福建省五校2024年高考模拟卷数学试题含解析

福建省五校2024年高考卷数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2

1.若ae[l,6],则函数y=三詈在区间[2,+8）内单调递增的概率是（）

4321

A.—B・—C.—D・—

5555

2.关于圆周率小数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可

以通过设计下面的实验来估计〃的值：先请全校加名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x,y）；再统计两数

能与1构成钝角三角形三边的数对（九,y）的个数。;最后再根据统计数“估计万的值，那么可以估计万的值约为（）

4aa+2a+2m4。+2加

A.——B.-------C.----------D.------------

mmmm

3.已知△ABC的面积是:，A3=1,BC=行，则AC=（）

A.5B.6或1C.5或1D.75

4.函数/（乃=办+!在（2,+8）上单调递增，则实数。的取值范围是（）

X

A.B.C.D.1-00，；

5.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止.某考

生一次发球成功的概率为。（0<P<1）,发球次数为X,若X的数学期望石（X）>1.75,则。的取值范围为（）

6.函数〃x)=sinx（一万〈万且XHO）的图象是（）

11

A.—B.--C.2D.—2

22

8.已知集合A={x|y=lg(4-x2)},B={y|y=3x,x>0}时,AHB=()

A.{x|x>-2}B.{x|l<x<2}C.{x|l<x<2}D.0

x>0

9.若x,y满足约束条件x+y-320,则z=x+2y的取值范围是

x-2y<0

A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+oo)D.[4,+oo)

10.如图，在AABC中，点。为线段AC上靠近点4的三等分点，点尸为线段上靠近点3的三等分点，则

PA+PC=()

1-257Iin27

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+—BCD.-BA+-BC

33999999

11.定义域为R的偶函数/(x)满足任意xeR,有/(%+2)=于(x)-/(I)，且当xe[2,3]时，/(x)=-2x2+12x-18.

若函数y=/(x)-log〃(x+l)至少有三个零点，则。的取值范围是()

12.设是虚数单位，则“复数z=a+初为纯虚数”是“就=0”的()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知直角坐标系中起点为坐标原点的向量满足且a为=g,c=(m,l-m),d=(n,l-n),存

在a,b,对于任意的实数以〃，不等式|a-c|+|。-则实数T的取值范围是.

14.在矩形中，AB=2,AD=1,点E,尸分别为3C,CZ>边上动点，且满足防=1,则AE-AF的最大

值为.

15.某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶

图：

7

由此可估计，全年(按360天计算)中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多_____天.

16.已知多项式(l+ax)5(l-2x)4的各项系数之和为32,则展开式中含％项的系数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(》)=/+«-2)%一〃nx+2.

(1)若尤=2是/(尤)的极值点，求/(元)的极大值；

(2)求实数f的范围，使得/(x)22恒成立.

18.(12分)在AABC,角A、B、。所对的边分别为。、b>c,已知cos3+(cosA—2sinA)cosC=0.

(1)求cosC的值；

⑵若a=5AC边上的中线士，求AABC的面积.

2

19.(12分)如图1,已知四边形3C0E为直角梯形，ZB=90，BE1/CD,且BE=2CD=2BC=2,A为BE

的中点•将EZM沿AO折到cPZM位置(如图2),连结尸C,网构成一个四棱锥P-ABCD.

(I)求证

(II)若上4,平面ABC£).

①求二面角6—PC—。的大小；

②在棱PC上存在点M,满足PM=2PC(OWXW1),使得直线AM与平面P5C所成的角为45，求2的值.

2213

20.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：三+==13>6>0)的离心率为一.且经过点(1,-),

a2b"22

A,3分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点尸的直线/交椭圆C于。，E两点(其中。在x轴上方).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若AAE歹与A80歹的面积之比为1：7,求直线/的方程.

21.(12分)已知函数/'(x)=e*-改+^/，其中a>-4.

(I)当。=1时，求函数/(尤)的单调区间；

(II)设/z(x)=/(X)+内一；/一Inx,求证：/;(%)>2；

(III)若/(B2gf+x+b对于恒成立，求人―q的最大值.

22.(10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数/(%)=上一对一年+2词的最大值为3,其中m>0.

(1)求加的值；

〃h3

212

(2)若。力£尺，ab>09a+b=m,求证：一+—>1

ba

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

22

【解析】函数y=±T在区间[2,+8）内单调递增，二丁』：!—£=在[2,+8）恒成立，,aWf在

[2,+8）恒成立，aW4,aw[1,6],aw[1,4],.•.函数y=三三在区间[2,+8）内单调递增的概率是|^=|"

故选B.

2、D

【解析】

0<%<l

由试验结果知机对o〜1之间的均匀随机数羽y，满足面积为1,再计算构成钝角三角形三边的数对（Q,

满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计万的

值.

【详解】

0<x<l

解：根据题意知，小名同学取现对都小于1的正实数对（羽丁），即<

o<j<r

对应区域为边长为1的正方形，其面积为1,

x2+y2<1

x+y>l

若两个正实数％,y能与1构成钝角三角形三边，则有

0<x<1

0<y<1

4a+2m

其面积5=-7-二；则有一=解得乃=

42m42m

故选：D.

【点睛】

本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形，可以

直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个

变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.

3、B

【解析】

■:8AAec=—•AB.BC.sinB=5,AB=1,BC=A/2

..r_1_V2

V22

①若6为钝角，贝！Jcos5=—2，由余弦定理得AC?=A^+BC?—2COSRAB-BC，

2

解得AC=5

②若3为锐角，贝！JcosB=在，同理得AC=1.

2

故选B.

4、B

【解析】

对。分类讨论，当aWO,函数/（尤）在（0,+8）单调递减，当。>0,根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可

求解.

【详解】

当a40时，函数八乃二四+,在^^^^上单调递减，

X

1（1

所以〃>0,/（冗）=依+—的递增区间是一7=，+°°，

xWa,

c11

所以2277,即

故选:B.

【点睛】

本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.

5、A

【解析】

根据题意，分别求出P（X=1）,P（X=2）,P（X=3）,再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可

【详解】

由题可知P（x=l）=〃，p（x=2）=（l_p）p,P（x=3）=（l—p）2p+（l—p）3=（l_p）2,贝!]

E（X）=P（X=l）+2P（X=2）+3P（X=3）=p+2（l-p）p+3（l-pF>1.75

解得P>g或P<；，由2w（O，l）可得,

答案选A

【点睛】

本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功

6、B

【解析】

先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.

【详解】

由题可知/（九）定义域为[一肛0）。（0,团，

/（—x）=1—x--—sin（-%）=sinx=j

（X），

.••/（九）是偶函数，关于y轴对称，

二排除C,D.

]“二、

v6n）612乃12,■）12冗）

/（X）在（o,句必有零点，排除A.

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质,属于中档题.

7、B

【解析】

计算抛物线的交点为m代入计算得到答案.

【详解】

y=2/可化为必=（丁，焦点坐标为（0,；],也

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.

8、B

【解析】试题分析：由集合A中的函数二二1;二，，得到--二j解得：一二.：二u二.•.集合

二=｛二|-?<1二M由集合B中的函数口=0,口>4,得到口>/,...集合口=(11|口>7],贝I

二「二二｛二口：二<二》故选B.

考点：交集及其运算.

9、D

【解析】

'x)0

解：X、y满足约束条件、x+y-3>o,表示的可行域如图:

x-2y40

目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，

由卜+:3：°解得C(2,D，

(x-2y=0

目标函数的最小值为：4

目标函数的范围是[4,+00).

故选D.

【解析】

2—.———一.1一

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC--BQ,将BQ=BA+AQ=+AC=BC—BA代入化简即

可.

【详解】

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC-^BQ

=BA+BC~^(BA+AQ)

=-BA+BC--x-AC

333

1-?57

=-BA+BC——(BC-BA)=-BA+-BC.

3999

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.

11、B

【解析】

由题意可得了")的周期为2,当xe[2,3]时，f(x)=_2Y+12x-18,令g(x)=log〃(x+l),则/⑴的图像和g(x)

的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据g(2)>/(2),求得。的取值范围.

【详解】

Ax)是定义域为R的偶函数，满足任意xeR,

f(x+2)=f(x)-/(I)，令x=-1"⑴=/(-I)-/(D，

又/(T)=/(l),.-./(l)=0,/(x+2)=f(x),

・•・/(x)为周期为2的偶函数，

当xe[2,3]时，/(%)=-2x2+12x-18=-2(%-3)2,

当xe[0,1],x+2e[2,3],/(x)=/(x+2)=-2(x-I)2,

当xe[-l,0],-xe[0,l]](x)=/(-x)=-2(%+1)2,

作出/(x),g(x)图像，如下图所示：

函数V=/(x)-logfl(x+1)至少有三个零点,

则Ax)的图像和g(x)的图像至少有3个交点，

\f(x)<0,若4>1,

/(X)的图像和g(x)的图像只有1个交点，不合题意，

所以0<。<1,/(x)的图像和g(x)的图像至少有3个交点，

则有g(2)>/(2),即log"(2+1)>/(2)=-2,logfl3>-2,

11/

—->3,a?<一,0<<2<1,0<<7<---

a-33

故选:B.

【点睛】

本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.

12、D

【解析】

结合纯虚数的概念，可得。=03/0,再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.

【详解】

若复数z=a+次为纯虚数，则。=0,。。。，所以"=0,若"=0,不妨设a=l力=。，此时复数2=。+初=1,

不是纯虚数，所以“复数z=a+bi为纯虚数”是“ab=0”的充分不必要条件.

故选：D

【点睛】

本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(V6—V2

13、-00,-----------

4

【解析】

1

由题意可设〃=(1,0),b=，由向量的坐标运算，以及恒成立思想可设m=1,I。-。|十屹-d|的最小值即为

点，）到直线x+y=l的距离d,求得d,可得T不大于d.

【详解】

r,1

解：|=|。|=1,且。•/?=一,

2

rfl走)

可设〃二（1,0）,b二

、乙2’乙2)

c=,d—,

2

+1-n-9,

2J

可得的终点均在直线x+y=i上,

由于加，〃为任意实数，可得m=1时，|。—c|+|6-d|的最小值即为点到直线x+y=l的距离d,

3—1

可得22A/6—\/29

d=

-忑-~4-

对于任意的实数加，明不等式|〃-cl+屹-可得近二史

4

故答案为：［7,"3.

I4J

【点睛】

本题主要考查向量的模的求法，以及两点的距离的运用，考查直线方程的运用，以及点到直线的距离，考查运算能力,

属于中档题.

14、4

【解析】

利用平面直角坐标系，设出点E,歹的坐标，由防=1可得（a-17+。-2）2=1,利用数量积运算求得

AE-AF=2b+a＞再利用线性规划的知识求出t=a+2b的最大值.

【详解】

建立平面直角坐标系，如图（1）所示：

设E（2,a）,N0,l）,

•••d(2-b)2+(l-a)2=1,

即(a—l)2+(人一2)2=1,

y-AE-AF=2b+a>

令t=a+2b,其中0<a<l,0Wb<2,

当直线f=a+2b经过点歹(0,2)时，f取得最大值t=4.

故答案为：4

【点睛】

本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.

15、72

【解析】

根据给定的茎叶图，得到游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点

比乙景点多的天数，得到答案.

【详解】

由题意，根据给定的茎叶图可得，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中,

游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，

所以在全年)中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多360x==72天.

20

故答案为：72.

【点睛】

本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的基本知识，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算

能力，属于基础题.

16、-3

【解析】

令x=1可得各项系数和为(1+a)5(1-2)4=32,得出。=1，根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含

x一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含x项，可得解.

【详解】

令尤=1,

则得(1+4(1-2)4=32,

解得«=1,

所以(1+x)5(l-2x)4展开式中含X项为：1Xc；(-2x)+(C'x)xl=-8x+5x=-3x,

故答案为：-3

【点睛】

本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)-3.(2)t>l

【解析】

(1)先对函数求导，结合极值存在的条件可求f,然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；

(2)由已知代入可得，x2+(f-2)x-*在x>0时恒成立，构造函数g(x)—x2+Ct-2)x-tlnx,结合导数及

函数的性质可求.

【详解】

(1)/'(x)=2x+f-2,x>0»

由题意可得，/'(2)=2+1?=0,解可得/=-4,

/、42(1)(%—2)

・•・f'(x)=2x-6+-=^————上,

XX

易得，当x>2,OVxVl时，f(x)>0,函数单调递增，当1VXV2时，/(x)<0,函数单调递减，

故当x=l时，函数取得极大值/(D=-3；

(2)由/(X)=x2+(£-2)X-纺ur+222在x>0时恒成立可得，x2+Ct-2)x-纺在x>0时恒成立，

令g(x)=x2+(Z-2)x-time,贝(Ig1%)=2%+/一2一工=~~l)(2x+[,

xx

(0当仑0时，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增，

所以g(X)min=g(1)=t-1>0,解可得仑1,

(ii)当-2V/V0时，g(x)在(—工口)上单调递减，在(0,--O,(1,+oo)上单调递增，

22

此时g(l)不合题意，舍去；

(沆)当f=-2时，g'(x)=4^_i2_>0,即g(x)在(0,+oo)上单调递增，此时g(1)=-3不合题意;

(.iv)当t<-2时，g(x)在(1,——?)上单调递减，在(0,1),(——+oo)上单调递增，此时g(1)=t-1

<-3不合题意，

综上，仑1时，/(x)>2恒成立.

【点睛】

本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值，利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题，分类讨论思想,

属于中档题.

18、(1)cosC=—⑵答案不唯一，见解析

5

【解析】

(1)由题意根据和差角的三角函数公式可得tanC=2,再根据同角三角函数基本关系可得cosC的值；

(2)在AABC中，由余弦定理可得廿一46+3=0,解方程分别由三角形面积公式可得答案.

【详解】

解：(1)在AABC中，因为cos5=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC,

又已知cosB+(cosA-2sinA)cosC=0,

所以sinAsinC—2sinAcosC=0,

因为sinAwO,所以sinC—2cosc=0,于是tanC=2.

5

（2）在AABC中，由余弦定理得6M?=5。2+@02—25。。0cosC，

得〃-4b+3=0解得b=l或5=3,

当3=1时，A4BC的面积S=LaZ?sinC=l,

2

当Z?=3时，AABC的面积S=^absinC=3.

2

【点睛】

本题考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面积公式和分类讨论思想，属于中档题.

2

19、（I）详见解析；（II）①120,②2=0或％=

【解析】

（I）可以通过已知证明出平面这样就可以证明出ADLPB；

（D）①以点A为坐标原点，分别以A5,AD,AP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求

出平面PBC的法向量为“、平面尸。的法向量加，利用空间向量的数量积，求出二面角6-PC-。的大小；

②求出平面尸5c的法向量，利用线面角的公式求出彳的值.

【详解】

证明：（1）在图1中，AB//CD,AB=CD,

图1图2

ABC。为平行四边形，，4。/ABC,

ZB=90，:.AD±BE,

当沿AO折起时，AD±AB,AD±AE,即AD±PA,

又=718匚面R48,24匚面巴48:.4£＞，平面如5,

又PBu平面：.AD±PB.

解：(II)①以点A为坐标原点，分别以45,AD,AP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，由于平面

则40,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),P(0,0,1),D(0,l,0)

PC=(1,1,-1),BC=(0,l,0),DC=(1,0,0),

设平面PBC的法向量为力=(x,y,z),

PC-n=x+y-z=0

则｛,取z=i,得n=(Lo,i),

BCn=y=0

设平面PC。的法向量比=(a,儿c),

m-PC=a+b-c=Q

则，取b=l,得加=(0,1,1),

m-DC=t?=0

设二面角6—PC—D的大小为。，可知为钝角，

八\m'n\11

贝!|cos8=一^一--后一7=7=­-,二8=120.

\fn\-\n\J2xj22

二二面角6—PC—。的大小为120.

②设AM与面PBC所成角为a,

AM—AP+PM=(0,0,1)+A(1,1,—1)=(2,X,1—2),

平面PBC的法向量〃=(Lo,1),

直线AM与平面尸BC所成的角为45，

/.\\AM-A|2+1-2|0

sincr=cos(AM,n)=y--------y=———，।=——，

'/\AM\\n\V2-7^2+*422+(l-2)22

2

解得2=0或

【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式

求定比分点问题.

20-,(1)----1-=1(2)y=—XH—.

43-44

【解析】

(1)利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解即可.

(2)把面积之比转化为纵坐标之间的关系，联立方程结合韦达定理可求.

【详解】

19

---1-----=1

a24b2a2=4

22

2

解：⑴设焦距为2c,由题意知：《b2=a2-C解得〃=3,所以椭圆的方程为L+2L=i.

,43

clC=1

2

由(1)知：F(-1,0),设/：

(2)x=my-l,0(%,%),E{X2,%)，

1z、

—{a+c)yx37

-j-----------=a=7n%=一可乃①，

5(q-c)(-%)f-

x=my-l09

=^>(3m2+4)y-6my-9=0,

〔3/9+4/9=12'"

6/72-9

A=144"+l)>。，%+%=而言②；乂%=③;

3m2+4

—9m21m

由①②得：上-----；—，y----------〉0二>机〉0,

2(3m2+4)12(3m2+4)

,Ozrt_189/rt"—9216J,4

代入③得：-一==三F一-^>zn-=—,又m>0,故机=£,

4(3/n+4)3m'+493

33

因此，直线/的方程为丁=一x+—.

-44

【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题，椭圆方程一般利用待定系数法，建立方程组进行求解，面积问题

的合理转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

21、(I)函数/(X)的单调增区间为(0,+8),单调减区间为(-8,0)；(II)证明见解析；(III)1+-.

e

【解析】

(I)利用二次求导可得广'(元)=d+1>0,所以广(x)在R上为增函数，进而可得函数Ax)的单调增区间为(0,+8),

单调减区间为(-8,0);(II)利用导数可得°(x)=〃a)=e'在区间(0,+8)上存在唯一零点，所以函数/z(x)在(0,x0)

X

递减，在(%,+8)递增，贝•(X)./(%)=*-/叫进而可证；(皿)条件等价于d-ox-X..6对于xeR恒

成立，构造函数g(x)=e,-ax-x,利用导数可得g(x)的单调性，即可得到g(x)的最小值为

g(加m+l))=a+l-(a+l)/〃(a+l),再次构造函数。(a)=l-(«+l)/n(«+l),a>—1,利用导数得其单调区间，进而

求得最大值.

【详解】

1

(I)当a=l时，f(X)=—X+—X~9t

则r(x)=e'-l+x,所以/'(0)=。，

又因为〃(x)=e，+1>0,所以f'(x)在R上为增函数，

因为/'(0)=0,所以当尤>0时，/(乃>0,AM为增函数，

当x<0时，/'(尤)<。，f(x)为减函数，

即函数Ax)的单调增区间为(0,+8),单调减区间为(-8,0)；

、11

(II)〃(x)=e-ax+-x~2+ax——x2