福建省2024届高考数学四模试卷含解析

福建省二校2024届高考数学四模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设Z•为数单位，N为Z的共朝复数，若2=则z==()

3+z

(□+Z-20

2.设实数二二满足条件J：二•：？则二十二一二的最大值为()

【匚-D0

A.1B.2C.3D.4

3.已知向量〃二(1,m)，b=(3,-2),且(〃+b)_LZ?,则机=()

A.-8B.-6

C.6D.8

4.若x>0,y>。，则“x+2y=2,2孙”的一个充分不必要条件是

A.x=yB.x=2y

C.尤=2且y=lD.x=y或y=l

5.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积()

A.6+2百B.6+2拒C.4+4&D.4+4^/3

6.已知函数f(x)=如4?+1-x)+3T-3工，不等式/(a+4)+/(月+5),,0对xeR恒成立,则。的取值范

围为()

A.[-2,+oo)B.(-oo,-2]D.

7.函数/(x)=sin[2x+qj[o<x<6j的值域为()

A.——-,1B.0,—C.[0,1]D.

LLz」

x-2y+1>0

8.已知实数工、丁满足不等式组(2x—y—IVO,则z=-3x+y的最大值为()

y>0

A.3B.2C.--D.-2

2

9.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到4、B、C三个贫

困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县的分法有()

A.6种B.12种C.24种D.36种

ra

1-tan—

37r

10.已知sina—2cos。=1,aG(TT,——),贝!1-------=()

2ia

1+tan—

2

11

A.---B.—2c.一D.2

22

11.已知非零向量a，人满足(a—(b-血单b,则。与人的夹角为()

jrTT

12.已知函数/(%)=sin(2x——)的图象向左平移叭9>0)个单位后得到函数g(x)=sin(2x+—)的图象，则(P的最

44

小值为()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

\-y+2<0

13.设变量X,y满足约束条件x+2y—420,则目标函数z=x—2y的最小值为.

y-3<0

14.平面向量d=(L2),=(4,2),c=ma+b(加《R)，且c与。的夹角等于C与6的夹角，则机=

_1

15.已知数列｛斯｝的前“项和为S”向量。=(4,b=(Sn,"+3).若。_1_b，则数列｛----｝前2020项和为

nan

2x—y—6Ko5

16.设第一象限内的点(x,y)满足约束条件"°八，若目标函数z=ax+勿(。>0,5>0)的最大值为40,则一十

x-y+2>0a

7的最小值为.

b

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

33

17.(12分)设/(x)=(a—4)log“x-----x+----(。>0且awl).

a-1a—1

(1)证明:当a=4时，lnx+/(x)〈O；

(2)当xNl时/(x)W0,求整数"的最大值.(参考数据：质2Mo.69,加3^1.10,Zn5»1.61,Zn7-1.95)

丫221

18.(12分)已知耳，鸟为椭圆E:^+方v=l(a〉6〉0)的左、右焦点，离心率为不，点尸仅,3)在椭圆上.

(1)求椭圆E的方程；

1,1

(2)过耳的直线44分别交椭圆于4C和R。，且乙，/2,问是否存在常数彳，使得扁"，两成等差数列？

若存在，求出X的值；若不存在，请说明理由.

19.(12分)在底面为菱形的四棱柱ABC。-A中，AB=A^=2,^8=^0,ZBAD=60°,AC89=0,AO,平

面4肛

(1)证明：BtC平面45。；

(2)求二面角5-A4-。的正弦值.

20.(12分)如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面ABCD,四边形ABCD为正方形，点歹为线段尸C上的点,

过A,。,厂三点的平面与QB交于点E.将①AB=AP,②BE=PE,③尸3LED中的两个补充到已知条件中，解答

下列问题:

D

(1)求平面ADEE将四棱锥分成两部分的体积比；

(2)求直线PC与平面ADEE所成角的正弦值.

21.(12分)在如图所示的多面体中，四边形ABEG是矩形，梯形DGEE为直角梯形，平面。GM，平面ABEG,

且DG工GE,DF//GE,AB=2AG=2DG=2DF=2.

(1)求证：FG上平面BEF.

(2)求二面角A—肝一£的大小.

22.(10分)在直角坐标系xQy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为

x=2+2cos6(。为参数)，直线/经过点河卜1,-3石)且倾斜角为a.

y=2sin8

(1)求曲线C的极坐标方程和直线/的参数方程;

(2)已知直线/与曲线C交于A3,满足A为MB的中点，求tana.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

由复数的除法求出Z,然后计算Z：

【详解】

1_3-i_31.

3+7-(3+o(3^o-To-Toz

1

+—0=(—)2

1010To

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的乘除法运算，考查共趣复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键.

2、C

【解析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

-=一.二.；，即—表示直线在轴的截距加上1,

根据图像知，当•一=时，且二三—\力时，-•-,.有最大值为•.

故选：；

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

3、D

【解析】

由已知向量的坐标求出a+b的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案.

【详解】

Va-(1,m),b-(3,-2),.'.a+b-(4,m-2),又(a+6)_LZ?,

/.3x4+(-2)x(m-2)=0,解得m=l.

故选D.

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题.

4、C

【解析】

,:x>O,y>Q,

：.x+2y>2^y,当且仅当x=2y时取等号.

故"x=2,且y=1”是“x+2y=2y/2xy”的充分不必要条件.选C.

5、C

【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.

【详解】

解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P-A5C,

正方体的棱长为2,

该几何体的表面积：

—x2x2H—x2x2H—x2x2\/2H—x2x2"\/2=4+4-\/2.

2222

故选C.

【点睛】

本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.

6、C

【解析】

―尤2-5

确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为。…二—,利用双勾函数单调性求最值

Vx+4

得到答案.

【详解】

/(-%)=ln(Vx2+l+无)+3*-3一'=-/(%),/(x)是奇函数,

+X

易知y=^-r=—），y=，V=-3、均为减函数，故/（月且在R上单调递减,

\X+1+X

(____1、

J”］单调递减，故一25

设r=/f+4,t>2,故>=7%+4+-T---

22

<y^+4?max

当t=2,即x=0时取最大值，所以。…―』.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.

7、A

【解析】

由xe0,-^计算出2x+g的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数y=/(x)的值域.

【详解】

xe0,—,2x+—e—--<sinflxH--I<1,

L12j3136」2(3)

因此，函数/(x)=sin［2x+d()Wxw1^］的值域为一；,1

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.

8、A

【解析】

画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案.

【详解】

x-2y+l>0

画出不等式组<2x-y-140所表示平面区域，如图所示，

y>Q

由目标函数z=-3x+y,化为直线y=3x+z,当直线y=3x+z过点A时,

此时直线y=3x+z在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值,

x-2y+l=0

又由《/，解得4—1,0),

b=o

所以目标函数的最大值为Z=—3x(—l)+o=3,故选A.

【点睛】

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、

三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题.

9、B

【解析】

分成甲单独到A县和甲与另一人一同到A县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A县的分法数.

【详解】

如果甲单独到A县，则方法数有C；x&=6种.

如果甲与另一人一同到A县，则方法数有C；x隹=6种.

故总的方法数有6+6=12种.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.

10、B

【解析】

结合$皿20+8522=1求得5抽。30$。的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.

【详解】

（sini—2cos。=13兀34

由＜22,以及。£（肛一），解得sin。=——，cosa=——.

sinor+cosa=l255

.a

sin—

1——2

iaaa.aa.a1ca.a

1-tan—cos—cos-----sin—cos-----sin—l-2cos一sin—

22—22.2222

ia.aa.aa.aa.a2a.?a

1+tan—sin—cos—+sin—cos-----sin—cos—+sin—cos-----sin—

21+—22222222

a

cos—

2

3

i+

1—sina

2

cosa_4,

-5

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.

11,B

【解析】

由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得。与人的夹角.

【详解】

根据平面向量数量积的垂直关系可得(«-y/2b)-a=a-y/2a-b=0,

(b—yj2a^'b—b--J2a-b-0,

r=M，

所以/&a"即a

2=6

由平面向量数量积定义可得aa-bcos(a,b),

所以cos(a0=白，而(a,"e[0,句,

7T

即a与b的夹角为一.

4

故选:B

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.

12、A

【解析】

首先求得平移后的函数g(X)=sin[2x+20一,再根据sin+2。—?]=sin[2x+?]求°的最小值.

【详解】

根据题意，/(*)的图象向左平移。个单位后，所得图象对应的函数

g(x)=sin2(x+o)—£=sin(2x+2(p-^)=sin(2x+-^),

JTTTTTIT

所以20——=2k7r+-,keZ,所以"=左乃+上■，左eZ.又°>0,所以9的最小值为士.

4444

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-8

【解析】

17

通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线y=—x—-在y轴截距最大的问题，通过图像解决.

22

【详解】

由题意可得可行域如下图所示：

[z

令贝！JZmin即为在y轴截距的最大值

由图可知：

1z

当丁=5工—]过4(—2,3)时，在y轴截距最大

"「2—2x3=—8

本题正确结果：-8

【点睛】

本题考查线性规划中的z=ax+by型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在V轴截距的问题.

14、2

【解析】

试题分析：c=zm+Z>=Ml,2）+（4,2）=（m+4,2加+2）,c与a的夹角等于c与b的夹角，所以

a-cb-cm+4+4m+44m+16+4m+4

:.m-2

MdMidV20

考点：向量的坐标运算与向量夹角

4040

15、-----

2021

【解析】

由已知可得〃二4曲-〃（〃+3）=0,可得S〃=,”=1时,一=Si=l.当”22时,—=S"-S”-i.可得:

4

1211

一二((--------).利用裂项求和方法即可得出.

砌〃n(n+l)n〃+1

【详解】

a-Lb»:•a，b=4SLn0+3)=0,

/.s=---------,H=1时,ai=Si=l.

n4

〃+3)(n-l)(n+2)_n+1

当时，Un=Sn-Sn-1=

〃+1

n=l,满足上式，，4=——.

1211

nan仆+1)n”+

1

，数列｛——｝前2020项和为

H----------------)=2(1---------)=-------

2020202120212021

【点睛】

本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

16、-

4

【解析】

不等式表示的平面区域阴影部分，

当直线依+切气(a>0乃>0)过直线x-j+2=0与直线2x-j-6=0的交点(8,10)时，

目标函数2=。2+力(。>0,。>0)取得最大40,即8a+106=40,即4a+5办=20,

=51(51\4〃+5b5(5bay59

而一十—=—+—-------=—+一+——..—+1A=—

abb}2045bJ44

当且仅当¥=5时取等号，

4a5b

51Q

则2+；的最小值为J.

ab4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；(2)a=5.

【解析】

⑴将a=4代入函数解析式可得了(%)=-x+1,构造函数g(x)=lnx—x+l,求得g'(九)并令g'(x)=0,由导函

数符号判断函数单调性并求得最大值，由g(九)1mx=0即可证明g(x)<0恒成立，即不等式得证.

(2)对函数求导，变形后讨论当a>1时的函数单调情况：当(」—4)(°T)v3时,可知满足题意；将不等式化简后

Ina

构造函数g(a)=「2—5a+4-31na,a>l,利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为g(3),分别

依次代入检验g(3),g(4),g(5),g(6)…的符号，即可确定整数。的最大值；当4)("T)>3时不满足题意,因

为求整数。的最大值，所以0<a<1时无需再讨论.

【详解】

(1)证明：当a=4时代入/(X)可得F(x)=—x+l,

令g(x)=lnx-x+1,x«0,+oo),

贝！jg[x)=Ll=^^,

XX

令g[x)=。解得X=1,

当xe(O,l)时g<x)>0,所以g(x)=lnx—x+1在无<0,1)单调递增，

当时g'(x)<0,所以g(尤)=lnx-x+l在xw(l,+oo)单调递减，

所以g(")max=g6Tnl—1+1=°，

则g(x)=lnx-x+l<0,即InX+/(%)<。成立.

33

(2)函数/(%)=(。-4)log。x-----xH-----(。>。且Qw1).

a-1a-\

(q-4)(q-l)

则f\x)=上性―——=----------------,x>V

xlnaa—1x^a—l)]na

若时，当(〃—4)(0—1)《3时,r(x)<0)则/(x)在[1,”)时单调递减，所以/(x)W/(l)=0,即当xNl时

Ina

〃x)<0成立；

a>l

所以此时需满足<(a-4)(〃-1)<3的整数解即可，

、Ina

将不等式化简可得/一5a+4<3Ina，

令g(a)=〃2一5a+4-31na,a>l

mii/x32。2一5。一3(2a+l)(a—3)

贝!Ig'(a}=2a-5——=-----------=A-----4----L,a>l

aaa

令g，(a)=0解得a=3,

当ae(1,3)时g'(a)<0,即g(a)在ae(1,3)内单调递减,

当ae(3,-KO)时g[a)>0,即g(a)在ae(3,-H»)内单调递增，

所以当a=3时g(a)取得最小值,

贝!lg(3)=32-5x3+4-31n3=-2-31n3<0,

^(4)=42-5x4+4-31n4=-31n4<0,

^(5)=52-5x5+4-31n5=4-31n5«4-3x1.61<0,

^(6)=62-5x6+4-31n6=10-3(ln2+ln3)«10-3x1,79>0

所以此时满足/_5a+4<31na的整数。的最大值为。=5；

当(a―4)(a―1)*时,在

15时/'(x)>。，此时/(x)>/(l)=O,与题意矛盾，所以不成立.

Ina2Ina

因为求整数。的最大值，所以0<a<l时无需再讨论,

综上所述，当时/(x)wo,整数。的最大值为a=5.

【点睛】

本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断

函数值法符号，综合性强，属于难题.

r2V27

18、(1)----1----=1；(2)存在，—.

161248

【解析】

(1)由条件建立关于a/,c的方程组，可求得a,dc,得出椭圆的方程;

(2)①当直线/AC的斜率不存在时，可求得|AC|=6,忸£>|=8,,求得4,②当直线的斜率存在且不为0时，设

24(1+/),再由/口〃得出线段忸0=当"季，根

/AC：y=k(x+2)联立直线与椭圆的方程，求出线段|AC|二

442+34+3k

据等差中项可求得X,得出结论.

【详解】

c1

e=—=—

a

2a2=16

49X2,2

()由条件得1b2=12,所以椭圆E的方程为:—+匕；

1a2=1

21612

a2=b2+c2c=4

(2)耳(—2,0),

①当直线儿的斜率不存在时，H。=6,忸0=8,&+焉=；+/=(,此时花二,

AC£)£7OOZ448

[22

工+二=1

②当直线//的斜率存在且不为0时，设4c：y=k(x+2),联立1612消元得

y=k(x+2)

(4左2+3)x2+16左2%+16左2—48=0,

16左216V-48

设4%，％),。(々，为)，=——2-,为々=

一一，442+3124r+3

|AC|-\/l+k'I%]-x2|=Jl+C2-J®+三2)2=24Q,+")

4k+3

I241+(--)

24(r+1)

直线血的斜率为-7，同理可得忸0=L化」

k%—)+34+3左2

K

114左2+34+3左27(1+/)_7

\AC\+\BD\~24(1+k2)24(1+1)-24(1+12)—五

77

22=—，所以4=—

2448

71cl

综合①②，存在常数4=冠，使得由"，两成等差数列.

【点睛】

本题考查利用椭圆的离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中的弦长公式的相关问题，当两直线的斜率具

有关系时，可能通过斜率的代换得出另一条线段的弦长，属于中档题.

19、(1)证明见解析；(2)述

7

【解析】

(1)由已知可证即可证明结论;

(2)根据已知可证4。±平面ABCD,建立空间直角坐标系，求出A4,氏。坐标，进而求出平面AA3和平面AXAD

的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.

【详解】

方法一：(1)依题意，AB也AB,旦AB&CD,：.AB也CD,

，四边形A耳c。是平行四边形，，4c〃4。，

■:4c(X平面AXBD,ADu平面AXBD,

:.B、C平面ABD.

(2)•.•40，平面45。，，40,4。，

•.•45=4。且。为5。的中点，,4。，3。，

AO,5。U平面ABC。且AOBD=O,

A。，平面ABCO,

以。为原点，分别以OA,08,04为X轴、丁轴、z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

x•-*****wA^***^

则A(6,O,O),6(0,LO),o(o,—i,o),A(°，°，i)，

A4,=(-73,0,1),AB=(-A1,0),AD=-1,0),

设平面AXAB的法向量为n=(x,y,z),

n_LA41—\3x+Z=0/i—r—\

则,L,取x=l,贝!|〃=I,j3,j3.

nLAB-V3x+y=0')

设平面&A。的法向量为7〃=(%i，X，Zi),

n_LA4；二【£二：‘取-1'则"=(13可

则

nlAD'

m-nii

cos<m,n>=

I4H币X币7

4百

设二面角8—惧―。的平面角为a,贝！Jsina=

7

，二面角B-AA.-D的正弦值为迪.

7

方法二：(1)证明：连接A片交48于点Q,

因为四边形4丹24为平行四边形，所以Q为A片中点，

又因为四边形ABC。为菱形，所以。为AC中点，

.•.在VABC中，0。〃4<7,且0。=：4。，

；OQu平面AXBD,B]Cu平面A.BD,

.•.旦。平面48。

(2)略，同方法一.

【点睛】

本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养,

属于中档题.

20、(1)-；(2)逅.

33

【解析】

若补充②③根据已知可得平面从而有结合PBLFD,可得

平面ADEE,故有PBLAE,而BE=PE，得到A3=AP,②③成立与①②相同，

①③成立，可得BE=PE,所以任意补充两个条件，结果都一样，以①②作为条件分析；

(1)设AP=A3=1,可得AE,进而求出梯形AEED的面积，可求出/.从8七，匕.”。，即可求出结论；

(2)AB=AD=AP=1,以A为坐标原点，建立空间坐标系，求出EC。坐标，由(1)得为平面ADE尸的

法向量，根据空间向量的线面角公式即可求解.

【详解】

第一种情况：若将①=②BE=PE作为已知条件，解答如下：

(1)设平面A£>五E为平面a.

•/BC//AD,BC//平面e,而平面a平面PBC=EF,

/.EF//BC,又E为P3中点.

设AP=AB=L则所

22

在三角形PAB中，PB=4i,AE=—=—，

22

由AZ)，B4,AZ)，AB知AD，平面FAB,

：.AD±AE,EF±AE,

梯形AEED的面积

11

°AD+EF__i+20_30,

S------------xAE=x=

AEFFFDn2228

AB=AP,BE=PE,PB_LAE,AD_LPB,

AD4£=4,..尸§,平面4£包),

、,130拒1V_11[_1

V。.——x----x---——9VpARCD——xlxl——,

P-AEFD382833

.v=i_i=A

**VEF-ABCD-38—24，

1

+hVpAEFD_8_3%-ABC。=9

VEF.ABCD-5VP-AEFDJ

24

(2)如图，分别以AB,AD,AP所在直线为轴建立空间直角坐标系,

^AB=AD=AP=1,贝UC(1,1,O),P(O,O,1),8(1,0,0)

PB=(1,0,-1),PC=(1,1,-1),

由（1）得PB为平面ADEE的一个法向量,

PCPB2_V6

因为cos〈PC,PB〉=

\PC\\PB\~^2-43~3

所以直线PC与平面ADEE所成角的正弦值为逅.

3

第二种情况：若将①AB=AP,③尸3LED作为已知条件，

则由A。J_ARAOLAB知平面A5P,AD±PB,

又PB工FD,所以平面ADEE,PB±AE,

又A3=AP,故E为PB中点，即BE=PE,解答如上不变.

第三种情况：若将②BE=PE,③依，ED作为已知条件，

由尸6，田及第二种情况知PBLAE，又BE=PE,

易知AB=AP,解答仍如上不变.

【点睛】

本题考查空间点、线、面位置关系，以及体积、直线