安徽省合肥市巢湖市汇文实验学校2023-2024学年数学高一下期末达标检测试题含解析

安徽省合肥市巢湖市汇文实验学校2023-2024学年数学高一下期末达标检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，则的值为（）A． B． C． D．22．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯A．81盏 B．112盏 C．162盏 D．243盏3．已知向量=(3，4)，=(2，1)，则向量与夹角的余弦值为()A． B． C． D．4．已知等差数列中，若，则取最小值时的（）A．9 B．8 C．7 D．65．把直线绕原点逆时针转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角度（）．A． B． C． D．6．若实数满足约束条件，则的最大值是（）A． B．0 C．1 D．27．设向量，且，则实数的值为（）A． B． C． D．8．直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（）A．1 B． C． D．29．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A． B． C． D．10．圆锥的高和底面半径之比，且圆锥的体积，则圆锥的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．己知数列满足就：，，若，写出所有可能的取值为______.12．展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________．13．某企业利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，编号分别为001,002,003，…，800从中抽取20个样本，如下提供随机数表的第行到第行：若从表中第6行第6列开始向右依次读取个数据，则得到的第个样本编号是_______.14．已知是等差数列,,,则的前n项和______.15．sin750°=16．已知等差数列的前项和为，若，则=_______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆经过（2，5），（﹣2，1）两点，并且圆心在直线yx上.（1）求圆的标准方程；（2）求圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离.18．如图，三棱锥中，，、、、分别是、、、的中点.（1）证明：平面；（2）证明：四边形是菱形19．如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点C､D为弧AB上的动点，且，记，四边形ABCD的面积为.（1）求函数的表达式及定义域；（2）求的最大值及此时的值20．已知不共线的向量，，，.（1）求与的夹角的余弦值；（2）求.21．的内角所对的边分别为，向量，若.（1）求角的大小；（2）若，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据两角和的正切公式，结合，可以求出的值，用同角的三角函数的关系式中的平方和关系把等式变成分子、分母的齐次式形式，最后代入求值即可.【详解】..故选：B【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正切公式，考查了数学运算能力.2、D【解析】

从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为1．由等比数列的知识可得．【详解】从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为a1,a2,a3故选D．【点睛】本题考查等比数列的应用，解题关键是根据实际意义构造一个等比数列，把问题转化为等比数列的问题．3、A【解析】

由向量的夹角公式计算．【详解】由已知，，．∴．故选A．【点睛】本题考查平面向量的数量积，掌握数量积公式是解题基础．4、C【解析】

是等差数列，先根据已知求出首项和公差，再表示出，由的最小值确定n。【详解】由题得，，解得，那么，当n=7时，取到最小值-49.故选：C【点睛】本题考查等差数列前n项和，是基础题。5、B【解析】

根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角。【详解】解析：由题意，设切线为，∴.∴或.∴时转动最小．∴最小正角为.故选B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题。6、C【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标代入目标函数即可得解.【详解】作出可行域如图，设，联立，则，，当直线经过点时，截距取得最小值，取得最大值.故选：C【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题.7、D【解析】

根据向量垂直时数量积为0，列方程求出m的值．【详解】向量，（m+1，﹣m），当⊥时，•0，即﹣（m+1）﹣2m＝0，解得m．故选D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了向量垂直的条件转化，是基础题．8、D【解析】

先求得切线方程，然后用点到直线距离减去半径可得所求的最小值．【详解】圆在点处的切线为，即，点是圆上的动点，圆心到直线的距离，∴点到直线的距离的最小值等于．故选D．【点睛】圆中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题．此类问题是基础题.9、B【解析】试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，则，或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，，．故选B．考点：异面直线所成的角．【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来．如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段．10、D【解析】

根据圆锥的体积求出底面圆的半径和高,求出母线长，即可计算圆锥的表面积．【详解】圆锥的高和底面半径之比，∴，又圆锥的体积，即，解得；∴，母线长为，则圆锥的表面积为．故选：D．【点睛】本题考查圆锥的体积和表面积公式，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】（1）若为偶数，则为偶,故①当仍为偶数时，故②当为奇数时，故得m=4。（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数，所以=1可得m=512、【解析】令，则，即，因为的展开式的通项为，所以展开式中常数项为，即常数项为.点睛：本题考查二项式定理；求二项展开式的各项系数的和往往利用赋值法（常赋值为）,还要注意整体赋值，且要注意展开式各项系数和二项式系数的区别.13、1【解析】

根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可．【详解】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，1合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，1，则第6个编号为1，故答案为1．【点睛】本题考查了简单随机抽样中的随机数表法，主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．本题属于基础题．14、【解析】

由，可求得公差d，进而可求得本题答案.【详解】设等差数列的公差为d，由题，有，解得，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式，属基础题.15、1【解析】试题分析：由三角函数的诱导公式得sin750°=【考点】三角函数的诱导公式【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．16、【解析】

利用等差数列前项和，可得；利用等差数列的性质可得，然后求解三角函数值即可．【详解】等差数列的前项和为，因为，所以；又，所以．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的前项和公式和等差数列的性质的应用，熟练掌握和若，则是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16（2）1【解析】

（1）先求出圆心的坐标和圆的半径，即得圆的标准方程；（2）求出圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离即得解.【详解】（1）A（2，5），B（﹣2，1）中点为（0，3），经过A（2，5），B（﹣2，1）的直线的斜率为，所以线段AB中垂线方程为，联立直线方程y解得圆心坐标为（2，1），所以圆的半径.所以圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16.（2）圆的圆心为（2，1），半径r＝4.圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离d.则圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离为d﹣r＝1.【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求法和圆上的点到直线的距离的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18、(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】

（1）根据等腰三角形的性质，证得,由此证得平面.（2）先根据三角形中位线和平行公理，证得四边形为平行四边形，再根据已知,证得，由此证得四边形是菱形.【详解】解（1）因为，是的中点，所以因为，是的中点，所以又，平面，平面所以平面（2）因为、分别是、的中点所以且同理且所以且，即四边形为平行四边形又，所以所以四边形是菱形.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查证明四边形是菱形的方法，考查等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19、（1）（2）当时，取最大值.【解析】

（1）取OE与DC､AB的交点分别为M､N，在中，分别求出，，再利用梯形的面积公式求解即可；（2）令，则，，再求最值即可.【详解】解：（1），OE与DC､AB的交点分别为M､N，由已知可知，在中，.，，梯形ABCD的高，则.（2）设，则，，则，，则.，当时，，此时，即，，，，故.故的最大值为，此时.【点睛】本题考查了三角函数的应用，重点考查了运算能力，属中档题20、（1）；（2）.【解析】

（1）先计算出，再代入公式，求出余弦