备战2024年高考数学一轮复习第一、二章

课件园PAGE课堂过关第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～2页)考情分析考点新知了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系.学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化.集合含义中掌握集合的三要素.④不要求证明集合相等关系和包含关系.1.(必修1P10第5题改编)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝________答案：－eq\f(3,2)解析：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－eq\f(3,2)或m＝1(舍去)，此时当m＝－eq\f(3,2)时，m＋2＝eq\f(1,2)≠3满足题意．所以m＝－eq\f(3,2).2.(必修1P7第4题改编)已知集合{a|0≤a<4，a∈N}，用列举法可以表示为________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，2，3))解析：因为a∈N，且0≤a<4，由此可知实数a的取值为0，1，2，3.3.(必修1P17第6题改编)已知集合A＝[1，4)，B＝(－∞，a)，AB，则a∈________．答案：[4，＋∞)解析：在数轴上画出A、B集合，根据图象可知．4.(原创)设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则A、B的关系是________．答案：A＝B解析：化简得A＝{x|x≥1}，B＝{y|y≥1}，所以A＝B.5.(必修1P17第8题改编)满足条件{1}M{1，2，3}的集合M的个数是________．答案：4个解析：满足条件{1}M{1，2，3}的集合M有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．1.集合的含义及其表示(1)集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．(3)集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5)常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C．2.两类关系(1)元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．(2)集合与集合之间的关系①包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为AB或BA，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．②真包含关系：如果AB，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”．③相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素，则称这两个集合相等．(3)含有n个元素的集合的子集共有2n个，真子集共有2n－1个，非空子集共有2n－1个，非空真子集有2n－2个.题型1正确理解和运用集合概念例1已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并将这个元素写出来；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．解：(1)若A是空集，则Δ＝9－8a＜0，解得a＞eq\f(9,8).(2)若A中只有一个元素，则Δ＝9－8a＝0或a＝0，解得a＝eq\f(9,8)或a＝0；当a＝eq\f(9,8)时这个元素是eq\f(4,3)；当a＝0时，这个元素是eq\f(2,3).(3)由(1)(2)知，当A中至多有一个元素时，a的取值范围是a≥eq\f(9,8)或a＝0.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知a≤1时，集合[a，2－a]中有且只有3个整数，则a的取值范围是________．答案：－1<a≤0解析：因为a≤1，所以2－a≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a＝0，集合中有0，1，2三个整数，所以a＝0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a<4，解得－1<a<0，此时，集合中有0，1，2三个整数，－1<a<0适合题意．综上，a的取值范围是－1<a≤0.eq\a\vs4\al(变式训练)设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))))，N＝{x|x＝eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)，k∈Z}，则M________N.答案：真包含于题型2集合元素的互异性例2已知a、b∈R，集合A＝{a，a＋b，1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(b，\f(b,a)，0))，且AB，BA，求a－b的值．解：∵AB，BA，∴A＝B.∵a≠0，∴a＋b＝0，即a＝－b，∴eq\f(b,a)＝－1，∴b＝1，a＝－1，∴a－b＝－2.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知集合A＝{a，a＋b,a＋2b}，B＝{a，ac,ac2}．若A＝B，则c＝________．答案：－eq\f(1,2)解析：分两种情况进行讨论．①若a＋b＝ac且a＋2b＝ac2，消去b得a＋ac2－2ac＝0.当a＝0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0.∴c2－2c＋1＝0，即c＝1.但c＝1时，B中的三元素又相同，此时无解．②若a＋b＝ac2且a＋2b＝ac，消去b得2ac2－ac－a＝0.∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.又c≠1，故c＝－eq\f(1,2).eq\a\vs4\al(变式训练)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，集合B＝{a2，a＋b，0}，若A＝B，求a2013＋b2014的值．解：由于a≠0，由eq\f(b,a)＝0，得b＝0，则A＝{a，0，1}，B＝{a2，a，0}．由A＝B，可得a2＝1.又a2≠a，则a≠1，则a＝－1.所以a2013＋b2014＝－1.题型3根据集合的含义求参数范围例3集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若BA，求实数m的取值范围；(2)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．解：(1)当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足BA；当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使BA成立，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.综上所述，当m≤3时有BA.(2)因为x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，则①若B＝，即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；②若B≠，则要满足条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1＞5，))解得m＞4.或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,2m－1＜－2，))无解．综上所述，实数m的取值范围为m＜2或m＞4.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知集合A＝{y|y＝－2x，x∈[2，3]}，B＝{x|x2＋3x－a2－3a>0}．若AB，求实数a的取值范围．解：由题意有A＝[－8，－4]，B＝{x|(x－a)(x＋a＋3)>0}．①当a＝－eq\f(3,2)时，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠－\f(3,2)))))，所以AB恒成立；②当a<－eq\f(3,2)时，B＝{x|x<a或x>－a－3}．因为AB，所以a>－4或－a－3<－8，解得a>－4或a>5(舍去)，所以－4<a<－eq\f(3,2)；③当a>－eq\f(3,2)时，B＝{x|x<－a－3或x>a}．因为AB，所以－a－3>－4或a<－8(舍去)，解得－eq\f(3,2)<a<1.综上，当AB时，实数a的取值范围是(－4，1)．1.设集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜a}，且满足A真包含于B，则实数a的取值范围是____________．答案：(2，＋∞)解析：利用数轴可得实数a的取值范围是(2，＋∞)．2.已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中元素的个数为________．答案：10解析：B中所含元素有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)．3.若x∈A，则eq\f(1,x)∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)，2，3))的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素组是－1；eq\f(1,2)，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，2)).4.已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．答案：2解析：由题图示可以看出阴影部分表示集合M和N的交集，所以由M＝{x|－1≤x≤3}，得M∩N＝{1，3}，有2个．5.设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数为________．答案：8解析：(1)∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1，2，6；当a＝2时，a＋b的值为3，4，8；当a＝5时，a＋b的值为6，7，11，∴P＋Q＝{1，2，3，4，6，7，8，11}，∴P＋Q中有8个元素．1.已知A＝{x|x2－2x－3≤0}，若实数a∈A，则a的取值范围是________．答案：[－1，3]解析：由条件，a2－2a－3≤0，从而a∈[－1，3]．2.现有含三个元素的集合，既可以表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，也可表示为{a2，a＋b，0}，则a2013＋b2013＝________．答案：－1解析：由已知得eq\f(b,a)＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2013＋b2013＝(－1)2013＝－1.3.已知集合A＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]＜0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－a,x－（a2＋1）)＜0)))).(1)当a＝2时，求A∩B；(2)求使B真包含于A的实数a的取值范围．解：(1)A∩B＝{x|2＜x＜5}．(2)B＝{x|a＜x＜a2＋1}．①若a＝eq\f(1,3)时，A＝，不存在a使BA；②若a＞eq\f(1,3)时，2≤a≤3；③若a＜eq\f(1,3)时，－1≤a≤－eq\f(1,2).故a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))∪[2，3]．4.已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}且1∈A，求实数a的值．解：由题意知：a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1，∴a＝－1或－2或0，根据元素的互异性排除－1，－2，∴a＝0即为所求．1.研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2.空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：AB，则需考虑A＝和A≠两种可能的情况．3.判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4.已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．eq\a\vs4\al(请使用课时训练（A）第1课时（见活页）.)[备课札记]

第2课时集合的基本运算(对应学生用书(文)、(理)3～4页)考情分析考点新知理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用韦恩图表示集合的关系及运算．①在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面.②会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.③会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示.1.(原创)集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝________．答案：{－1，0，1}解析：M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，所以M∩N＝{－1，0，1}．2.(必修1P17第13题改编)A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且xA∩B}．若A＝{x|y＝eq\r(x2－3x)}，B＝{y|y＝3x}，则A×B＝________．答案：(－∞，3)解析：A＝(－∞，0)∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝R，A∩B＝[3，＋∞)．所以A×B＝(－∞，3)．3.(必修1P10第4题改编)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(2,n－1)，x、n∈Z))，则∁UA＝________．答案：{0}解析：因为A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,n－1)，x、n∈Z))))，当n＝0时，x＝－2；当n＝1时不合题意；当n＝2时，x＝2；当n＝3时，x＝1；当n≥4时，xZ；当n＝－1时，x＝－1；当n≤－2时，xZ.故A＝{－2，2，1，－1}．又U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁UA＝{0}．4.(必修1P14第8题改编)设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)＝________.答案：{1，4，5}解析：A∩B＝{2，3}，所以∁U(A∩B)＝{1，4，5}．5.(必修1P17第6题改编)已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时，a＝________．答案：1或2解析：验证a＝1时B＝满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．1.集合的运算(1)交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2)并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3)全集：如果集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集．(4)补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做A的补集(或余集)，记作∁SA，即∁SA＝{x|x∈S，但xA}．2.常用运算性质及一些重要结论(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A；(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A；(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U；(4)A∩B＝AAB，A∪B＝ABA；(5)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．[备课札记]题型1集合的运算例1若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3}，N＝{1，4}，则(∁UM)∩(∁UN)＝________．答案：{5，6}解析：∵M∪N＝{1，2，3，4}，∴(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{5，6}．eq\a\vs4\al(变式训练)若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M∩N＝N，N＝{1，4}，试求满足条件的集合M的个数．解：由M∩N＝N得MN.含有2个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M有4个，含有4个元素的集合M有6个，含有5个元素的集合M有4个，含有6个元素的集合M有1个．因此，满足条件的集合M有1＋4＋6＋4＋1＝16个．题型2求参数的范围例2设关于x的不等式x(x－a－1)＜0(a∈R)的解集为M，不等式x2－2x－3≤0的解集为N.(1)当a＝1时，求集合M；(2)若M∪N＝N，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，由已知得x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.所以M＝{x|0＜x＜2}．(2)由已知得N＝{x|－1≤x≤3}．①当a＜－1时，因为a＋1＜0，所以M＝{x|a＋1＜x＜0}．由M∪N＝N，得MN，所以－1≤a＋1＜0，解得－2≤a＜－1.②当a＝－1时，M＝，显然有MN，所以a＝－1成立．③当a＞－1时，因为a＋1＞0，所以M＝{x|0＜x＜a＋1}．因为MN，所以0＜a＋1≤3，解得－1＜a≤2.综上所述，实数a的取值范围是[－2，2]．eq\a\vs4\al(变式训练)已知A＝{x|ax－1>0}，B＝{x|x2－3x＋2>0}．(1)若A∩B＝A，求实数a的取值范围；(2)若A∩∁RB≠，求实数a的取值范围．解：(1)由于A∩B＝A得AB，由题意知B＝{x|x>2或x<1}．若a>0，则x>eq\f(1,a)≥2，得0＜a≤eq\f(1,2)；若a＝0，则A＝，成立；若a＜0，则x＜eq\f(1,a)＜1，根据数轴可知均成立．综上所述，a≤eq\f(1,2).(2)∁RB＝{x|1≤x≤2}，若a＝0，则A＝，不成立；若a＜0，则x＜eq\f(1,a)＜1，不成立；若a＞0，则x＞eq\f(1,a)，由eq\f(1,a)＜2得a＞eq\f(1,2).综上所述，a＞eq\f(1,2).题型3集合综合题例3已知f(x)＝x＋eq\f(b,x)－3，x∈[1，2]．(1)当b＝2时，求f(x)的值域；(2)若b为正实数，f(x)的最大值为M，最小值为m，且满足M－m≥4，求b的取值范围．解：(1)当b＝2时，f(x)＝x＋eq\f(2,x)－3，x∈[1，2]．因为f(x)在[1，eq\r(2)]上单调递减，在[eq\r(2)，2]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(eq\r(2))＝2eq\r(2)－3.又f(1)＝f(2)＝0，所以f(x)的值域为[2eq\r(2)－3，0]．(2)①当0＜b＜2时，f(x)在[1，2]上单调递增，则m＝b－2，M＝eq\f(b,2)－1，此时M－m＝－eq\f(b,2)＋1≥4，得b≤－6，与0＜b＜2矛盾，舍去；②当2≤b＜4时，f(x)在[1，eq\r(b)]上单调递减，在[eq\r(b)，2]上单调递增，所以M＝max{f(1)，f(2)}＝b－2，m＝f(eq\r(b))＝2eq\r(b)－3，则M－m＝b－2eq\r(b)＋1≥4，得(eq\r(b)－1)2≥4，解得b≥9，与2≤b＜4矛盾，舍去；③当b≥4时，f(x)在[1，2]上单调递减，则M＝b－2，m＝eq\f(b,2)－1，此时M－m＝eq\f(b,2)－1≥4，得b≥10.综上所述，b的取值范围是[10，＋∞)．eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)设集合A＝{x|x2－2x＋2m＋4＝0}，B＝{x|x<0}．若A∩B≠，求实数m的取值范围．解：(解法1)据题意知方程x2－2x＋2m＋4＝0至少有一个负实数根．设M＝{m|关于x的方程x2－2x＋2m＋4＝0两根均为非负实数}，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4（－2m－3）≥0,x1＋x2＝2>0，解得－2≤m≤－\f(3,2).,x1x2＝2m＋4≥0))∴M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2≤m≤－\f(3,2))))).设全集U＝{m|Δ≥0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m≤－\f(3,2)))))，∴m的取值范围是∁UM＝{m|m<－2}．(解法2)方程的小根x＝1－eq\r(－2m－3)<0eq\r(－2m－3)>1－2m－3>1m<－2.(解法3)设f(x)＝x2－2x＋4，这是开口向上的抛物线．因为其对称轴x＝1>0，则据二次函数性质知命题又等价于f(0)<0m<－2.1.设集合A＝{5，log2(a＋3)}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．答案：{1，2，5}解析：由题意知log2(a＋3)＝2，得a＝1，b＝2，则A∪B＝{1，2，5}．2.已知全集U＝(－∞，3]，A＝[－1，2)，则∁UA＝____．答案：(－∞，－1)∪[2，3]解析：利用数轴可得∁UA＝(－∞，－1)∪[2，3]．3.如图，已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A＝{2，3，4，5，6，8}，B＝{1，3，4，5，7}，C＝{2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．答案：{2，8}解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁UB)＝{2，8}．4.已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝0}，Q＝{(x，y)|x－y＝2}，则Q∩P＝________．答案：{(1，－1)}解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x－y＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))由于两集合交集中元素只有一个点，故Q∩P＝{(1，－1)}．5.设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且xQ}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝________．答案：{x|0<x≤1}解析：由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．1.设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩∁UN＝{2，4}，则N＝________．答案：{1，3，5}解析：画出韦恩图，可知N＝{1，3，5}．2.设全集为R，集合A＝{x|x≤3或x≥6}，B＝{x|－2<x<9}．(1)求A∪B，(∁RA)∩B；(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若CB，求实数a的取值范围．解：(1)A∪B＝R，∁RA＝{x|3<x<6}，∴(∁RA)∩B＝{x|3<x<6}．(2)∵C＝{x|a<x<a＋1}，且CB,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－2，,a＋1≤9.))∴所求实数a的取值范围是－2≤a≤8.3.设全集I＝R，已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(（x＋3）2≤0))))，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(∁IM)∩N；(2)记集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．解：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，∴(∁IM)∩N＝{2}．(2)A＝(∁IM)∩N＝{2}，∵A∪B＝A，∴BA，∴B＝或B＝{2}，当B＝时，a－1>5－a，∴a>3；当B＝{2}时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＝2，,5－a＝2，))解得a＝3.综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．4.设全集U＝R，函数f(x)＝lg(|x＋1|＋a－1)(a＜1)的定义域为A，集合B＝{x|cosπx＝1}．若(∁UA)∩B恰好有2个元素，求a的取值集合．解：|x＋1|＋a－1＞0|x＋1|＞1－a，当a＜1时，1－a＞0，∴x＞－a或x＜a－2，∴A＝(－∞，a－2)∪(－a，＋∞)．∵cosπx＝1，∴πx＝2kπ，∴x＝2k(k∈Z)，∴B＝{x|x＝2k，k∈Z}．当a＜1时，∁UA＝[a－2，－a]在此区间上恰有2个偶数．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜1，,a≤－a＜2，－2＜a≤0,－4＜a－2≤－2)).1.集合的运算结果仍然是集合．进行集合运算时应当注意：(1)勿忘对空集情形的讨论；(2)勿忘集合中元素的互异性；(3)对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；(4)对于含参数(或待定系数)的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍．2.在集合运算过程中应力求做到“三化”(1)意义化：首先明确集合的元素的意义，它是怎样的类型的对象(数集、点集，图形等)是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？(2)具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．eq\a\vs4\al(请使用课时训练（B）第2课时（见活页）.)

第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(对应学生用书(文)、(理)5～6页)考情分析考点新知了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义．会分析四种命题的相互关系.会判断必要条件、充分条件与充要条件.能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不做要求).能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.(选修11P20第4(1)题改编)命题“若a、b、c成等比数列，则ac＝b2”的逆否命题是________________________________________________________________________答案：若ac≠b2，则a、b、c不成等比数列2.(选修11P20第6题改编)若命题p的否命题为q，命题q的逆否命题为r，则p与r的关系是__________．答案：互为逆命题3.(选修11P20第7题改编)已知p、q是r的充分条件，r是s的充分条件，q是s的必要条件，则s是p的__________条件．答案：必要不充分4.(原创)写出命题“若x＋y＝5，则x＝3且y＝2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假答案：逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5.是真命题．否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2.是真命题．逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5.是假命题．5.下列命题中的真命题有________．(填序号)①x∈R，x＋eq\f(1,x)＝2；②x∈R，sinx＝－1；③x∈R，x2>0；④x∈R，2x>0.答案：①②④解析：对于①，x＝1时，x＋eq\f(1,x)＝2，正确；对于②，当x＝eq\f(3π,2)时，sinx＝－1，正确；对于③，x＝0时，x2＝0，错误；对于④，根据指数函数的值域，正确．6.命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：____________________________．答案：所有的三角形都不是等边三角形1.四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2.充分条件与必要条件(1)如果pq，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果pq，且qp，那么称p是q的充要条件，记作pq.(3)如果pq，qeq\a\vs4\al(/)p，那么称p是q的充分不必要条件．(4)如果qp，pq，那么称p是q的必要不充分条件．(5)如果p/q，且q/p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3.简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(3)对一个命题p全盘否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(4)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4.全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2)存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“x”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．5.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x)x∈M，p(x)；x∈M，p(x)x∈M，p(x).[备课札记]题型1否命题与命题否定例1(1)命题“若a＞b，则2a＞2b－1(2)命题：“若x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”是____(填“真”或“假”)(3)命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则p是____________________．答案：(1)若a≤b，则2a≤2b－1(2)真(3)解析：(2)很可能许多同学会认为它是假命题原因为当m＝0时显然方程有根，其实不然，由x2＋x－m＝0没实根可推得m<－eq\f(1,4)，而{m|m<－eq\f(1,4)}是{m|m≤0}的真子集，由m<－eq\f(1,4)可推得m≤0，故原命题为真，而它的逆否命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”显然为真，其实用逆否命题很容易判断它是真命题．(3)p为“对任意x∈A，有p(x)不成立”，它恰与全称性命题的否定命题相反．eq\a\vs4\al(变式训练)把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题．(1)正三角形的三个内角相等；(2)已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.解：(1)原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等．逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形．否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形．(2)原命题：已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.逆命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b且c＝d.否命题：已知a、b、c、d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d.逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b，c与d不都相等．题型2充分必要条件例2已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：p：x2－8x－20＞0，得x＜－2或x＞10，设A＝{x|x＜－2或x＞10}，q：x2－2x＋1－m2＞0，得x＜1－m，或x＞1＋m，设B＝{x|x＜1－m或x＞1＋m}．∵p是q的必要非充分条件，∴B真包含于A，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2,1＋m≥10))m≥9.∴实数m的取值范围为m≥9.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)下列四个结论正确的是________．(填序号)①“x≠0”是“x＋|x|>0”②已知a、b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab>0；③“a>0，且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是R”④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件答案：①③解析：①因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如x＝－1，x＋|x|＝0，而x＋|x|>0x≠0，故①正确；因为a＝0时，也有|a＋b|＝|a|＋|b|，故②错误，正确的应该是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充分不必要条件是ab>0；由二次函数的图象可知③正确；x＝－1时，有x2＝1，故④错误，正确的应该是“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件题型3全称命题与存在性命题的否定例3命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是________________________________．答案：存在一个不能被2整除的整数不是奇数eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________________________________．答案：所有能被2整除的整数都不是奇数题型4求参数范围例4已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．解：由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，显然a≠0，∴x＝－eq\f(2,a)或x＝eq\f(1,a).∵x∈[－1，1]，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))≤1或eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))≤1，∴|a|≥1.由题知命题q“只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0”即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2，∴当命题“p或q”为真命题时|a|≥1或a＝0.∵命题“p或q”为假命题，∴a的取值范围为{a|－1<a<0或0<a<1}．eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知命题p：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立．若p∨q是真命题，求实数a的取值范围．解：∵命题p：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增，∴0<a<1.又命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立，∴a＝2或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）<0，))即－2<a≤2.∵p∨q是真命题，∴a的取值范围是－2<a≤2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是___________________________________________________．答案：存在一个能被2整除的数不是偶数2.设α、β为两个不同的平面，直线lα，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的________条件．答案：充分不必要解析：根据定理知由l⊥β可以推出α⊥β.反之不成立，仅当l垂直于α、β的交线时才成立．3.“若a＋b为偶数，则a、b必定同为奇数或偶数”的逆否命题为______________________________．答案：若a、b不同为奇数且不同为偶数，则a＋b不是偶数4．已知命题p1：函数y＝ln(x＋eq\r(1＋x2))，是奇函数，p2：函数y＝xeq\s\up6(\f(1,2))为偶函数，则下列四个命题：①p1∨p2；②p1∧p2；③(p1)∨p2；④p1∧(p2)．其中，真命题是________．(填序号)答案：①④解析：由函数的奇偶性可得命题p1为真命题，命题p2为假命题，再由命题的真假值表可得②③为假，①④为真．1.若a、b为实数，则“0<ab<1”是“b<eq\f(1,a)”的________条件．答案：既不充分也不必要解析：0<ab<1，a、b都是负数时，不能推出b<eq\f(1,a)；同理b<eq\f(1,a)也不能推出0<ab<1.2.在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________答案：2解析：若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)＝2.3.设命题p：关于x的不等式2|x－2|<a的解集为；命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的值域是R.如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．解：由不等式2|x－2|<a的解集为得a≤1.由函数y＝lg(ax2－x＋a)的值域是R知ax2－x＋a要取到所有正数，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ＝1－4a2≥0))0<a≤eq\f(1,2)或a＝0即0≤a≤eq\f(1,2).由命题p和q有且仅有一个正确得a的取值范围是(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).4.设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn＝an－an＋2，cn＝an＋2an＋1＋3an＋2(n＝1，2，3，…)，求证：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)．证明：必要性：设{an}是公差为d1的等差数列，则bn＋1－bn＝(an＋1－an＋3)－(an－an＋2)＝(an＋1－an)－(an＋3－an＋2)＝d1－d1＝0，所以bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)成立．又cn＋1－cn＝(an＋1－an)＋2(an＋2－an＋1)＋3(an＋3－an＋2)＝d1＋2d1＋3d1＝6d1(常数)(n＝1，2，3，…)，所以数列{cn}为等差数列．充分性：设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)．∵cn＝an＋2an＋1＋3an＋2，①∴cn＋2＝an＋2＋2an＋3＋3an＋4，②①－②，得cn－cn＋2＝(an－an＋2)＋2(an＋1－an＋3)＋3(an＋2－an＋4)＝bn＋2bn＋1＋3bn＋2.∵cn－cn＋2＝(cn－cn＋1)＋(cn＋1－cn＋2)＝－2d2，∴bn＋2bn＋1＋3bn＋2＝－2d2，③从而有bn＋1＋2bn＋2＋3bn＋3＝－2d2，④④－③，得(bn＋1－bn)＋2(bn＋2－bn＋1)＋3(bn＋3－bn＋2)＝0.⑤∵bn＋1－bn≥0，bn＋2－bn＋1≥0，bn＋3－bn＋2≥0，∴由⑤得bn＋1－bn＝0(n＝1，2，3，…)．由此不妨设bn＝d3(n＝1，2，3，…)，则an－an＋2＝d3(常数)．由此cn＝an＋2an＋1＋3an＋2cn＝4an＋2an＋1－3d3，从而cn＋1＝4an＋1＋2an＋2－5d3，两式相减得cn＋1－cn＝2(an＋1－an)－2d3，因此an＋1－an＝eq\f(1,2)(cn＋1－cn)＋d3＝eq\f(1,2)d2＋d3(常数)(n＝1，2，3，…)，∴数列{an}为等差数列．1.在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．2.充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．3.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；(3)p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．请使用课时训练(A)第3课时(见活页)．[备课札记]第二章函数与导数第1课时函数及其表示(对应学生用书(文)、(理)7～8页)考情分析考点新知①本节是函数部分的起始部分，以考查函数概念、三要素及表示法为主，同时考查学生在实际问题中的建模能力.②本节内容曾以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的解析式仍会是2015年高考的重要题型．理解函数的概念，了解构成函数的要素.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用1.(必修1P24练习5改编)若f(x)＝x－x2，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________，f(n＋1)－f(n)＝________．答案：eq\f(1,4)－2n2.(必修1P29习题8改编)若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：x1234x1234f(x)2341g(x)2143则f(g(1))＝____________，满足g(f(x))＝1的x值是________．答案：31解析：f(g(1))＝f(2)＝3；由g(f(x))＝1，知f(x)＝2，所以x＝1.3.(必修1P31练习4)下列图象表示函数关系y＝f(x)的有________．(填序号)答案：①④解析：根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应．4.(必修1P31练习3改编)用长为30cm的铁丝围成矩形，若将矩形面积S(cm2)表示为矩形一边长x(cm)的函数，则函数解析式为____________，其函数定义域为______________答案：S＝x(15－x)x∈(0，15)解析：矩形的另一条边长为15－x，且x>0，15－x>0.5.(必修1P32习题7改编)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)＝a，则实数a＝________．答案：eq\f(2,3)或－1解析：若a≥0，则1－eq\f(1,2)a＝a，得a＝eq\f(2,3)；若a<0，则eq\f(1,a)＝a，得a＝－1.1.函数的定义一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的一个元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A．2.函数的三要素函数的构成三要素为定义域、值域、对应法则．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．3.函数的表示方法表示函数的常用方法有列表法、解析法、图象法．4.分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．5.映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．[备课札记]题型1函数的概念例1判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数．(1)A＝B＝N*，对应法则f：x→y＝|x－3|，x∈A，y∈B；(2)A＝[0，＋∞)，B＝R，对应法则f：x→y，这里y2＝x，x∈A，y∈B；(3)A＝[1，8]，B＝[1，3]，对应法则f：x→y，这里y3＝x，x∈A，y∈B；(4)A＝{(x，y)|x、y∈R}，B＝R，对应法则：对任意(x，y)∈A，(x，y)→z＝x＋3y，z∈B.解：(1)对于A中的元素3，在f的作用下得到0，但0不属于B，即3在B中没有元素与之对应，所以不是函数．(2)集合A中的一个正数在集合B中有两个元素与之对应，所以不是函数．(3)由y3＝x，即y＝eq\r(3,x)，因为A＝[1，8]，B＝[1，3]，对应法则f：x→y，符合函数对应．(4)由于集合A不是数集，所以此对应法则不是函数．eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)下列说法正确的是______________．(填序号)①函数是其定义域到值域的映射；②设A＝B＝R，对应法则f：x→y＝eq\r(x－2)＋eq\r(1－x)，x∈A，y∈B，满足条件的对应法则f构成从集合A到集合B的函数；③函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点有且只有1个；④映射f：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x，则这样的映射f共有1个．答案：①④解析：②中满足y＝eq\r(x－2)＋eq\r(1－x)的x值不存在，故对应法则f不能构成从集合A到集合B的函数；③中函数y＝f(x)的定义域中若不含x＝1的值，则其图象与直线x＝1没有交点．题型2函数的解析式例2求下列各题中的函数f(x)的解析式．(1)已知f(eq\r(x)＋2)＝x＋4eq\r(x)，求f(x)；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，求f(x)；(3)已知函数y＝f(x)满足2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)；(4)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．解：(1)(解法1)设t＝eq\r(x)＋2，则eq\r(x)＝t－2，即x＝(t－2)2，∴f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4，∴f(x)＝x2－4(x≥2)．(解法2)∵f(eq\r(x)＋2)＝(eq\r(x)＋2)2－4，∴f(x)＝x2－4(x≥2)．(2)设t＝eq\f(2,x)＋1，则x＝eq\f(2,t－1)，∴f(t)＝lgeq\f(2,t－1)，即f(x)＝lgeq\f(2,x－1)(x>1)．(3)由2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2x，①将x换成eq\f(1,x)，则eq\f(1,x)换成x，得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\f(2,x)，②①×2－②，得3f(x)＝4x－eq\f(2,x)，得f(x)＝eq\f(4,3)x－eq\f(2,3x).(4)∵f(x)是二次函数，∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋2x，整理，得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，由恒等式原理，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－2＝0，,a＋b＝0))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))∴f(x)＝x2－x＋1.eq\a\vs4\al(变式训练)求下列函数f(x)的解析式．(1)已知f(1－x)＝2x2－x＋1，求f(x)；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)；(3)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；(4)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．解：(1)(换元法)设t＝1－x，则x＝1－t，∴f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t2－3t＋2，∴f(x)＝2x2－3x＋2.(2)(配凑法)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋2，∴f(x)＝x2＋2.(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.∵f(f(x))＝4x－1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－\f(1,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝1，))∴f(x)＝2x－eq\f(1,3)或f(x)＝－2x＋1.(4)(消去法)当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②由①②消去f(－x)得，f(x)＝eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)，x∈(－1，1)．题型3分段函数例3已知实数a≠0，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1.))(1)若a＝－3，求f(10)，f(f(10))的值；(2)若f(1－a)＝f(1＋a)，求a的值．解：(1)若a＝－3，则f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3，x<1，,－x＋6，x≥1.))所以f(10)＝－4，f(f(10))＝f(－4)＝－11.(2)当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－eq\f(3,2)，不合，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－eq\f(3,4)，符合．综上可知，a＝－eq\f(3,4).eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)画出y＝f(x)的图象．解：(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4))，,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4<x≤8))，,－2x＋24\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8<x≤12)).))(2)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的图象如图．1.(2013·扬州期末)若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x，x≤0，,log2x，x>0，))则f(f(0))＝________．答案：0解析：f(0)＝30＝1，f(f(0))＝f(1)＝log21＝0.2.(2013·南通一模)定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝4x，则f(2013)＝________．答案：eq\f(1,4)解析：由已知，f(x)是以2为周期的周期函数，故f(2013)＝f(－1)＝4－1＝eq\f(1,4).3.(2013·连云港期末)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，x∈[0，1]，,x，x[0，1]，))则使f(f(x))＝2成立的实数x的集合为________．答案：{x|0≤x≤1或x＝2}解析：当x∈[0，1]时，f(f(x))＝f(2)＝2成立；当x[0，1]时，f(f(x))＝f(x)＝x，要使f(f(x))＝2成立，只需x＝2.综上，实数x的集合为{x|0≤x≤1或x＝2}．4.(2013·苏南四市一模)已知函数f(x)＝eq\f(x,x＋1)＋eq\f(x＋1,x＋2)＋eq\f(x＋2,x＋3)＋eq\f(x＋3,x＋4)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＋\r(2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)－\r(2)))＝________．答案：8解析：因为f(x)＝eq\f(x,x＋1)＋eq\f(x＋1,x＋2)＋eq\f(x＋2,x＋3)＋eq\f(x＋3,x＋4)＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)＋\f(1,x＋2)＋\f(1,x＋3)＋\f(1,x＋4))).设g(x)＝eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,x＋2)＋eq\f(1,x＋3)＋eq\f(1,x＋4)，则g(－5－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋4)＋\f(1,x＋3)＋\f(1,x＋2)＋\f(1,x＋1)))，所以g(x)＋g(－5－x)＝0，从而f(x)＋f(－5－x)＝8，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＋\r(2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)－\r(2)))＝8.1.已知函数f(x)＝alog2x－blog3x＋2，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2014)))＝4，则f(2014)的值为________．答案：0解析：∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2014)))＝alog2eq\f(1,2014)－blog3eq\f(1,2014)＋2＝－(alog22014－blog32014)＋2＝4，∴f(2014)＝alog22014－blog32014＋2＝(－2)＋2＝0.2.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0，))则满足不等式f(f(x))>1的x的取值范围是________．答案：(4，＋∞)解析：当x≤0时，2x∈(0，1]，f(f(x))＝log22x＝x>1，不符合；当0<x≤1时，log2x≤0，f(f(x))＝2log2x＝x>1，不符合；当x>1时，log2x>0，f(f(x))＝log2(log2x)>1，解得x>4.3.集合M＝{f(x)|存在实数t使得函数f(x)满足f(t＋1)＝f(t)＋f(1)}，则下列函数(a、b、c、k都是常数)：①y＝kx＋b(k≠0，b≠0)；②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；③y＝ax(0<a<1)；④y＝eq\f(k,x)(k≠0)；⑤y＝sinx.其中属于集合M的函数是________．(填序号)答案：②⑤解析：对于①，由k(t＋1)＋b＝kt＋b＋k＋b，得b＝0，矛盾，不符合；对于②，由a(t＋1)2＋b(t＋1)＋c＝at2＋bt＋c＋a＋b＋c，得t＝eq\f(c,2a)，符合题意；对于③，由at＋1＝at＋a1，所以at＝eq\f(a,a－1)，由于0<a<1，at＝eq\f(a,a－1)<0，无解；对于④，由eq\f(k,t＋1)＝eq\f(k,t)＋k，无解；对于⑤，由sin(t＋1)＝sint＋sin1，取t＝2kπ，k∈Z，符合题意．综上，属于集合M的函数是②⑤.4.已知f(x)为二次函数，不等式f(x)＋2＜0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))，且对任意α、β∈R恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，求函数f(x)的解析式．解：设f(x)＝a(x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))－2(a＞0)，∵函数f(x)对任意α、β∈R恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，取sinα＝1，cosβ＝－1，则f(1)≤0与f(1)≥0同时成立，∴f(1)＝0，∴a＝eq\f(3,2)，∴f(x)＝eq\f(3,2)x2＋x－eq\f(5,2).1.函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射；而映射不一定是函数从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射不是函数．2.函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．3.函数解析式的求解方法通常有：配凑法，换元法，待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法体现的方程思想，即根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．eq\a\vs4\al(请使用课时训练（B）第1课时（见活页）.)[备课札记]

第2课时函数的定义域和值域(对应学生用书(文)、(理)9～10页)考情分析考点新知①函数的定义域是研究一切函数的源头，求各种类型函数的定义域是高考中每年必考的试题.②函数的值域和最值问题也是高考的必考内容，一般不会对值域和最值问题单独命题，主要是结合其他知识综合考查，特别是应用题；再就是求变量的取值范围，主要是考查求值域和最值的基本方法．会求简单函数的定义域.掌握求函数值域与最值的常用方法.③能运用求值域与最值的常用方法解决实际问题.1.(必修1P27练习6改编)函数f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)的定义域为________．答案：{x|x≥－1且x≠2}2.(必修1P27练习7改编)函数f(x)＝(x－1)2－1，x∈{－1，0，1，2，3}的值域是________．答案：{－1，0，3}解析：f(－1)＝f(3)＝3，f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝－1，则所求函数f(x)的值域为{－1，0，3}．3.(必修1P31习题3改编)函数f(x)＝eq\f(2x,5x＋1)的值域为____________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y≠\f(2,5)))解析：由题可得f(x)＝eq\f(2x,5x＋1)＝eq\f(2,5)－eq\f(2,5（5x＋1）).∵5x＋1≠0，∴f(x)≠eq\f(2,5)，∴值域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y≠\f(2,5))).4.(原创)下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________．(填序号)①f(x)＝x0，g(x)＝eq\f(1,x)；②f(x)＝eq\f(x,\r(x))，g(x)＝eq\r(x)；③f(x)＝x2，g(x)＝(eq\r(x))4；④f(x)＝|x|，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0.))答案：④解析：两个函数是否为同一函数，主要是考查函数三要素是否相同，而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的，故只须判断定义域和对应法则是否相同，④符合．5.(必修1P36习题13改编)已知函数f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域为[－1，3]，则b－a的取值范围是________．答案：[2，4]解析：f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为x∈[a，b]的值域为[－1，3]，所以当a＝－1时，1≤b≤3；当b＝3时，－1≤a≤1，所以b－a∈[2，4]．1.函数的定义域(1)函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合．(2)求定义域的步骤①写出使函数式有意义的不等式(组)．②解不等式组．③写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)．(3)常见基本初等函数的定义域①分式函数中分母不等于零．②偶次根式函数、被开方式大于或等于0.③一次函数、二次函数的定义域为R．④y＝ax，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R．⑤y＝tanx的定义域为{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．⑥函数f(x)＝xa的定义域为{x|x≠0}．2.函数的值域(1)在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2)基本初等函数的值域①y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[eq\f(4ac－b2,4a)，＋∞)；当a<0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))．③y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域为{y|y≠0}．④y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．⑤y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R．⑥y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1，1]．⑦y＝tanx的值域是R．3.最大(小)值一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值．[备课札记]

题型1求函数的定义域例1求下列函数的定义域：(1)y＝eq\f(1,2－|x|)＋lg(3x＋1)；(2)y＝eq\f(\r(4－x2),ln（x＋1）).解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－|x|≠0，,3x＋1>0))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≠－2且x≠2，,x>－\f(1,3)，))解得x>－eq\f(1,3)且x≠2，所求函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,3)且x≠2)))).(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（x＋1）≠0，,4－x2≥0))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>－1且x≠0，,－2≤x≤2，))解得－1<x<0或0<x≤