3.2.2坐标与图象的性质

坐标与图象的性质（2010•丹东）如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，1），B（3，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（）A．（﹣3，1） B．（4，1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）【考点】坐标与图形性质；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】所给点的纵坐标与A的纵坐标相等，说明这两点所在的直线平行于x轴，这两点的距离为：1﹣（﹣3）=4；点O和点B的纵坐标相等，这两点所在的直线平行于x轴，这两点的距离为：3﹣0，相对的边平行，但不相等，所以A选项的点不可能是行四边形顶点坐标．【解答】解：因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1、▱ABOC2、▱AOC3B．根据平行四边形的性质，可知B、C、D正好是C1、C2、C3的坐标，故选A．【点评】理解平行四边形的对边平行且相等，是判断本题的关键．（2010•贵港）如图所示，A（﹣，0）、B（0，1）分别为x轴、y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP=S△ABC，则a的值为（）A． B． C． D．2【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】过P点作PD⊥x轴，垂足为D，根据A（﹣，0）、B（0，1）求OA、OB，利用勾股定理求AB，可得△ABC的面积，利用S△ABP=S△AOB+S梯形BODP﹣S△ADP，列方程求a．【解答】解：过P点作PD⊥x轴，垂足为D，由A（﹣，0）、B（0，1），得OA=，OB=1，∵△ABC为等边三角形，由勾股定理，得AB==2，∴S△ABC=×2×=，又∵S△ABP=S△AOB+S梯形BODP﹣S△ADP=××1+×（1+a）×3﹣×（+3）×a，=，由2S△ABP=S△ABC，得=，∴a=．故选C．【点评】本题考查了点的坐标与线段长的关系，不规则三角形面积的表示方法．（2009秋•江北区校级期中）在平面直角坐标系中，已知A（2，﹣2），点P是y轴上一点，则使AOP为等腰三角形的点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定．【专题】压轴题．【分析】由于点P的位置不确定，所以应当讨论，当OA=OP时，可得到2点，当OA=AP时，可得到一点．【解答】解：分三种情况：当OA=OP时，可得到2点；当OA=AP时，可得到一点；当OP=AP时，可得到一点；共有4点，故选D．【点评】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；分情况进行分析是正确解答本题的关键．（2009•德州）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0） B．（，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣）【考点】坐标与图形性质；垂线段最短．【专题】计算题；压轴题．【分析】过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，此时线段AB最短，因为直线y=x的斜率为1，所以∠AOB=45°，△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则OC=BC=．因为B在第三象限，所以点B的坐标为（﹣，﹣）．【解答】解：线段AB最短，说明AB此时为点A到y=x的距离．过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，∵直线y=x与x轴的夹角∠AOB=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴，垂足为C，则BC为中垂线，则OC=BC=．作图可知B在x轴下方，y轴的左方．∴点B的横坐标为负，纵坐标为负，∴当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．故选：C．【点评】本题考查了动点坐标的确定，还考查了学生的动手操作能力，本题涉及到的知识点为：垂线段最短．（2008•天门）如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（）A．（2，2） B．（，） C．（2，） D．（，）【考点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB=60°，CB′=OC=OA=4，所以∠B′CD=30°，B′D=2，根据勾股定理得DC=2，故OD=4﹣2，即B′点的坐标为（2，）．【解答】解：过点B′作B′D⊥OC∵∠CPB=60°，CB′=OC=OA=4∴∠B′CD=30°，B′D=2根据勾股定理得DC=2∴OD=4﹣2，即B′点的坐标为（2，）故选C．【点评】主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理．（2008•鄂州）如图，直线y=﹣2x+4与x轴，y轴分别相交于A，B两点，C为OB上一点，且∠1=∠2，则S△ABC=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】坐标与图形性质；一次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】本题可先根据直线的方程求出A、B两点的坐标，再根据角相等可得出三角形相似，最后通过相似比即可得出S△ABC的大小．【解答】解：∵直线y=﹣2x+4与x轴，y轴分别相交于A，B两点∴OA=2，OB=4又∵∠1=∠2∴∠BAO=∠OCA∴△OAC∽△OAB则OC：OA=OA：OB=1：2∴OC=1，BC=3，∴S△ABC=×2×3=3故选C．【点评】主要考查了一次函数图象上点的特征和点的坐标的意义以及与相似三角形相结合的具体运用．要把点的坐标有机地和图形结合起来求解．（2006•淄博）在平面直角坐标系中，已知A（，1），O（0，0），C（，0）三点，AE平分∠OAC，交OC于E，则直线AE对应的函数表达式是（）A．y=x﹣ B．y=x﹣2 C．y=x﹣1 D．y=x﹣2【考点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式．【专题】压轴题；待定系数法．【分析】先求E点坐标，再求直线解析式．【解答】解：∵A（，1），O（0，0），C（，0），∴OA=2，AC=1，OC=．∠AOC=∠OAE=∠EAC=30°．∴2EC=AE，CE=，OE=﹣=，即点E（，0）．设直线AE对应的函数表达式是y=kx+b，把点E、A的坐标代入解得，k=，b=﹣2，即y=x﹣2．故选B．【点评】主要考查了待定系数法求函数解析式和点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要把点的坐标有机的和图形结合起来求解．（2005•宿迁）已知点A（2，0）、点B（﹣，0）、点C（0，1），以A，B，C三点为顶点画平行四边形．则第四个顶点不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】坐标与图形性质；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意画出草图，然后解答．以AB为一边时，CD的长等于AB=2﹣（﹣）=2，点D的坐标可以为（2，1）或（﹣2，1）；以BC为对角线时，点在第四象限．坐标为（1，﹣1）．【解答】解：根据平行四边形的边的性质知，对边相等．可以知道另一个顶点的坐标可以为：（1，﹣1）或（2，1）或（﹣2，1）．∴不在第三象限．故选C．【点评】本题结合平面直角坐标系考查了平行四边形的性质，根据题意画出草图，注重数形结合是解题的关键．（2005•乌兰察布）如图，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，顶点B的坐标是（4，2），若直线y=mx﹣1恰好将矩形分成面积相等的两部分，则m的值为（）A．1 B．0.5 C．0.75 D．2【考点】坐标与图形性质；一次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】经过矩形对角线交点的直线把矩形分成面积相等的两个部分．所以先求对角线交点坐标，然后求解．【解答】解：∵直线y=mx﹣1恰好将矩形分成面积相等的两部分，∴直线y=mx﹣1经过矩形的对角线交点（2，1）．把点（2，1）代入可得m=1．故选A．【点评】主要考查了坐标与图形的性质和矩形的性质．解题关键是要熟知对角线的交点是矩形的中心，过中心的直线能把矩形分成面积相等的两个部分．（2005•南昌）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（0，0）、（0，﹣5）、（﹣2，﹣2），以这三点为平行四边形三的三个顶点，则第四个顶点D不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】坐标与图形性质；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】可用点平移的问题来解决，从A到B横坐标不变，纵坐标变化5，那么从C到点D，横坐标不变，纵坐标也变化5，为（﹣2，﹣7）或（﹣2，3）分别在第三象限或第二象限；从C到A横坐标加2，纵坐标加2，那么从B到D也应如此，应为（2，﹣3），在第四象限，所以不可能在第一象限．【解答】解：根据平移的性质分两种情况①从A到B横坐标不变，纵坐标变化5，那么从C到点D，横坐标不变，纵坐标也变化5，则D点为（﹣2，﹣7）或（﹣2，3），即分别在第三象限或第二象限．②从C到A横坐标加2，纵坐标加2，那么从B到D也应如此，应为（2，﹣3），即在第四象限．故选A．【点评】本题画出图后可很快求解．不画图的话可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，用点的平移来解决问题．（2002•南昌）如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若P都是整数点，则这样的点共有（）A．4个 B．8个 C．12个 D．16个【考点】坐标与图形性质；勾股定理；点与圆的位置关系．【专题】压轴题．【分析】应分为两种情况：①若这个点在坐标轴上，那么有四个；②若这个点在象限内，由52=42+32，可知在每个象限有两个，总共12个．【解答】解：分为两种情况；①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是（0，5），（5，0），（﹣5，0），（0，﹣5）；②若这个点在象限内，∵52=42+32，而P都是整数点，∴这样的点有8个，分别是（3，4），（3，﹣4），（﹣3，4），（﹣3，﹣4）），（4，3），（4，﹣3），（﹣4，3），（﹣4，﹣3）．∴共12个，故选C．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系及勾股定理，解题的关键是由题意得出分为两种不同的情况，从而由勾股定理解决问题．（2000•山东）在直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，4），C（0，3），过C作直线交x轴于D，使以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作（）A．2条 B．3条 C．4条 D．6条【考点】坐标与图形性质；相似三角形的判定．【专题】常规题型；压轴题．【分析】由已知，∠AOB=∠COD=90°，0A：OB=1：2，由于对应顶点不确定，那么OC：OD应等于1：2，或2：1．点D的坐标可能为（﹣6，0），（﹣1.5，0），（1.5，0），（6，0）那么过CD的直线最多可做4条．【解答】解：根据分析得满足的条件有4条，故选C．【点评】本题考查了三角形相似的判定，即两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；还考查了分类讨论的数学思想．（2012•江东区校级自主招生）在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数，若累计到正方形AnBnCnDn时，整点共有1680个，则n=20．【考点】坐标与图形性质；正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】寻找规律：第n个正方形上的整点个数是：4+4（2n﹣1）=8n．得方程求解．【解答】解：正方形A1B1C1D1上的整点个数是8，正方形A2B2C2D2上的整点个数是16，正方形A3B3C3D3上的整点个数是24，则第n个正方形上的整点个数是：4+4（2n﹣1）=8n．累计到正方形AnBnCnDn时，整点共有8（1+2+…+n），即8（1+2+…+n）=1680，=210，解得n1=20，n2=﹣21（舍去）．故答案为：20．【点评】本题需要通过找每个正方形上的整点个数的规律，得出一般结论，再进一步求和．（2012•武鸣县模拟）在图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：A（0，3），B（1，﹣3），C（3，﹣5），D（﹣3，﹣5），E（3，5），F（5，7）．（1）A点到原点O的距离是3个单位长．（2）将点C向左平移6个单位，它会与点D重合．（3）连接CE，则直线CE与y轴是什么位置关系？（4）点F到x、y轴的距离分别是多少？【考点】坐标与图形性质；坐标与图形变化-平移．【专题】常规题型；压轴题．【分析】（1）点A（0，3）在一轴上，根据y轴上坐标的特点即可得出A点到原点O的距离；（2）根据平移规律：向左平移6个单位，求出平移后的坐标，继而即可得出答案；（3）点C和点E的横坐标相等，可知直线CE与y轴平行；（4）点F（5，7）到x轴的距离即是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离即是其横坐标的绝对值．【解答】解：在平面直角坐标系中表示出各点，如下所示：（1）A点到原点O的距离是3个单位长；（2）将点C向左平移6个单位后的坐标为（﹣3，﹣5），所以与点D重合；（3）∵点C和点E的横坐标相等，∴直线CE与y轴平行；（4）点F（5，7）到x轴的距离=|7|=7，到y轴的距离=|5|=5．故答案为3，D．【点评】本题考查坐标与图形的性质及坐标与图形变化中的平移问题，注意对直角坐标系中点的坐标性质的掌握，属于基础题，比较容易解答．（2011•锦州）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是（51，50）．【考点】坐标与图形性质；规律型：图形的变化类．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可．【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），∴第100次跳动至点的坐标是（51，50）．故答案为：（51，50）．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．（2011•鞍山）如图，从内到外，边长依次为2，4，6，8，…的所有正六边形的中心均在坐标原点，且一组对边与x轴平行，它们的顶点依次用A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、A11、A12…表示，那么顶点A62的坐标是（﹣11，﹣11）．【考点】坐标与图形性质；规律型：图形的变化类；多边形．【专题】压轴题；规律型．【分析】=10余2，顶点A62所在的正六边形的边长为（10+1）×2=22，顶点A62在第三象限，继而即可得出答案．【解答】解：∵=10余2，∴顶点A62所在的正六边形的边长为（10+1）×2=22，且顶点A62在第三象限，其横坐标为﹣=﹣11，纵坐标=﹣×cot60°=﹣=﹣11，故顶点A62的坐标是（﹣11，﹣11）．故答案为：（﹣11，﹣11）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，难度适中，解题关键是首先找出A62所在的正六边形的边长．（2011•诸城市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是（2，）．【考点】坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】本题可作过A点垂直于y轴的直线，根据三角形的勾股定理列出方程，求解即可得答案．【解答】解：作AE⊥y轴于点E，连接AB，AC，则四边形ABOE为矩形，CE=CD=（4﹣1）=1.5，AC=AB=OE=1+（4﹣1）÷2=2.5，AE===2，∴点A的坐标是（2，）．【点评】本题考查常用辅助线作法：连接圆心和切点，作弦心距．（2011•嘉兴一模）如图，已知A，B两点的坐标分别为（，0），（0，），以点C（﹣1，﹣1）为圆心的⊙C分别与x轴，y轴都相切；若D是⊙C上的一个动点，线段DB与x轴交于点E．则△ABE的最大面积是．【考点】坐标与图形性质；解一元一次方程；三角形的面积；勾股定理；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理．【专题】计算题；几何图形问题；压轴题．【分析】过B作圆C的切线BM交X轴于N，当D和M重合时，E和N重合，此时AE最大，因为△ABE的高OB一定时，此时△ABE的面积就最大，连接CF、CW，根据切线的性质证四边形CWOF是正方形，得到OW=CW=CF=OF=1，根据切线长定理推出BF=BM，NW=NM，设NW=NM=x，在Rt△BNO中由勾股定理得出BN2=OB2+ON2，代入得到方程，求出x，即可求出AE的最大值，即可求出答案．【解答】解：过B作圆C的切线BM交X轴于N，当D和M重合时，E和N重合，此时AE最大，因为△ABE的高OB一定时，此时△ABE的面积就最大，连接CF、CW，∵圆C且X轴于W，切Y轴于F，∴CW⊥X轴，CF⊥Y轴，∵X轴⊥Y轴，∵CF=CW，∴四边形CWOF是正方形，∴OW=CW=CF=OF=1，∵BM切圆C于M，∴BF=BM，NW=NM，设NW=NM=x，则BN=﹣1+1﹣x=﹣x，ON=1+x，在Rt△BNO中由勾股定理得：BN2=OB2+ON2，∴=+（1+x）2，解得：x=2﹣，∴此时AE最大是﹣1+1+2﹣=2，△ABE的最大面积是×AE×OB=×2×（﹣1）=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查对切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的面积，坐标与图形的性质，解一元一次方程，正方形的性质和判定等知识点的理解和掌握，熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．（2010•东阳市）如图，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是两直线y1=2x+6、y2=2x﹣6中某条上的一点，若△APD是等腰Rt△，则点D的坐标为（4，2），（4，14），（，），（，）．【考点】坐标与图形性质；一次函数综合题；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题；动点型．【分析】此题应考虑两种情况：①点D在直线y=2x+6上，然后再分三种情况进行讨论：1、D为直角顶点，2、A为直角顶点，3、P为直角顶点；②点D在直线y=2x﹣6上，同上，也需分三种情况讨论；在求解过程中，要结合全等三角形的判定和性质进行求解．【解答】解：易知：A（0，6），C（8，0），AB=8，OA=BC=6；则点A正好位于直线y=2x+6上；（1）当点D位于直线y=2x+6上时，分三种情况：①点P为直角顶点，结合图形，显然此时点D位于第四象限，不合题意；②点D为直角顶点，那么∠DAP=45°，结合图形2可知：∠DAB＞45°，而点P位于线段BC上，故不存在这样的等腰直角三角形；③点A为直角顶点，如图；过D作DE⊥y轴于E，则△ADE≌△APB，得：AE=AB=8；即点D的纵坐标为：14，代入y=2x+6中，可求得点D（4，14）；（2）当点D位于直线y=2x﹣6上时，分三种情况：①点A为直角顶点，结合图形可知，此种情况显然不合题意；②点D为直角顶点，分两种情况：1、点D在矩形AOCB的内部时，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D（x，2x﹣6）；则OE=2x﹣6，AE=6﹣（2x﹣6）=12﹣2x，DF=EF﹣DE=8﹣x；则△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：12﹣2x=8﹣x，x=4；∴D（4，2）；2、点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，2x﹣6）；则OE=2x﹣6，AE=OE﹣OA=2x﹣6﹣6=2x﹣12，DF=EF﹣DE=8﹣x；同1可知：△ADE≌△DPF⇒AE=DF，即：2x﹣12=8﹣x，x=；∴D（，）；③点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部；设点D（x，2x﹣6），则CF=2x﹣6，BF=2x﹣6﹣6=2x﹣12；易证得△APB≌△PDF，得：AB=PF=8，PB=DF=x﹣8；故BF=PF﹣PB=8﹣（x﹣8）=16﹣x；联立两个表示BF的式子可得：2x﹣12=16﹣x，即x=；∴D（，）；综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；且D点的坐标为：（4，2），（4，14），（，），（，）．【点评】此题考查了点的坐标、矩形的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形以及全等三角形等相关知识的综合应用，需要考虑的情况较多，难度较大．（2010•保定二模）如图，OA=OB，A点坐标是（﹣，0），OB与x轴正方向夹角为45°，则B点坐标是（1，1）；AB与y轴交于点C，若以OC为轴，将△OBC沿OC翻折，B点落在第二象限内B'处，则BB'的长度为2．【考点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】本题可过B点作垂直于x轴的线，根据三角形的勾股定理即可得出B点的坐标．在根据B与B′关于OC对称可得出BB′的长度．【解答】解：过B点作x轴垂线，垂足为D∵OA=OB，A点坐标是（﹣，0）∴OB=OA=，在直角三角形中，∠BOD=45°∴OD=BD=1，∴B（1，1）又∵轴对称，可知BB′=2OD=2．【点评】求某一点的坐标，可以过这一点作x轴或者y轴的垂线，解直角三角形，求出两条直角边的长度，根据点的象限确定点的坐标．（2009•潍坊）已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是．【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】根据题意可知，当AB的中点D、O、C三点共线时OC最长，再结合等边三角形的性质即可得出本题的答案．【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD．∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC=a，根据三角形的性质可知：OD=a，CD==a．∴OC=a故答案为：a．【点评】本题考查的是等边三角形的性质；要注意直角三角形斜边中点到三顶点距离相等，即等于斜边的一半．（2009•沈阳模拟）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线l：y=﹣x+4相切，则点P的坐标是（0，0）或（6，0）或（0，8）．【考点】坐标与图形性质；切线的性质．【专题】压轴题．【分析】由直线解析式可知，OA=3，OB=4，由面积法知△OAB边AB上的高正好是所求圆的半径，故点O是所求的点，再满足题意的两关于点A成中心对称图形，故点O关于点A的对称点、点O关于点B的对称点也满足题意．【解答】解：过点O作直线AB的垂线，垂足为C点，由直线解析式可知：OA=3，OB=4，由勾股定理可知：AB=5，由面积法可知，OC•AB=OA•OB，∴OC=，故原点O（0，0）满足题意；由于OA=3，OB=4，根据中心对称性得点（6，0）、（0，8）满足题意．故本题答案为：（0，0）或（6，0）或（0，8）．【点评】本题是直线与圆的位置关系在直角坐标系的运用，通过巧妙设计点到直线的距离求解．（2009•西城区二模）如图，在平面直角坐标系中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第一个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第一个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线BnBn+1都在y轴上，且BnBn+1的长度依次增加1个单位，顶点An都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为2，用n表示An的纵坐标．【考点】坐标与图形性质；正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】作A1D⊥y轴于点D，可推出A1的纵坐标=B1D+B1O=1+1==2，A2的纵坐标==4.5，则An的纵坐标为．【解答】解：作A1D⊥y轴于点D，则B1D=B1B2÷2=（3﹣1）÷2=1，∴A1的纵坐标=B1D+B1O=1+1==2，同理可得A2的纵坐标=OB2+（B2B3）÷2=3+（6﹣3）÷2==4.5，∴An的纵坐标为故答案为2，【点评】解决本题的关键是观察图形得到点的纵坐标的特点．（2009•宁波校级模拟）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），O是坐标原点，在直线y=﹣x+3上求一点Q，使△QOA是等腰三角形，这样的Q点5个．【考点】坐标与图形性质；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．【专题】压轴题．【分析】本题可先计算出AO的长度，根据Q在直线上，设出Q点的坐标，根据两点之间的距离公式分别算出QO、QA关于Q点坐标的表达式，再根据等腰三角形得出方程，化简，即可得出Q点的坐标．注意讨论腰的情况．【解答】解：直线y=﹣x+3与x轴的交点为（6，0），与y轴的交点为（0，3），当OA=AQ时，可在直线y=﹣x+3上找到2点；当OA=OQ时，可在直线y