白银市重点中学2024年高三年级下册联合考试数学试题含解析

白银市重点中学2024年高三下学期联合考试数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1・函数+ln（x+l）的定义域为（）

A.（2,+8）B.（―1,2）。（2,+8）

函数/（乃=：*%也2犬的部分图象大致是（

2.

8

3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都

可以表示为两个素数的和，例如：4=2+2,6=3+3,8=3+5,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的

数，其和等于16的概率为（）

1212

A.——B.——C.—D.—

21211515

4.执行如图所示的程序框图，则输出的〃的值为（）

A.1B.2

C.3D.4

5.设i为虚数单位，复数z=(a+z)(l—则实数。的值是()

A.1B.-1C.0D.2

6.在ABC中，。为BC边上的中点，且|AB|=1,AC|=2,N84C=120。，贝!||AD|=()

A.3B.-C.-D.直

2244

7.已知方程xN+y|y|=—1表示的曲线为y=/(x)的图象，对于函数y=/(x)有如下结论：①/(》)在(-<孙收)上

单调递减；②函数E(x)=/(%)+x至少存在一个零点；③丁=/(国)的最大值为1；④若函数g(x)和f(x)图象关于

原点对称，则y=g(x)由方程+=1所确定；则正确命题序号为()

A.①③B.②③C.①④D.②④

8.已知直线产《(x+l)(A>0)与抛物线C：/=4x相交于A,B两点,歹为C的焦点，^\FA\=2\FB\,则摩|=()

A.1B.2C.3D.4

9.集合A={-2,—1,1}乃={4,6,8},M={x\x=a+b,b^B,x^B}，则集合M的真子集的个数是

A.1个B.3个C.4个D.7个

10.点P为棱长是2的正方体ABCD-A4GR的内切球。球面上的动点，点M为四G的中点，若满足DP±BM,

则动点P的轨迹的长度为()

■4571B,也4后兀D

A.c.

555'5

2

11.已知实数a>08>1满足a+Z>=5,则一_H的最小值为()

ab-1

3+2V2B3+4女3+272D3+472

A.C.

4466

12.已知函数y=/(x)是定义在R上的奇函数,函数/(X)满足/(x)=〃x+4),且尤e(0,1]时，/(%)=log2(^+l),

贝!!/(2018)+/(2019)=()

A.2B.-2C.1D.-1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.过点A(—3,2),5(—5,—2),且圆心在直线3x—2y+4=0上的圆的半径为.

2

14.(5分)已知椭圆方程为炉+匕=1,过其下焦点尸作斜率存在的直线/与椭圆交于A,3两点，。为坐标原点，

2

则AQS面积的取值范围是.

15.在AABC中，角所对的边分别为a,4c,S为AABC的面积，若c=2acos3,S一工。？，则AABC

24

的形状为，C的大小为.

16.函数/(x)的图象在x=l处的切线方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=-1—3/

17.(12分)已知直线/的参数方程为°,。为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同

y=2+4t

的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=20cos.

(1)求直线/的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

(2)设点P(-l,2),直线/与曲线。交于A,3两点，求|加|+|尸川・|尸8|的值.

18.(12分)设函数/(x)=|2x+a|+|2x-3].

(1)当a=l时，求不等式/(x)W6的解集；

(2)若不等式/(%)24恒成立，求实数a的取值范围.

19.(12分)在极坐标系中，已知曲线G：夕cos。—®sin8—1=0,C2:p=2cos^.

(1)求曲线G、g的直角坐标方程，并判断两曲线的形状;

(2)若曲线G、。2交于A、5两点，求两交点间的距离.

71

x=tcos—

3

20.(12分)在直角坐标系中，直线/的参数方程是。为参数），曲线C的参数方程是

71

y=,l+tsi.n—

-3

x=2yj3cos(p/

「「(中为参数)，以。为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

y=2J3+2y/3sin(p

(1)求直线/和曲线。的极坐标方程;

(2)已知射线。M：4与曲线C交于两点，射线ON：%=&+春与直线，交于N点，若

的面积为1,求a的值和弦长10Ml.

21.(12分)已知函数/(x)=Inx—gax?+x(aeR),函数g(x)=-2%+3.

(I)判断函数尸(x)=/(x)+；ag(x)的单调性；

(II)若—2<a<—1时，对任意%,9e[1,2],不等式/&)—/(无2)归0g&)-g(%)恒成立，求实数，的最小值.

X

22.(10分)已知函数/(x)=7].

e-1

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若x>0,证明ln(x+l)>〃x).

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

2-x>0

函数的定义域应满足，,:.-l<x<2.

l+x>n0

故选c.

2、C

【解析】

判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.

【详解】

/(-X)=-/(同，，函数是奇函数，排除。，

时，/(%)>0,xe/,%］时，/(x)<0,排除3,

1H

当时，sin2xe(0,l),e-,-e2J<=(0,1)

k2J818

时，/(X)G(O,1),排除A,

C符合条件，故选C.

【点睛】

本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，

以及单调性，极值点等排除选项.

3、B

【解析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事

件的概率公式可求.

【详解】

解：不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17共7个，从中随机选取两个不同的数共有=21,

其和等于16的结果(3,13),(5,11)共2种等可能的结果，

2

故概率P=—.

21

故选：B.

【点睛】

古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础

题.

4、B

【解析】

列出循环的每一步，进而可求得输出的“值.

【详解】

根据程序框图，执行循环前：a=0,b=0>〃=0,

执行第一次循环时：a=l,b=2,所以：92+82<40不成立.

继续进行循环，…，

当。=4,人=8时，6?+2?=40成立，77=1,

由于aN5不成立，执行下一次循环，

a=5,b=10,52+。2<40成立，n=2,a»5成立，输出的〃的值为2.

故选：B.

【点睛】

本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.

5^A

【解析】

根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得”的值.

【详解】

复数z=(a+z)(l—z)wR,

由复数乘法运算化简可得z=«+l+(l-a)z,

所以由复数定义可知1—a=0,

解得a=l9

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.

6、A

【解析】

由。为边上的中点，表示出=+然后用向量模的计算公式求模.

【详解】

解：。为8C边上的中点，

AD=^AB+AC),

|AD|=1(A5+AC)=^|(A5+AC

=也AB?+AC?+2AB.AC)

=J1(l2+22+2xlx2xCOS1200)

=B

~2

故选：A

【点睛】

在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.

7、C

【解析】

分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.

【详解】

(1)当>20时，x2+y2=-1,此时不存在图象;

(2)当xNO,y<0时，y2-x2=1,此时为实轴为V轴的双曲线一部分;

(3)当x<0,yNO时，x2-y2=1,此时为实轴为x轴的双曲线一部分;

(4)当x<0,y<0时，/+>2=],此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分;

对于①，/Xx)在上单调递减，所以①正确；

对于②，函数、=/(%)与丁=一兀的图象没有交点，即/(%)=/(%)+%没有零点，所以②错误;

对于③，由函数图象的对称性可知③错误;

对于④，函数g(x)和/■(*)图象关于原点对称，则xW+y|y|=—1中用-X代替X,用-V代替y,可得丁帆+%忖=1,

所以④正确.

故选：c

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.

8、C

【解析】

方法一：设尸(-1,0),利用抛物线的定义判断出3是AP的中点，结合等腰三角形的性质求得3点的横坐标，根据抛

物线的定义求得IFBI，进而求得|E4|.

方法二：设出A,3两点的横坐标5,乙，由抛物线的定义，结合191=2|必|求得乙，4的关系式，联立直线

丁=左(％+1)的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得与，进而求得|E4|.

【详解】

方法一：由题意得抛物线y2=4x的准线方程为/:尤=—1,直线y=左(％+1)恒过定点P(-l,0),过A,3分别作AM±I

于BN21于N,连接08,由|E4|=2|EB|,贝！11AMi=2|,所以点3为AP的中点，又点。是PF的

中点，

贝！J|O8|=4A用，所以|。8|=|由"，又|。尸|=1

2

所以由等腰三角形三线合一得点B的横坐标为|,

2

13

所以17^1=1+7=；；，所以|E4|=2|EB|=3.

22

方法二：抛物线y2=4x的准线方程为/：X=—1,直线y=k(x+l)

由题意设A6两点横坐标分别为,xB(xA,xB>0),

则由抛物线定义得IFA|=4+LIFB\=XB+1

XIE41=21FB|,xA+l^2(XB+1)=>=2xB+1①

2

y=4x99„

s=^>k"x"+(2k"—4)x+A："=0=>=1②

y=k{x+V)

由①②得x；-乙-2=0,XA=2,\FA\=xA+\=3.

故选:C

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.

9、B

【解析】

由题意，结合集合A,3,求得集合得到集合M中元素的个数，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，集合A={-2,—1,1}乃={4,6,8},xeA,

则"={x|x=a+b,xeA,/?eB,xeB}=14,6},

所以集合M的真子集的个数为2?-1=3个，故选B.

【点睛】

本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合〃，再由真子集个数

的公式2"-1作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

10、C

【解析】

设与8的中点为〃，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出80，平面。这样可以

确定动点P的轨迹，最后求出动点P的轨迹的长度.

【详解】

设与8的中点为〃，连接CH,DH,因此有而。CLVB,而DC,CHu平面CDH,DCCH=C,

因此有BM，平面DCH,所以动点P的轨迹平面DCH与正方体ABCD-的内切球。的交线.正方体

ABCD-A4Gq的棱长为2,所以内切球。的半径为R=l,建立如下图所示的以。为坐标原点的空间直角坐标系:

因此有0(L1』),C(0,2,0),H(2,2,1),设平面DCH的法向量为加=(x,%z),所以有

m±DCm-DC=Q2y=0

<cc=相=(1,0,-2),因此。到平面。CH的距离为:

m±DHm-DH=02x+2y+z=0

\mOD\.R______9/7A仁

d==所以截面圆的半径为：")2"=包,因此动点P的轨迹的长度为2万厂=些万.

网555

故选：C

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和

数学运算能力.

11、A

【解析】

21121

所求一+；—的分母特征，利用a+Q5变形构造a+3-1)=4,再等价变形(―+)[。+0-1)],利用基本不

ab-14ab-k

等式求最值.

【详解】

解：因为。>08>1满足a+Z>=5,

1IM

则e一2+)[a+(Z?-l)]x1

ab-1

3+2。-%a"+2®

4ab-1

当且仅当2('—1)=，—时取等号,

ab-1

故选：A-

【点睛】

本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的

技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的

定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

12、D

【解析】

/(x)=/(x+4)说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值.

【详解】

由/(幻=/(x+4)知函数/(x)的周期为4,又了(彳)是奇函数，

/(2)=/(-2),又/(—2)=—八2),.•"(2)=0,

/./(2018)+/(2019)=/(2)+/(3)=0+/(-1>0-/(1)=-1.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、V10

【解析】

根据弦的垂直平分线经过圆心，结合圆心所在直线方程，即可求得圆心坐标.由两点间距离公式，即可得半径.

【详解】

因为圆经过点A(—3,2),5(—5,—2)

2-(-2)

则直线AB的斜率为k=J，=2

所以与直线AB垂直的方程斜率为k'=--

2

点4(—3,2),5(-5,-2)的中点坐标为M(T,0)

所以由点斜式可得直线AB垂直平分线的方程为y=-；(x+4)，化简可得x+2y+4=0

而弦的垂直平分线经过圆心，且圆心在直线3%-2y+4=0上，设圆心。(0力)

a+2Z?+4=0a——2

所以圆心满足＜解得

3a—2b+4=0b--\

所以圆心坐标为0(—2,—1)

则圆的半径为厂=04=3+2y+(2+1y=回

故答案为：710

【点睛】

本题考查了直线垂直时的斜率关系，直线与直线交点的求法,直线与圆的位置关系，圆的半径的求法,属于基础题.

14、(0当

【解析】

由题意，a=&b=\,则°==],得砥o,_i).由题意可设/的方程为丁=近一1,4%,%),5(%,%)，

y=kx-l-12k

联立方程组《，则

c22C八，消去丁得(左+2)%2一2"一1=0,/>0恒成立，%%2=12

2%+y—2=0左2+2左2+2

IAB\=小(1+/)[(占+%)2—4芯I]=2乎+D,点0(0,0)到直线I的距离为d=-j^=,则

KIZ/CI1

则

当且仅当病节=4即左=0时取等号.故面积的取值范围是

(0串.

15、等腰三角形-7

【解析】

Vc=2acosB

/.根据正弦定理可得sinC=2sinAcosB，即sin(A+B)=2sinAcosB

:.sin(A-B)=0

***A=B

・•・AABC的形状为等腰三角形

S=-a-2

2r

1

*••—ubsinC——Q?H—/—c-a2+-b2--c2

2444444

tz2+b2-c1

:.sinC=

lab

〃2**_2

由余弦定理可得cosC=4汇~-

2ab

:.sinC=cosC，即tanC-\

・・・C£(0,万)

：.c=-

4

TT

故答案为等腰三角形，-

4

16、x-j=0.

【解析】

先将x=l代入函数式求出切点纵坐标，然后对函数求导数，进一步求出切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程.

【详解】

由题意得f'(x)=2x—InX—1,/'(I)=1,/(1)=1.

故切线方程为y-l=x-1,即x-y=0.

故答案为：x-y=0.

【点睛】

本题考查利用导数求切线方程的基本方法，利用切点满足的条件列方程(组)是关键.同时也考查了学生的运算能力,

属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)4x+3y-2=0；%2+y2-2x-2y=0(2)5

【解析】

(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.

(2)利用(1)的结论，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.

【详解】

x=-1—3/

解：(1)直线/的参数方程为c,。为参数)，转换为直角坐标方程为4x+3y-2=0.

、y=2+4f

曲线C的极坐标方程为夕=2后COS[，-£].转换为r=2cosq+2sinq,转换为直角坐标方程为

<4；

x+_y2_2x_2_y=0.

L_i3

[x=-l-3t5

(2)直线/的参数方程为,。为参数)，转换为标准式为；a为参数)，

y=2+4fc4

U

[-y=2+5-t

代入圆的直角坐标方程整理得r+4t+3=0,

所以6+/2=-4,伯=3.

|AB|+|PA||尸_81=R4+l？i^l=+'2)——射心+卜也|=5.

【点睛】

本题属于基础本题考查的知识要点：主要考查极坐标，参数方程与普通方程互化,及求三角形面积.需要熟记极坐标

系与参数方程的公式，及与解析几何相关的直线与曲线位置关系的一些解题思路.

18、(1){x|-l<x<2}(2)(-<»,-7]i[l,+oo)

【解析】

(1)利用分段讨论法去掉绝对值，结合图象，从而求得不等式/(力<6的解集；

⑵求出函数/(x)的最小值，把问题化为/(x)1nhi24,从而求得。的取值范围.

【详解】

(1)当4=1时，

—4“x+c2,x<—1,

2

i3

则/(%)=卜,_5<%<5,

3

4-x—2,x,

所以不等式/(%)<6的解集为{x\-l<x<2}.

(2)/(力24等价于|2X+4+]2X-3|24,

1fff|2x+a|+|2x-3|>|a+3|,

故〃力之4等价于|a+3|1,

所以a+324或a+34-4,

即QA1或a4—7,

所以实数a的取值范围为7][l,4w).

【点睛】

本题考查含有绝对值的不等式解法、不等式恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻

辑推理能力、运算求解能力，难度一般.

19、(1)C：x—gy—1=0表示一条直线，。2：(无一1)2+>2=1是圆心为(L0),半径为1的圆；⑵2.

【解析】

(1)直接利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线G的方程化为直角坐标方程，进而可判断出曲线

方=必+2

G的形状，在曲线C的方程两边同时乘以「得夕2=2夕cosd,由<”-可将曲线。2的方程化为直角坐标方

pcosS=%

程，由此可判断出曲线g的形状;

(2)由直线G过圆G的圆心，可得出A3为圆。2的一条直径，进而可得出IA同

【详解】

(1)G：2cos。—用sin。—1=0,则曲线G的普通方程为X—百y—1=0,

曲线G表示一条直线；

由。2：P=2cos。，得夕2=2pcos6,则曲线C2的直角坐标方程为炉+产=2x,即(x—+产=1.

所以，曲线。2是圆心为(1,0),半径为1的圆；

(2)由(1)知，点(1,0)在直线x—百y—1=0上，，直线G过圆02的圆心.

因此，是圆C2的直径，.・.|AB|=2xl=2.

【点睛】

本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属

于基础题.

20、(1)psin^O——=—,^>=4y/3sin3；(2)2y/3•

【解析】

(1)先把直线/和曲线C的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程；

(2)联立极坐标方程，根据极径的几何意义可得1cM再由面积“0网=；|°河卜|。2=1可解得极角，从而

可得10Ml.

【详解】

71

X-tcos—

3

(1)直线/的参数方程是。为参数）,

,冗

y=l+ts­in-

3

消去参数/得直角坐标方程为：V3x-y+l=0.

转换为极坐标方程为：\[3pcos0-psind+1=0,即.

x=2,3cos0

曲线C的参数方程是L「（。为参数）,

y-243+2<3sincp

转换为直角坐标方程为：必+(,_2石)2=12,

化为一般式得x2+v2-473y=0

化为极坐标方程为：p=4#)sin0.

兀、、「|ON|=-----------------------------

(2)由于0Va<_,得QM=4岳%a,II.(q)_C(工)cosa+

?SZZ,ZIGL~l~ICOSIGC~I~I

I2jI2)

所以S、OMN=^\OM\•|ON卜2's第=1,

2cosa+73sma

所以tana=—，

3

TT7T

由于0<a<—,所以a=一,

26

所以Q叫=26.

【点睛】

本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.

21、(1)故函数y=E(x)在上单调递增，在上单调递减;(2),.

【解析】

试题分析:

(I)根据题意得到户(九)的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性.(II)分析题意可得

/(%)+%(%)</(%)+%(X)对任意一2<〃<一1，IV玉<々<2恒成立，构造函数

/z(x)=/(x)+^g(x)=lnx-—or2+(l-2z)x+3z,则有/z'(x)=--ox+(l-2r)<0对任意a目-2,-1],xe[1,2]

2x

恒成立，然后通过求函数的最值可得所求.

试题解析:

][3

(I)由题意得/(x)=/(x)+e〃g(x)=lnx-5ak+(1一口)％+5〃，X£(0,+oo),

，/、1—cix^+(1—Cl\X+1

../(%)=——ax+X-a=---------——1——

XXX

当〃《0时，F(x)>0,函数>二尸(力在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，令歹'(x)>0,解得0<x<:；令尸'(x)<0,解得X〉：.

故函数丁=/(同在上单调递增，在9，+8］上单调递减.

综上，当aWO时，函数丁=/(力在(0,转)上单调递增；

当a>0时，函数y=E(x)在上单调递增，在上单调递减.

(II)由题意知/NO.

1

f(x\-〃丫+i--加+x+l

J(XI_CIX十JL-----------------------------,

XX

当—2Wa