广东省广州市增城区香江学校2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）广东省广州市增城区香江学校2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）若代数式有意义，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a≥2 D．a＞﹣22．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．﹣ B． C． D．3．（3分）如图，四边形ABCD为平行四边形，过点D分别作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，若AB＝12，DE＝6，BE＝4，则DF的长为（）A．7 B．7.2 C．8 D．8.84．（3分）下列计算正确的是（）A． B．＝﹣＝3﹣2＝1 C． D．5．（3分）△ABC的三条边长分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝1.5，b＝2，c＝3 C． D．a＝32，b＝42，c＝526．（3分）下列命题是真命题的是（）A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形7．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝1.5，则BC的长是（）A．3 B．4 C．2 D．18．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝6，AF＝10，则AC的长为（）A．8 B．8 C．20 D．169．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（）A．1 B．2 C． D．210．（3分）冬冬为庆祝2022北京冬奥会成功举办，用五角星按规律摆出如图案，第11个图案需要（）颗五角星．A．28 B．31 C．33 D．34二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）化简＝．12．（3分）在坐标系中，点M在x轴的负半轴上，且到原点的距离为4，则点M的坐标为．13．（3分）一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm．14．（3分）已知5a2+9+b2+2ab＝12a，则ab的值为．15．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，点F在边DC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交对角线AC于点G，若AB＝8，AE＝2，则线段DG的长为．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是边AB的中点，点P是边AD上的一个动点，△PEA关于PE的对称图形为△PEF，连接CF．当点F恰好落在矩形ABCD的对称轴上时，AP的长为；当线段CF的长度最小时，AP的长为．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（4分）计算：×﹣+÷．18．（4分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，求证：四边形AECF为矩形．19．（6分）已知a＝+3，b＝﹣3，求代数式a2+3ab+b2，a2﹣b2的值．20．（6分）如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E．（1）尺规作图：作∠CBD的平分线交CD于点F．（2）在（1）的基础上，求证：DE＝BF．（3）在前面2问的基础上，若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．22．（10分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，CE∥BD，DE∥AC．（1）证明：四边形OCED为菱形；（2）若AC＝4，求四边形CODE的周长．23．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）AP＝，BQ＝，（分别用含有t的式子表示）；（2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．（3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值．24．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠ABC＝60°，AB＝6．（1）求BD的长；（2）点E在线段BD上，且AE⊥AB，点F为线段BC上一动点．①当BF＝2时，求四边形DEFC的面积；②记2EF+BF的最小值为a，OF+AF的最小值为b．求a2﹣b2的值．25．（12分）综合与实践如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，过点B作BG⊥CF交FC的延长线于点G，过点F作FH⊥BE交BE的延长线于点H．点P是线段CF的一点，且CP＝FP．探究发现：（1）点点发现结论：△BCG≌△FEH．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由．深入探究：（2）老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答．①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，AE＝2，ED＝4，求FG的长．②“武林小组”提出问题：如图2，连结EP和BF，若∠PEF＝∠EFB，AB＝4，AD＝6，求tan∠HBF的值．

广东省广州市增城区香江学校2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：代数式有意义，故a﹣2≥0，解得：a≥2，故选：C．2．解：A、﹣，是最简二次根式，符合题意；B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝|a|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．3．解：∵AB＝12，BE＝4，∴AE＝AB﹣BE＝12﹣4＝8，∴BC＝AD＝＝＝10，∴DF＝＝＝7.2，故选：B．4．解：A、与无法合并，故此选项错误；B、＝＝，故此选项错误；C、÷＝3÷＝3，故此选项正确；D、3+＝3+3＝6，故此选项错误；故选：C．5．解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠A+∠B＞∠C，∴∠C不是直角，∴△ABC不是直角三角形；B、∵1.52＝2.25，22＝4，32＝9，∴a2+b2＝2.25+4＝6.25＜9，∴a2+b2＜c2，∴△ABC不是直角三角形；C、∵12＝1，22＝4，（）2＝3，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；D、∵（32）2＝81，（42）2＝256，（52）2＝625，∴a2+b2＝81+256＝337＜625，∴a2+b2＜c2，∴△ABC不是直角三角形；故选：C．6．解：A选项有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以此项错误，不符合题意；B选项有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此项错误，不符合题意；C选项对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以此项错误，不符合题意；D选项对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以此项正确，符合题意．故选：D．7．解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE＝3，故选：A．8．解：连接AE，如图：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，AE＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE＝10，∴AE＝CE＝10，BC＝BE+CE＝6+10＝16，∴AB＝，∴AC＝；故选：A．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△ABE与△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∴∠ABE+∠BAO＝∠DAF+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∵△ABE≌△DAF，∴S△ABE＝S△DAF，∴S△ABE﹣S△AOE＝S△DAF﹣S△AOE，即S△ABO＝S四边形OEDF＝1，∵OA＝1，∴BO＝2，∴AB＝＝＝，故选：C．10．解：设第n个图案需要an（n为正整数）颗五角星．观察图形，可知：a1＝3×1+1，a2＝3×2+1，a3＝3×3+1，…，∴an＝3n+1，∴a11＝3×11+1＝34．故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：＝2|a|b．故答案为：2|a|b．12．解：∵点M在x轴的负半轴上，∴点M的横坐标小于0，纵坐标为0，∵点M到原点的距离为4，∴点M的横坐标为﹣4，∴点M的坐标为（﹣4，0），故答案为：（﹣4，0）．13．解：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE＝BC．同理可得：DF＝AC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝16＝8（cm）．则三条中位线构成的三角形的周长为8cm．故答案为：8．14．解：∵5a2+9+b2+2ab＝12a，∴a2+2ab+b2+4a2﹣12a+9＝0．∴（a+b）2+（2a﹣3）2＝0．∴，解得：．∴ab＝＝﹣．故答案为：﹣．15．解：过点E作EH⊥AD于E，如下图所示：∵四边形ABCD为正方形，AB＝8，∴AD＝CD＝AB＝8，∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，∴△AEH为等腰直角三角形，∴FH＝AE＝2，又∵AE＝CF，∴EH＝CF＝2，∴DE＝AD﹣AE＝6，DF＝CD+CF＝10，在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF＝＝，∵EH⊥AD，∠ADC＝90°，∴EH∥CD，∴∠GEH＝∠F，∠GHE＝GCF，在△GEH和△GHE中，，∴△GEH≌△GHE（ASA），∴GE＝GF，即点G为EF的中点，在Rt△△DEF中，点G为斜边EF的中点，∴DG＝EF＝．故答案为：．16．解：设CD的中点为T，连接ET，设AD，BC的中点分别为M，N，连接MN，过点F作FH⊥AB于H，如图1所示：∴ET，MN所在的直线为矩形ABCD的对称轴，∵四边形ABCD为矩形，AB＝2，AD＝4，点E是边AB的中点，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，AE＝BE＝1，AM＝2，∠BAD＝∠D＝90°∵△PEA关于PE的对称图形为△PEF，∴EF＝AE＝1，PA＝PF，∠AEP＝∠FEP，∠APE＝∠FPE，∠PFE＝∠BAD＝90°，根据“垂线段最短”得：FH≤EF，即FH≤1，则点F到MN的距离大于等于1，∴当点F恰好落在矩形ABCD的对称轴上时，点F只能落在ET所在的直线上，如图2所示：此时∠AEF＝90°，又∵∠PFE＝∠BAD＝90°，EF＝AE＝1，∴四边形AEFP为正方形，∴AP＝AE＝1；连接CE，根据“两点之间线段最短”得：EF+CF≥CE，即当点F落在CE上时，CF为最短，如图3所示：在Rt△BCE中，BE＝1，BC＝4，由勾股定理得：CE＝√BE2+BC2＝，∴CF＝CE﹣EF＝﹣1，设AP＝x，则PF＝AP＝x，PD＝AD﹣AP＝4﹣x，在Rt△PCF中，由勾股定理得：PC＝PF2+CF2＝x2+（﹣1）2，在Rt△PCD中，由勾股定理得：PC2＝PD2+CD2＝（4﹣x）2+4，∴x2+（﹣1）2＝（4﹣x）2+4，解得：x＝，即AP＝x＝，故答案为：1；．三．解答题（共9小题，满分72分）17．解：×﹣+÷＝3﹣2+＝2．18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴AE⊥AD，∠AEC＝∠AFC＝90°，∴∠EAF＝90°，∴四边形AECF是矩形．19．解：∵a＝+3，b＝﹣3，∴a+b＝+3+（﹣3）＝2，ab＝（+3）×（﹣3）＝2﹣9＝﹣7，a﹣b＝（+3）﹣（﹣3）＝6，∴a2+3ab+b2＝（a+b）2+ab＝（2）2+（﹣7）＝8﹣7＝1；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×6＝12．20．解：连接AC．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，∴AC2＝AB2+BC2＝202+152＝252，在△ADC中，CD＝7，AD＝24，AC＝25，∴AD2+CD2＝242+72＝252＝AC2，∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝×15×20+×7×24＝234（平方米），∴四边形ABCD的面积为234平方米．21．（1）解：如图所示，BF为所求；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∠A＝∠C，∴∠ADB＝∠CBD，∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，（3）证明：由（1）同理可得：∠BDE＝∠DBF，∴DE∥BF，又由（1）得：DE＝BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵AD＝BD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，∠DEB＝90°，∴平行四边形DEBF是矩形．22．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE为平行四边形又∵四边形ABCD是矩形∴OD＝OC∴四边形CODE为菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴OC＝OD＝AC又∵AC＝4∴OC＝2由（1）知，四边形CODE为菱形∴四边形CODE的周长为＝4OC＝2×4＝8．23．解：（1）∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，∴AP＝tcm，CQ＝3tcm，∴BQ＝（15﹣3t）cm，故答案为：tcm，（15﹣3t）cm；（2）设点A到BC的距离为hcm，∵四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍，∴×（12﹣t+3t）×h＝2××（t+15﹣3t）×h，∴t＝3；（3）分情况讨论：①若四边形APQB是平行四边形，则AP＝BQ，∴t＝15﹣3t，∴t＝；②若四边形PDCQ是平行四边形，则PD＝CQ，∴12﹣t＝3t，∴t＝3；③若四边形APCQ是平行四边形，则AP＝CQ，∴t＝3t，∴t＝0（不合题意舍去），④若四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ，∴12﹣t＝15﹣3t，∴t＝；综上所述：当t的值为或3或时，点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．24．解：（1）四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，AB＝6，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠OBC＝∠OBA＝ABC＝30°，在Rt△ABO中，∠OBA＝30°∴OA＝AB＝3，∴OB＝＝3．∴BD＝2OB＝6．（2）①如图，连接CE，设AE＝x，∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°．在Rt△ABE中，∠EBA＝30°，BE＝2AE＝2x，AE2+AB2＝BE2，即x2+62＝（2x）2，解得：x1＝﹣2（舍），x2＝2．∴AE＝2．在△ABE和△CBE中，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴CE＝AE＝2，∠BCE＝∠BAE＝90°．S△BEF＝BF•CE＝×2×＝2．S△BCD＝BD•OC＝×6．∴S四形DEFC＝S△BCD﹣S△BEF＝9．∴四边形DEFC的面积是7．②如图，过点B作BH⊥AB，且BH＝OB，过点F作FG⊥BH于点G，连接FH．∵BH⊥AB，FG⊥BH，∴∠ABH＝∠BGF＝90°，∴∠CBH＝∠ABH﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BFG中，FG＝BF．∴2EF+BF＝2（EF+BF）＝2（EF+FG）≥2EG．∴当E、F、G共线时，2EF+BF的值最小，此时∠EGB＝90°．∴∠EGB＝∠ABG＝∠BAE＝90°，∴四边形ABGE是矩形．∴EG＝AB＝6．∴a＝（2EF+BF）＝2EG＝12．在△OBF和△HBF中，∴△OBF≌△HBF（SAS）．∴FH＝OF，∴OF+AF＝HF+AF≥AH．