X3=2XJT§义CG最小，

22

解得：CG最小=◎/亘，

13

；.OG最大=CZ)-CG最小=3-虫亘，

13

SADEFG±=G=AXV13x(3-6后)=_3.

22132

图②

12.在边长为4的菱形ABC。中，/8=60°,点E,尸分别是AB,8C上的动点，将△8EF

沿EF翻折得到△GEF,连接DG.

(1)如图①，若点E是A3的中点.

①当点G落在5c边上时，求sinNCGO的值；

②当点方从点B运动到BC的中点时，求S四边形AEGZ）的取值范围;

（2）如图②，若BF=2近,当点G落在边上时，求的长.

图①图②

【解答】解：（1）①如图①乙，连接AG、AC,

•・,四边形ABCD是边长为4的菱形,

：.AB=CB=AD=4,ZB=60°,

：.AABC是等边三角形，

•・,点从点G都在8C上，且点月与点3关于E/对称，点E是A8的中点,

:.EF2BG,BF=GF,

：.BE=GE,

:.4EBG是等边三角形,

；・BG=BE=CG=2,

：.AGLBC,

U：AD//BC,

・・・NDAG=NAG3=90°,NCGD=/ADG,

VAG-AB-sin60°-4义返二2«,

2

AtanZCG£>=tanZADG=-=当巨=返，

AD42

AtanZCG£>的值为近.

2

②如图①乙，连接。E,延长尸£交D4的延长线于点R,

,:/R=NEFB=90°,NEAR=/B=60°，AE=2,

：.ZAER=3Q°,ER±AD,

：.AR=