2024年广西北部湾经济区中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

2024年广西北部湾经济区中考数学模拟试卷（4月份）

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.2的相反数是（）

A.±2B.-2C.0D.2

2.在下列现象中，属于平移的是（）

A.小亮荡秋千运动B.升降电梯由一楼升到八楼

C.时针的运行过程D.卫星绕地球运动

3.下列说法不正确的是（）

A.为了审核书稿中的错别字，选择普查

B.为了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查

C.为了清楚地反映事物的变化情况，可选用扇形统计图

D.频数与总次数的比值是频率

4.下列命题是真命题的有个.（）

①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

④有理数与数轴上的点---对应；

⑤圆周率是一个无理数.

A.1B.2C.3D.4

5.如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集（）

-3-2-10123

A.12-6%<0B.12-6x<0C.12-6%>0D.12-6x>0

6.如图，CA1BE^A,AD//BC,若=54。，则4c等于()

A.30°

B.36°

C.45°

RC

D.54°

7.下列说法中，正确的是（）

A.一组数据一2,-1,0,1,1,2的中位数是0

B.质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式

C.购买一张福利彩票中奖是一个确定事件

D.分别写有三个数字-1,-2,4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两

数之积为正数的概率为"

8.如图，市政府准备修建一座高48=67n的过街天桥，已知天桥的坡面ZC与地面个

BC的夹角“CB的余弦值为9则坡面4C的长度为（）：

B.10mC.yflOm

9.下列计算正确的是（

A.3a3•2a3=6a3B.(一4a3b)2=8a6b2

222

C.(a+<)2=a+bD.-2a+3a2=a

10.甲、乙两人加工某种机械零件，已知甲每小时比乙多加工4个，甲加工50个所用的时间与乙加工40个所

用的时间相等.设甲每小时加工%个零件，则可列方程为（）

A504050_40「5040n5040

C.—x=-%+4-D.—x=——x—4■

11.如图，点4在反比例函数y=7第一象限内的图象上，点B在%轴的正半

轴上，04=HB,AAOB的面积为2,贝!la的值为（

12.在平面直角坐标系中，函数y=-久+1与y=-|（x-1）2的图象大致是（）

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

13.V-3xV15=.

14.若分式煤W的值为0,贝卜=

3—%

15.掷一个骰子，观察向上的面的点数，则点数为奇数的概率为.

16.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，蜡烛力B在暗盒中所成的像CD的高度是

______cm.

17.已知a、b、c都是实数，若，^=1+|26+9+(^+2砌2=0,则

18.直线y=-久+2a(常数a>0)和双曲线y=^(fc>0,x>0)的图象有且只有一个交点B,一次函数y=

—x+2a与x轴交于点4点P是线段04上的动点，点Q在反比例函数图象上，5.^^BP0=/.QPA.^PQ

与线段4B的交点为M,若OM1BP,贝Usin乙4Mp的值为.

三、计算题：本大题共2小题，共12分。

19.计算：―24*&一［一|)

20.计算：

(1)x(1-%);

(2)(。-1)(2d+3)—2a(a—4)；

x2

⑶h久-1.

四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21.（本小题8分）

有一个平分角的仪器如图所示，其中48=2。，8C=DC.求证：2C平分NB2D.

22.（本小题8分）

为了了解秦兵马俑的身高状况，某考古队随机调查了36尊秦兵马俑，它们的高度（单位：cm）如下：

172,178,181,184,184,187,187,190,190,175,181,181,184,184,187,187,190,

193,178,181,181,184,187,187,187,190,193,178,181,184,184,187,187,190,

190,196.

（1）这36尊秦兵马俑高度的平均数、中位数和众数分别是多少？

（2）你能据此估计出秦兵马俑的平均高度吗？

23.(本小题8分)

有这样一个问题：探究函数丫=号的图象与性质.一位同学根据学习函数的经验，对函数丫=号的图象

与性质进行了探究.

(1)下面是这位同学的探究过程，请补充完整：

①函数y=式的自变量比的取值范围是；

②如表是y与久的几组对应值，则小的值是；

X-2-1012345678

y21.510.500.5m1.522.53

③如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象:

>'，

4

3

2

1

-4-3-2-1O1234567SX

-1

—k—-i—-2—u-—----—------------1——u-----

④观察此函数图象，写出一个正确的函数性质或者函数图象性质：.

(2)直接写出：当x时，y>2.5.

24.(本小题8分)

如图，在ATIBC中，AB=BC,以4B为直径的半圆。交4C于点D,过点。作交8c于点E,连结

OD,0E.

(1)求证：0E=料C；

(2)填空：

①当NA=。时，四边形40ED是菱形；

②当“=。时，四边形08ED的面积最大.

c

25.(本小题8分)

综合与探究

如图，已知抛物线y=3爪/一小久一47noi>0)与x轴交于4B两点(点B位于点4的右边)，与y轴交于点

C,连接BC,P是抛物线上的一动点，点P的横坐标为t.

(1)求力，B两点的坐标.

(2)若m=1,点P位于第四象限，过点「作刀轴的平行线交BC于点D,过点「作、轴的平行线交x轴于点E,

求PD+PE的最大值及此时点P的坐标.

(3)在(2)中PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位长度，F为点P的对应

点，平移后的抛物线与y轴交于点G,M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点

N,使得以F,G,M,N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标.

26.(本小题8分)

如图，在口2BCD中，点。是对角线2C的中点，点E在BC上，且4B=4E,连接E0并延长交2D于点尸.过点B

作4E的垂线，垂足为交4C于点G.

(1)求证：DF=BE；

(2)若NACB=45°.

①求证：NBAG=NBG力；

②探索D尸与CG的数量关系，并说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：2与-2是只有符号不同的两个数，

所以2的相反数是-2.

故选：B.

利用相反数的意义得结论.

本题考查了相反数的意义.a的相反数是-a,0的相反数是0.

2.【答案】B

【解析】解：4小亮荡秋千运动不是平移，故此选项错误；

8、电梯由一楼升到八楼，是平移，故此选项正确；

C、导时针的运行过程属于旋转，不是平移，故此选项错误；

。、卫星绕地球运动属于旋转，不是平移，故此选项错误；

故选：B.

根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，

简称平移进行分析即可.

此题主要考查了生活中的平移现象，关键是掌握平移的概念.

3.【答案】C

【解析】解：4为了审核书稿中的错别字，选择普查，正确，故本选项不符合题意；

A为了了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查，正确，故本选项不符合题意；

C.为了清楚地反映事物的变化情况，可选用折线统计图，故本选项错误，符合题意；

。频数与总次数的比值是频率，正确，故本选项不符合题意；

故选：C.

根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和事件发生的可能性大小判断相应事件的类型解答.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不

可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也

可能不发生的事件.

4.【答案】A

【解析】解：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题为假命题；

②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题；

③过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原命题为假命题；

④实数与数轴上的点一一对应，故原命题为假命题；

⑤圆周率是一个无理数，为真命题；

故真命题的个数为1个，

故选：A.

根据平行公理、点到直线的距离、无理数、实数与数轴的关系等知识逐项判断即可.

本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行公理、点到直线的距离、无理数的定义、实数与数轴的关系

等知识是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：412-6乂＜0的解集为刀＞2,不符合题意；

2.12-6比30的解集为刀22,不符合题意；

C.12—6x＞0的解集为无＜2,不符合题意；

。.12-6%20的解集为％42,符合题意；

故选：D.

先解每一个选项不等式，再根据利用数轴表示不等式的解集的方法判断即可.

本题考查的是解一元一次不等式并再数轴上表示出不等式的解集，熟练掌握利用数轴表示不等式解集的方

法是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：AD//BC,Z1=54°,

NB=N1=54°.

•••CA1BE于A,

^BAC=90°,

ZC=90°一4B=90°-54°=36°.

故选：B.

先根据平行线的性质求出NB的度数，再由垂直的定义得出的度数，根据直角三角形的性质即可得出

结论.

本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等.

7.【答案】D

【解析】解：力、数据一2,-1,0,1,1,2的中位数是等=：,故本选项错误；

2、质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用抽样调查方式，故本选项错误；

C、购买一张福利彩票中奖是一个不确定事件，故本选项错误；

。、分别写有三个数字-1,-2,4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的

两数之积为正数的概率为最故本选项正确；

故选D

根据中位数、全面调查和抽样调查、事件的分类以及概率的求法分别对每一项进行分析，即可得出答案.

此题考查了中位数、全面调查和抽样调查、事件的分类以及概率的求法.用到的知识点为：可能发生，也

可能不发生的事件叫做随机事件；概率=所求情况数与总情况数之比.

8.【答案】B

【解析】解:由在中，cos乙4cB=.='

设BC=4%,AC=5%,

则48=3%,

贝UsinNACB=第=|；

又；AB=6m,

AC-10m；

故选B.

在RtAABC中，通过已知边和己知角的余弦值，即可计算出未知边4C的长度.

此题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解答此类题目的关键.

9.【答案】D

【解析】解:4结果是6a6,故本选项不符合题意；

区结果是16a6。2,故本选项不符合题意；

C.结果是a?+2ab+故本选项不符合题意；

D结果是a?,故本选项符合题意；

故选：D.

根据单项式乘以单项式法则，塞的乘方和积的乘方，完全平方公式，合并同类项法则求出每个式子的值，

再判断即可.

本题考查了单项式乘以单项式法则，幕的乘方和积的乘方，完全平方公式，合并同类项法则等知识点，能

求出每个式子的值是解此题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：••・甲每小时加工X个零件，且甲每小时比乙多加工4个，

乙每小时加工(x-4)个零件.

根据题意得：-=^.

xx—4

故选：D.

根据甲、乙工作效率间的关系，可得出乙每小时加工(x-4)个零件，利用工作时间=工作总量+工作效

率，结合甲加工50个所用的时间与乙加工40个所用的时间相等，即可列出关于x的分式方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

11.【答案】C

【解析】解：如图，过a作与c,设点a的坐标为(叫功，

AC1OB、OA=OB,

OB=2OC,

的面积为2,

12

2-

。8Ac4

=

4

。c4-2

1

。c

22-

.・.mn=2,

・・•点4在反比例函数y=?第一象限内的图象上,

.・・mn=a=2.

故选c.

过4作AC，OB,由。4=OB可得出，OC=：0B,进而SAA℃=2SAAOB=1，再由反比例函数%的几何意

义，即可得出a的值.

本题主要考查了等腰三角形的性质，及反比例函数k的几何意义，由02=0B可得出，OC=：0B,进而

S^Aoc=^S-OB=1，是解答本题的关键•

12.【答案】D

【解析】解：ry=—x+1的图象过第一、二、四象限，丫=一|。一1)2的开口向下，顶点在点(1,0),

••・同时符合条件的图象只有选项D.

故选D

已知两函数解析式，分别求出它们经过的象限，开口方向，逐一判断即可.

本题考查了一次函数与二次函数的图象，解答此题只要大致画出一次函数和二次函数的图象，就可以直接

找出问题的答案.

13.【答案】

【解析】解：原式=，3x15

=745

=3V-5.

故答案为：36.

根据，石・6=VHRaN0,b20)计算，再化简即可得出答案.

本题考查了二次根式的乘除法，掌握，万-VT=，芯(a>0,b>0)是解题的关键.

14.【答案】-3

【解析】解：•.•分式岁的值为0,

3—x

.科|-3=0①

由①得：x=±3,

由②得：%*3,

综上：%=-3.

故答案为：-3.

由分式哈的值为0,可得｛产—3：°,再解方程与不等式即可得到答案.

3-x(3—％W0

本题考查的是分式的值为。的条件，掌握“分式的值为0,则分子为0,而分母不为0”是解本题的关键.

15.【答案】0.5

【解析】解：掷一个骰子，观察向上的面的点数，有6种情况，则点数为奇数有3种情况，

故点数为奇数的概率为W=0.5.

本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公

式.

如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件4出现小种结果，那么事件4的概率

P(A)=；

16.【答案】1

【解析】解：由题意可得：AB//DC,

贝必ABOSACDO,

故些=巨=工

〜CDC2

解得：DC=l(cm).

故答案为：1.

正确理解小孔成像的原理，利用相似三角形的判定得出△ABOSACDO,结合相似三角形的性质，禾U用2B

的值求出DC.

此题主要考查了相似三角形的应用，相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛.

17.【答案】1

_____1_____1

【解析】解：7a—2+\2b+—|+(c+2a产=0,7a—2之0,僧人+成之。，(c+2ci)2>0»

1

••.a—2=0,26+-=0,c+2a=0,

••・a=2,b=—7,c=—4.

4

a-c

..4a+8b

2—(—4)

二T~

4x2+8x(一»

6

=8^2

=1.

故答案为：1.

利用非负数的意义求得a,b,c值，将a,b,c值代入运算即可.

本题主要考查了非负数的应用，利用非负数的意义求得a,b,c值是解题的关键.

18.【答案】|75

ry=­X+2a

【解析】解：由=k消去y得到，/—2ax+k=0,

•.・直线y=-x+2a(常数a>0)和双曲线y=：(k>0,x>0)的图象有且只有一个交点,

.•./=0,即4a2—4k=0,

•••k=a2,

(,Y=n

y-a

・•.B(a,a),

令y=0,得y=—x+2a=0.

解得％=2a,

・•・4(2a,0),

过点B作1OA于H交OM于J,设OM交PB于K.

OH=BH=AH=a,

•••0M1P8,BH1OA,

・••乙OHJ=2BKJ=90°,

•・•Z.OJH=乙BJK,

・•.Z.HOJ=乙HBP,

在^。“/和△B”P中，

ZHOJ=乙HBP

OH=BH,

“HJ=乙BHP=90°

•,△OH匿XBHP(ASA),

・•.OJ=PB,JH=PH,4OJH=乙BPH,

AP=BJ,

•••乙AHB=90°,HB=HA,

・•・乙PAM=乙JBM=45°,

•・•乙BPH=^APM,Z.OJH=乙BJM,

•••乙BJM=^APM,

在和△ZPM中，

(乙BJM=Z.APM

BJ=AP,

ZJBM=乙PAM

/△4PMQ4S/),

BM=AM,(BMJ=/-AMP,

31

・•.M(-a,-a),

BM—J弓a—a)2+Ga—a)2=2^。,

设直线0M的解析式为：丫=kx,则ga=|a/c,

・•.k=g,

・,・直线。M的解析式为：y=1x,

J3

r,I、

•••J(a,-a),

1

JH=PH=2

BP=OJ=7OH2+JH2=手a，

•••/.OH]=Z.OKP=90°,乙HOJ=Z.KOP,

OHJ^AOKP,

...包=旦，即包=*,

KPOPKPa+la

-2/10

***KP=—--a,

15

D"on“n2/10V^O

*'•BK=BP—KP=---a------a=---a.

.xn/n.BK2A/-5

■■■^AMP=Sm^BMK=­=—

故答案为：等

先求出4、B点坐标，过点B作8H104于H交。M于/,利用全等三角形的性质证明0/=PB,即可

得乙AMP=4BMK,再证明△OH/SAOKP,求得PK,解Rt△BMK便可得出结果.

本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根的判别式,

全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

19.【答案】解：-24x(1-i-1)

113

=-16x(r---)

=—8+4+6

=2.

【解析】根据乘方和乘法分配律可以解答本题.

本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.

20.【答案】解：(1)x(1-%)=%-%2；

(2)(。-1)(2G+3)—2a(a—4)

=2a2+3ci—2a—3—2u^+8a

=9a—3；

x2

(3)------—x—1

x—1

x2

=X---—-T1-(k%+1)

X2—(%+1)(%—1)

x—1

x2—X2+1

x—1

1

x—1

【解析】本题考查了整式的混合运算和分式的加减，掌握相关运算法则是解题的关键.

(1)根据单项式乘多项式法则进行计算即可；

(2)先根据整式的乘法法则进行计算，再合并同类项即可;

(3)根据分式的减法法则进行计算即可.

AB=AD

21.【答案】证明：在和中，\BC=DC,

AC=AC

••.△BA%2k£MC(SZS),

•••Z-BAC=Z-DAC,

•.4c是4840的平分线.

【解析】根据全等三角形的判定定理SSS推出△BAC支DAC,根据全等三角形的性质可得MAC=^DAC

即可.

本题考查了角平分线定义和全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出也△DAC,全等三角形的

判定方法有S/S、ASZ、44s.

22.【答案】解：(1)将这36个数据重新排列为:

172,175,178,178,178,181,181,181,181,

181,181,184,184,184,184,184,184,184,

187,187,187,187,187,187,187,187,187,

190,190,190,190,190,190,193,193,196,

1

这组数据的平均数为白x(172+175+178x3+181x6+184x7+187x9+190x6+193x2+

36

196)=185,

兴人、/,184+187

中位数为一z—=185.5,

众数为187；

(2)根据样本数据可估计秦兵马俑的平均高度为185cm.

【解析】(1)根据平均数和中位数、众数的概念求解即可；

(2)根据样本数据即可估计总体的平均高度.

本题主要考查众数，中位数和平均数，解题的关键是掌握平均数和中位数、众数的定义及样本估计总体的

应用.

23.【答案】全体实数1当x>2时，y随比的增大而增大%>7或x<-3

【解析】解:(1)①函数y=号的自变量x的取值范围是全体实数，

故答案为：全体实数;

②当x=4时，y==|=1,

■■■m—1,

故答案为：1;

(2)观察此函数图象，当yN2.5时，对应的函数图象由两部分，分别为：x27或乂4-3,

・•.当x>7或x<-3时，y>2.5.

故答案为：x>7或久<—3.

(1)①利用整式的性质解答即可；

②利用解析式计算即可；

③描点，并画出函数的图象；

④利用函数的图象中变化趋势写出一条性质即可；

(4)观察图象，利用数形结合法解答即可.

本题主要考查了一次函数的图象和性质，描点法画出函数的图象，数形结合法，本题是阅读型题目，充分

理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键.

24.【答案】6045

【解析】(1)证明：如图，连接

••・乙ADB=90°.

•••AB=BC,

AD=DC.

•・•DE//AB,

.竺_竺_工

~CB~~CA~2,

BE—CE.

OA=OB,

・•・OE为△ABC的中位线，

1

・•.OE=^AC.

(2)解：①由(1)可知，OE〃aC,DE"AB,

.•.四边形力OED是平行四边形，

若四边形AOED是菱形，则04=4。，

OA=OD=AD,即△04。是等边三角形，

NA=60°；

故答案为：60；

②由⑴知DE〃OB且DE=0B,

••・四边形OBED是平行四边形，

・•・平行四边形。DEB的面积为：|-0B-ODsinADOB,

当sin/DOB=1,即NDOB=90。时，四边形。DEB的面积最大

1

4/=^Z-DOB=45°.

故答案为：45.

(1)连接BD,由等腰三角形三线合一的性质可得，用=学=1即BE=CE,可得。E为△ABC的中位线，进

CDCAZ

而可得结论；

(2)①根据菱形的性质可得A04D为等边三角形，进而可得结论；

②由题意可证明四边形。BED是平行四边形，再根据四边形的面积公式可得结论.

此题考查了圆的综合知识，主要考查圆周角定理，切线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与

判定，熟练掌握相关性质与判定是解题关键.

25.【答案】解：(1)由题意可知，|mx2—mx—4m=y(x2—2x—8)=0,

解得=4,x2=—2,

・••点4的坐标为(一2,0),点B的坐标为(4,0).

(2)如图，设PE交BC于点H.

•••m=1,

1

X2%4

・•・抛物线的函数表达式为y2--

C(0,-4),

•••8(4,0),

OB=OC=4,

AOBC=Z-OCB=45°.

vPD//OB,PE1[OC,

・•・乙BDP=乙OBC=45°,乙PHD=乙BHE=Z-OCB=45°.

:.PD=PH.

设直线BC的表达式为y=/c%+b,把C两点的坐标代入,

则b=-4,

・,・直线的表达式为y=x—4.

・・,点尸的横坐标为如

则尸(t,/2—t—4),H(t,t—4)E(t,0),

・•.PD+PE=PH+PE=25字.

4

.•・当仁,时，PD+PE取得最大值,最大值为当，

Z4

此时点P的坐标为©，一*).

127

2X

(3)由题意得平移后的抛物线表达式为y=|(x+5)-2--2

,・,抛物线y=+4%+(的对称轴为直线％=-4,

17

二设M(-4,m),N(n,-n2+4n+-),

分情况讨论：

①当FG为对角线时，

7

则-4+n=-

解得几=

止匕时+4九+：=M

ZZo

②当FM为对角线时，

r.7

贝_4=n,

解得n=—5

此时：九2+4n+^=y,

•,•M(-舞)；

③当GM为对角线时，

r.7

贝U—2+九=-4,

解得九=_g

此时段九2+4九+：=圣

ZZo

.••可3(一'片)，

综上所述，点N的坐标为(，金或(—宗为或

ZoZoZo

【解析】⑴已知抛物线y=-mx2—mx—4m(m>0)与％轴交于4,B两点(点8位于点A的右边)，把y=0

代入即可求得4、B的坐标;

(2)设PE交BC于点”.先求得抛物线的函数表达式为y