延边市2024届高三第三次模拟考试数学试卷含解析

延边市重点中学2024届高三第三次模拟考试数学试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合｛2,0,1,9｝的真子集的个数是（）

A.13B.14C.15D.16

2

2.已知实数x,y满足5+Vvi,贝1尸+/—2|+卜2+/一6%+7|的最小值等于（）

A.672-5B.672-7C.76-73D.9-672

3.如图，在棱长为4的正方体ABCD—AgC］，中，E,F,G分别为棱AB,BC,CQ的中点，M为棱AO的中点,

设P,。为底面A5C。内的两个动点，满足。尸〃平面EFG,D】Q=后,则加+尸。的最小值为（）

A.372-1B.30-2C.2小-1D.275-2

4.函数/(X)=2%-|3%+1|在［-2,1］上的最大值和最小值分别为()

22

A.-2B.一一,-9C.-2,-9D.2,-2

33

3

5.已知。分别为AABC内角A,B,C的对边，a=l,4csinA=3cosC,AABC的面积为一，则。=()

2

A.2aB.4C.5D.3后

6.等腰直角三角形ABE的斜边A3为正四面体ABCD侧棱，直角边AE绕斜边A3旋转，则在旋转的过程中，有下

列说法：

q

(1)四面体E-3C。的体积有最大值和最小值；

(2)存在某个位置，使得AEL5D；

(3)设二面角。的平面角为。，则62NZME；

(4)AE的中点M与A3的中点N连线交平面5c。于点P,则点尸的轨迹为椭圆.

其中，正确说法的个数是()

A.1B.2C.3D.4

7.设复数z满足|z-3|=2,z在复平面内对应的点为M(a,b),则〃不可能为()

A.(2,aB.(3,2)C.(5,0)D.(4,1)

x-2y+l>0

8.已知实数x、V满足不等式组(2x—y—lW0,则z=—3x+y的最大值为()

y>Q

.3

A.3B.2C.——D.-2

2

9.已知点P在椭圆T：=im»>o)上，点p在第一象限，点P关于原点。的对称点为a,点P关于*轴的对

/b2

3

称点为Q,设PD=：PQ,直线4。与椭圆r的另一个交点为8,若PA1PB,则椭圆r的离心率e=()

4

A.1B.也C.3D.B

2223

10.过双曲线C：「-5=l(a〉04>0)左焦点厂的直线/交。的左支于A,B两点，直线AO(。是坐标原点)交

C的右支于点D,若WAB,且忸可=|。刊，则C的离心率是()

A.也B.2C.75D.迎

22

11.已知公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项的和为3，%=2,且％,生，旬成等比数列，则4=()

A.56B.72C.88D.40

12.在直角坐标系中，已知A(1,0),B(4,0),若直线x+阳-1=0上存在点尸，使得|附=2『为，则正实数机的最

小值是()

A.-B.3C.—D.J3

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知曲线。的方程为了=-依了5^R),其图象经过点P(l,0),则曲线C在点尸处的切线方程是

14.已知产为双曲线C：二—=1(a>0/>0)的右焦点，过尸作C的渐近线的垂线F。，。为垂足，且

a

\FD\=-^-\OF\(。为坐标原点)，则C的离心率为.

15.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到

黑色障碍物，最后落入A袋或3袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是工，则小球落入

2

A袋中的概率为

//、x~+2xH-------------,—2<

16.已知函数=J4%+8x,若函数g(x)=a/(x)|+l有6个零点，则实数。的取值范围

x2+2x-l,x<-2,%>0

是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,点E是边AD上一点，且AE=2ED,点〃是3E的中点,

将八45石沿着破折起，使点A运动到点S处，且满足SC=SD.

(1)证明：5/7，平面3。£如；

(2)求二面角C—S3—E的余弦值.

18.(12分)已知/(x)=4+eW(k>0)

(1)当X〉工时，判断函数/(尤)的极值点的个数；

2

(2)记g(x)=/(x)+%2一〃若存在实数乙使直线y=r与函数g(x)的图象交于不同的两点

A(xt,t),B(x2,t),求证：m>2X1X2.

19.(12分)已知直线/的参数方程为“a为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标

卜宣1

系，曲线C的极坐标方程为夕=4cos2

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设点P(1,O),直线/与曲线C交于A,B两点,求IAPI+IMI的值.

20.(12分)已知函数〃x)=/+2|x+l|—|x—3|的定义域为R.

(1)求实数/的取值范围；

(2)设实数R为t的最小值，若实数。，b,。满足4+/+°2=加2,求"_++的最小值.

"+1Z?2+2C2+3

21.(12分)已知％>0,y>0,z>Ofx2+y2+z2=1,证明：

(1)(x+y)2++z)2+(x+z)2,,4；

(2)—l--1—〉1+2ylxy+2个xz+2Jyz.

xyz.

22.(10分)购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品

牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示

（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表）；

（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取4人，记对购车补贴金额的心理预期值高于3万元

的人数为X,求X的分布列和数学期望；

（3）统计最近5个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：

月份2018.112018.122019.012019.022019.03

销售量（万

0.50.61.01.41.7

辆）

试预计该品牌汽车在2019年4月份的销售量约为多少万辆?

附：对于一组样本数据（七,%），（%，%），…，（毛，%），其回归直线$=晟+6的斜率和截距的最小二乘估计分别

n〃

、X（%—可（%—歹）XX/—

为$=上―------------=—n-------,a^y-bx.

寸之X；-戒2

1=1i=l

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据含有几个元素的集合，有2"个子集，有2"-1个真子集，计算可得；

【详解】

解：集合｛2,0,1,9｝含有4个元素，则集合｛2,0,1,9｝的真子集有元一1=15（个），

故选：C

【点睛】

考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有几个元素的集合，有2"个子集，有2"-1个真子

集，属于基础题.

2、D

【解析】

设x=J^cos。，y=sin8,去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出.

【详解】

因为实数％,y满足:+咒,1,

设X=7icos。，y=sin6，

:.|x2+y2—21+1x2+y2—6x+71=|2cos20+sin20-2|；4-12cos20+sin2d—6忘cosd+71=|-sin?+

|cos20—6也cos6+81,

COS26»-6A/2cos0+8=（cos9-3®一io>o恒成立，

x2+y2-21+1x2+y2-6x+71=sin20+cos20-6A/2COS0+8=9-6^cos0..9-6A/2,

故贝!11/+y2-2|+|/+y2-6x+7|的最小值等于9—60.

故选：D.

【点睛】

本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

3、C

【解析】

把截面ERG画完整，可得P在AC上，由2。=而知。在以。为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得

PM+P。的最小值.

【详解】

H

如图，分别取G，，2A，AA的中点〃,/，，连接易证及工共面，即平面ERG为截面

EFGHIJ,连接A2，，C,AC,由中位线定理可得AC//石尸，AC<Z平面MG,EFu平面EFG,则AC//平

面EFG,同理可得A，//平面跳G,由ACIAD］=A可得平面ARC//平面EFG,又2。//平面E尸G,尸在

平面ABC。上，...PeAC.

正方体中。。，平面ABC。，从而有。：.DQ=gQ2一DD：=1,二。在以。为圆心1为半径的四

分之一圆（圆在正方形A3CD内的部分）上，

显然M关于直线AC的对称点为E,

PM+PQ=PE+PQ>PE+PD-DQ>ED-DQ=A/42+22—1=2J?—1，当且仅当反P,Q,。共线时取等号，

二所求最小值为2不-1.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出。点

轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值.

4、B

【解析】

由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在［-2,1］上的最大值和最小值.

【详解】

5x+1,—2V%<—

3

依题意，/(x)=2x-|3x+l|=<

—x—1,—<X<1

3

作出函数/(九)的图象如下所示;

12

由函数图像可知，当x=-3时，/(%)有最大值-

当》=—2时，/(%)有最小值-9.

故选：B.

【点睛】

本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.

5、D

【解析】

341.3

由正弦定理可知4csinA=4asinC=3cosC,从而可求出sinC=—,cosC=g.通过=—^sinC二万可求出

5=5,结合余弦定理即可求出。的值.

【详解】

解：4csinA=3cosC,BP4csinA-3acosC

.\4sinAsinC=3sinAcosC,即4sinC=3cosC.

34

sin2C+cos2C=l，则sinC=M，cosC=《・

1133

/.S.=—absinC=—xlx/?x-=—,解得b=5.

ARr2252

112

/.c-c^+b-labcosC=l+5-2xlx5x^=18,c=3-72

故选:D.

【点睛】

本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过

正弦定理结合已知条件，得到角C的正弦值余弦值.

6、C

【解析】

解：对于（1）,当平面A5E,且E在A3的右上方时，E到平面BCZ>的距离最大，当平面4BE,且E在

AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，

二四面体E-3C。的体积有最大值和最小值，故（1）正确；

对于（2）,连接OE,若存在某个位置，使得AEL5。，又AEL5E,则AE,平面可得AEJ_DE,进一步可得

AE=DE,此时E-A5O为正三棱锥，故（2）正确；

对于（3）,取A8中点。，连接O。，E0,则NOOE为二面角O-AB-E的平面角，为0,

直角边AE绕斜边45旋转，则在旋转的过程中，Oe[O,TT）,

NZMEW[*,兀），所以aNZME不成立.（3）不正确；

对于（4）AE的中点”与的中点N连线交平面于点尸，P到8C的距离为：（IP-BC,

IpBI

因为^^<1,所以点尸的轨迹为椭圆.（4）正确.

AP-BC

故选：C.

点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需

要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.

7、D

【解析】

依题意，设2=。+初，由|z—3|=2,得（a—3y+/=4,再一一验证.

【详解】

^z=a+bi,

因为|z-3|=2,

所以（a—3y+〃=4,

经验证A/（4,1）不满足，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.

8、A

【解析】

画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案.

【详解】

x-2y+l>0

画出不等式组<2x-y-lWO所表示平面区域，如图所示，

y>Q

由目标函数z=-3x+y,化为直线y=3x+z,当直线y=3x+z过点A时，

此时直线y=3x+z在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，

x-2y+1=0

又由;，解得4—1,0）,

y=0

所以目标函数的最大值为z=—3x（—1）+。=3,故选A.

【点睛】

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、

三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题.

9、C

【解析】

设P（”），则4（—七,—%）,Q（&—%）,。卜,一方，设3（%，%），根据2U6化简得到3a2=4°2,得到

答案.

【详解】

设P（&yJ,则4（—和―％）,Q&,—%）,PD=^PQ,则。卜设6仇，％），

工+==1

则0：b\,两式相减得到：5+这）其一乜）=—（U+区酬—&）,

九2。”

----n----1------Z—-i

1再+

20bx22心即言=?，22

2°

%一%a%+%H■〜九]十八2再再十X2

PA上PB,故kpA，kpB=—1,即一4M■=—].,故3a2=4c?，故e=^~.

a22

故选：C.

【点睛】

本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.

10、D

【解析】

如图，设双曲线的右焦点为B，连接。鸟并延长交右支于C,连接尸C,设。鸟=X,利用双曲线的几何性质可以得

到a=x+2a,FC=x+4a,结合RtAFDC、RtAFDF2可求离心率.

【详解】

如图，设双曲线的右焦点为工，连接尸C，连接。鸟并延长交右支于C.

因为EO=O6,AO=O。，故四边形E4巴。为平行四边形，故鸟.

又双曲线为中心对称图形，故8C=BR.

设。则。尸=X+2Q,故与。=犬+2〃，故/C=X+4Q.

因为AFDC为直角三角形，tt（x+4«）2=（2x+2«）2+（X+2G）2,解得x=a.

在RtAFDB中,有4c2=4+9/,所以e=£="g=典.

av22

故选：D.

【点睛】

本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于”,仇。的方程,

本题属于难题.

11、B

【解析】

用=。刈9=（巧+2d）2=q（q+8d）,将q=2代入，求得公差d,再利用等差数列的前〃项和公式计算即可.

【详解】

由已知，a；=a1a9,%=2,故（q+2d）?=%（q+8d）,解得d=2或d=0（舍）,

8（＜7|8）

故=2+（〃一l）x2=2“，S8=^=4（2+2x8）=72.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列的前〃项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.

12、D

【解析】

设点P（l-〃）,封，由|%|=2归阿，得关于V的方程.由题意，该方程有解，则A20,求出正实数机的取值范围，

即求正实数m的最小值.

【详解】

由题意，设点P（l—冲,y）.

\PA\=2\PB\,:.\PA\"=4\PB\",

即（l-Hiy_］）2+y2=4（l—my—4）2+y2,

整理得（祖2+l）y2+8m^+12=0,

则A=（8w）2—4（疗+1卜12»0,解得加2石或根＜—g.

m>0,m>V3,m^n=百.

故选：D.

【点睛】

本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2x+y—2=0

【解析】

依题意，将点尸(1,0)的坐标代入曲线C的方程中，解得”.由y=-无3+X,得y=_3f+i,则曲线C在点尸处切线

的斜率上="1=-2,所以在点P处的切线方程是y=—2(x—l),即2x+y—2=0.

14、2

【解析】

求出焦点到渐近线的距离就可得到a/,c的等式，从而可求得离心率.

【详解】

b

由题意方(c,0),一条渐近线方程为y=—九,即区-冲=0,

a

\FD\=-^==b,由|即|=走|。/|得/，二且。，

\/b~+a222

•*-b1=—c2=c2-a~,。2=4。2,/.g=—=2.

4a

故答案为：2.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于的等式.

3

15、

4

【解析】

记小球落入3袋中的概率尸⑻，则P(A)+P(6)=1,又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向

右下落，小球将落入3袋，所以有=1,贝”网HP®..故本题应填

16、

【解析】

由题意首先研究函数y=V(x)|的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于«的不等式，求解不等式即可确定实

数。的取值范围.

【详解】

当-1<x<0时，函数《尤)=三+2X在区间(-1,0)上单调递增，

很明显《X)式—1,0),且存在唯一的实数占满足《石)=—g,

当—1W/<O时，由对勾函数的性质可知函数y=/+!在区间［-L-g］上单调递减，在区间上单调递增，

结合复合函数的单调性可知函数y=/+2了+］^^在区间(-1,%)上单调递减，在区间(七,0)上单调递增，且当

21

x=M时，+2x+-------=1,

14X2+8X

考查函数y=,+2%—1］在区间(0,+。)上的性质，

由二次函数的性质可知函数y=,+2%-1|在区间(o,V2-i)上单调递减，在区间(后-1,+s)上单调递增，

函数g(x)=a|/(刈+1有6个零点，即方程H/(x)|+l=0有6个根，

也就是1/,(%)1=—!有6个根，即y=1/(X)|与y=—!有6个不同交点，

aa

注意到函数y=炉+2x关于直线x=—1对称，则函数y=1/(x)I关于直线x=—1对称，

绘制函数y=1/(%)I的图像如图所示，

、.154

观察可得：1<--<—，即—1VQ<---.

a45

综上可得，实数。的取值范围是一L—g］

故答案为T,3

【点睛】

本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学

生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2）B

3

【解析】

（1）取CD的中点连接EM,SM,由SE=S5=2,进而由SC=S£>,得SMLCO.进而C£）,

平面SHM,进而结论可得证（2）（方法一）过“点作CD的平行线GH交于点G,以点H为坐标原点，

所在直线分别为x轴、y轴、二轴建立如图所示的空间直角坐标系”-孙z,求得平面SBC,平面SBE的

法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS的中点N,上的点P,使BP=2PC,连接HV,PN,PH,得

HNLBS,HP±BE,得二面角C—S3—E的平面角为再求解即可

【详解】

（1）证明：取CD的中点连接碗，SM,由已知得AE=A3=2,所以SE=SB=2,又点H是3E的中

点，所以SVLBE.

因为SC=S£>,点"是线段CD的中点，

所以SMLCZ）.

又因为所以从而CD,平面SHM,

所以GDLSH,又CD,防不平行，

所以阳，平面3CDE.

（2）（方法一）由（1）知，过H点作CD的平行线GH交于点G,以点H为坐标原点，所在直线

分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系”一孙z,则点3（1,—LO）,C（l,2,0）,£（-1,1,0）,

所以BC=(0,3,0),BE=(-2,2,0),BS-(-1,1,72).

设平面SBE的法向量为m=(xi,yvzi),

由加-BE-0,得*yi，令％=1,得利=

mBS=0[一再+%+J2Z]=0

同理，设平面SBC的法向量为〃=(%2，%*2),

n-BC=0%=°

由<，得<[―9

n-BS=0[-%2+%+A/2Z2=0

令Z2=l,得〃=(行,0,1).

所以二面角。一55-£的余弦值为以双"2,〃〉=广^=7-尸=Y

\m\\n\V2xJ33

（方法二）取3S的中点N,BC上的点P,使BP=2PC,连接HN,PN,PH,易知HNLBS,HP工BE.

由（1）得SHLHP,所以印5,平面BSE,所以印JLSB,

又HNLBS,所以3SL平面PHV,

所以二面角C—S3—E的平面角为/PNH.

又计算得NW=1,PH=五，PN=6，

1

所以cos/PNH=

有一丁

【点睛】

本题考查线面垂直的判定，考查空间向量求二面角，考查空间想象及计算能力，是中档题

18、(1)没有极值点；(2)证明见解析

【解析】

(1)求导可得/'(X)=k(2x-e-力,再求导可得了"(X)=k(2+ke*)>0,则(x)在[g,+刃]递增，则

/'(x)〉/(；]〉0，从而/(尤)在Q,+s]递增，即可判断；

(2)转化问题为存在石,％2且不〈无2,使g(Xi)=g(%2)河得

加(In冗2—In石)=(左+1)(%：—%；)+(e—e3)，由(1)可知/(%)>/(须)，即e-e">-k(x；-%；)，则

(\2

m

,考_X：--1x]

加(In%TnX])〉名一片，整理可得2力马，则一〉主，设二=$〉],则可整理为s——21ns>0,设

■-21nq21”不为,

不

h(s)=s---21ns,利用导函数可得h(s]>h(]}=0,即可求证.

S

【详解】

(1)当x〉g时,r(x)=k(2x-)，/"(x)=k(2+ke^)>0,

所以/'(x)在,+81递增斯以尸(x)〉/g]=左(1—)〉0,

所以/'(X)在递增，所以函数/(X)没有极值点.

(2)由题,g(x)=/(x)+x2一〃71nx=(k+l)x?-m}nx+e~b,

若存在实数t，使直线y=r与函数g(x)的图象交于不同的两点A&,0,B(&J),即存在X],々e,+COj且占<%，使

8(%)=8(々).

fa

由g(x。=g(%2)可得加(In%-InxJ=(k+l)(xf一为；)+("”_g-i)<x2,

由⑴可知/(々)>/(石),可得_"斯〉_左«一西2).,

mx：-x；

所以根(In/-山七)〉x；-x：,即221n三'

（、2

xl-xf--1

下面证明%只需证明:山一〉王,

二21n返西

X1

X1v2-11

令—9=s>1，贝！|证^----〉§,即5----21ns>0.

xi21nss

设/i(s)=s—L—21ns,那么〃(s)=土21〉0,

ss-

m

所以h(s)>所以万〉看马,即m>

/z(l)=0,2XXX2

【点睛】

本题考查利用导函数求函数的极值点，考查利用导函数解决双变量问题，考查运算能力与推理论证能力.

19、(1)x-岛-1=0；(x-2)2+y2=4(2)岳

【解析】

(1)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；

(2)将直线参数方程代入圆的普通方程，可得:+/2=6，82=-3,而根据直线参数方程的几何意义，知

\PA\+\PB\=\t,-t2\^而+幻2-4%,代入即可解决.

【详解】

X—1H---1

(D直线/的参数方程为2a为参数)，

1

[y=­2t

消去看得x-石y-1=0

曲线C的极坐标方程为夕=4cos6>.

222

由x=X?cos6,y=psind,x+y=p,

可得/+/=4工，即曲线C的直角坐标方程为(x—2『+_/=4；

_i6

X—1H---1

(2)将直线/的参数方程<]2。为参数)代入C的方程(X-2了+J?=4,

可得——G-3=0，A>0,

设6,是点A,8对应的参数值，

22=瓜〃2=—3,则|弘|+|附=,1-2|=而+02-4他=厉.

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.

9

20、(1)f>4；(2)—

22

【解析】

(1)首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等

式组解集的并集，得到所求不等式的解集；

⑵首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.

【详解】

(1)因为函数定义域为R,即/+2k+1|—k―3|=0恒成立，所以2|x+l|+|x—3恒成立

x+5,x<-1,

—2|x+l|+|x—3|==<1—3x,—1<x<3,

—x—5,%23.

由单调性可知当尤=-1时，—2,+1|+h—3|有最大值为4,BPr>4；

(2)由(1)知力=4,a2+b2+c2=16，

由柯西不等式知(」7+尸二+三二］*(。2+1+/+2

+C2+3)>(1+1+1)2=9

"+1b-+2c"+3j'

m、，111、9.“1119

所以？+9+92,BP++-二的最小值为二.

cr+lb2+2C2+322cr+1b2+2c2

,19,16,13

当且仅当片=上，b2=~,。2="时，等号成立

333

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21、(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

(1)先由基本不等式可得芍+>+加,1,而(x+y『+(y+z)2+(x+z)2=2+2(孙+yz+zx)„4,即得证;

111<1iiA

(2)首先推导出x+y+z>1,再利用—।---1"—=—1--+-(x2+y