可靠性工程之可修复系统的可靠性

回顾复习维修度M(τ)对可修产品在发生故障或失效后，在规定的条件下和规定的时间（0,τ）内完成修复的概率。修复率μ(τ)修理时间已达到某个时刻但尚未修复的产品，在该时刻后的单位时间内完成修复的概率。有效度A(t)可维修产品在某时刻t具有或维持其功能的概率。第三章可修复系统的可靠性3.1马尔可夫过程3.2状态转移图3.3n步转移后系统各状态概率3.4单部件可修系统3.5串联可修系统3.6并联可修系统引言

可修复系统的组成单元发生故障后，经过修理可以使系统恢复至正常工作状态，如下图所示。如果工作时间和修复时间都服从指数分布，就可以借助马尔可夫过程来描述。3.1马尔可夫过程马尔可夫过程定义 马尔可夫过程是一类“后效性”的随机过程。简单地说，在这种过程中系统将来的状态只与现在的状态有关，而与过去的状态无关。或者说，若已知系统在t0时刻所处的状态，那么t>t0时的状态仅与时刻t0的状态有关。3.1马尔可夫过程马尔可夫过程的数学描述

设{x(t),t≥0}是取值在E={0,1,2,…}或E={0,1,2,…,N}上的一个随机过程。若对任意n个时刻点0≤t1<t2<…<tn均有: P{x(tn)=in|x(t1)=i1,x(t2)=i2,…,x(tn-1)=in-1}

=P{x(tn)=in|x(tn-1)=in-1}i1,i2,…,in∈E

则称{x(t),t≥0}为离散状态空间E上连续时间马尔可夫过程。

3.1马尔可夫过程齐次马尔可夫过程 如果对任意t,u≥0,均有

P{x(t+u)=j|x(u)=i}=Pij(t)i,j∈E

与始点u无关，则称该马尔可夫过程是齐次的。 或者，齐次马尔可夫过程如果马尔可夫过程的转移概率函数或转移概率密度,只与转移前后的状态及相应的二个时刻的时间差有关，而与二个时刻无关，即

F(x2;t2|x1;t1)=F(x2|x1;t2-t1)

f(x2;t2|x1;t1)=f(x2|x1;t2-t1)称具有这种特性的马尔可夫过程为齐次马尔可夫过程。3.1马尔可夫过程齐次马氏过程的性质 可以证明，对系统寿命以及故障后的修复时间均服从指数分布时，则系统状态变化的随机过程{x(t),t≥0}是一个齐次马尔可夫过程。(2)式中对j求和,是对状态空间I的所有可能状态进行的

3.1马尔可夫过程

3.1马尔可夫过程

3.1马尔可夫过程转移矩阵

Pij(t)称为从状态i到状态j的转移函数，由转移函数的全体组成的矩阵称为转移矩阵。如对n个状态系统的转移矩阵为n×n阶方阵，可写为：

性质（2）说明一步转移概率矩阵中任一行元素之和为1.通常称满足(1)、(2)性质的矩阵为随机矩阵.3.1马尔可夫过程三条假设

，

为常数(即寿命和维修时间服从指数分布)部件和系统取正常和故障两种状态。在相当小的

t内，发生两个或两个以上部件同时进行状态转移的概率是

t的高阶无穷小，此概率可以忽略不计。3.1马尔可夫过程

3.2状态转移图例1

如一台机器，运行到某一时刻t时，可能的状态为：e1－正常；e2－故障。如机器处于e1状态的概率P11=4/5,则e1向e2转移的概率P12=1－P11=1/5；反过程，如机器处于e2状态，经过一定时间的修复返回e1状态的概率是3/5，P21=3/5(维修度M(

));则修不好仍处于e2状态的概率是P22=1－P21=2/5.3.2状态转移图由此可写出系统的转移矩阵为:转移矩阵Pij也表示事件ei

发生的条件下，事件ej发生的条件概率：Pij=P(ej|ei)；矩阵P:行是起始状态，由小到大；列是到达状态，由小到大排列，建立P时应与转移图联系起来。3.2状态转移图例2

对于一可修系统，失效率和修复率λ、μ为常数，试画出状态转移图：

e1——正常；e2——故障。3.2状态转移图由此可写出：

通常令Δt=1,则有由此可知，状态转移图是求解(写出)转移矩阵的基础。此时转移矩阵P也称为微系数矩阵马尔可夫链的概念及转移概率例排队模型设服务系统,由一个服务员和只可能容纳两个人的等候室组成.服务规则:先到先服务,后来者需在等候室依次排队.假定需要服务的顾客到达系统,发现系统内已有3个顾客(1个在接受服务,2个在等候室排队),则该顾客即离去.设时间间隔Δt内有一个顾客进入系统的概率为q,有一原来被服务的顾客离开系统(即服务完毕)的概率为p.又设当Δt充分小,在时间间隔内多于一个顾客进入或离开系统实际上是不可能的等候室服务台系统离去者随机到达者马尔可夫链的概念及转移概率再设有无顾客来到与服务是否完毕是相互独立的.如何用马氏链描述这一服务系统?

设Xn≡X(nΔt),表示时间nΔt时系统内的顾客数。则{Xn,n=0,1,2,…}是随机过程,状态空间I={0,1,2,3}.由于当Xn=i,i∈I已知时,Xn+1所处的状态概率分布只与Xn=i有关,而与时间nΔt以前所处的状态无关,所以该随机过程是一个齐次马氏链.怎样计算此马氏链的一步转移概率?记p00:在系统内没有顾客的条件下,经Δt后仍无顾客的概率,p00=1-q.马尔可夫链的概念及转移概率p01:在系统内没有顾客的条件下,经Δt后有一顾客进入系统的概率,p01=q.p10:系统内恰有一顾客正在接受服务的条件下,经Δt后系统内无人进入的概率,等于在Δt间隔内顾客因服务完毕而离去,且无人进入系统的概率,p10=p(1-q).p11:系统内恰有一顾客的条件下,在Δt间隔内,因服务完毕而离去,而另一顾客进入系统,或者正在接受服务的顾客将继续要求服务,且无人进入系统的概率,p11=pq+(1-p)(1-q).马尔可夫链的概念及转移概率p12:正在接受服务的顾客将继续要求服务,且另一顾客进入系统的概率,p12=q(1-p).p13:正在接受服务的顾客继续要求服务,且在Δt间隔内有两个顾客进入系统的概率.由假设这种情况是不可能发生的,p13=0.系统内有一顾客正在接受服务,有一顾客在排队,在Δt间隔内顾客因服务完毕离去,无顾客进入;以及系统内有一顾客正在接受服务,有两顾客正在排队,在Δt间隔内顾客因服务完毕离去,再无顾客进入的概率相等,故有p21=p32=p(1-q).马尔可夫链的概念及转移概率系统内有2顾客,其中一人接受服务,在Δt间隔内,因服务完毕而离去,而另一顾客进入系统,或者正在接受服务的顾客将继续要求服务,且无人进入系统的概率为:p22=pq+(1-p)(1-q).系统内有2顾客,正在接受服务的顾客继续要求服务,且另一顾客进入系统的概率为:p23=q(1-p)，且当|i-j|≥2时,pij=0.马尔可夫链的概念及转移概率p33:系统内有三位顾客,或者一人将离去另一人将进入系统;或者无人离开的概率,p33=pq+(1-p).于是得该马氏链的一步转移概率矩阵:P=.0123

(1-q)q00p(1-q)pq+(1-p)(1-q)q(1-p)00p(1-q)pq+(1-p)(1-q)q(1-p)00p(1-q)pq+(1-p)0123马尔可夫链的概念及转移概率

马尔可夫链的概念及转移概率

p11p12…p1n…p21p22

…p2n

……

…

…

…

…pn1pn2

…pnn

……

…

…

…

…P=Markov过程

C-K方程

3.3n步转移后系统各状态概率设系统初始状态是的概率，由切普曼—柯尔莫哥洛夫方程，可表示为：

式中n=k+l,v

E(状态空间)

此式为由状态i经n步转移到状态j的概率，等于由状态i先经k步转移到状态v，然后由状态v经l步转移到状态j的概率(此处v也可理解为从i到j的通道)。3.3n步转移后系统各状态概率上式中，若令k=1,l=1,由可决定，即由全部一步转移概率可确定全部两步转移概率。若重复上述方法，就可由全部一步转移概率决定所有的转移概率。若用矩阵表示n步转移概率，即，则有：转移矩阵

3.3n步转移后系统各状态概率

一般地，可利用转移概率和系统的初始状态，求出任意转移后系统各状态的概率。公式如下：

式中

P－1步转移概率；－n步转移概率；n－转移步数(次数)；P(0)－系统初始状态向量，P(0)=[P1(0),P2(0)…]Pi(0)－初始t=0时刻系统处于i状态的概率P(n)－n步转移后系统所处状态向量，P(n)=[P1(n),P2(n),…]Pi(n)－n步转移后系统处于i状态的概率3.3n步转移后系统各状态概率例：如下图，已知P(0)=[P1(0),P2(0)]=[1,0],求n=1,2,…等各步(次)转移后系统各状态的概率。图中e1——正常；e2——故障。3.3n步转移后系统各状态概率解：依次求得n=1，n=2，n=3，n=5时的状态矩阵

由此可知，随着n的递增，P1(n)、

P2(n)逐渐趋于稳定。稳定状态概率称为极限概率。3.3n步转移后系统各状态概率本例n

时的极限概率为P1(

)=4/9,P2(

)=5/9,即n

时，将收敛于一个定概率矩阵，即(本例为)：

在实践中常会遇到这样的情况，不管系统的初始状态如何，在经历了一段工作时间后，便会处于相对稳定状态，在数学上称之为各态历经或遍历性。所谓遍历过程就是系统处于稳定状态的概率与初始状态无关的随机过程。具有这种性质的状态转移矩阵称为遍历矩阵。3.3n步转移后系统各状态概率如果转移矩阵P经过n次相乘后，所得矩阵的全部元素都大于0,即(i,j

E),(注：常以此为判断马尔可夫链是否为各态历经的或是否存在极限概率)，则这样的转移矩阵都是遍历矩阵。遍历矩阵一定存在极限概率(或稳定状态)。经过n步转移后的极限状态，就是过程的平稳状态，即使再多转移一步，状态概率也不会有变化，可以求出平稳状态。3.3n步转移后系统各状态概率设平稳状态概率为P(n)=[P1,P2…Pn],P为一步转移概率矩阵，则求平稳状态概率，只需求解以下方程：

或写成：3.3n步转移后系统各状态概率

展开后得：

(j=1,2,…n)

（n个方程只有n-1个是独立的，因此必须再加另一个独立方程。）由此即可求出n个平稳状态概率。

3.3n步转移后系统各状态概率

例：求如图所示系统的平稳状态概率。3.3n步转移后系统各状态概率解：一步转移矩阵为:

设P(n)=[P0

P1]，则

3.4单部件可修系统单部件系统是指一个单元组成的系统(或把整个系统当作一个单元来研究)，部件故障，则系统故障；部件正常，则系统正常。3.4单部件可修系统部件的失效率、修复率分别是常数λ、μ，则：t时刻系统处于工作(正常工作)状态，在t→t+Δt之间内发生故障的条件概率为λΔt(即为)t时刻系统处于故障状态，在t→t+Δt之间即Δt时间内修复好的条件概率为μΔt(即为)3.4单部件可修系统

单部件可修系统状态转移图3.4单部件可修系统上图中:同理:条件概率3.4单部件可修系统上图的转移概率矩阵为:3.4单部件可修系统令下面研究如何求解和首先，利用全概率公式可求出和的表达式3.4单部件可修系统——此即为的计算公式3.4单部件可修系统由上式展开、移项、两边除以若令取极限有：

(1)3.4单部件可修系统同理可得：

(2)(1)、(2)联立即可求出和。(1)、(2)的联立方程称为状态方程3.4单部件可修系统下边求解状态方程对上述(1)、(2)两边取拉氏变换：3.4单部件可修系统假设t=0时系统为正常状态，即，。代入上式3.4单部件可修系统拉氏反变换：3.4单部件可修系统由此瞬态有效度(可用度)：稳态有效度：平均有效度：(0,t)3.4单部件可修系统由上述可归纳出解可修系统有效度的方法步骤如下：(1)画出系统的状态转移图(2)写出转移矩阵(3)令，求出P(也称为转移矩阵)(4)求状态方程系数矩阵AA=P-I（I为与P同阶的单位矩阵，A又称为转移率矩阵）3.4单部件可修系统(5)写出状态方程式式中为各状态概率向量为各状态概率导数向量

(6)求解状态方程通常要给定初始状态，且常用拉氏变换及反变换求解法。3.4单部件可修系统如上例：3.4单部件可修系统得状态方程与前述一致以下即可用拉氏变换法等求解方程3.5串联可修系统n个相同单元组成的串联系统每个单元：λ、μ为常数两种状态：状态0：n个单元全正常，系统正常状态状态1：任一单元故障，系统故障状态因为任一单元故障，系统即停止工作(不会出现两个及以上单元同时故障的情况)3.5串联可修系统n个相同单元组成的串联系统状态转移图3.5串联可修系统用前述方法：3.5串联可修系统状态方程：初始条件：3.5串联可修系统用拉氏变换与反变换可解出：3.5串联可修系统n个不同单元组成的串联系统系统有n+1个状态：状态0：n个单元均正常，系统正常状态状态1：单元1故障，其余正常，系统故障状态2：单元2故障，其余正常，系统故障┋┋┋┋状态n：单元n故障，其余正常，系统故障3.5串联可修系统3.5串联可修系统3.5串联可修系统A=P-I3.5串联可修系统给定初始条件，(用拉氏正、反变换)解此方程组即可求得：(瞬态)有效度：稳态有效度：3.6并联可修系统两个相同单元的并联系统(一组维修人员)

系统有3种状态(λ、μ)0状态—两个单元都正常，系统正常

1状态—任意一个单元故障，系统正常

2状态—两个单元都故障，系统故障3.6并联可修系统13.6并联可修系统

3.6并联可修系统∴状态方程为：假定t=0时系统为0态，则有初始条件P0(0)=1,P1(0)=0,P2(0)=0,用拉普拉斯变换得方程组(s+2

)P0(s)-

P1(s)=1-2

P0(s)+(s+)P1(s)-2

P2(s)

=0-P1(s)+（s+2)P2(s)=03.6并联可修系统给定初始条件，解此方程组可得：P0=?P1=?P2=?3.6并联可修系统两个不同单元并联系统(一组维修人员)

共5个状态：状态0—单元1、2都正常，系统正常状态1—单元1正常，单元2故障，系统正常状态2—单元2正常，单元1故障，系统正常状态3—单元1修理，单元2待修，系统故障状态4—单元2修理，单元1待修，系统故障3.6并联可修系统3.6并联可修系统状态方程：3.6并联系统可用度模型表决系统可用度模型旁联系统可用度模型树立质量法制观念、提高全员质量意识。6月-246月-24Wednesday,June5,2024人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。12:20:4312:20:4312:206/5/202412:20:43PM安全象只弓，不拉它就松，要想保安全，常把弓弦绷。6月-2412:20:4312:20Jun-2405-Jun-24加强交通建设管理，确保工程建设质量。12:20:4312:20:4312:20Wednesday,June5,2024安全在于心细，事故出在麻痹。6月-246月-2412:20:4312:20:43June5,2024踏实肯干，努力奋斗。2024年6月5日12:20下午6月-246月-24追求至善凭技术开拓市场，凭管理增创效益，凭服务树立形象。05六月202412:20:43下午12:20:436月-24严格把控质量关，让生产更加有保障。六月2412:20下午6月-