人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 位似(知识讲解)

27.23位似(知识讲解)

【学习目标】

1.了解图形的位似，明确位似变换是特殊的相似变换；

2.能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；

【要点梳理】

知识点1:位似图形概念

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这

样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

知识点2：位似图形的性质

(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

(2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

(3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

特别说明：

(1)位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形

未

必能构成位似图形.

(2)位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原

点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

知识点3：平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：

3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状

没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的.

知识点4：作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接各对应点.

特别说明：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似

中心不同的画法.

(2)

【典型例题】

类型一、位似图形的识别

01.如图是与ABC位似的三角形的几种画法，其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据位似图形的性质判断即可.

解：由位似图形的画法可得：4个图形都是二ABC的位似图形.

故选：D.

【点拨】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键.

举一反三：

【变式】下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（）

【答案】D

【分析】根据位似图形的定义解答即可.

解：A、3和C中的两个图形都是位似图形,

A中的位似中心是点C,

2中的位似中心是点0,

C中的位似中心是点0.

只有选项D的对应顶点的连线相不交于一点，对应边不互相平行，故。不是位似图像.

故选D

【点拨】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线

相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键.

类型二、判断位似中心

鱼，2.如图所示，将团ABC的三边分别扩大一倍得到回A1B1CL（顶点均在格点上），

它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（)

A.(-4,-3)B.(-3,-3)C.(_4,-4)D.(-3,-4)

【答案】A

【分析】作直线44/、BB],这两条直线的交点即为位似中心.

解：由图中可知，点尸的坐标为(-4,-3).

故选A.

【点拨】用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心.

举一反三:

【变式】如图，若AABC与是位似图形，则位似中心的坐标是()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)

【答案】C

【分析】根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心.

解：连接C1C,B|B,A1A并延长，交点P即为所求，由图可知：位似中心的坐标是:

故选：C.

【点拨】此题考查的是位似图形及位似中心的定义，掌握位似中心的确定方法：位似图

形的各个对应点连线的交点即为位似中心是解决此题的关键.

类型三、位似图形的相关概念

.如图，已知AABC与位似，位似中心为点O,且AABC的面积等于

4

面积的则AO：的值为（）

C.4：9D.4：13

【答案】B

【分析】由AABC经过位似变换得到ADEF,点。是位似中心，根据位似图形的性质得

至IJAB：DO=2：3,进而得出答案.

4

解：:△ABC与ADEF位似，位似中心为点O,且AABC的面积等于ADEF面积的

AC2

AC〃DF,

DF3

.AOAC2

*DODF3'

.AO2

———

AD5

故选B.

【点拨】此题考查了位似图形的性质.注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相

似比，其对应的面积比等于相似比的平方.

举一反三：

【变式】按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的如图，任取一点。，连结AO,

BO,CO,并取它们的中点E、F,WADEF；则下列说法错误的是（）

A.点。为位似中心且位似比为1：2

B.△ABC与△£>即是位似图形

C.△ABC与△£>£歹是相似图形

D.△ABC与△。斯的面积之比为4：1

【答案】A

【分析】根据位似图形的性质，得出①4ABC与ADEF是位似图形进而根据位似图形

一定是相似图形得出②^ABC与ADEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据

面积比等于相似比的平方，即可得出答案.

解：•.•如图，任取一点0,连结AO,BO,C0,并取它们的中点D、E、F,得△DEF,

.•.将△ABC的三边缩小到原来的g,此时点0为位似中心且△ABC与^DEF的位

似比为2：1,故选项A说法错误，符合题意；

△ABC与ADEF是位似图形，故选项B说法正确，不合题意；

AABC与ADEF是相似图形，故选项C说法正确，不合题意；

△ABC与ADEF的面积之比为4：1,故选项D说法正确，不合题意；

故选：A.

【点拨】此题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键.

类型四、位似图形的相似比

它’4.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点0,臂=［，则

OA5

S四边形EFG”_

S四边形ABCD

【答案】、Q

解：：四边形ABC。与四边形位似，位似中心点是点0,

.EF_0E_3

•,布一演一S'

则

故答案为（-

【点拨】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多

边形的性质是解题的关键.

举一反三：

【变式】如图，ABC与VAEC是位似图形，点O是位似中心，若。4=2AA',

S^ABC=8.贝I=

【答案】18

【分析】由ABC与是位似图形且由Q4=24V.可得两位似图形的位似比为

2：3,所以两位似图形的面积比为4：9,又由ABC的面积为8,得△ABC'的面积

为18.

解：ABC与,ABC是位似图形，

..△ABCsAA'3'C',

..qABC

□A'B'C'

,OA=2AA\

.OA2AAf2

,~O^~2AATAA~3,

SAABC=8,

…SA'B'C=18,

经检验：sA'B'C'=18符合题意.

故答案为：18.

【点拨】本题考查的是位似图形的性质，掌握利用位似图形的面积之比等于相似比的平

方是解题的关键.

类型五、画位似图形放大后的的位似图形

.在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)I(4,1),C(1,1).

(2)画出ABC以点。为位似中心，位似比为1：2的.

【答案】(1)如图所示△4BG为所求；见分析；(2)如图所示△人为6为所求；见

分析.

【分析】

(1)将的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可.

(2)在aABC同侧和对侧分另IJ找至U20A=0A2,2OB=OB2,20c=0C2所对应的A2,

B2,C2的坐标，连接即可.

解：(1)由题意知：AFC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),

C(1,1),

则..ABC关于x轴成轴对称的△A4C的坐标为Ai(1,-3),Bi(4,-1),

Ci(1,-1),

连接AiCi,AiBi,BiCi

得到&4G.

如图所示△44C为所求；

(2)由题意知：位似中心是原点，

则分两种情况：

第一种，△入5G和ABC在同一侧

则A2(2,6),B2(8,2),C2(2,2),

连接各点，得△&与G.

第二种，△&骂G在ABC的对侧

Ai(—2,—6),Bj(—8,—2),C2(—2,—2),

连接各点，得△&与G.

综上所述：如图所示△入!?2c2为所求；

【点拨】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、

位似比的概念及应用是解题的关键.

举一反三：

【变式】如图是3x5的网格，网格中每个小正方形的边长都是1,小格的顶点叫做格点,

以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.

(1)图1中的格点三角形ABC与格点三角形。跖相似吗？请说明理由;

(2)请在图2中选择适当的位似中心画一个格点三角形AAG，使△A4C与一ABC位

似，且相似比不为1.

图1图2

【答案】(1)AABCs八DEF,理由见分析；(2)如图所示(答案不唯一)，

见分析.

【分析】

(1)根据题意以及利用勾股定理求出三角形各个边长，然后进一步得出对应边成比例

求证三角形相似即可；

(2)可选择A点为位似中心，然后进一步按要求画出位似图形即可.

解：(1)AABCSADEF,理由如下:

由题图，可知AB=1,BC=6,AC=®DE=®EF=M,DF=5,

则=£=七.=好

'DEEFDF5

/.AABCs/\DEF；

(2)△44C如图所示:

【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与位似图形的作图，熟练掌握相关概念是解

题关键.

类型六、求位似图形对应的坐标

.如图，已知一ABC三个顶点的坐标是人(-5,5),8(-4,1),C(-2,3).

(1)将—ABC绕原点。顺时针旋转90。得画出A4G，并写出4、4、G的

坐标;

(2)A&C?和一ABC关于原点。对称，画出.4B2c2；

(3)以点。为位似中心，将,ABC缩小为原来的;，请直接写出点A的对应点A3的坐

【答案】(1)见分析，4(5,5)、4(1,4)、0(3,2)；(2)见分析；(3)或

IT

【分析】

(1)分别作出点A、B、C绕坐标原点。顺时针旋转90。得到的对应点，再顺次连接可

得；

(2)分别作出点A、B、C关于原点的对称点，顺次连接可得；

(3)分两种情况写出即可.

解：⑴如图所示，MBC为所求；4(5,5)、片(1,4)、C13,2)

(2)如图所示，△4鸟G为所求

【点拨】本题主要考查作图-中心对称变换、旋转变换、位似变换，解题的关键是根据

中心对称变换和位似变换的点的坐标特征，确定变换后的对应点.

举一反三：

【变式】如图，在平面直角坐标系网格中，将AABC进行位似变换得到AA/B/G.

(1)AAIBICI与AABC的位似比是；

(2)画出AA/B/G关于y轴对称的△A2&C2；

(3)设点P(a,b)为AABC内一点，则依上述两次变换后，点尸在AA222c2内的对应

【分析】

⑴根据位似图形可得位似比即可；

⑵根据轴对称图形的画法画出图形即可；

(3)根据三次变换规律得出坐标即可.

解：⑴ZVUB心与的位似比等于=照=金=2；

AB2

(2)如图所示

>A

(3)点尸(a,b)为△ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为

(-2a,2b).

考点：(1)、作图-位似变换；(2)、作图-轴对称变换

类型七、坐标系中的位似图形

.如图，分别以A4BC的边AC和BC为腰向外作等腰直角AD4c和等腰直角

AEBC,连接DE.

(1)求证：AD4cs△EBC；

(2)求AABC与的面积比.

【答案】(1)见分析；(2)|

【分析】

(1)利用等腰直角三角形的性质证明△DACS^EBC；

(2)依据ADACs/^EBC所得条件，证明AABC与AOEC相似，通过面积比等于相

似比的平方得到结果.

(1)证明：•••△E8C是等腰直角三角形

：.BC=BE,NEBC=9Q。

：.ZBEC=ZBCE=45°.

同理NDAC=90。，ZADC^ZACZ)=45°

AZEBC=ZDAC=90°fZBCE=ZACD=45°.

：.△DACs^EBC.

(2)解：•.,在R3ACD中，AC2+AD2=CD2,

：.2AC2=CD2

.AC应

,•=,

CD2

ADACsAEBC

.AC_DC

••法一正’

.ECDC

••拓一就‘

•.*/BCE=NACD

：.ZBCE-ZACE=ZACD-ZACE,即N5CA=NEC。，

FCDC'

.在ADEC和△ABC中，——=——，ZBCA=ZECD,

BCAC

:.小DECs^ABC,

：.S^ABC:S^DEC=(—=g.

UcJ2

【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及相似三角形的面积比等于相似比的

平方，解题的关键在于利用(1)中的相似推导出第二对相似三角形.

举一反三：

【变式】在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为4。，2)、3(1,3)、C(2,l).

(1)在坐标系中面出4ABe关于y轴的对称图形△ABC；

(2)在坐标系中原点。的异侧，画出以。为位似中心与,ABC位似比为2的位似图形

(3)求出△AB2G的面积.

【答案】(1)见分析(2)见分析(3)6

【分析】

(1)根据纵不变，横相反，确定对称点的坐标，依次连接各点，得到所求三角形；

(2)根据位似比，确定坐标的绝对值，结合位置，确定坐标，依次连线，得到所求三

角形；

(3)先计算SABC，利用面积之比等于相似比的平方，计算即可.

解：⑴：，ABC的顶点坐标分别为40,2)、8(1,3)、C(2,l),

各点关于y轴的对称点坐标依次为4(0,2),且(一1,3),0,(-2,1),

画图如下：

则△4月£即为所求.

(2)\\ABC的顶点坐标分别为A(0,2)、8(1,3)、C(2,l),

二位似比为2时的位似点坐标依次为4(0,-4),B2(-2,-6),C2(-4,-2),

则△4与G即为所求.画图如下:

八

1113

(3)SABC=2x2——x2xl——x2xl——xlxl=—,位似比为2,

・,.s=-X22=6.

&B2c22

【点拨】本题考查了关于y轴对称，位似作图，位似比的性质，熟练掌握位似的性质是

解题的关键.

类型八、坐标系中的位似图形

.如图，AABC的顶点坐标分别为A(1,3)、B(4,2)、C(2,1).

(1)在图中以点。为位似中心在原点的另一侧画出AABC放大2倍后得到的

并写出A/的坐标;

(2)请在图中画出AABC绕点。逆时针旋转90。后得到的AA282c2.

(1)把每个坐标做大2倍，并去相反数；

(2)横纵坐标对调，并且把横坐标取相反数.

解：(1)如图，为所作，4(-2,-6)；

(2)如图，AA2B2C2为所作.

举一反三：

【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知AABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2),

B(-3,4)C(-2,6).

(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90。后得到的仆AiBiCi；

(2)以原点O为位似中心，画出将△AiBiCi三条边放大为原来的2倍后的△A?B2c2.

【分析】

(1)由A(-1,2),B(-3,4)C(-2,6),可画出△ABC,然后由旋转的性质,

即可画出4AiBiCi；

(2)由位似三角形的性质，即可画出AA2B2c2.

解：(1)如图：AAiBiCi即为所求；

(2)如图：AAZB2c2即为所求.

类型九、坐标系中画两个位似图形