2024届遂宁高三一诊文科数学试题含答案

秘密★启用前

遂宁市高2024届第一次诊断性考试

数学（文科）

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本

试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知集合A={H|—3VH<2},B={zd+4z-5&0},则ApB=

A.0B.(-3,1]C.[-1.2)D.(—3,2)

2.复数之=/+贝=

1——1

A.1B.#C.2D.4

3.已知向量。=(l,3),b=(—2,—"1),则(a+b)•(2a—6)=

A.10B.18C.(-7,8)D.(-4,14)

4.已知命题p-.LteR,2工22x十1,则力为

A.mhWR,2工<2H+1B.三,<21+1

C.R,2"<2^+1D.VxGR,2,V2i+1

5.甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图:

下列说法正确的是

A.甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小

B.甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小

C.甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小

D.甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大

6.执行如图所示的程序框图，若输入的工值为2023,则输出的y值为ED

I

/输入x/

7.已知数列3”｝是等差数歹!)，数列｛勾｝是等比数歹(J,若田十。5+。9=9,

仇仇仇=34，则=

1十仇仇

A.2B.V3

C.1-D.”

乙«J

8.已知B，B为双曲线C：4一*=l(a>0,6>0)的左、右焦点，点A在C上,若|BA|=2|B4，

ab

NAKF2=3O°,4ABF2的面积为6西，则C的方程为

A丁D工2—丁―]

A•豆豆—1B-yd—1D-TT-1

9,若直线、=自力与曲线、=ln尤相切，则k=

A.BC.-D.-

-iee

；),将该函数的图象向右平移

10.函数/(x)sii:n(s+w)(3〉0,|卯|<5)的图象经过点(0,

?个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则s的最小值是

A.y5B.y8C.3D.I7

11.在正方体ABCD-A.B.C.D.中，下列结论正确的是

A.A3与4G所成的角为60°B.DBj与4G所成的角为60°

C.ABx与A］。所成的角为45°D.DBi与所成的角为45°

12.已知O为坐标原点，是椭圆。：4+［=1(&>6>0)的左、右焦点,人,口分别为。的左、

右顶点.P为c上一点，且FF2±X轴，直线AP与'轴交于点M,直线与PE交于点Q，

直线BQ与了轴交于点N.若|ON|=：1OM|，则C的离心率为

A.-B.-C.-D.—

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(J?)=(a—1)j;2+asinJC为偶函数，则a=.

—尤，

14.已知实数x.y满足］、+2>0,则2z+3)的最大值为.

15.在正四棱台ABCD—内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若A1B1=2,AB=4,

则该四棱台的高是.

16.《九章算术》有这样一个问题:今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前

两日所织尺数之积.则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子,从第2天开始，每

天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所

织布尺数的积.问第10天织布尺数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个

试题考生都必须作答。第22.23题为选考题，考生依据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线.现对这两条生产线生产的产

品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果

（“优”或“良”）制成如下所示列联表：

良优合计

甲生产线4080120

乙生产线80100180

合计120180300

（1）通过计算判断，是否有90%的把握认为产品质量与生产线有关系？

（2）现对产品进行进一步分析,在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取

了6件产品.若在这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品中至少有一件产自于甲生产

线的概率.

附表及公式：

P（K2〉嬴）0.150.100.050.0250.010

瓦2.0722.7063.8415.0246.635

甘由=__________Mad—be)21_______

'(a+6)(c+Q)(Q+C)(b+d)'

18.(12分)

记的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,若△ABC为锐角三角形，A，求

△ABC面积的取值范围.

从①a=2而;②6=2这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

19.(12分)

已知。为坐标原点，过点P(2,0)的动直线/与抛物线C：丁=47相交于A,B两点.

⑴求d•OB；

(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在不同于点P的定点Q,使得NAQP=/BQP恒成

立？若存在，求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

20.（12分）

如图，在三棱柱ABC—AiBiG中，直线平面ABC,平面AAiGC,平面BBxGC.

(1)求证:

(2)若AC=BC=BQ=2,在棱上是否存在一点P,使得四棱

锥P—BCG3的体积为:？若存在，指出点P的位置;若不存

在,请说明理由.

21.(12分)

已矢口函数/(1)+2sin£—JTCOSx.

(1)若。=0,判断/(G在(一5,身上的单调性，并说明理由;

乙乙/

⑵当a>0,探究“Z)在(0,n)上的极值点个数.

(二)选考题：共10分。请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题

记分。

22.［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)

fX/cos(X，

在直角坐标系中，已知曲线|8+八其中v〉o),曲线GJ.&为

［y=tsina

［x=一方sina,/\

参数,00),曲线C2：<卜为参数,/>0,0<a7r<以坐标原点O为极点，工轴的

［y=/cosa'4'

正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C的极坐标方程；

(2)若曲线C与Ci,。2分别交于A,B两点，求△OAB面积的最大值.

23.［选修4—5：不等式选讲］(10分)

设函数/(x)=|2x-2|+U+2|.

(1)解不等式—2］；

(2)令/(G的最小值为T,正数a,6满足a2+"+26=T,证明：a+1.

文科数学参考答案

1.B2.C3.A4.D5.C6.D7.C8.B9.C10.A11.A12.B

13.014.1115.2#16.21

2

”士匚、八、4M_300X(40X100-80X80)_1000“，八

17.［解析］(1)由w,K，-i9nviQnvi9nviQn-777°4〉2・7°61........................4分

IZUAloU1ZUAloU乙/

因此，有90%的把握认为产品质量与生产线有关系...............................5分

(2)记这6件产品中产自于甲生产线的有2件，记为A-Az,产自于乙生产线的有4件，记为

Bi,用，B3,B4.

从这6件产品中随机抽取2件的所有基本事件有：(A1,A2),(A1,3),(A】，&),(A］，风)，

(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),

(3,瓦)，(4，64),共15个.

其中，至少有一件产自于甲生产线的基本事件有9个.

QQ

所以，抽取的2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率为得即得.............12分

1b5

18•【解析】若选①，由正弦定理得希=熹=品=吟=4,.........................................2分

sin—

所以6=4sinB,c=4sinC,............................................................................................................3分

)竽

c=4sinC=4sin—B=4(sincosB-cos^sinB)=2V3-cosB+2sinB,5分

所以S^ABC=；6csinA=；X4sinB•(273-cosB+2sinB)•g

=6sinBcosB+27^sin2B...........................................................................................................7分

=3sin2B+73(1—cos28)

—3sin2B—V3~cos2B+V3-

=2^/3sin(2B-y)+73,............................................................................................................9分

因为△ABC为锐角三角形，所以0<C=等—且

所以广3日,

所以强V2B一£<醇Jvsin(2B一冬)<1,......................................................................11分

b66/\6/

所以2西<2①sin(2B-J)+V3<373,

故锐角AABC面积的取值范围为(2乃,3有1.......................................................................12分

若选②，由正弦定理得仁=4=果......................................2分

sinCsinDsmD

2sin(3+B)_^~cosB+sin_B_如

2sinC_2sin(A+B)

所以C1,.............6...分...

sinBsinBsinBsinBtanB

因为AABC为锐角三角形，所以0<。=专一BV今且OVB<手,

所以"VB<与，..............................................................8分

b/

所以tanB〉岑，+.........................................10分

3tanB

所以S/^ABC=^-6csinA=^y-cG

故锐角AABC面积的取值范围为(斗，29)・......................................................................12分

19.【解析】(1)由题知，直线/与'轴不垂直，

故可设直线I的方程为了=〃<y+2,A(»,,y^,BCx2,y2).

[Y=4z,

由，My2-4：my—8=O............................................................................................2分

[x=my-\-2

显然，△=16»?2+32>0,

于是'1+y2=4"2,>"2=-8,处了2=表必必=4...................................................................4分

所以示•丽=皿⑥+，1，2=—4............................................................................................5分

(2)当直线轴时，Z：£=2,A(2,2V^),B(2,—27^),

故当NAQP=/BQP时，点QC了轴............................................6分

当直线I与了轴不垂直时.由抛物线的对称性知，满足条件的点QGi轴.设Q(〃,0),

由NAQP=/BQP得心Q+上版=0,即^^+^^=0,.................................................8分

—n久2一%

整理得)1(12—九)+”(11—%)=0,即

一yi(m)2+2一〃)+、2(MNI+2一%)=0,

所以2根y1”+(2—")(y1+y2)=0.…10分

故一16„?+4(2―〃)%=0,解得〃=—2.

综上，存在定点Q（—2,0）满足条件.12分

20.【解析】（1）在平面BBiGC中作BHLCG于H,

因为平面AA1CC平面BB.C.C,

且平面AA1GCA平面BBGC=CG,

所以平面AAiGC,从而..............2分

在三棱柱ABC—AiBiG中，GB，平面ABC,ACU平面ABC,

所以AC±C1B.

又因为BQCBH=B，所以AC,平面BBiGC,

因此.................................................................5分

（2）假设点P存在，在平面AIBJG中，作PM〃AG交3G于M,

则PM〃AC,因为AC,平面BBJGC,故PM,平面BBiGC..........................................7分

在平行四边形BCGB1中，因为GBLBC,且BC=BC1=2.

所以SNCJB]=BC.GB=2X2=4........................................9分4

所以VP-BCC=VS°BCCB-FM=4.PM=[\

1B1……11…•……:……-W1

因AC=2,所以号W7/

故符合条件的点P存在，为的中点.12分

21.【解析】⑴当a=0时"⑴在（一号，号）上是单调递增函数，......................1分

理由如下：

思路1：依题意，/（了）=2sinz—xcos2"'（z）=,eosx+jcsinx,.............................................2分

当HG]O,告）时,F（Z）=COSz+zsinz〉0;

当xG(一5，。)时，cos%>0,isin力〉0,则ff(x)—cosj:+j:sinJC>0,

故iG(一■^■，告)时(1)〉。，

所以/⑺在（一冷冷）上是单调递增函数........................................4分

思路2:依题意"（无）—2sinjc―1cos1"'（久）=cosi+Ksin久，.......................2分

由于/（一£）=―/⑴，则/⑺为奇函数，故可先判断”了）在［0号）上单调性.

当a；G］。，"!■，时,/'（工）=cos＜r+jcsinj;＞0,此时“力单调递增，

由于了⑺为奇函数，所以"了）在（一方4）上是单调递增函数...................4分

（2）由=aj?+2sinj:一①cos%,得了'（%）=3QJ?+cosz+zsinz,

依题意，只需探究—（式）=3。12+cos£+£sini在（0,兀）上的零点个数即可.

令〃（2）=/'（1）=3a圮2+（：05比+15由1,贝!!u（JT）=6aj:+jrcosJC=JC（6（2+COSJC）,

（I）当6Q＞1,即时，6Q+COS久＞0,此时？/（久）》0在［0,兀）恒成立，

6

则〃（力）即/（］）单调递增，故刑（1））即（0）=1,

此时/（G在（0,兀）上无零点，则/（尤）在（0,冗）上的极值点个数为0..................6分

（H）当0V6QV1,即0VaV±时，三ioG（0,兀），使得xQ（6Q+COS1O）=0,即cosi。=—6Q,

6

可知OViVio时，〃'（力）〉0；々＜迎＜兀时，/（z）＜0,

所以〃（i）即//（久）在（0,£（））上单调递增，在（久。,式）上单调递减，....................8分

由于/（0）=lj'（7t）=3aY—1,

①若/'（n）=3.2—1＞0,即工＜。＜《时"'（久）在（0.K）上没有零点，

37ro

所以"（7）在（0,“）上的极值点个数为0..........................................10分

②若/'（n）=3an2—1V0,即0＜aV工时，/'（H）在（0,“）上有1个零点，

O7t

所以，/（了）在（0,“）上的极值点个数为1.

综上所述：当袅时，了（了）在（0,n）上的极值点个数为0；0＜々＜工时，/（7）在（0,无）上的

3兀-37r

极值点个数为1................................................................12分

22.【解析】（1）因为R=pcos0,j/=psin6,

由比2+62=111+）,得02=ipcosj］+psin。..................................2分

由V〉。知，p=〉。，且2）兀〈6〈2后》+兀,

故p=|cosj|+sinj,2上式〈。〈26兀+兀,左GZ........................................4分

（范围写成0＜6＜/不扣分）