2024年新高考数学一轮复习高考数学押题卷（二）（难度：较难）含详解

高考数学押题卷（二）（难度：较难）

题号一二三四总分

得分

用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4={尤卜11（%+1）<1},3=卜卜=6*,%6111,则AB=（）

A.B.（O,e—1）

C.（l,e）D.（-1,0）

2.若复数z满足（2+i）z=|应-&i|（i为虚数单位），则在复平面内z的共钝复数所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知函数〃x）=cos2m+/sins,o>0,xeR,若/⑺的图象关于直线x=］对称，则。的可能取值为（）

.1„10r16

A.—B.—C.—D.—

3333

4.双曲线C：，■-/=1（〃>0,6>0）的离心率为手，直线XR+1=。与C的两条渐近线分别交于点A,B,若点

M（LO）满足=贝ijw=（）

A.±2或0B.-2C.±3或0D.3

5.哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的

花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段A3和两个圆弧AC、

BC围成，其中一个圆弧的圆心为A,另一个圆弧的圆心为5,圆。与线段AB及两个圆弧均相切，若AB=2,则

OAOB=（）

A

AB

D

A-W4

BD.

--17

6.甲烷分子式为CH「其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢

键长度相等，且任意两个氢原子等距排列，用C表示碳原子的位置，用乜,“2,4,4表示四个氢原子的位置，设

a={H[,CH),则cos2c=()

溪

1£

D.

3

7.现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至

少一位同学参加，事件A="甲参加跳高比赛”，事件5="乙参加跳高比赛”，事件C="乙参加跳远比赛”，贝IJ（）

A.事件A与8相互独立B.事件A与。为互斥事件

C.P（C|A）=AD.P（B|A）=1

8.设函数〃尤）的定义域为R,其导函数为（（无），若尸C）]（2x）+〃2-2x）=3,则下列结论不一定正

确的是（）

A./（l-x）+/（l+x）=3B.f'[2-x）=f'[2+x）

c.r（/（i-x））=r（/（1+x））D./（r（^+2））=/（rw）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.已知相，，表示空间内两条不同的直线，则使加〃〃成立的必要不充分条件是（）

A.存在平面有机〃B.存在平面a,有机_Lc,〃_La

C.存在直线/,有机D.存在直线/,有机〃

10.定义在R上的函数小）=25川5+5（。€升）满足在区间!4，3内恰有两个零点和一个极值点，则下列说

法不正聊的是（）

A.〃x）的最小正周期为三

B.将f（x）的图象向右平移巳个单位长度后关于原点对称

C.7（x）图象的一个对称中心为1,0）

D.在区间［哈上单调递增

11.我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购

置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等.记事件M表示“政府推出购买电动汽车优惠补贴政策”；事件

N表示“电动汽车销量增加”，P（M）＞0,P（N）＞0.一般来说，推出购车优惠补贴政策的情况下，电动汽车销量增

加的概率会比不推出优惠补贴政策时增加的概率要大.基于以上情况，下列不等式正确的是（）

A.尸尸（N砌B.P（7Vl

C.P（NM）＞P（N）・P（M）D.P（MN）＞P（MW）.

12.已知点尸（l,a）（a＞l）在抛物线C：/=2»他＞0）上，过尸作圆（x—l）2+y2=i的两条切线，分别交C于A,B

两点，且直线AB的斜率为-1,若尸为C的焦点，”（x,y）为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则（）

A.p=lB.p=2

C.渭的最大值是0D.器的最大值嘿

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.若问=忖，,+可=8,卜-6卜6,则a在匕上投影向量的模为.

14.定义:对于数列｛%｝,如果存在常数P,使得对于任意〃eN*,都有p）&-p）＜0,成立，则称数列｛见｝

为摆动数列”，P称为数列｛%｝的摆动值.若+/（q＞0）,且数列｛%｝的摆动值为0,则4的取值范围

为.

15.如图，在棱长为0的正方体ABCD-AB'C'D'中，点、E、F、G分别是棱A®、BC\C£＞的中点，则由点E、

F、G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于.

DGC

22

16.已知椭圆C：会+%=l(a>6>0)的焦距为2c,左焦点为尸,直线/与C相交于A,2两点，点尸是线段AB

13

的中点，P的横坐标为若直线/与直线PE的斜率之积等于-77,则C的离心率为_____.

316

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在公差不为零的等差数列也｝中，％=1,且弓,生，%3成等比数列，数列也｝的前〃项和S“满足S“=26”-2.

⑴求数列｛%｝和｛2｝的通项公式；

⑵设c“=b「',数列｛%｝的前"项和兀若不等式北+〃2-〃>1。82(1-。)对任意〃€川恒成立，求实数。的取值范

围.

18.在三棱台A8C-48©中，44j_L平面ABC,ZBAC=90,AB=AC=2AA,=2\B[=4.

B

(1)证明：平面ABG，平面CBG;

(2)记耳C的中点为M,过M的直线分别与直线AB,AC交于P,Q,求直线PQ与平面ABg所成角的正弦值.

19.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且回=(?(6««4+5亩4).

⑴求C；

(2)若ABLAC,AC=3,角C的平分线交43于点。，点E满足。E=CD，求sin/AEB.

20.已知函数/(X)=---+«lnx(tzeR).

⑴讨论“X)的单调性；

(2)求“尤)在［L2］上的最小值g⑷.

21.某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品4B、C,其中A、B、C能通过行业标准检测的概率分别4为6出9,木,

且A、B、C是否通过行业标准检测相互独立.

⑴设新品A、B、C通过行业标准检测的品种数为X,求X的分布列；

(2)已知新品A中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025,现从足量的新品A中任意抽取一件进行检测，

若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过”.如果抽取次数的

期望值不超过5,求〃的最大值.

参考数据：0.9754a0.904,0.9755«0.881,0.9756=0.859,0.9757=0.838,0.9758=0.817

22.在△尸片为中，已知点月卜6,0),6(6,0),尸片边上的中线长与P8边上的中线长之和为6；记△「月舄的重

心G的轨迹为曲线C.

⑴求C的方程；

(2)若圆。：x2+y2=l,E(0,-l),过坐标原点。且与y轴不重合的任意直线/与圆。相交于点A,B,直线E4,EB

与曲线C的另一个交点分别是点M,N,求一面积的最大值.

高考数学押题卷（二）（难度：较难）

题号一二三四总分

得分

用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4=,阿N+1）<1},3={"=6*,%€1<},则AB=（）

A.B.(O,e-l)

C.(l,e)D.(-1,0)

【答案】B

【分析】由对数函数单调性结合指数函数性质可化简集合A,B,后由集合交集定义可得答案.

（%+]<e

【详解】因为ln（x+l）<lnln（x+l）<lnenJ1则4={兀卜1vxve-l}=,

因为xeR,y=ex>0,则B=（0,+oo）,

所以AB-(O,e-l).

故选：B.

2.若复数z满足（2+i）z=|拒-0i|（i为虚数单位），则在复平面内z的共辗复数所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】先求出z=]4-12i,再求出-z=4w2+）i即得解.

【详解】因为（2+i）z=|&-亚i|,即（2+i）z=2,

WWz_2一2（2-i）_42

所以z-—T（2+i）（2T-丁。

所以三=g+gi,其所对应的点为[$1],位于第一象限.

故选：A.

3.已知函数/（x）=cos2m+#sins-；,o>0,x£R,若/⑺的图象关于直线x对称，则①的可能取值为（）

【答案】D

【分析】先化简，然后根据正弦函数的对称性求出对称轴方程，结合已知即可求解.

■、斗即、"/、2①X杷.11+COS。％V3.1.(71、

［评用牛】J(x)=cos---1-----smcox——=---------1-----sin69x——=sincox+—,

2222226J

由a>x+—=—+kji,keZ,得了(九)的对称轴为％eZ,

623Gg

若“X)的图象关于直线X=：对称，贝+包,AeZ,

443®®

416

解得0=—卜4k,k,cZi,当左=1时，co=—.

33

故选：D

4.双曲线c的离心率为手，直线无一〃y+i=o与。的两条渐近线分别交于点4B,若点

”(1,0)满足=则〃=()

A.±2或0B.-2C.±3或0D.3

【答案】C

【分析】由双曲线离心率及参数关系确定渐近线方程，联立直线方程求A3坐标，进而求其中点P的坐标，根据

及斜率两点式求参数，注意讨论〃W0、"=0两种情况.

【详解】由离心率为岑=。|；,有

1

21

、片/

由<得：A的坐标为-

2—n2—n

x-ny+1=0

11

y=二乂21

由，2得：B的坐标为一

2+n2+n

x-ny+1=0

11111

设线段A3中点为P,则用PLAB,且尸的坐标为-

2+n2-〃'2(2+〃2—n

x—=—1,解出〃=±3.

n

当〃=0时，符合条件.

综上所述，〃=±3或”=0.

故选：C

5.哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的

花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段A3和两个圆弧AC、

围成，其中一个圆弧的圆心为A,另一个圆弧的圆心为5,圆。与线段45及两个圆弧均相切，若AB=2,贝lj

OAOB=

2

7

【答案】A

【分析】构造直角三角形，勾股定理求圆O的半径，得至OA,余弦定理求cosNAa,利用向量数量积公式求。.

【详解】若AB=2,则圆弧AC、3c的半径为2,设圆。的半径为小则。4=2-厂，过O作贝！!。。=人

AD=1,

35

RtZXODA中，OA2=OZ)2+AZ)2,即(2—厅=产+1,解得r二则有。4=

55

4

A03中，由余弦定理得c-”。\。加6

57

.•.OA-OB=|OA|-|OB|COSZAOB

16

故选：A.

6.甲烷分子式为CH4，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢

键长度相等，且任意两个氢原子等距排列，用。表示碳原子的位置，用华，”2,&，/表示四个氢原子的位置，设

a=《H[,CH，,则cos2a=()

A.--B.--C.-D.-

3993

【答案】B

【分析】根据正四面体的性质，以及正四面体的中心的位置关系，求碳原子和氢原子的距离，再结合余弦定理求cosa,

最后根据二倍角公式求cos2。

【详解】由题意可知，氢原子构成如图所示的正四面体，碳原子是正四面体的中心，

如图，连结"C并延长交平面小区区于点。，，平面H/3H八

设两个氢原子距离为2,则”，=1

设C%=R,中，(至3-R]+(93]=片,得R卫,

IJIJ2

66

—I-----44

441

则一区中,cosa=

cq2H[CxH4c2x"x逅3

22

HI

__2-i'

cos2a=2coscr-l=——.

9

故选：B

7.现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至

少一位同学参加，事件A="甲参加跳高比赛”，事件3="乙参加跳高比赛”，事件C="乙参加跳远比赛”，贝U()

A.事件A与2相互独立B.事件A与C为互斥事件

C.P(C|A)=AD.l

【答案】c

【分析】根据条件求出尸0),尸(B),尸(钻),尸(AC),由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐

一判断即可

【详解】对于A,每项比赛至少一位同学参加，则有总产=36不同的安排方法,

A2

事件4="甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有A；=6种方法;

若跳高比赛安排1人，则有C；C：A；=6种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有6+6=12种，则

1171

同理尸⑻二效.

3363

若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有A；=2种不同

的安排方法，所以P(A3)=弓2=51，

3618

因为尸(AB)#P(A)P(B),事件A与8不相互独立故A错误；

对于B,在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是

互斥事件，故B错误；

对于C,在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有C；+C；=5种，所以P(AC)=±,所

36

以p(q")=今煞=苧=11，故c正确；

r\r\.)，1,4

1

对于D,可8网=今答=毕=：,故D错误.

3

故选：C

8.设函数的定义域为R,其导函数为((x),若尸(-x)=r(x),〃2x)+〃2-2x)=3,则下列结论不一定正

确的是()

A./(l-x)+/(l+x)=3B./(2-%)=/(2+%)

c.「("1-x))=〃〃l+x))D./(r(x+2))=/(r(x))

【答案】c

【分析】根据题意令X=2x可得〃x)+"2-x)=3,即函数图象关于对称，即可判断A；根据抽象函数

的奇偶性和对称性可得函数广(x)的周期为2,即可判断BD；由-(2-幻=((2+尤)知函数/(X)图象关于直线x=2

对称，举例说明即可判断C.

【详解】A：f(2x)+/(2-2^)=3

令x=2x,得/(x)+/(2-x)=3,则函数/(x)图象关于点。，［对称.

若/•(1-彳)+/(1+尤)=3,则函数f(x)图象关于点］j对称，符合题意，故A正确;

B：由选项A的分析知〃x)+〃2-x)=3,等式两边同时求导,

得广⑺-/(2-耳=。，即/(力=((2-力①，

又/'1)=/(—X),广(X)为偶函数,所以「(2-x)=T(x—2)②，

由①②得尸(x)=/'(x-2),所以函数尸(x)的周期为2.

所以尸(2—%)=/(%)=尸(2+x),即:(2-x)=/'(2+尤)，故B正确；

C：由选项B的分析知/'(2-x)=/'(2+x),则函数f(x)图象关于直线x=2对称.

令"1-x)=]-△(x)"(1+尤)=]+△(尤)，若广弓一△(》))=*+A(x)),

则函数/'(X)图象关于直线尤=；对称，不符合题意，故C错误；

D：由选项B的分析可知函数尸(力的周期为2,则尸(x)=/'(尤+2),

所以/Cf(x))="f(x+2)),故D正确.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分..在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.已知表示空间内两条不同的直线，则使机〃〃成立的必要不充分条件是()

A.存在平面a,有mJ/a,n//aB.存在平面a,有〃7_La,w_La

C.存在直线/,有〃/D.存在直线/,有机〃

【答案】AC

【分析】根据线面平行的性质，结合线面垂直的性质、必要不充分条件的定义逐一判断即可，

【详解】A：若加〃a,“〃打，则直线加，“可以平行，也可以相交，还可以异面;若相〃“，则存在平面a，有小〃口

所以本选项正确；

B：若机则机〃”，即垂直于同一平面的两条直线平行；若m〃n,则存在平面a,有〃J_a,所

以本选项不正确；

C：若加，/,〃，/,则直线机〃可以平行，也可以相交，还可以异面；若机〃人则存在直线/,有所

以本选项正确；

D：^m//l,n//l,则m〃〃，即平行于同一直线的两直线平行，若机〃“，则存在直线/,有“?〃/,”〃/,所以本选

项不正确，

故选：AC

10.定义在R上的函数/(尤)=25皿"+或06*)满足在区间1-屋]内恰有两个零点和一个极值点，则下列说

法不正硬的是()

A.〃x）的最小正周期为:

B.将f（x）的图象向右平移;个单位长度后关于原点对称

C.小）图象的一个对称中心为院,。]

D.在区间上单调递增

【答案】ABC

【分析】根据题意可求出。的值，从而可得到/'（x）的解析式，再根据解析式逐项分析即可.

71兀。

——<--------F-<0

T兀

【详解】依题可知]＜]＜丁，于是3＜啰＜6,于是＜263

兀0713兀

71<——+—<——

4＜＜27＜5,又GEN*,

「・0=5,/./（x）=2sin^5x+y^,

对于A,由T=四二号，则/（%）的最小正周期为故A错误；

coJ5

对于B,因为2sin5^%-^+j=2sin15x-f）=2sin15x-f+2兀）=2sin[5x+g],

所以将〃x）的图象向右平移三个单位长度后得g（尤）=2sin（5x+

则g（O）=2sin[1]=g,所以g（x）不关于原点对称，故B错误；

对于C,由/旧=2$亩0=-1,所以与不是/⑴图象的一个对称中心，故C错误；

对于D,由则5苫+枭[芳），所以〃x）在区间，亲。]上单调递增，故D正确.

故选：ABC.

11.我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购

置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等.记事件M表示“政府推出购买电动汽车优惠补贴政策”；事件

N表示“电动汽车销量增加”，P（M）＞0,P（N）＞0.一般来说，推出购车优惠补贴政策的情况下，电动汽车销量增

加的概率会比不推出优惠补贴政策时增加的概率要大.基于以上情况，下列不等式正确的是（）

A.P（N|M）＞P（N间B.P（N\M）＞P（N\M）

C.P（NM）＞P（N}P（M）D.

【答案】ACD

【分析】对于选项A,直接根据题意即可判断出正误；对于选项B,利用条件和对立事件的概率公式即可判断出正

误；对于选项C和D,根据条件和条件概率公式，再进行变形化简即可判断出正误.

【详解】根据题意知P（MM）＞P（N间，故选项A正确;

由P（N|M）＞尸（N砌，得到1-尸（讨|M）＞l-P（方间,即尸（而町＜尸（丙间,故选项B错误;

P(NM)P(NM)_P(N)-P(NM)

又由尸(MM)>P(NM)知,

尸(M)>P画--l-P(M)-，化简得到尸（MW）＞尸（N）•尸（"）,所以选项C

正确;

又由尸尸（N）.P（M）,得P（NM）-P（N）P（NM）＞P（N）.P（M）-P（N）P（NM）,所以

P(NM)\1-P(N)]>尸(N)[P(M)~P(NM)],

P（NM）P[NM）

即P（NM）.P（N）＞P（N）P（NM）,即号鬲＞布j,

即P（MN）＞尸（MH）,故D正确;

故选：ACD.

12.已知点尸（l,a）（a＞l）在抛物线C：丁=20%（0＞0）上，过尸作圆（x-岁+9=1的两条切线，分别交C于A,B

两点，且直线AB的斜率为-1,若尸为C的焦点，M（x,y）为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则（）

A.p=iB.p=2

C.等的最大值是应D.乳的最大值是,

【答案】BC

【分析】根据题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线x=l对称，即噎+%=。，结合ABP都在抛物线上可得

/、\MN\\MN\1

p=2,所以A错误,B正确;根据抛物线定义可知N（T,O）,设ZWF=。，则扁=氤才=/而，当直线x=-1

与抛物线相切时，储的最大值是应，即C正确，D错误.

【详解】由题意可知，点尸（La）与圆心同在x=l上，

所以过尸所作圆的两条切线关于直线x=1对称，所以kPA+kPB=O.

设A&,yJ,B(X2,J2),P{xp,yp),

%_%-%叮-_2P

n

则%y|__yP+yt,

2p2p

2P

同理可得尢PB=-,七8

则七二肛得”工应

所以％+%=-2丹，

=-1

kAB=~~~=>得力=P.

%+%-2%

将(1,。)代入抛物线C的方程，得p2=2p,解得P=2,

故抛物线C的方程为丁=©，所以A错误，B正确.

设ZMNF=9,作M7VT垂直准线于ML如下图所示：

由抛物线的性质可得=|MF|,

所以嚣万，当cos。最小时，需的值最大，

\MF\\MM'\cos6\MF\

所以当直线MN与抛物线。相切时，8最大，即cos。最小.

由题意可得N(TO),设切线MN的方程为x^my-1,

—1c

联立方程组\x2=m:y，消去X，得4根y+4=0,

[y=4x

由△=16m之—16=0,可得zn=±l,

将加=±1代入>2_4冲+4=0,可得y=±2,所以兀=1,即M的坐标为(1,±2),

所以|MV|=V?万=2行，|W|=1-(-1)=2,

所以曙的最大值为乎=0,即C正确，D错误.

故选：BC

【点睛】方法点睛：求解抛物线最值问题时，往往利用抛物线定义和焦半径公式，将问题等价转化即可实现求解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.若同=仰，,+可=8,卜-6卜6,则a在方上投影向量的模为.

7

【答案】y/1.4

【分析】根据平面向量的线性运算，数量积的运算，投影的定义与公式，即可求解.

(a+6)=82.+24.6+/=64①

【详解]解：已知,+0=8,,一6卜6,

(a-by\=62\a--2a-b+b-=36(2)

①一②，得4〃d=28=>〃♦/?=7,

又回二W,贝U忖2_2X7+，=36nW=5

所以〃在b上投影向量的模为同cos8=S7

5J

7

故答案为：—.

14.定义：对于数列｛%｝,如果存在常数P,使得对于任意〃N*,都有（见+「p）（4-p）<0,成立，则称数列｛4｝

为-摆动数列”，P称为数列｛%,｝的摆动值.若%=（-g]+q"（q>0），且数列｛。“｝的摆动值为0,则0的取值范围

为.

【答案】

【分析】根据“，-摆动数列”的定义可得见。用<0,对几分奇偶即可求解.

【详解】由数列｛q｝的摆动值为0知anan+l<0,

当〃为偶数时，+q"=[J+/>0,

故当”为奇数时,

即当”为奇数时，即i<[5]，所以A*

故4的取值范围为（。，；[

故答案为：

15.如图，在棱长为a的正方体ABCD—AECZ）'中，点E、F、G分别是棱A®、BC\8的中点，则由点E、

F、G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于.

【答案】巫

2

【分析】作出截面，分析可知截面是边长为1的正六边形，计算出截面面积即可.

【详解】因为E、F分别为A'3'、BC’的中点，贝】EFIINC且ER=《B'E?+8'尸=正］x2=l,

K12J3

因为可〃cc且A4，=CC,所以，四边形A4'C'C为平行四边形，所以，AC7/AC,

所以，EF//AC,设平面E尸G交棱AD于点

因为平面ABCDH平面AB'C'D',平面EFGc平面AB'C'D'=EF,

平面£FGc平面ABCD=G",所以，EF//GH,则GH〃AC,

因为G为8的中点，所以，H为AD的中点，

设直线即分别交。'A'、DC的延长线于点尸、Q,连接交棱A4'于点

连接2G交棱CC'于点N,连接EM、FN,则截面为六边形E7WGHM,

因为A7V/C3',则==行=1,

DrDE

所以，A!P=B'F=-B'C=-A'D'=-AD=AH,

222

AA/fAH

因为AH//AP,则=7^=1，所以，AM-AM,则Af为AA'的中点，

AMAP

同理可知，N为CC的中点，易知六边形瓦NGHM是边长为跖=1的正六边形，

所以，截面面积为6x,xl2xsin60=6x^-=^^-.

242

故答案为：巫.

2

22

16.己知椭圆C：1r+方=1（。>6>0）的焦距为2c,左焦点为R直线/与C相交于A,2两点，点尸是线段A8

13

的中点，P的横坐标为彳若直线/与直线尸产的斜率之积等于-二,则。的离心率为____.

316

【答案】1/0.5

【分析】设4（石,%）,3a,%）,求出尸尸的斜率，利用点差法求出直线/的斜率，在根据题意求出。，仇。之间的关系

即可得解.

【详解】F（-c,0）,

设A（X，％），矶%，%），

因为点尸是线段A8的中点，P的横坐标为;C,

所以当+毛=?，尸］，号J，

%+%M+%

3("+%)

贝！Jk=22

PFX1+x4c

2+c

23

由直线/与。相交于A,8两点,

2222

两式相减得W+与-耳•-今=0,

a2b2a2b2

即(%—%)(1+々)+(%-%)(％+必)=0

a2b1

诉w(x-%)(x+%)=_£

(再一九2)(再+尤2)

2

即勺•卫三=_与，所以&=_4%+x2b2c

2

士+x2a'a~%+%a3(%+%)

b22c3(X+%)b2_3

则k「kpF=一

3(%+%)8c方一一记

2

所吟h43

所以离心率e=£==—.

a\a22

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在公差不为零的等差数列｛%｝中，％=1,且4，%，小成等比数列，数列也｝的前〃项和S“满足S“=2〃-2.

⑴求数列｛q｝和也｝的通项公式；

⑵设4=2-4,数列｛g｝的前“项和（，若不等式log?（1-a）对任意“eN*恒成立，求实数。的取值范

围.

【答案】⑴4=2"-1,b“=2"

【分析】(1)设等差数列｛4｝的公差为dwO,根据等比中项的性质得到方程，求出d,即可求出｛%｝的通项公式,

再根据4=1s〔s〃>2'作差得到数列也"｝是首项为2,公比为2的等比数列，即可得解；

(2)由(1)可得c,=2"-(2〃-1),利用分组求和法求出令〃〃)=2向-2,利用作差法判断了⑺的单调性,

即可求出/■(〃).，从而得到关于“的对数不等式，解得即可.

【详解】(1)设等差数列｛4｝的公差为1#。，4=1,且％,4吗3成等比数列，

：.%=，即(1+2d)?=1+12d,解得d=2或d=O(舍去)，

所以为=1+2("-1)=2"-1.

数列出｝的前〃项和S“=22-2,

当〃=1时，bx=2bx-2,bx=2

当心2时,bn=Sn-Sn_v=2bn-2bn_x,：,bn=2bn_lf

即数列｛2｝是首项为2,公比为2的等比数列，

(2)由(1)可得g=〃—q=2"-(2〃—1),

”"一。+27)-

“1-22

；.7；+"2一〃=2"+i一”一2.

令/(〃)=2"+i—"一2,.•./(H+1)-/(T7)=2"+2-(«+1)-2"+1+«=2,,+1-1>0,

.•"(〃)单调递增，.•"(〃)mfa=〃1)=L

.'.logj(l-a)<l,.-.o<l-a<2,,―

18.在三棱台ABC-A4G中，A4,_L平面ABC,ZBAC=90,AB=AC=2AA,=2A.B,=4.

B

（1）证明：平面ABG，平面CBQ；

（2）记qC的中点为M,过M的直线分别与直线A3,4G交于P,Q,求直线P。与平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）0

【分析】（I）取AC的中点。，可得四边形ADGA为平行四边形，利用线面垂直的判定定理、性质定理和面面垂直

的判定定理证明可得答案；

（2）以A为原点，AB,AC，朋所在方向分别为无轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-盯z,求出

平面AB&的法向量，设尸（40,0）,。（0,〃,2）,由尸，M,。三点共线，可设求出PQ,根据空间角的

向量求法可得答案.

【详解】（1）取AC的中点。，则AD与4G平行且相等，

可得四边形AOGA为平行四边形，则有A4,=GD=2,

又AD=DC=2,故？AC。90。.

又AAr_LAB,AC_LAB,ACA=A,AC,u平面ACC、,故AB_Z.平面ACC^,又因为CC、u平面ACC^,

故ABLCG，

又因为AGJ.CC，ACJAB=A,AG，ABu平面ABC」故CQ,平面ABC一

而C£u平面CSC”故平面ABG，平面CBG；

⑵以A为原点，A5,AC，A4,所在方向分别为无轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

则耳（2,0,2）,G（0,2,2）,C（0,4,0）,则

设平面A8G的法向量为根=（x,y,z）,

m•AB.=0\2x+2z=0/、

则1即2y+2z=0'取尤=1'则"？=（1，1，T）・

m-ACX=0IJ

设P（40,0）,Q（0,",2）,则=—MQ=（T,〃—2,1）,

1—A-=—k

由题意知P,M,。三点共线，可设贝卜2=%(〃—2),

l=k

k=l

解得4=2,故P(2,0,0),2(0,4,2),

〃=4

则尸。=(—2,4,2),

故"2=而1=直言f

即PQ〃平面A8G，故所求线面角的正弦值为0.

19.已知，ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且J0=c(右cosA+sinA).

⑴求C；

(2)若ABLAC,AC=3,角C的平分线交AB于点。，点E满足£>£=Q)，求sin/AEB.

7E

【答案】(