2023-2024学年云南省弥勒市中考二模数学试题含解析

2023-2024学年云南省弥勒市中考二模数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出

七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问

人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（）

jy-8x=3jy-8x=3J8x-y=3=3

・=4=4>[y—7x=4,=4

2.（2017•鄂州）如图四边形A5CZ>中,ZBCD=90°,AB=BC+AD,/。4。=45。,后为CD上一点，且N5AE=45。.若

CZ>=4,则A4BE的面积为（）

A.三B.匚C.二D.

3.如图，已知直线小尸-2/4与直线自y=kx+b（原0）在第一象限交于点M.若直线b与x轴的交点为A（-2,

0）,则上的取值范围是（）

A.-2<k<2B.-2<*<0C.0<*<4D.0<*<2

4.若函数y=kx-b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x-3）-b>0的解集为（）

A.x<2B.x>2C.x<5D.x>5

5.下列命题是真命题的是（）

A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

C.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

D.若三角形的三边a,b,c满足a?+b2+c2=ac+bc+ab,则该三角形是正三角形

6.如图中任意画一个点，落在黑色区域的概率是（）

11

Ae.—B.—C.7TD.50

n2

7.某校八（2）班6名女同学的体重（单位：kg）分别为35,36,38,40,42,42,则这组数据的中位数是（）

A.38B.39C.40D.42

8.计算-1-（-4）的结果为（）

A.-3B.3C.-5D.5

9.下列各式中，不是多项式2--4*+2的因式的是（）

A.2B.2（x-1）C.（x-1）2D.2（x-2）

10.如图，A5是。。的直径，AB=8,弦CZ>垂直平分03,£是弧AD上的动点，于点凡点£在弧AD上

从运动到。的过程中，线段尸扫过的面积为（）

三AC

r-3r-43厂4厂

A.4TT+3X/3B.4TTT—3C.—TTH—、/3D.—n+3y/3

434

11.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：6,则AB的长为

B

A.12米B.4石米C.5真米D.66米

r-33

12.计算—+—的结果是（）

xx

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.百子回归图是由1,2,3,…，100无重复排列而成的正方形数表,它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19

991220”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“2350”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数

之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为

百子回归

2989100131035

8225乃1

844171387

705738

862652刎

8193s3MM

330916480315

761939

45640%i99859291

67541259

6M3782061604374

05974922

55兜

08474642

116827627358

0%63B4887998

8304刀3032

80235O56

5137

O2652%89521

44

3172

7169

YIm

14.已知实数m,n满足3m2+6m—5=0，3/+6〃—5=0,且mW八,则一+—=.

mn

15.1的相反数是.

2

_7

16.如图，半圆O的直径AB=7,两弦AC、BD相交于点E,弦CD=—,且BD=5,则DE=

2

17.如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧

外切，贝！IsinNEAB的值为

D\

E

------------------

18.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=6,AD=8,则四边形ABOM的周长为

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，半圆O的直径45=4,线段04=7,。为原点，点5在数轴的正半轴上运动，点3在数轴上所表

示的数为机.当半圆。与数轴相切时，.半圆。与数轴有两个公共点，设另一个公共点是C.

①直接写出m的取值范围是.

②当3C=2时，求△与半圆O的公共部分的面积.当AAOB的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时，求

tanZAOB的值.

20.（6分）先化简，再求值：1--|,其中,"=2.

1-m（m）

21.（6分）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a,0）,点C的坐标为（0,b）,

且a、b满足向W+|b-6|=0,点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A

-O的线路移动.a=,b=,点B的坐标为；当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出

点P的坐标；在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间.

22.（8分）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款.小王利用这笔贷款,

注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷

款.已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元.该产品每

月销售量y（万件）与销售单价x（元）万件之间的函数关系如图所示.求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）

之间的函数表达式；小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？

23.（8分）（阅读）如图1,在等腰AABC中，AB^AC,AC边上的高为九M是底边上的任意一点，点M到腰

AB.AC的距离分别为⑶，hi.连接AM.

（思考）在上述问题中，hi,肌与〃的数量关系为：.

（探究）如图1,当点M在5c延长线上时，自、hi、历之间有怎样的数量关系式？并说明理由.

（应用）如图3,在平面直角坐标系中有两条直线A：丫=:无+3,h：y=~3x+3,若/i上的一点M到A的距离是1,

请运用上述结论求出点M的坐标.

Q丫2上乙11

24.（10分）先化简后求值：已知：x=G-2,求1——^［（土二—1）+（±—_1）］的值.

x~-44x2x

25.（10分）如图，AB是。0的直径，弧CDLAB,垂足为H,P为弧AD上一点，连接PA、PB,PB交CD于E.

（1）如图（1）连接PC、CB,求证：NBCP=NPED；

（2）如图（2）过点P作。O的切线交CD的延长线于点E,过点A向PF引垂线，垂足为G,求证：ZAPG=-NF；

2

（3）如图（3）在图（2）的条件下，连接PH,若PH=PF,3PF=5PG,BE=2豆，求。O的直径AB.

26.（12分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业,

如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为

300cm,AB的倾斜角为一，BE=CA=50cm,支撑角钢CD,EF与底座地基台面接触点分别为D,F,CD垂直于地

面，于点E.两个底座地基高度相同（即点D,F到地面的垂直距离相同），均为30cm,点A到地面的垂直

距离为50cm,求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）

支撑角钢

27.（12分）如图，二次函数丫=2*2+2*+（:的图象与x轴交于点A（-1,0）和点B,与y轴交于点C（0,3）.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）过点A的直线AD〃BC且交抛物线于另一点D,求直线AD的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：

①在x轴上是否存在一点P,使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在,

请说明理由；

②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒巫个单位的速度沿线段DB

5

从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，ADMN的面积最大，并求出这个最大值.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解析】

【分析】分析题意，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，”可分别列出方程.

【详解】

设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得

8x-y=3

y-7x=4

故选C

【点睛】本题考核知识点：列方程组解应用题.解题关键点：找出相等关系，列出方程.

2、D

【解析】解：如图取CZ＞的中点尸,连接BF延长BF交AD的延长线于G,作FH±AB于H,EK±AB于K.作BTVAD

于T."：BC//AG,：.ZBCF^ZFDG,VZBFC=ZDFG,FC=DF,.,.ABCF^AGDF,:.BC=DG,BF=FG,

"：AB=BC+AD,AG=AD+DG=AD+BC,：.AB=AG,'：BF=FG,J.BFLBG,ZABF=ZG=ZCBF,'：FH±BA,FC±BC,

：.FH=FC,易证△歹3C之△歹877,△FAH^/\FAD,：.BC=BH,AD=AB,由题意4。=。。=4,设BC=TD=BH=x,在

RtAABT中，'：AB^Bl^+AT1,：.(x+4)2=42+(4-x)2,：.x=l,：.BC=BH=TD=1,AB=5,设AK=EK=y,DE=z,

VAE^Al^+E^AD^DE2,3严=8群+K£2=3C2+EC2,.,.42+Z2=J2@,(5-j)2+y2=l2+(4-z)2@,由①②可得片二,

.••S"BE=45X契，故选D.

•9<

点睛：本题考查直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、勾股定理、二元二次方程组等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题.

3、D

【解析】

解：•••直线h与x轴的交点为A(-1,0),

4—2k

x=---------

y=-2x+4k+2

-lk+b=O,《，解得:

y=kx+2k8k

y=-------

-k+2

•..直线h：y=-lx+4与直线h：y=kx+b(k#0)的交点在第一象限,

尸〉。

k+2

旦〉0

[k+2

解得OVkVl.

故选D.

【点睛】

两条直线相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征.

4、C

【解析】

根据函数图象知：一次函数过点(2,0)；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出k、b的关系式；然后将k、b

的关系式代入k(x-3)-b>0中进行求解即可.

【详解】

解：,•,一次函数y=kx-b经过点(2,0),

•\2k-b=0,b=2k.

函数值y随x的增大而减小，则kVO；

解关于k(x-3)-b>0,

移项得：kx>3k+b,即kx>lk；

两边同时除以k,因为kVO,因而解集是x<L

故选C.

【点睛】

本题考查一次函数与一元一次不等式.

5、D

【解析】

根据真假命题的定义及有关性质逐项判断即可.

【详解】

A、真命题为:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；

B、真命题为:对角线相等且互相垂直的四边形是正方形或等腰梯形，故本选项错误；

C、真命题为:平分弦的直径垂直于弦(非直径),并且平分弦所对的弧，故本选项错误；

D、a2+b2+c2—ac+bc-\-ab,2a2+2b2+2c2-2ac-2bc-2ab=0,(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2-0,'.a=b=c,故本选项正确.

故选D.

【点睛】

本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论

也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题.熟练掌握所学

性质是解答本题的关键.

6、B

【解析】

抓住黑白面积相等，根据概率公式可求出概率.

【详解】

因为，黑白区域面积相等，

所以，点落在黑色区域的概率是

2

故选B

【点睛】

本题考核知识点：几何概率.解题关键点：分清黑白区域面积关系.

7、B

【解析】

根据中位数的定义求解，把数据按大小排列，第3、4个数的平均数为中位数.

【详解】

解：由于共有6个数据，

所以中位数为第3、4个数的平均数，即中位数为生土名=39,

2

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了中位数.要明确定义：将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，若这组数据的个数是奇数，

则最中间的那个数叫做这组数据的中位数；若这组数据的个数是偶数，则最中间两个数的平均数是这组数据的中位数.

8、B

【解析】

原式利用减法法则变形，计算即可求出值.

【详解】

-1-(^)=-1+4=3,

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了有理数的加减，熟练掌握有理数加减的运算法则是解决本题的关键.

9、D

【解析】

原式分解因式，判断即可.

【详解】

原式=2(x2-2x+l)=2(x-1)2。

故选：D.

【点睛】

考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

10、A

【解析】

连AC,OC,BC.线段CF扫过的面积=扇形的面积+AMS的面积，从而证明/4"耳=120。即可解决问题.

【详解】

如下图，连AC,OC,BC,设CO交43于7/,

•.♦cz＞垂直平分线段。5,

:.CO=CB,

；OC=OB,

：.OC=OB=BC,

ZABC=60°,

,：AB是直径，

：.ZACB=90°,

ZCAB=3Q°,

ZAFC=ZAHC=90°,

.•.点尸在以AC为直径的。M上运动，当E从A运动到。时，点尸从A运动到“，连接M77,

：.NM4H=NMM=30。

...ZAMW=120°,

VAC=4石,

C尸扫过的面积为四万x(273)2+—x(2有了=4万+3代，

3604

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了阴影部分面积的求法，熟练掌握扇形的面积公式及三角形的面积求法是解决本题的关键.

11、A

【解析】

BC_1

.*.AC=BCx73=673（米）.

试题分析：在RtAABC中，BC=6米,AC-Z/3

22

AAB=VAC2+BC2=^（6A/3）+6=12（米）.故选A.

【详解】

请在此输入详解！

12、D

【解析】

根据同分母分式的加法法则计算可得结论.

【详解】

x—33x—3+3x

-------+—=------------=—=1.

XXXX

故选D.

【点睛】

本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、505

【解析】

根据已知得：百子回归图是由1,2,3…，100无重复排列而成，先计算总和；又因为一共有10行，且每行10个数之

和均相等，所以每行10个数之和=总和+10,代入求解即可.

【详解】

3乂*二（1+100）x100

1〜100的总和为：-----2---------=5050,

2

一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为：n=5050-rl0=505,

故答案为505.

【点睛】

本题是数字变化类的规律题，是常考题型；一般思路为：按所描述的规律从1开始计算，从计算的过程中慢慢发现规

律，总结出与每一次计算都符合的规律，就是最后的答案

22

14、——.

5

【解析】

试题分析：由租W八时，得到m,n是方程3/+6x-5=0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解.

试题解析：•・•加W〃时，则m,n是方程3x2-6x-5=0的两个不相等的根，，加+〃=2,mn=-h.

3

原式=Z^=S+〃）22""二2-2；（—3）=_三,故答案为2.

mnmn_£55

3

考点：根与系数的关系.

【解析】

根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答.

【详解】

L的相反数是-

22

故答案为—.

2

【点睛】

本题考查的知识点是相反数，解题关键是熟记相反数的概念.

16、272.

【解析】

连接OD,OC,AD,由。O的直径AB=7可得出OD=OC,故可得出OD=CD=OC,所以NDOC=60。，NDAC=30。,

根据勾股定理可求出AD的长，在RtAADE中，利用NDAC的正切值求解即可.

【详解】

解：连接OD,OC,AD,

1•半圆O的直径AB=7,

7

.*.OD=OC=-,

2

7

；CD=一,

2

.\OD=CD=OC

.,.ZDOC=60°,ZDAC=30°

又；AB=7,BD=5,

AD==A/72-52=2A/6

在RtAADE中，

,/ZDAC=30°,

/.DE=AD»tan30°=276x—=：2叵

故答案为2"

D

【点睛】

本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识；综合性比较强.

3

17、—・

5

【解析】

试题分析：设正方形的边长为y,EC=x,

由题意知，AE2=AB2+BE2,

即(x+y)2=y2+(y-x)2,

由于y#o，

化简得y=4x,

BEy-x3x3

：.sinNEAB=—==------=—

AEy+x5x5

考点：L相切两圆的性质；2.勾股定理；3.锐角三角函数的定义

18、1.

【解析】

根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质求出BO、OM、AM即可解决问题.

【详解】

解：•••四边形ABCD是矩形，

；.AD=BC=8,AB=CD=6,ZABC=90°,

：•AC=y]AB2+BC2=10,

VAO=OC,

:.BO=-AC=5,

2

,-,AO=OC,AM=MD=4,

：.OM=-CD=3,

2

四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM=6+5+3+4=l.

故答案为:L

A/D

----------------------C

【点睛】

本题看成矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是灵活应用中线知识解决问

题，属于中考常考题型.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)底;(2)①屈＜相＜11；②△A03与半圆。的公共部分的面积为?+石；(3)tanNAOB的值为半

或——•

41

【解析】

(1)根据题意由勾股定理即可解答

(2)①根据题意可知半圆。与数轴相切时，只有一个公共点，和当0、A、5三点在数轴上时，求出两种情况m的值

即可

②如图，连接OC,得出AB。为等边三角形，可求出扇形AOC的面积，即可解答

(3)根据题意如图1,当03=48时，内心、外心与顶点5在同一条直线上，作于点H,设列出

方程求解即可解答

如图2,当。B=Q4时，内心、外心与顶点。在同一条直线上，作A7/L05于点“，设列出方程求解即可

解答

【详解】

(1)当半圆与数轴相切时，ABLOB,

由勾股定理得加==42-4?=底,

故答案为回.

(2)①•••半圆。与数轴相切时，只有一个公共点，此时机=后，

当0、4、3三点在数轴上时，m=7+4=ll,

半圆。与数轴有两个公共点时，，"的取值范围为后＜小＜口.

故答案为庖

②如图，连接OC,当5c=2时，

*：BC=CD=BD=2,

，△BCD为等边三角形,

AZBZ)C=60°,

:.ZAZ)C=120°,

...扇形AOC的面积为愤形4%=吗产=?，

S^BDC=5*2xA/3=A/3,

AAOB与半圆。的公共部分的面积为—+G；

3

(3)如图1,

图1

当OB=A5时，内心、外心与顶点5在同一条直线上，作AH_L05于点H,设贝！|7?-(4+x)』42-“2,

17497715

解得x=—,OH=一，AH=——,

888

J1?

'.tanZAOB-........,

7

如图2,当。3=。4时，内心、外心与顶点。在同一条直线上，作A77LO3于点”,

解得卓，皈=某9=苧,

tanZAOB=也.

41

综合以上，可得tanNAOB的值为运或丝叵.

741

【点睛】

此题此题考勾股定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内心和外心，解题关键在于作辅助线

.m工-2

20、9原式=---.

1+m3

【解析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把根的值代入计算即可求出值.

【详解】

m2m—1m

原+—m)m1+m)

,2

当机=2时，原式二----

3

【点睛】

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

21、(1)4,6,(4,6)；(2)点P在线段CB上，点P的坐标是(2,6)；(3)点P移动的时间是2・5秒或5・5秒.

【解析】

试题分析：(1)根据HZ+弧-6|=o.可以求得的值，根据长方形的性质，可以求得点3的坐标；

(2)根据题意点尸从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-8-A-O的线路移动，可以得到当点p移

动4秒时，点P的位置和点P的坐标；

(3)由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可.

试题解析：⑴b满足Jr-4+也-6|=0.

/.«-4=0,5-6=0,

解得。=4,b=6,

••.点3的坐标是(4,6),

故答案是：4,6,(4,6)；

(2)V点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着0-C-B-A-0的线路移动，

.*.2x4=8,

VOA=4,OC=69

，当点P移动4秒时，在线段C5上，离点C的距离是：8-6=2,

即当点P移动4秒时,此时点P在线段CB上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是(2,6)；

(3)由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，

第一种情况，当点P在。C上时，

点尸移动的时间是：5+2=2.5秒，

第二种情况，当点尸在BA上时，

点P移动的时间是：(6+44-1)4-2=5.5秒，

故在移动过程中，当点尸到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是2.5秒或5.5秒.

22、(1)当4<x<6时，wi=-x2+12x-35,当6<x<8时，W2=--x2+7x-23；(2)最快在第7个月可还清10万元的无

2

息贷款.

【解析】

分析：(1)y(万件)与销售单价x是分段函数，根据待定系数法分别求直线AB和BC的解析式，又分两种情况，根

据利润=(售价-成本)x销售量-费用，得结论；

(2)分别计算两个利润的最大值，比较可得出利润的最大值，最后计算时间即可求解.

详解：(1)设直线AB的解析式为：y=kx+b,

4左+匕=4

代入A(4,4),B(6,2)得：,

6k+b=2

'k=-1

解得：\,o.

b=8

二直线AB的解析式为：y=-x+8,

同理代入B(6,2),C(8,1)可得直线BC的解析式为：y=-1x+5,

•.•工资及其他费作为：04x5+1=3万元，

；・当4<x<6时,wi=(x-4)(-x+8)-3=-x2+12x-35,

当6<x<8时，W2=(x-4)(-—x+5)-3=--x2+7x-23；

22

(2)当4gxW6时，

wi=-x2+12x-35=-(x-6)2+l,

・••当x=6时，wi取最大值是1,

当6<x<8时，

113

W2=-----X2+7X-23=-----(x-7)2+—

2229

当x=7时,W2取最大值是1.5,

即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款.

点睛：本题主要考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，利用数形结合的思想,

是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高.

23、【思考】出+历=/2；【探究】hi-hi=h.理由见解析；【应用】所求点M的坐标为（!，1）或（一,，4）.

33

【解析】

思考：根据等腰三角形的性质，把代数式;//1AB+g/z2AC=g/zAC化简可得/&+4=儿

探究：当点”在延长线上时，连接可得S枷“-S44cM=S枷c，化简可得九一丸2=爪

应用：先证明AB=AC,△ABC为等腰三角形，即可运用上面得到的性质，再分点M在边上和在延长线上

两种情况讨论，第一种有1+的=05,第二种为必一1=。3,解得〃的纵坐标，再分别代入4的解析式即可求解.

【详解】

思考

=%BC

即g4As+g4AC=ghAC

AB=AC

**.hi+hi=h.

探究

h\~hi=h.

理由.连接AM,

•^^ABM^MCM-,^AABC

・•・-hAB--hAC=-hAC

2122.2

:・h\——h\=h.

应用

3

在y=W%+3中，令x=0得y=3；

令尸0得x=-4,贝!)：

A(-4,0),B(0,3)

同理求得C(1,0),

AB=y/o^+OB2=5>

又因为AC=5,

所以A3=4C,即△ABC为等腰三角形.

①当点M在3C边上时，

由hi+hi=h得：

l+My=OB,Afy=3—1=1,

把它代入广一3x+3中求得：

M=-

39

，唱,2；

②当点拉在C6延长线上时，

由hi—hi=h得：

My—1=05,Afy=3+1=4,

把它代入户一3%+3中求得：

M=——,

%3

••・限卜］,

综上，所求点M的坐标为g,2)或

【点睛】

本题结合三角形的面积和等腰三角形的性质考查了新性质的推理与证明，熟练掌握三角形的性质，结合图形层层推进

是解答的关键.

24、』

3

【解析】

先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得.

【详解】

22

府1H叶8x+4-4xx-28(x-2)2x4x-2

解：原式=1-7~TTw.(z--------------+-------)=1-7~1------L-•-1-------=-----,

(x+2)(x-2)4x2x(x+2)(x-2)x-2x+2x+2

当x=退-2时,

原式二唇1二毕二…

V3-2+2V33

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则.

25、（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=1

【解析】

(1)由垂径定理得出NCPB=NBCD,根据NBCP=/BCD+NPCD=NCPB+NPCD=NPED即可得证;

⑵连接OP,知OP=OB,先证NFPE=NFEP得NF+2NFPE=180°,再由NAPG+NFPE=90得2ZAPG+2ZFPE=180°,

据此可得2NAPG=NF,据此即可得证;

PEEM

(3)连接AE,取AE中点N,连接HN、PN,过点E作EM±PF,先证NPAE=NF,由tanZPAE=tanZF得——=——,

APMF

一,/GPEM_MFGP,

再证NGAP=NMPE,由sinNGAP=sinNMPE得一=——,从rt而得出——=—,即MF=GP,由3PF=5PG即

APPEAPAP

PG3

—=j,可设PG=3k,得PF=5k、MF=PG=3k、PM=2k,由NFPE=NPEF知PF=EF=5k、EM=4k及PE=26k、

AP=———=£Lk,证NPEM=NABP得BP=36k,继而可得BE=J^k=2,据此求得k=2,从而得出AP、

tanZPAE2

BP的长，利用勾股定理可得答案.

【详解】

证明：（1）TAB是。。的直径且ABLCD,

，NCPB=NBCD,

.,.ZBCP=ZBCD+ZPCD=ZCPB+ZPCD=ZPED,

:.ZBCP=ZPED；

(2)连接OP,则OP=OB,

图a

.\ZOPB=ZOBP,

：PF是。。的切线，

•\OP±PF,贝！|NOPF=90。,

ZFPE=90°-ZOPE,

・：ZPEF=ZHEB=90°-ZOBP,

.\ZFPE=ZFEP,

TAB是。O的直径，

:.ZAPB=90°,

AZAPG+ZFPE=90°,

.•.2ZAPG+2ZFPE=180°,

°：ZF+ZFPE+ZPEF=180°,

■:ZF+2ZFPE=180°

A2ZAPG=ZF,

AZAPG=-NF；

2

（3）连接AE,取AE中点N,连接HN、PN,过点E作EMLPF于M,

图b

由（2）知NAPB=NAHE=90。,

VAN=EN,

・・・A、H、E、P四点共圆，

AZPAE=ZPHF,

VPH=PF,

/.ZPHF=ZF,

AZPAE=ZF,

tanZPAE=tanZF,

.PEEM

**MFJ

由（2）ZAPB=ZG=ZPME=90°,

/.ZGAP=ZMPE,

；・sinNGAP=sinNMPE,

.MF_GP

**AP-AP

AMF=GP,

V3PF=5PG,

.PG3

••—―,

PF5

设PG=3k,贝！|PF=5k,MF=PG=3k,PM=2k

由(2)知NFPE=NPEF,

；.PF=EF=5k,

则EM=4k,

2k14左4

tanZPEM=—=—,tanZF=—=一,

4k23k3

PE4

.\tan/PAE=-----=—,

AP3

；PE=1PM2+EM。=2也k>

AP=———=k,

tan/PAE2

■:ZAPG+ZEPM=ZEPM+ZPEM=90°,

Z.ZAPG=ZPEM,

・：ZAPG+ZOPA=ZABP+ZBAP=90°,_SZOAP=ZOPA,

/.ZAPG=ZABP,

AZPEM=ZABP,

APPM

贝!)tanZABP=tanZPEM,即——=----,

BPEM

3后.

:.不女_2k,

BP一4左

贝！IBP=36k,

***BE=-^5k=2-^5>

贝！Ik=2,

；.AP=3百、BP=6y[i,

根据勾股定理得，AB=1.

【点睛】

本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、四点共圆条件、相似三角形的判定与性质、三角函数的

应用等知识点.

290石

26、--------cm

3

【解析】

过点A作AG_LCD,垂足为G,利用三角函数求出CG,从而求出G。，继而求出CZ>.连接b。并延长与5A的延

长线交于点〃，利用三角函数求出S,由图得出再利用三角函数值求出E足

【详解】

过点A作AGJ_CD,垂足为G.则NC4G=30。，在RLACG中,

CG=AC-sin30°=50x；=25（cm）,

由题意，得GD=50-30=20（。〃）,

CD=CG+GD=25+20=45（即），

连接尸。并延长与BA的延长线交于点H.由题意，得NH=30°.在Rt_CDH中,

CD

CH=——=2CD=90(cm),

sin300\'

：.EH=EC+CH^AB-BE-AC+CH^300-50-50+90=290（cm）.

在加EFH中,EF=EH-tan30°=290x=29^

答：支角钢的长为45c机，EF的长为29°二5.

3

考点：三角函数的应用