陕西省延安市2024届高三第三次模拟考试数学试卷含解析

陕西省延安市实验中学2024届高三第三次模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知R为实数集，A={x|x2-l<0},B=则A&B)=()

A.{x|-l<x<0}B.{x|0<x<l}C.{x|-l<x<0}D.{%|一1<0或x=1}

2.a为正实数，i为虚数单位，9=2,则a=()

I

A.2B.73C.夜D.1

3.已知正项数列{4},也}满足：7设,〃=片，当G+，4最小时，的值为()

L，+i=册+bn2

-14「

A.2B.C.3D.4

4.若复数z满足(l+z»=l+2i,则|z|=()

A.巫B.3C.四1

D.

2222

5.函数/(x)=sin>0)的图象向右平移三个单位得到函数y=g(x)的图象，并且函数g(x)在区间上

1263

单调递增，在区间［工，工］上单调递减，则实数。的值为()

32

735

A.-B.-C.2D.-

424

6.已知点居为双曲线C:1-匕=1(。〉0)的右焦点，直线>=区与双曲线交于A,3两点，若=—,则

a43

的面积为()

AF2B

A.2夜B.26C.4夜D.473

7.设月，工是双曲线C：♦-3=1（。>0）〉o）的左，右焦点，。是坐标原点，过点与作。的一条渐近线的垂

线，垂足为尸.若则C的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.3

8.设机，〃是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若。_L/7,mua,nu/3,则m_L〃

B.若口〃/?,mc.a,nuB,则加〃〃

C.若机_L〃，mua,nu（3,则。，分

D.若加J_a,mlIn,nil/3,则。_L/7

9.设集合Af={x[l<x<2},N={x|x<a},若McN=M,则。的取值范围是（）

A.（-oo,l）B.（-co,l]C.（2,+co）D.[2,+oo）

x>l

10.已知实数x,丁满足x—yWO,则z=x2+>2的最大值等于（）

x+2y-6<0

A.2B.2&C.4D.8

jr

11.函数f（x）=2sin（2x—可）的图象为C,以下结论中正确的是（）

o

①图象C关于直线x=9万对称；

12

②图象C关于点（-§,0）对称；

③由j=2sin2x的图象向右平移三个单位长度可以得到图象C.

A.①B.①②C.②③D.①②③

12.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示

为两个素数（即质数）的和“，如16=5+11,30=7+23.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等

于20的概率是（）

D.以上都不对

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知双曲线C：二一［=1(。〉0,b>0)的左，右焦点分别为月，F2,过点耳的直线与双曲线的左，右两

a2b2

7

支分别交于A,B两点,若|A3|=|A阊，COSZBAF=-,则双曲线C的离心率为.

28

14.已知函数/(%)=—丁+sin%,若于(G=M,贝［］/(-〃)=.

15.若将函数〃x)=sin［2x+g］的图象沿x轴向右平移姒。>0)个单位后所得的图象与/(力的图象关于x轴对

称，则。的最小值为.

16.如图，某市一学校H位于该市火车站。北偏东45。方向，且0H=46km，已知OM,0V是经过火车站。的两

条互相垂直的笔直公路，CE,OF及圆弧。都是学校道路，其中CE//OM,DF//ON,以学校"为圆心，半径为

2Am的四分之一圆弧分别与CE,。尸相切于点C当地政府欲投资开发AO3区域发展经济，其中A,3分别在公

路。ON上，且A3与圆弧CD相切，设/Q4B=6,AO3的面积为SQ/.

(1)求S关于。的函数解析式；

(2)当。为何值时，...AOB面积S为最小，政府投资最低？

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知/(x)=+以2力eR

(1)若b=l,且函数/(x)在区间上单调递增，求实数。的范围;

(2)若函数Ax)有两个极值点芭,2，%<2且存在与满足内+2%=3々，令函数g(x)=/(x)—/(%),试

判断g«)零点的个数并证明.

18.(12分)如图，在直角AAO3中，OA=OB=2,AAOC通过AAO3以直线CM为轴顺时针旋转120°得到

(ZBOC=120°).点。为斜边AB上一点.点〃为线段6C上一点，且幡=拽.

3

(1)证明：平面AOB；

(2)当直线加。与平面所成的角取最大值时，求二面角5-CD-O的正弦值.

19.(12分)如图1,在等腰MAABC中，ZC=90°,D,E分别为AC,A3的中点，尸为CD的中点，G在线

段上，且BG=3CG。将AADE沿OE折起，使点A到A的位置(如图2所示)，且4尸，。£)。

(1)证明：3E//平面&PG；

(2)求平面ABG与平面ABE所成锐二面角的余弦值

V2V21

20.(12分)已知椭圆。：—+==1(。〉6〉0)的左顶点为4,左、右焦点分别为耳,心，离心率为一，尸是椭圆上

«"b~2

的一个动点(不与左、右顶点重合)，且△尸片月的周长为6,点P关于原点的对称点为Q,直线ARQg交于点

(1)求椭圆方程；

(2)若直线尸工与椭圆交于另一点N,且S-BM=45-苞可，求点P的坐标.

21.(12分)〃x)=ln.x—at有最大值，且最大值大于0.

(1)求。的取值范围;

xx

⑵当a=；时，/（九）有两个零点七,兀2（%1<x2），证明：i2<30.

（参考数据：In0.92-0.1）

22.（10分）已知函数/（*）=Inx—ax2+（0-〃—i）x+b+i（a,8£尺）.

（1）若a=0,试讨论/（x）的单调性；

⑵若。<"2,』，实数2为方程/⑺””的两不等实根,求证：{+1>4-2«,

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

求出集合A,B,\B,由此能求出A©B）.

【详解】

H为实数集，4={x|d-啜0}={x|T戎1},B={x\-^}={x\O<x1},

X

:.\B={）|茗,0或x>或,

/.A@5）={%]-1融0}.

故选：C.

【点睛】

本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2、B

【解析】

|"+'|=2/.y/a2+1=2:.a=±^3a>Q,.\a=y/3,选B.

i

3、B

【解析】

a9

a.=a+10Z?-^=1+-----]9.9

由＜，得d+i4口，即c“+i=l+—7,所以得。3+。4=。3+1+—7,利用基本不等式求出最

%=4+dr1J—s+i

un

小值，得到。3=2,再由递推公式求出

【详解】

r—+10

a

。"+1=n+1°储痴4+1an+l0bnbn9

.%+1=4+22+i4+2冬+

5L+II

bnb,

9

即Cn+1=1+

g+1

9

%+。4=。3+1+26,当且仅当％=2时取得最小值,

。3+1

9914

此时51+巾=4,％=1+不y

故选：B

【点睛】

本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.

4、C

【解析】

1313

化简得到彳=—-+—，，z=----i,再计算复数模得到答案.

2222

【详解】

1+2，_(1+2/)(1+，)_-!+3,_13,

(1+z)z=1+2i,1+z-(l+z)(l-z)2--221

13.

故z=—

22

故选：C.

【点睛】

本题考查了复数的化简，共轨复数，复数模，意在考查学生的计算能力.

5、C

【解析】

由函数/(x)=sin5：3>。)的图象向右平移展个单位得到g(x)=s利。(工一、■)]=sin(①x一^,函数g(x)在

jrjrITIT

区间上单调递增，在区间

_63J|_32_

上单调递减，可得％时，g(x)取得最大值，即(。义三―鲁)=春+2版，kwZ,6y>0,当左=0时，解得69=2,

故选C.

点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”

'TT'JITJ,T>rr

的规律求解出g(x),根据函数g(x)在区间上单调递增，在区间y,-上单调递减可得x=§时，g(x)取

得最大值，求解可得实数0的值.

6、D

【解析】

设双曲线C的左焦点为耳，连接A耳,8耳，由对称性可知四边形公耳3鸟是平行四边形，

2

设|M=、|伤|=2，4c=+^-2t[r2cosy,求出也的值，即得解.

【详解】

设双曲线C的左焦点为耳，连接A耳,8月，

由对称性可知四边形A耳5工是平行四边形，

7T

所以S,AFiF2=SAF2B,ZF1AF2=—.

设1"口,座$2,则4c,上+zfc呜-勺

又|«-目=2。.故,马=4/72=16,

所以s4F心=3八弓sing=46.

故选：D

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

7、B

【解析】

j272Z-»'

设过点凡(c,o)作y=」x的垂线，其方程为y=—@(x—c),联立方程，求得x=e，y=色,即P—,由

abcc\ccJ

|P^|=V6|OP|,列出相应方程，求出离心率.

【详解】

解：不妨设过点与(G。)作y的垂线，其方程为丁=-蓝(x-c),

b

>27(2r\

iciAJJcictu口口J-)aaD

由<解得%=—,y=一，即p—,——,

a(、cc\cc

y=_g(%一。、7

由|P凰=，6|。尸J,所以有「一+—+C=6=+「一，

C\C)\CC)

化简得3/=C2,所以离心率e=£=也.

a

故选：B.

【点睛】

本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题.

8、D

【解析】

试题分析：mXa>mil:一二。故选D.

考点：点线面的位置关系.

9、C

【解析】

由"cN="得出利用集合的包含关系可得出实数。的取值范围.

【详解】

M={x|l<x<2},N={x|x<a}且AfcN=Af,口N,.，.a>2.

因此，实数。的取值范围是(2,48).

故选：C.

【点睛】

本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.

10、D

【解析】

画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得Z的最大值.

【详解】

画出可行域如下图所示，其中A，,0,C（2,2）,由于［0川=，2+［：=§,Qq=2夜,所以10cl>|Q4|,

所以原点到可行域上的点的最大距离为2应.

所以z的最大值为（2后丫=8.

本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

11、B

【解析】

根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.

【详解】

77

因为/(%)=2sin(2x--),

3

又/(.)=2sin(2x—--)=2sin—=2,所以①正确.

121236

/(-1)=2sin(2x^-1)=2sin(—%)=0,所以②正确.

将y=2sin2x的图象向右平移9个单位长度，得y=2sin[2(x-g)]=2sin(2x-4)，所以③错误.

所以①②正确，③错误.

故选:B

【点睛】

本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.

12、A

【解析】

首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.

【详解】

不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个，

从这8个素数中任选2个，有点=28种可能；

其中选取的两个数，其和等于20的有(3,17),(7,13),共2种情况，

21

故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率P=)=二.

2814

故选：A.

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、巫

3

【解析】

设忸闾=〃,|伤|=加，由双曲线的定义得出：忸耳|=2a+旬*|=加一2。,由=阊得A5居为等腰三角

7—\BFI—n

形，设NABK=NAKB=e,根据cosNBAE,=—,可求出馍$6=工=二^=2_，得出机=2"，再结合焦点

84\AF,\m

三角形ABEg,利用余弦定理：求出。和c的关系，即可得出离心率.

【详解】

解：^\BF2\=n,\AF2\=m,

由双曲线的定义得出:

忸司―忸耳|=2a,则忸4|=2a+〃，

|4阊—|4制=2。,则卜周=7〃_2匹

由图可知：|AB|=|BE|—|4周=4。+”一加,

又|AB|=|A阊，

即4a+n—m=mf

则2m=4a+〃，

AA与工为等腰三角形，

7

cosZBAF2=—,

设NA3月=/A鸟3=。，

20+ZBAF2=7i,则=〃—

7

/.cos20=cos(»-ZBAF)=-cosBAF=——,

228

7i

BPCOS2<9=2COS2<9-1=——,解得：cos6=—,

84

1

.2\1>解得：m=2n,

m4

口口4

4〃=4Q+〃，即3〃=4〃，解得：n=—a,

3

8

/.m——a,

3

在△AF；月中，由余弦定理得：

网「+|即「一占用1

cosZFBF=cos3=

}22忸用忸月

-4c2

2(2〃+〃)・〃

解得：e2=：=电，即6=£=亚

a36a3

故答案为：巫

3

【点睛】

本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率.

14、-M

【解析】

根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数/(力的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.

【详解】

因为函数/(尤h-J+sinx,其定义域为R,

所以其定义域关于原点对称，

X/(-x)=-(-x)3+sin(-%)=+sinxj=-/(%),

所以函数/(九)为奇函数，因为/(“)=”,

所以=

故答案为:

【点睛】

本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中

档题、常考题型.

n

15、—

2

【解析】

由题意利用函数丁=人5m(5+9)的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得9的最小值.

【详解】

解：将函数/(X)=Sinm的图象沿X轴向右平移＞0)个单位长度,

可得

(、兀(7l\

y=sin=sin12%—20+1J的图象.

根据图象与/(X)的图象关于X轴对称，可得—sin12x+g，sin12x—2。+'

二一功=(2左+1)〃，kwZ,即左=—1时，9的最小值为g.

71

故答案为：一.

2

【点睛】

本题主要考查函数y=Asin(a)x+9)的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.

16.(1)S=2,2①n，+cos。)-)0.

sin0cos02J(24

【解析】

(1)以点。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则8(4,4),在RtAfiO中，设AB=/,又N0AB=9,

故Q4=/cos。，OB=lsin0,进而表示直线AB的方程，由直线与圆H相切构建关系化简整理得

/=4(sm*os?-2,即可表示。4,0比最后由三角形面积公式表示AQS面积即可；

sin<9cos6^

产IOf_

(2)令/=2(sin6+cos。)—1,则sin，cos£=,由辅助角公式和三角函数值域可求得，的取值范围，进

8

而对原面积的函数用含f的表达式换元，再令加=；进行换元，并构建新的函数g(根)=-3m2+2根+1,由二次函数

性质即可求得最小值.

【详解】

解：(1)以点。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则8(4,4),在RtABO中，设AB=/,又NQ4B=e,

故Q4=/cos。，QB=/sin。.

所以直线AB的方程为一-—十—--=1,即xsin8+ycos6—/sin<9cos0=0.

Icos6IsinO

因为直线A5与圆〃相切，

|4sin6+4cos。一/sinOcos。|

所以=2.(*)

A/SIII2^+COS20

因为点”在直线AB的上方,

所以4sin8+4cos，一/sinAcos8>0,

所以(*)式可化为4sin8+4cos8—/sinOcos8=2,解得/=4(sm'+cos，)-2

singcos夕

4(sin0+cos0)-2_4(sin0+cos<9)-2

所以。4二tCyO—

sin。cos。

所以AO5面积为5=4。4・。3=2・[2(sin0+cos6)是。片

2sin。cos。

y\

MF

073Mx

产上/_q

(2)^t=2(sin0+cos0)-1,贝！IsinScos。：---------，

8

且t=2(sin，+cos，)—1=2岳—le(l,2&—1],

S=2干16

所以—f2t-3~32,,ZG(1,272-1].

----+--------------7H----H]

8rt

、

人12V2+12y/2+1J口的、田、*甘

令"Z二一£,1,g(m)=-3m2+2m+l=-3\w-j|+j,所以gO)在---------,1I上单调递减.

t7

7

所以，当m=2也Q,即。=工时，g(峭取得最大值，S取最小值.

74

TT

答：当时，AOB面积S为最小，政府投资最低.

4

【点睛】

本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)-1<«<V3(2)函数g(x)有两个零点X1和看

【解析】

试题分析：(1)求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0(2)先判断升为一个零点，然后再求导，根据

西+2玉)=3X2,化简求得另一个零点。

解析：(1)当6=1时，f'(x)=3^+2ax+\,因为函数〃力在上单调递增，

所以当时，/'(%)=3X2+2^+120恒成立.[来源忆&*&*&耳

函数外4=3*+231的对称轴为x=g

①-[<-1,即a>3时，r(-l)>0,

3

即3-2〃+120,解之得解集为空集；

(2)-1<--<-,即时，/{--Ko

322k3J

即3,豆+2。+1N0,解之得<a<&9所以<百

③一，>:，即4<一!•时，

322\2)

1773

即3FQ+120,解之得aN—所以——

44942

综上所述，当-函数〃力在区间，上单调递增.

(2)•••/(%)有两个极值点%,％2，

•••方马是方程/'(4=3%2+23：+6=0的两个根，且函数〃力在区间(7,石)和(马,”)上单调递增，在

(石,々)上单调递减.

g，(x)=/，(x)

函数g(x)也是在区间(f,石)利龙2，”)上单调递增，在(0々)上单调递减

Ig&))=/(飞)-/(曲)=。，是函数g(%)的一个零点.

由题意知：g(%)=/(/)—/(%)

V%；+2x0=3X2,/,2x0-2x2=x2-A,>0,x0>x2/(x2)</(x0),8(42)=/(%)-/(%0)<0又

=(口I-□#)(!□}+2叫+口+兀；+归入+3口)

2

V玉,x2是方程/'(X)=3x+2ax+b^Q的两个根,

3x；+2g+b=0,3xf+2〃%2+b=0,

：.g(xl)=f(xl)-f(xo)=0

•.•函数g(x)图像连续，且在区间(Y,%)上单调递增，在(%,乙)上单调递减，在(马，”)上单调递增

.,.当xe(f%)时,g(x)<0,当%«%,%)时g(x)<0,当九时g(x)>0,

函数g(X)有两个零点X1和%.

18、(1)见解析；(2)生匝

35

【解析】

(1)先算出的长度，利用勾股定理证明05,再由已知可得Q4LQ0,利用线面垂直的判定定理即可

证明；

(2)由(1)可得NMDO为直线与平面所成的角，要使其最大，则OD应最小，可得。为AB中点，然后

建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.

【详解】

(1)在中，ZOBC=30，由余弦定理得

0M=yJOB2+BM2-2OB-BM-cos30=,

3

:.OM2+OB2=MB2,

:.OMLOB,

由题意可知：,OAA.OC,OBOC=O,

:.Q4_L平面COB,

OMu平面COB,/.OA±OM,

又。4OB=O,

二OM,平面AOB.

(2)以。为坐标原点，以OM，OB>的方向为％，V，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

VOM±平面AOB,：.MD在平面上的射影是OD,

，MD与平面所成的角是NMDO,，NMDO最大时，即8,AB,点D为AB中点.

B(0,2,0),C(A-l,0),A(0,0,2),D(0,l,l),CD=(—百,2,1),

DB=(0,l,-l)＞OD=(0,1,1)»设平面CD8的法向量〃=(x,y,z),

n-CD=0一—^/3x+2y+z=0i—

由＜,得＜，令z=l,得＞=1,%=近

几DB=0y-2=o

所以平面CDB的法向量〃=(6」/)，

m-CD-0—\/3x+2y+z=0

同理，设平面CDO的法向量加=(九,y,z),由＜,得

mOD-0y+z=0

令y=l,得z=—l,x=1g，所以平面C。。的法向量m=

3if

.・……叵……尸=巫

35\3535

故二面角5—CD—O的正弦值为境°.

35

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

19、(1)证明见解析

⑵叵

5

【解析】

(1)要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点"，连接DM，根据条件证明。M//3E,QAf///G,即

BE//FG.

(2)以R为原点，FC所在直线为X轴，过尸作平行于C3的直线为y轴，五4所在直线为二轴，建立空间直角坐标

系尸一孙Z,求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：取6C的中点连接DM.

•••BG=3CG,J.G为CM的中点.

又尸为CD的中点，,PG//ZW.

依题意可知。则四边形为平行四边形,

：.BE//DM,从而BE//FG.

又FGu平面A^G,BEs平面A^G,

/.3石7/平面4/6.

（2）DELAD^DE±DC,且A。DC=D,

二。石_1_平面ADC,AEu平面ADC,

DEL\F,

A.FLDC,且DEcDC=D,

A]F_L平面BCDE,

，以P为原点，FC所在直线为x轴，过口作平行于C5的直线为，轴，BA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系

F-xyz,不妨设CD=2,

则网0,0,0）,A（0,0,73）,5（1,4,0）,£（-1,2,0）,G（l,l,0）,

%=（0,0,G）,FG=（1,1,0）,4石=卜1,2,-⑹，EB=（2,2,0）.

设平面APG的法向量为马=（%，x，zj,

n-FA=Q=0

则l9即

n-FG=0、二0

令为=1,W/2=（1,-1,0）.

设平面ABE的法向量为7〃=（9,%，Z2），

—

加”=0,即<%2+2%-A/3Z2—0

则

m-EB-02X2+2y2=0

令工2=1，得加=（1,一1,一6）

从而cos<m,n>=21厂=—,

72x755

故平面A.FG与平面AtBE所成锐二面角的余弦值为孚

【点睛】

本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档

题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行

四边形,这些都是证明线线平行的常方法.

22(1或-明

20、(1)土+乙=1;⑵5

43"4J

【解析】

(1)根据△尸片月的周长为2a+2c,结合离心率，求出即可求出方程;

(2)设P(肛〃)，则Q(-%-")，求出直线AM方程，若Q&斜率不存在，求出M,P,N坐标，直接验证是否满足题

意，若。工斜率存在，求出其方程，与直线AM方程联立，求出点以坐标，根据=4S△亚N和R月,N三点

共线，将点N坐标用m〃表示，RN坐标代入椭圆方程，即可求解.

【详解】

(1)因为椭圆的离心率为:，△尸耳耳的周长为6,

2〃+2c=6,

c1

设椭圆的焦距为2c,贝！J—二不

a2

b2+c1=4,

解得若，

a=29c=l9b—

22

所以椭圆方程为L+匕=i.

43

(2)设P(%“)，则?-+±=1,且。(一加,一〃)，

43

VI_

所以AP的方程为y=--(x+2)①.

m+2

若m=—l,则。工的方程为x=l②，由对称性不妨令点P在x轴上方,

则p1—1,目，联立①，②解得即

、2

3

P8的方程为y=-?(%-1),代入椭圆方程得

g

3f+5—1)2=12,整理得7/—613=0,

4

…1313

%=-1或x=—，N\—

7173

19……

q—x—x|AF2I

=22_______=7w4不符合条件.

SgN：x：x|Ag|

—

若加w—1,则。鸟的方程为丁=-----7（%-1），

—m—1

即丁=——(x-1)③.

m+1

x=3m+4,

联立①，③可解得「所以”（3加+4,3〃）.

J=3〃，

因为S4AF2M=4s△A^N9设N(%N，＞N)

所以gx|A鸟|x|yM=4xgx|AFJxE|，即|端=4|%|・

3n

又因为位于X轴异侧，所以J；N=-7.

因为尸，鸟,N三点共线，即名尸应与8N共线，

3〃

F2P=(m-1,n),F2N=(xN-1,-y)

7—

所以〃=--—(w-1)，BPXN=---,

7-3m

所以4

r-(7A2281由［、］3y/5

所C以hl一一加-m=一，解得加=不，所以〃=±八一，

13J924

所以点尸的坐标为[或•

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.

(n

21、(1)0,一；(2)证明见解析.

Iej

【解析】

⑴求出函数y=/(x)的定义域为(0,+。)，/'(力=匕竺，分a4。和。>0两种情况讨论，分析函数y=/(x)

的单调性，求出函数y=/(x)的最大值，即可得出关于实数。的不等式，进而可求得实数”的取值范围；

(2)利用导数分析出函数y=在(0,3)上递增，在(3,+8)上递减，可得出0<%<3<々，由

/(x2)-/*=/(%；)-/*=31nX]-三+印—ln30,构造函数g(x)=31nx_2+^_ln30,证明出

一1再)3%3x

(30、

g(%)>0,进而得出/(%)>/—,再由函数y=/(x)在区间(3,+8)上的单调性可证得结论.

【详解】

(1)函数/(x)=lnx—依的定义域为(0,+。)，且/'(%)=匕竺.

X

当时，对任意的x>0,

此时函数y=〃%)在(。,+8)上为增函数，函数y="%)为最大值；

当〃>0时，令/'(x)=0,得％

a

当0<x<：时，/'(x)>0,此时函数y=/(x)单调递增；

当x>：时，/,(%)<0,此时函数y=/(可单调递减.

所以，函数y=/(x)在x=：处取得极大值，亦即最大值，

即〃x)max=/1']=-lna—l〉0,解得0<a<L

\aJe

综上所述，实数。的取值范围是0<。<!；

(2)当a=g时，y(x)=lnx-,定义域为(0,+“)，

11Q_

r(x)=--=^r,当0<x<3时，/'(x)>0；当x>3时，r(x)<0.

所以，函数y=/(x)的单调递增区间为(0,3),单调递减区间为(3,+8).

由于函数y=/(x)有两个零点W、4且%</，，0<XI<3<X2,

L3010)YIQ

fM-f-=/(^i)-/-=仙罚一当ln—一-r=31n玉一一^+―-ln30,

\X1JJvJ.IX]XJ3X]

Y10

构造函数g(x)=31nx—9+卷—ln30,其中0<x<3,

JX

g，(2」_型V—9/+60

8[)X3X33?

令/z(x)=/一9/+60,A,(x)=3x2-18%=3x(x-6),当0cx<3时，"(x)<0,

所以，函数y=〃(x)在区间(0,3)上单调递减，则网力>.3)=6>0,则g'(x)<0.

所以，函数y=g(x)在区间(0,3)上单调递减,

0<%<3,.-.1?(x1)>,g(3)=31n3-l+y-ln30=ln0.9+-1>0,

即/(%2)-//=于。)-于/=g(xJ>0,HP/(X2)>//

八303010“、/、

0<%<3,，乒>5=彳>o3且々〉3,而函数丁=/(%)在(3,+00)上为减函数,

x

所以，2<~因此，xfx2<30.

xi

【点睛】

本题考查利用函数的最值求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，利用所证不等式的结构构造新函数是解