吉林省延边部分学校2024年普通高校招生考试模拟卷（一）数学试题（含答案解析）

吉林省延边部分学校2024年普通高校招生考试模拟卷（一）

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合U={1,2,3,4,6},A={1,2},3={2,4,6},则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{1,2,4,6）B.{1,2,3}

c.WD.（1,2,3,6}

【答案】C

【分析】

由韦恩图可知，阴影部分表示（。町cA,再根据补集贺交集的定义即可得解.

【详解】由韦恩图可知，阴影部分表示（①町门人，

孰3={1,3},所以@B）cA={l}.

故选：C.

2.已知复数z满足（3+4i）z=5i,则z+』=（）

.86-6一8

A.—B.—C.一D.—

5555

【答案】D

【分析】利用复数的运算可求得实数z的值，再利用共辆复数的定义结合复数加法运算

可求得结果.

5i（3-4i）20+15i43.

【详解】由己知可得-----------------------------------=----------|]

（3+4i）（3-4i）2555

-43

所以z=y-不，

HU-43.43.8

因止匕，z+z=—+—1+---------1=-.

55555

故选：D.

y/5—1则广吗二（

3.已tan—一,)

221-cos2”

B#+1

八A・—2C.2D.75+1

2

【答案】A

【分析】

利用二倍角公式以及三角函数的基本关系式化简即可得答案.

20

sin262sincos011tan2

【详解】由题意得l-c°s2"2sin?0tan"2tan-2tan-,

22

1—tan—

2

1-tan2—

eV5-1£

将tan—代入可得-----看

222tan—2

2

故选：A.

4.已知圆C：(尤+Z-1)2+(y+24=4,若p：“％=-!”；q：“圆C与无轴、y轴均相

切“，则p是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

根据圆的方程可得圆心和半径，根据题意求得上=-1,结合充分、必要条件分析判断.

【详解】由题意可知：圆c：（x+上一l）?+（y+2左）2=4的圆心。（1一匕一2左），半径为2,

若圆C与x轴、y轴均相切,则”对=|—2对=2,解得％=—1,

即“圆C与无轴、y轴均相切”等价于“％=-1”，

可知P是4的充要条件.

故选：C.

5.碗是人们日常必需的饮食器皿，碗的起源可追溯到新石器时代泥质陶制的碗，其形

状与当今无多大区别，即口大底小，碗口宽而碗底窄，下有碗足.如图所示的一个碗口

直径为9.3cm,碗底直径为3.8cm,高4cm,它的形状可以近似看作圆台，则其侧面积

约为（）

试卷第2页，共18页

A.27兀B.30兀C.32兀D.36兀

【答案】C

【分析】

根据圆台的侧面积公式运算求解即可.

【详解】由题意可知：碗口半径为4.65cm,碗底半径为1.9cm,

可知母线为,4.65-1.9）2+42=J23.562524.9（cm）,

所以其侧面积约为7t（4.65+1.9）x4.9=32.09571-32K（cm2）.

故选：c.

22

6.己知点「（2,〃2）在椭圆心!?+\=1上，过点？作椭圆的切线/，若直线/经过点（4，°），

则椭圆的离心率为（）

A.；B.立C.且D.-

2233

【答案】B

【分析】易得椭圆C的焦点在x轴上，可设切线/的方程为x="_y+4,联立方程，根据

△=0,求出〃，再根据点尸（2,m）在椭圆上求出加，再结合斜率求出再根据椭圆的

离心率公式即可得解.

22

【详解】因为点尸（2,加）在椭圆C：4+—=1±.

a4

所以3+左=1,贝|二=1一亡41,所以

a4a4

又/w*所以/>4,

所以椭圆C的焦点在X轴上,

可设切线/的方程为x=〃y+4,

x=ny+4

2

联立％2/消y得（4/+/）/+32ny-4a+64=0,

-r+—=

[a4

2

贝必=（32〃y-4（4n+4）（—4/+64）=0,

整理得^+4〃2=16,所以/=里之，

4

2

T74m246Z-16

又F+—=1，所以机=——Z一，

a4a

2

n2—____1____—__4_—___a__

又（加一加24Z2—4,

所以里G=rL,解得“2=8（/=_8舍去）

4a2-4

所以椭圆的离心率为14=理二=交.

V7782

故选：B.

7.如图是一个空气开关，又名空气断路器，是家中非常重要的一种电器，它集控制和

多种保护功能于一身，能对电路或电气设备发生的短路、严重过载及欠电压等进行保

护.某学校配电房共有18个空气开关排成一列，电工准备进行电路调试，打算关闭3

个，头尾不能关闭，关闭的相邻两个开关之间至少有两个是打开的，则不同的方案种数

是（）

Jocorn«~J06*7

A.220B.364C.560D.680

【答案】A

【分析】

根据题意结合插空法分析求解.

【详解】将18个开关分成两组，一组为要关闭的3个开关，另外一组为剩余的15个开

关，

由题意可知：开关均是相同的，

将剩余的15个开关中的13个开关排成一排，

将需要关闭的3个开关插空，不能插在首位两位，不同的方案共有CM=220种，

由于关闭的相邻两个开关之间至少有两个是打开的，再将剩下的2个开关插入关闭的开

试卷第4页，共18页

关之间，2个间隔各放一个，

因为开关均是相同的，所以放法是唯一的，所以不同的方案共有220种.

故选：A.

8.已知夕均为锐角，且尸J=cosa-sin〃+lng,则（）

A.sin6ir<sin/3B.cosa<cos0

C.cosavsin尸D.sinavcos/?

【答案】C

【分析】

根据题意可得（

lna-cosa>lnf1-cos1-^构建函数

f(x)=lnx-cos%,x£(0,5J,结合单调性可得,，进而可得结果.

【详解】因为Ina-In四一月=cosa-sin尸+In工,

贝（JIna-cosa=ln1-d-cosFd+lnr

._17r八

且1In万>0,a£

可得Ina-cosa>In—4J—cos,

构建〃司=111彳一馍5小工€[0,5],可得/(a)>/(!■-£)

因为y=lnx,y=-cosx在内单调递增，

可知/(x)在(。看)内单调递增，则口>'-",

且丁=sinx在(0,3内单调递增，'二出》在卜卷]内单调递减，

可得sina>sin巴一夕=cosp,coscr<cos'一尸=sin4，故C正确,D错误;

由于无法确定a,/?的大小，故AB错误;

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据题意同构可得lna-cosa>ln[_/?J-cos，-〃],进而构

建函数〃x)=lnx-cosx,xe[o,'],结合函数单调性分析判断.

二、多选题

9.今年第5号台风“杜苏芮”于7月28日9时55分在福建晋江登陆，为1949年以来登

陆福建的第二强台风，登陆后强度迅速减弱并一路北上影响黄淮、华北，给华北、黄淮

等地带来较大范围的特大暴雨.华中地区某市受此次台风影响，最高气温同比有所下降,

测得七天的最高气温分别是28,26,25,27,29,27,25(单位：。C),则()

A.该组数据的极差为4

B.该组数据的众数为27

C.该组数据的中位数为27

D.该组数据的第70百分位数为28

【答案】AC

【分析】

根据极差、众数、中位数和百分位数的定义求解即可.

【详解】将这组数据按照从小到大的顺排列得25,25,26,27,27,28,29,

则该组数据的极差为29-25=4,故A正确；

该组数据的众数为25和27,故B错误；

该组数据的中位数为27,故C正确；

因为70%x7=4.9,

所以该组数据的第70百分位数为第5个数据，即27,故D错误.

故选：AC.

10.已知函数/(x)=J^sin2x+&cos2x,下列结论中正确的有()

A.函数的图象关于点［g,。1对称

B.若玉+马=：,则/(百)=/(%)

C.函数y=/(x)在上单调递增

D.函数〃尤)在0卷上的取值范围为［-2,夜］

【答案】ABC

【分析】

由辅助角公式可得/(x)=2sin|2x+：J,再结合三角函数性质逐项分析判断.

【详解】由题意可知：〃x)=^sin2x+&cos2x=2sin2x+—,

I4

3兀c.3兀71

对于选项A：因为了=2sin2x-----1—=2sin7i=0,

(84

9,。1对称，故A正确;

所以函数的图象关于点

c•c兀兀7T

对于选项B：因为了2sin2x—I—=2sin,=2为最大值,

I84

试卷第6页，共18页

可知函数/(X)的图象关于直线x=J对称，

O

若玉+%2=2，所以〃玉”〃々)，故B正确；

对于选项C：因为xw，则，

48J442_

且》=5皿X在内单调递增，可知函数y=/(x)在谭上单调递增，故C正

42J|_4o_

确；

对于选项D：因为xe0,；,则2x+?e夕号>

可得sin12x+w)e--^-,1,BPf(x)e^/2,2^

所以函数〃x)在0,|上的取值范围为[-0,2],故D错误；

故选：ABC.

11.与大家熟悉的黄金分割相类似的还有一个白银分割，比如A4纸中就包含着白银分

割率.若一个数列从0和1开始，以后每一个数都是前面的数的两倍加上再前面的数:

0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,则随着〃趋于无穷大,其前一

项与后一项的比值越来越接近白银分割率.记该数列为｛%｝,其前"项和为S“，则下列

结论正确的是()

1012

A.%+严2%+%(«>2)B.Z"2左=

k=l2

Dlim^-=y/2-l

C.S2023+邑024=°202511

•〃-+8an

【答案】ABC

【分析】

n_n1012

根据定义即可判定。用=2%+。1(〃>2)正确，根据阳=21，即可求出z%,

2k=i

〃_n1012a

利用出I="c21(422),求出£的I，从而得到邑。23+邑期，令2=3,则

2k=2an

.2Z?+1/、x___

b“+i=一厂(〃>2),利用不动点法求出数列也(,｝的通项公式，从而判定D.

【详解】由于一个数列从0和1开始，以后每一个数都是前面的数的两倍加上再前面的

数，贝!|。用=2aa+a“_](“22),故A正确；，

对于B,由于。5=2%+%-(〃22),可得％«=,

所以

———a

kcc।c।icLCCL3—axa5-a3^2023^2021,^2025^2023^2025\

乙〃2%=〃2+〃4++〃2022+〃2024=-~—+—~—++------------------------+=—~—

左=]乙乙乙乙乙

1012

由于4=0,所以£2%=皆■，故B正确;

k=\2

对于C,由于an+l=2。“+%（〃22）,可得%J（k>2）,

2

所以

1012

E=%+%++«2021+«2023=%-%।।+“2022-=2020।%024—%022_。2024-

k=222222

1012-1

61出024

由于。2="则Z2k-1=一，所以

k=22

10121012〃2024.1+42025Q_〃2024+>2025.1

aa

S2024=£2k+Z2k-\+%=

k=\k=2222

〃2024+〃2025—

则$2023+$2024=2s2024—。2024=2X—。2024=。2025—1，故C正确;

2

%+2=1|2

对于D,由于an+}=2an+an_v,则an+2=2an+1+an,即an+l也（〃22）,

2"+1

令T"=.32），b瑞=2,

b„

求不动点，设/（无）=在8，令/。）=生土1=无，解得：玉=1一血，&=1+五,

X

2么+1（1-后也+1①

所以时「（、历+1）=-（C+1），化简得：bn+l

bnb.

1+^'+1@,

%「（「&）=2或+1

化简得：或+「0-0）=

b«b.

（1@么+1

-（3+1）+（忘+1）（忘-1）_]虎2-（1）

%b.应+

则一

_（1一0）（1+收）。〃+1（1+0）。〃+（行+1+后

b,n+lbn

b,

2-（夜+1）

b2'是第二项为公比为W的等

且则数列'

比数列，则产刊-及n-2、〃一1

7

xn—1

、3+工

所以d=、〃一1,由于lim=0,所以

（1-^2M—>+00

+1?

lim-=lim6“=0+1,故D不正确;

〃一>+8ZT+8

试卷第8页，共18页

故选：ABC

三、填空题

12.(2+x)(x-2)5的展开式中炉的系数为(用数字作答).

【答案】-80

【分析】

将(2+x)(x-2)5拆为2(x-2)5和x-(x-2)5，分别求其展开式中f的系数，再求和即可.

【详解】

由题意可得：(2+x)(尤—2)5=2(x—2)5+x,(x—2)5,

可知其展开式中含V的项为:2xC；.(-2丫x(-2)4=-80/，

因此展开式中f的系数为-80.

故答案为：-80.

13.若对任意xe(e,e),存在实数彳，使得关于x的不等式ln(x-e)+2x+12。成立,

则实数2的最小值为.

【答案】二

e

【分析】

根据题意分析可知m(x：e)+l2一%,构建g(x)=ln(x：)+l,xe(e,+8),利用导数判

断其单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.

【详解】因为x«e,+8),ln(A：-e)+2x+l>0,

可得皿(…)+11,

X

构建g(x)」n(XY)+l,xe(e,+8),则()士六-爪…),

xg⑴一刀2-/

e

才勾h(x\---------In(%—e),%>e,

一x-e

因为y==Tn(%-e)在(e,+8)内单调递减，

可知/z(x)在(e,+8)内单调递减，且/z(2e)=0,

当evxv2e时，/z(x)>0,即g<x)>0；

当x>2e时，/?(九)<0,即g'(x)<0；

可知g（x）在（e,2e）上单调递增，在（2e,+8）上单调递减，则g（x）Vg（2e）=：,

可得可得什」，

ee

所以实数2的最小值为-L

e

故答案为：-L

e

【点睛】

方法点睛：利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧

根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大（小）值满足的不等式成立问题，进而用导

数求该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解.

14.祖胞是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幕势既同，则积不容

异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的

任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.某

同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分

绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）.现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲

2

线方程为/-匕=1（-2<y<D,内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖眶

4

原理”算得此冷却塔的体积为.

【答案】37t

[y=2x2-2—=i

【分析】由直线y=t,其中-2W/W1,分别联立方程组.和x4，求得

的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为兀，高为

3的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解

2

【详解】如图所示，双曲线一一2L=i,其中一条渐近线方程为y=2x,

4

由直线y=其中-24/41,

试卷第10页，共18页

，解得A

T=l,解得2

联立方程组

y=

所以截面圆环的面积为5=,即旋转面的面积为兀,

根据“暴势既同，则积不容异”,

可得该几何体的体积与底面面积为兀，高为3的圆柱的体积相同,

所以该几何体的体积为丫=兀><3=3兀.

故答案为：37t.

【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知旋转面的面积为兀，可得该几何体的体积与底

面面积为兀，高为3的圆柱的体积相同,

四、解答题

sinA+sin3c-a

15.已知《ABC的内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,

sinCb-a

⑴求2;

⑵若点。在AC上，且AD=3D=2DC,求人.

C

【答案】（1）8=5

(2)y

c2

【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可求&

17

（2）利用图形中的向量关系，有=+由向量数量积和余弦定理化简得

结果.

【详解】（1）

因为sin"+sin'=二_%,即(sinA+sin5)。-a)=(c-a)sinC,

sinCb-a

由正弦定理可得：（a+与伍-a）=（c-a）c,整理得6+。2一廿=衣,

由余弦定理可得cosC=正1£=旦=JL,

lac2ac2

且3e（O,兀），所以3=1.

(2)

2

因为AD=BZ)=2OC,则BO=A£>=§6,

2212

^^BD=BA+-AC=BA+-(BC-BA)=-BA+-BCf

贝|」回『=||BA|2+||BA|-|BC|COSB+||BC|2,即/=#+：皿：+),

22

整理得"=lc+-ca+47,

42

由余弦定理可得6?—cr+c2-2accosB，则a?+c?-ac=：c2+彳<:<7+",

42

即3c2=3"所以g=J.

42c2

16.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为矩形，侧面出8为等边三角形，且侧

面上钻，底面ABC。，BC=2AB=4,E,尸分别为E4,BC的中点，G为AE的中点.

（1）证明：8G〃平面EFD；

（2）求平面DEP与平面。。尸夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

3171045

1045

【分析】（1）取的中点0,连接P。，由面面垂直的性质可知尸底面ABCD,建

试卷第12页，共18页

系，利用空间向量证明线面平行；

(2)求平面0c尸的法向量，利用空间向量求面面夹角.

【详解】(1)取的中点。，连接尸O,

因为侧面以2为等边三角形，则尸。LAB,

由侧面底面ABC，侧面PABc底面ABCD=AB,POu侧面

可得底面ABC。，

如图，以。为坐标原点，OA。尸分别为龙，z轴所在直线，过。与AD平行的直线为，轴

所在直线，建立空间直角坐标系，

则4(-1,0,0),8(1,0,0),<2(1,4,0),£>(-1,4,0),尸倒,0,@,440,乎］,尸(1,2,0),6\|,0,

uum「7uunuum(i、万、

可得BG=%，。，半\DF=(2,-2,0),ED=--,4,-^-,

nDF=2x-2y=0

设平面屏D的法向量。=(x,y,z),贝/1

nED=——x+4y--z=0

I2,2

令x=如,贝！|y=J5,2=7,可得"=(,

uumr7厂_R

因为BG“=——xV3+0xV3+—x7=0,即BG_Lw，

44

且BG<Z平面EFD,所以BG〃平面EPD

(2)由(1)可得DC=(2,0,0),QP=(1,-4,4)，

设平面DCP的法向量〃z=(a,6,c),贝叶l

m-DP=a-Ab+Y3c=0

令6=A/J,则a=0,c=4,可得力=(0,6,4),

„,,\n-m3131^045

吐阿府1045

所以平面DEF与平面DCP夹角的余弦值为独叵.

1045

17.关于扑克牌的由来，一种说法是由唐代天文学家张遂发明，最初称作“叶子戏”，因

为纸牌只有树叶那么大.后来由马可波罗把它传播到了欧洲，欧洲人根据自己的文化和

传统，对纸牌游戏进行了改进，最终出现了“扑克牌”.某同学聚会上，玩一种扑克牌游

戏：第一个人手中有黑桃，梅花、红桃各一张，其余每人手中有四种花色各一张，主持

人从第一个人手中随机抽取一张扑克牌给第二个人，然后从第二个人的手中随机抽取一

张扑克牌给第三个人，以此类推，记B为从第i个人手中抽取的扑克牌为黑色(黑桃或

梅花)的概率.

⑴求尸2，G；

⑵求耳.

【答案】⑴

⑵TO4

【分析】

(1)由递推关系即可求得£，〃；

(2)根据题意可得匕|=£、：3+(1-4)x21,再构造等比数列，利用等比数列的通项公

式可求匕

【详解】(1)

由题意得6=|,所以鸟=|x|+3|=g4="|+(1-g)><|=1|；

3212

(2)由题意得金+1=4义1+(1_6»］=，6+不，

所以匕「丁仙-)，

所以［6一1］是以1为首项，:为公比的等比数列，

〔2J65

所以〜,

所以看")1

+—.

2

18.已知直线/：尤-妙-1=0经过抛物线C：y2=2px(P>0)的焦点F,与抛物线交

于A,8两点.过48两点且与抛物线相切的直线相交于点P.

(1)求抛物线的标准方程；

⑵求证：PFAB=0.

试卷第14页，共18页

【答案】⑴>2=4尤

(2)证明见详解

【分析】

(1)由题意可知：直线/：%-静-1=0与x轴的交点为/(1,0),结合抛物线方程运算

求解;

(2)设联立方程可得韦达定理，根据题意可得切线PAPB的

22

方程为：x=&y-互，x=进而可得点尸的坐标，结合数量积的坐标运算

2-424

分析证明；

【详解】(1)由题意可知：直线/：X-矽-1=。与x轴的交点为(L0),即尸(1,0),

可得与=1，即。=2,可得抛物线的标准方程为丁=4二

(2)由题意可知：直线/与抛物线C相交，设A号,yj,乂%#0，

,\x-ky-1=Q.

联立方程\，消去无可得/-4外-4=0,

[y2=4x

可得%+%=4匕%•%=-4,

显然过的切线斜率存在且不为o,设为》=〃?(>-乂)+9=%一m%+9，

联立方程**mymy'4.消去尤可得/一4根，+4根%一，；=0,

y1=4x

则A=16机2-4(4帆％—3)=4(2加一%)2=o,解得m=£,

222

可得切线9：工二巧」+为二巧_"，

22424

2

同理可得：切线尸3：尤=&>-&,

24

X=x=2iA="i

244

联立方程<解得,

X=y=

即P(-1,2左)，可知点P(T2%)在抛物线的准线x=-l上,

可得PF=(2,-2k\AB=%-j，

所以

pF.AB=2xy^L+(-2k)(y2-y])=(y2-yl)^^-2k^=(y2-yl)(2k-2k)=0.

【点睛】

方法点睛：求解定值问题的三个步骤

(1)