江西省吉安市吉州区部分学校2022-2023学年高二年级下册期末联考数学试题（解析版）

江西省吉安市吉州区部分学校2022-2023学年高二下学期

期末联考数学试题

一、单选题（每题5分，共40分）

1.如图，。是全集，集合是集合。的两个子集，则图中阴影部分所表示的集合是（）

A.A（0B）B.Bn（^A）

C.（疫A）D（­）D＜（AC3）

K答案XB

K解析力依题意，阴影部分所表示的集合中任意元素x必须满足：xeA且xeB,即

xeeA且xeB,于是得xwBcQ/A）,

所以图中阴影部分所表示的集合是3c（即A）.故选：B

2.已知W&fC,闻=以21=1,归+为=\/^,则\_Z2|=（）

A.1B.72C.6D.2

（答案》A

K解析D设Z]=。+历/2=c+di，a,b,c,deR,贝i]标+/==1①,

4+Z2=(a+c)+(》+d)i,贝U(a+c)2+(6+4=3②，

②-①得，2ac+2M=l,

Z1—z2=(a—c)+(Z?—47)i,

则L—Z2『=(a-c)2+(Z?_d)~-a2+b2+c2+d2-lac-2bd=],

故|马—Z21=1.故选：A

3.已知［/+元）的展开式中的各项系数之和为32,则展开式中的常数项为（）

A.5B.10C.20D.1

（答案》A

K解析》因为的展开式中的各项系数之和为32,

即(1+1)"=32,所以〃=5.

又c1、

+京J的展开式的通项为北+1

令10—■!「=(),解得厂=4,所以展开式的常数项为C；=5.

故选：A.

4.己知椭圆C:=+丁2=1(。〉1),用居为两个焦点，尸为椭圆。上一点，若△「月工的周

a~

长为4,则。=()

35

A.2B.3C.—D.一

24

K答案UD

K解析工设椭圆。的焦距为2c,则02+1="，

35

△尸耳工的周长为2a+2c=4,解得c=—,a=—,

44

故选：D

5.若点1)在抛物线y+p/=0上，则该抛物线的准线方程为()

1111

A.y=—B.y=—C.x=—D.x=—

2828

K答案』A

K解析?因为点A(加,—1)在抛物线y+pr=0上，

所以-l+2p=0,得夕=^，

所以抛物线方程为/=—2y,

所以抛物线的准线方程为y=3,

故选：A

7T

6.已知斜三棱柱45044。1所有棱长均为2,/445=，44。=(,点改/满足

AE=^AAi,BF=^BC,则网=()

Ai

:E

BF

A.76B.73C.2D.V2

k答案』D

(解析XEF=EA+AB+BF=AB+^AC-AB^-AE

1

=|AB+|AC-1?L41,

7T

斜三棱柱ABC-A4G所有棱长均为2,/AAB=Z\KC=1.

-21-2121-211

:.EF=-AB+-AC+-A4,+-ABAC——AB.

444月22

A^-^AC-A^=1+1+1+^X2X2X-——x2x2x---X2X2X-=2..-.|EF|=72.

222222।

故选:D.

7.已知等比数列｛%｝的前几项和为S,,若一%<%<%，则（）

A.｛4｝为递减数列B.｛4｝为递增数列

C.数列｛，｝有最小项D.数列｛S“｝有最大项

［答案XC

K解析H设等比数列｛4｝的公比为4,则qwO,

a,

由一6</可得%>0,又4<%,所以了<1即4<1,又一％<?，

所以一即q>—l,

故等比数列｛凡｝首项4>0,公比4满足—1<4<。或。<4<1，

当-1<“<0时，等比数列｛4｝为正负项交替的摆动数列，故不单调；

当0<q<l时，an+i-an=axq"-\q-\）<G,等比数列｛4｝单调递减，故A,B不正确;

+2

所以当—1<4<。时，由于S“+2—Sn=广」—q")=q"(1一/),

l—q\)1-q'7

则S1=a[>S3>S5>>,%>>S6>S4>S2=-ba2>0f

1-q1-q一一

此时数列｛S〃｝的最小项为$2,最大项为Si；

当0<q<l时，有S"+「S”=4(4"—〃)=4/(lM)=a©'>°，

1-qv)1-q

则数列｛S“｝为单调递增数列，有最小项S1,无最大项，故C正确，D不正确.

故选：C.

8.若xe(l,y)时，关于x的不等式依—e、<0恒成立，则。的取值范围为()

(11/1M1]fl

A.I-oo,-B.C.10,-D.I-,e

(答案UB

K解析U由ar"T]nx—e*<0在xe(l,+oo)上恒成立，

可得ax"lnx<xex在尤e(1,+co)上恒成立，

即xaInxa<xex在尤e(1,+℃)上恒成立，

即In<xe"在xe(1,+8)上恒成立，

设/(x)=xe\则/(In/)</(x)在(1,+8)上恒成立，

又f'(x)=ex+xex=(x+l)er,

所以当％<—i时r(x)<o,当％>—i时r(x)>o,

所以函数在(f,-1)上单调递减，在(1,y)上单调递增，

且当无<0时，/(X)<0,当x>0时，/(%)>0,

当aWO时，由于xe(l,+oo),贝UalnxWO,

此时/(alnx)WO,/(x)>0,满足了(Inx")W/(x)在(L+O上恒成立；

当a>0时，由于xe(l,+oo),则aln%>0,

要使f(lnxa)<f｛x)在(1,y)上恒成立，

X

则需In%"<%在(L+0。)上恒成立，即a"：；—在(L+8)上恒成立，

Inx

x，/、In%—1

设g(x)=^)_,xe(l,+oo),则g(x)=；^"V，

Inxklnx)

易知当xe(l,e)时，gr(x)<0,g(x)单调递减，当xw(e,+8)时，gr(x)>0,g(x)单调

递增，

所以gCOmin=g(e)=e,则aVe,

又a>0,所以0<aWe

综上，实数a的取值范围为(-8,e].

故选：B.

二、多选题(每题5分，共20分)

9.下列计算正确的是()

C.（sin2x）=2cos2xD.（igx）=一

K答案》AC

K解析UA选项，（。一"）=-e-x»故A选项正确；

B选项，=—J，故B选项错误；

C选项，（sin2x）=2cos2x,故C选项正确；

D选项，（igx）=--—，故D选项错误；

、）xlnlO

故选：AC

10.己知数列｛%｝是公比为q的等比数列，且/，%，生成等差数列，则4=（）

11

A.B.-C.—1D.1

22

k答案1AD

K解析X由题意，出+4=2。4，由等比数列通项公式可得外（l+q）=24/，

由于等比数列每一项都不是0,故2才一l_q=o,

即（24+1）（4-1）=0,解得q=—；或q=l.

故选：AD

11.已知/'（力为函数/（无）的导函数，若函数y=/'（x）—1的图象大致如图所示，则（

A./（%）有3个极值点

B.%=-4是/（无）的极大值点

C.%=0是/（无）的极大值点

D./（尤）在（0,4）上单调递增

k答案IABD

K解析H根据函数y=/'(x)—1的图象可知，

在区间(—A7),(0,4),/'(力＞0"(力单调递增;

在区间(TO),(4,+8),/'(x)＜O"(x)单调递减.

所以/(x)有3个极值点、尤=T是/(x)的极大值点、“X)在(0,4)上单调递增，

尤=0是〃无)的极小值点，

所以ABD选项正确，C选项错误.

故选：ABD

12.已知等比数列｛%｝前〃项和为S“，且S2=4%,与是%+1与g%的等差中项，数列

也｝满足2=。屋5，数列也｝的前几项和为北，则下列结论正确的是()

A.数列｛4｝的通项公式为&=2-3"TB.s“=3"-1

C.数列｛bn｝是等比数列D.7；＞|S„+1

(答案』ABD

k解析》由于等比数列｛%｝前几项和为S“且$2=4%,

所以6+g=4q，整理得出=3%，所以数列｛%｝的公比q=3；

由于。2是。1+1与不。3的等差中项，故2%=〃]+1~1--%，

22

9

整理得6〃]=q+1+万q,解得q=2.

故氏=2x3”。故A正确;

所以S“=2X,；1)=3"T，故B正确；

2n1

由于数列也｝满足bn=%.S'=2X3"TX(3"—1)=2X3--2x3"、

看二言不为常数

所以当时,

所以数列也,｝不是等比数列，故C错误;

7；,=2x(3+33+35++32n-')-2(l+3+32+33++3"-1)

1(1-3")31

=2x-2x=-x9"-3"+-'

1-91-344

11Q1

又5s〃「5（3"+­）=于3<5，

所以北―=-x9"-3"+---x3fl+-=-x（3fl）2--x3n+-

“244224v724

=-[3"--^-->-[3--^—±=0,故D正确.

4（3J34（3）3

故选：ABD

三、填空题（共20分）

13.已知随机变量J~N（0,cr2）,且尸621）=0.4,则P（—1WJWO）=.

[答案工0.1

K解析》因为。~N（0,CT2）,所以正态曲线的对称轴为％=0,

因为P（JN1）=O.4,所以—1）=04,

所以P（—1W《WO）=P（JWO）—P（JW—1）=0.5—0.4=0」.

故（答案I为：0.1

14.已知数列｛%｝中，q=3,2=6，4+2=4+1一%，则%02。=.

K答案H-3

k解析U由题意知。3=。2=3,%=。3一。2=—3,

a5=a4—a3=—6,a6=a5—a4=—3,

CL~!—。6—=3,6Zg—Clj—Cl^=6,

“9=4—Q7=3,4o=〃9—4=—3,

易知｛4｝是周期为6的数列，a2020=a4=-3.

故（答案》为：-3

V-2

15.已知双曲线。亍y2=i的实轴端点分别为4，&,点尸是双曲线上异于4，&另一

点，则尸A与P4的斜率之积为

（答M3-

4

K解析工设P5,%）,为力0,且①-尤=1,A（-2,0）,4（2,0）,

k=^^-

则kpA、

x0+2'P&x0-2

—%%_4_i

所以kp%,kp&------.-------------=—,

XQ+2XQ—2%Q—44

所以抽与时的斜率之积为:，故k答粒为《

16.已知。＞0,函数/（x）=0acosx+e*在（0,+。）上存在两个极值点，则。的取值范围

为.

,兀9兀

k答案》e4,eT

K解析［函数〃尤）="zcosx+e、在（0,+“）上存在两个极值点，

等价于/'（尤）=—缶sinz+e*=0在（0,+“）上有2个不同的实根（变号），

即g（x）=siiuex的图象与直线y=看在（0,+。）上有2个不同的交点（变号）,

求出（x）=（cosx-sinx）e-^,

当工6（2也一彳，2E+：）（左eZ）时，g'（x）＞0,

当xe（2E+?,2碗+苧）（左eZ）时g'（x）＜0,

所以g（x）在（2E—手，2E+：）（4eZ）上单调递增,

在（2E+：,2E+.）（keZ）上单调递减.

971«j<g仅］n交泉j（纥片

只需g

41aUJ2y/2a2

「兀9兀,719兀

4

可得e^,e，故K答案』为:近,好

四、解答题（共70分）

17.己知一ABC的三个顶点分别为A（3,T）,B（6,0）,C（-5,2）.

（1）求边AC上的高8。所在直线的方程；

（2）求边AC上的中线BE所在直线的方程.

-4-234

解：（1）由题意得左*=Q且,&c=-1，所以&?»=—•

3-(-5)4

4

则边AC上的高3。所在直线的方程为y=-（x-6）,化简得4x—3y—24=0.

（2）由题知AC中点£（—1,—1）,所以原E=；，

则边AC上的中线跖所在直线的方程为y=—6）,化简得x—7y—6=0.

18.某市为了解该市小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了50名小学生，统

计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图，如图所示.

濒率

W

0.025-

0.020................L—1

0.015................

0.010........................................

0.005…一।—

0~30506070命命时间/由钟

（1）由频率分布直方图估计小学生课外活动时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的

中点值代替）；

（2）由频率分布直方图可认为：课外活动时间f（分钟）近似服从正态分布N（〃,13.42）,

其中〃为样本中课外活动时间的平均数用频率估计概率，在该市随机抽取10名学生，记课

外活动时间在（35.7,75.9］内的人数为X,求X的数学期望（精确到0.1）.

参考数据：当t服从正态分布N（〃,b2）时，P（/z-Cy<r<zz+0-）=0.6827,

P^pi—2（y<t<〃+2cr）=0.9545,P（//—3cr<^<〃+3b）=0.9973.

解：（1）由图知：平均数为：

35x0.05+45x0.15+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.1=62.5；

（2）由题设〃=62.5,b=13.4,则35.7=62.5—2x13.4=//—2cr,

75.9=62.5+13.4=pi+cr,

P（35.7<f<75.9）=P（〃-2。<f<〃+。）=。9545+0.6827=。用186,

由题意知：X-5(10,0.8186),则E(X)=10x0.8186~8.2.

19.如图，在四棱锥P—A6CD中，K4_L底面ABC。，ABYAD,BC//AD,

PA=AB=BC=2,AD=4,E为棱P£）的中点，尸是线段PC上一动点.

（1）求证：平面尸平面Q4B；

（2）若直线B尸与平面ABC。所成角的正弦值为走时，求平面AE尸与平面ADE夹角

3

的余弦值.

解：（1）因为AB_LAD,5C〃AD,则3C_LAB,又B4_L平面ABC。，BCu平面ABCD,

则

而上\AB=A,PA,A3u平面2钻，因此平面Q45,又BCu平面pBC，

所以平面平面P4B.

（2）因为R4J_底面ABC。，ABYAD,

以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则4（0,0,0）、8（2,0,0）、。（2,2,0）、£＞（0,4,0）,£（0,2,1）、尸（0,0,2）,

设即=2定=2（2,2,-2）=（2424,-24）,BF=BP+PF=（2A-2,2A,2-22）,其

中0WXW1,

显然平面ABC。的一个法向量为a=（0,0,1）,

।।\u-BF\2-22Js1

依题意，cos〈",BF〉=J—,==二",解得X=—,

11

|4IBFI72x（2/t-2）+4r2

于是尸为PC的中点，即F（1,1,1）,设平面AEF的法向量为?n=（x,j,z）,AE=（0,2,1）,

AF=(1,1,1),

m-AE=2y+z=Q/、

则，取y=L得〃z=(l,L-2),

m•AF=x+y+z=O

而平面ADE的一个法向量为7=（1,0,0）,

\m-n\_1_V6

所以平面AEF与平面ADE夹角余弦值为Icos(m,ri)|=

\m\\n\V66

20.在数列｛%｝中，生=3,a4+a8=12,且。用=2a“—a”—2）.设灯为满足

左＜2‘的/的个数.

（1）求。2,打的值；

2n-1

（2）设%=厂厂，数列｛%｝的前"项和为7；,对任意的〃eN+，不等式

brPn+1

3/—4切46（北+1）恒成立，求m的取值范围.

解：（1）因为。什1=2q—所以a,+]_a“=%_4T（〃22）,则｛%｝是等差

数列，

,隆=3fa,+d=3

设数列｛2｝的公差为d,由一，则/，解得％=d=l,则a“=〃，

J

'[a4+as=12[2^+lOd=12

因为4是满足左＜4W2上的a”的个数，所以4=2«—左+1,则打=3,4=6.

2,!-111

（2）由（1）得》一（2"_“+1）（2"+]_九）_2，_,+]—2"+1_“'

（\1\（\n（11）11

则小[一土『士…

设/■（〃）=2用_〃，则/■（〃+1）_/5）=2"+1_1＞0,即/仇）递增，故427；=,，

6

因为对任意〃wN+，3m2—4m＜6（7；+1）恒成立，即3根2—4根W6x[，+1]恒成立,

7

整理得3〃/—4m—740恒成立，即（3加—7）（机+1）＜0恒成立，解得—IV机V],

-7一

所以加的取值范围是-.

22

21.己知4（2,0）,3（—2,0）分别是椭圆C：j+2r=l（a〉6〉0）长轴的两个端点，C的

ab

焦距为2.M（3,0）,N[g,。],尸是椭圆C上异于A,2的动点，直线PM与C的另一交

点为。，直线PN与C的另一交点为E.

（1）求椭圆C的方程；

（2）证明：直线的倾斜角为定值.

解：（1）由题意,〃=2,2c=2,c=l,/.b1=a2-c2=3-

22

.♦•椭圆c的方程为土+乙=1.

43

(2)设，(4,兀)，£)(%,%),E(x2,y2),则3x；+4y；=12.

①当直线PN的斜率存在时，其方程为,代入椭圆C的方程,

2

整理得3lx-132巾4

0Xr2-------------=0

33

直线PM的方程为y无-3),代入椭圆C的方程，

飞-3

整理得［3(%0—3)+4y：卜之—24y"+36y：—12(%—3)=0.

,x+x=24乂24M4立

22

3(X0-3)+4^39-18/6.5-3x0-

71

因此％=々，此时。轴，即直线。E的倾斜角为

_44

②当直线PN的斜率不存在时，其方程为x=§,此时〜=耳.

1?_134

上〜12-3412-6.5/234

由①知%+々~°，六％=£°=；=T=^0.

6.5-3x06.5-3x0J2i-gx-3

~2~3

47C

：.x.=x=-,此时。E_L尤轴，即直线。E的倾斜角为一.