高考数学 特色题型汇编：多项选择题-复数（原卷及答案）（新高考地区专用）

多项选择题——复数

1.已知复数4对应的向量为,复数与对应的向量为0Z2,下列说法中正确的是（）

A.若IZI+ZJTZI—ZJ2UOZJOZZB.若（04+0Z2）_L（0Z1-0Z2）》IJ|ZJ=Z|

C.若4与Z?在复平面上对应的点关于实轴对称,则=|z/2〔D.若闵=l|,则Z；=Z；

2.已知复数4*2,满足阂•月|=0,下列说法正确的是（）

A.若区若㈤,则Z|2=Z2?B.匕+22区闻+上|

2

C.若z,eR,则」"CRD.忆尼卜㈤㈤

Z2

3.已知复数4*2,则下列说法正确的是（）

A.若㈤引Zzl，则4=±Z2B.若z；=z",则㈤=㈤

C.若㈤>卜|,则Z|>Z2D.若（Z]+Z2）（Z]—Z2）=。，则Z；=z；

4.设复数z=」K（“eR）,当〃变化时，下列结论正确的是（）

A.忖=|司恒成立B.z可能是纯虚数

C.z+,可能是实数D.|z|的最大值为:

ZN

5.已知复数2=上;，则下列各项正确的为（）

A.复数z的虚部为iB.复数z-2为纯虚数

C.复数z的共钝复数对应点在第四象限D.复数z的模为5

6.已知复数z满足方程卜2-4）（Z2-4Z+5）=0,则（）

A.z可能为纯虚数B.方程各根之和为4

C.z可能为2-iD.方程各根之积为-20

7.若Z“Z2为复数,则（）

A.|Z|+Z2|=|Z||+|Z』B.2匐=归上|

C.z/=|zjD.Z|Z|=|z』zJ

8.已知z“z是复数，则下列说法一定正确的有（）

A.若z：+z；＞0,则z；＞-z；B.若z；＞-z；,则z：+z；＞0

C.若z；+z；=O,则4=Z2=0D.若z；+z；＜0,则马也至少有一个是虚数

9.2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过

实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程V=1,

它的两个虚数根分别为（）

———

.1+D1-1+＞/3ic1

A.-----D.-----C.------L）,----------------

2222

10.已知复数Z=-2+i（i为虚数单位）在复平面内的对应的点为A,复数的满足

忆-l+i|=2,Zz在复平面内对应的点8为（x,y）,则下列结论正确的有（）

A.复数4的虚部为iB.（x-l）2+（y+l）2=4

C.I4-Z2I的最大值疝+2D.I4+Z2I的最小值为万-2

11.设/（，）=cose+isin6（i为虚数单位），贝［/（e）=cos26+isin2e,

r（e）=cos36+isin3e,若/"（。）为实数，则6的值可能等于（）

12.已知复数z=Ji不而^+iQ前（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A.复数z在复平面内对应的点坐标为（sin3+cos3,sin3-cos3）

B.z的虚部为ijl-sin6

C.z-z=2D.z.（Jl-sin6+ijl+sin6）为纯虚数

13.欧拉公式e"=cosx+isinx（其中，•为虚数单位，xeR）,是由瑞士著名数学家欧拉

创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在

复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项

能确的是（）

A.复数e2,对应的点位于第三象限B.e与为纯虚数

C.，的共辗复数为1-如i：D.复数针的模长等于;

622＜3+12

14.1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式

e2=cos〃+isind,这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”,

被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（）

Jti

ni_,

A.e7=iB.e」=1

15.下列命题正确的是（）

A.若Z1,Z2为复数，则忆匐胃讣㈤B.若a,人为向量，贝山为卜,固

C.若4*2为复数，且|Z|+Z2|=为-2|,则平2=。

D.若a,b为向量，且卜+匕卜卜-4,则“./7=0

16.已知复数4="2一1+5，Z2=l+（a—l）i（aeR）,若为实数，则下列说法中

正确的有（）

A.|zJ=Vi3

B.Z|Z2=5+5i

C.Z；°为纯虚数D.2对应的点位于第三象限

22

17.设复数z=-1-且i的共期复数为三，则下列选项正确的有（）

22

.-2兀..2兀z1

A.z=cos---i-isin——B.—=—

33z22

33

C.|||=1D.Z+Z=2

18.已知复数z满足方程/2+9）卜2-2z+4）=0,则（）

A.z可能为纯虚数B.该方程共有两个虚根

C.z可能为「后D.该方程的各根之和为2

19.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数

及其运算具有了几何意义，例如同=|。胃，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到

原点的距离.下列说法正确的是（）

A.若忖=1,则2=±1或z=±i

B.复数6+5i与-3+4i分别对应向量0A与08，则向量以对应的复数为9+i

C.若点Z的坐标为（-L1）,则I对应的点在第三象限

D.若复数z满足1W|Z|40,则复数z对应的点所构成的图形面积为万

20.已知复数z满足回=|z-l|=l,且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是

（）

A.复数z的虚部为且iB.|z|2=z-z

2

c.z2=z—1D.复数Z的共枕复数为1-迫4

22

21.已知复数4对应的向量为。4，复数Z2对应的向量为OZ?,则（）

A.若归+z?|=忆-zj,则OZ,±OZ2B.若（％+OZJ±（OZ,-OZ2）,则|z,|=㈤

C.若Z1与Z2在复平面上对应的点关于实轴对称，则Z[Z2=|ZIZ2|

D.若㈤=忆|,则z；=z；

22.欧拉公式e“=cosx+isinx（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著

名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非

常重要的地位，被誉为“数学中的天桥'’依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）

A.复数e专为纯虚数B.复数十对应的点位于第二象限

C.复数e号的共扼复数为立

D.复数e"'3eR）在复平面内对应的点的轨迹是圆

23.若复数z=2+3i,z2=-l+i,其中i是虚数单位，则下列说法正确的是（）

A.心仁氏B.z,"z2=zt-z,

C.若4+帆（加eR）是纯虚数，那么机=一2

—|UUU|

D.若Z1,z?在复平面内对应的向量分别为0403（。为坐标原点），则卜回=5

24.下列四个命题中，真命题为（）

A.若复数z满足zwR,则彳eRB.若复数z满足则zeR

Z

C.若复数z满足Z26R,贝iJzwRD.若复数4,4满足4乌e/?,则Z产用

25.复数z=咎，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

1-1

10

A.|z|=V5B.z的共甄复数为”期

C.z.z=jD.|z-sin6+icos的取值范围是1,--—i-1

26.一个复数集X称为某种运算的“和谐集”是指X满足性质:①XUC；②V“，Z7dx对某

种规定的运算。㊉儿都有。㊉6CX.则下列数集X是相应运算的“和谐集”的是（）

A.X={XGC|X=/W,V/7€Z},其中i是虚数单位，规定运算:〃㊉加u仇（V。，bGX）

B.X={xeC\x-x=}},规定运算:。㊉。=g,（V〃,Z?wX）

b

C.X={XGC||X|<1},规定运算:〃㊉C=ab,（ya,h^X）

D.X={xec||x|+|y|<|x-y|,y=1+,规定运算:〃㊉氏（Vtz,b^X）

27.关于复数2=8$曰+isin等（i为虚数单位），下列说法正确的是（）

A.|z|=lB.）在复平面上对应的点位于第二象限

C.z3=1D.z2+z+1=0

28.设z为复数，则下列命题中正确的是（）

A.|z『=zzB.z2—lz）2

C.若|z|=l,则|z+i|的最大值为2D.若|z-l|=l,则g|z区2

29.意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo,1501-1576）发明了三次方程的代数解

法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：

第一步，把方程f+货+平+斯=0中的x用x-全来替换，得到方程9+px+q=0;

第二步，利用公式*3+,+23-3孙2=（》+旷+2乂尢+69丫+o22）卜+苏丫+32）将

X3+px+q因式分解；

第三步，求得y,z的一组值，得到方程£+px+q=0的三个根：-y-z,-coy-^z,

-c^y-coz（其中0=土色，i为虚数单位）；

第四步，写出方程f+qx+%=。的根：X}=-^-y-z,x2=-^--（oy-arz,

2

X3=-^--69y-69Z.

某同学利用上述方法解方程8/-12Y—42x+55=0时，得到丁的一个值：-1+i,则下

列说法正确的是（）

3।+

A.见二-2B.yz=2C.x2~-2D.=—1—y/3

30.刘徽是我国杰出的数学家，他在263年撰写的《九章算术注》以及后来的〈海岛算

经〉，都是我国宝贵的数学遗产，奠定了他在中国数学史上的不朽地位.其中《九章算

术注》一书记载了刘徽利用圆的内接正多边形来近似计算圆周率的方法，后人称之为“刘

徽割圆术已知单位圆。的内接正”边形A44A”的边长、周长和面积分别为%,

L“,5”，户为正”边形A444边上任意一点，则下列结论正确的是（）

C.d+(2-成J=4D.\PAt+PA2++P小〃

参考答案：

1.ABC

【分析】A.利用复数的几何意义求解判断；B.利用向量的数量积运算求解判断；C.设

21=0+历(4力€11)求解判断;D.举例4=l+i,Z2=l-i判断.

【详解】A.因为忆+z4=|z「Z2|,所以|。4+。囱=|。4-。匐，则

2

|。4+OZ2|=\ozt-ozj,即4。4•OZ?=0,则0Z,±0Z2,故正确；

B.因为(%+%)，(*-啕,所以(鬲+喝件-西)=0,即OZ：=OZ2、则

团=同,故正确；

C.设Z1=a+bi(a,6eR),因为乙与z?在复平面上对应的点关于实轴对称，则

z2=a-b\{a,b&R),所以乎?=〃+0?,以阂=〃，则砧石将],故正确；

D.如4=1+%=1-"满足|z,|=|zj,而z*,故错误;

故选：ABC

2.BD

【分析】对选项A,C,利用特殊值法即可判断A,C错误，对选项B,根据复数模长的性

质即可判断B正确，对选项C,根据复数模长公式即可判断D正确.

【详解】对选项A,设4=l+i,z2=V2i,则闵=团=血，

z：=(l+i)2=2i,zJ=(0i『=-2,不满足Z;=Z22,故A错误.

对选项B,设z“4在复平面内表示的向量分别为4,2,且Z“Z2*0,

当z„z2方向相同时，日+z2HH+"],

当Z1,Z2方向不相同时，＞I+z2k同+同，

综上匕+马归团+㈤,故B正确.

对选项C,设4=]+i,z2=l-ifZ]Z2=(l+i)(l-i)=2eR,

Z1_1+i_0+i)

==i任R，故C错误.

~=Ti(1_i)(i+i)

对选项D,设Z|=a+〃i,z2=c+di,a,b,c,d手。,

z}z2=(a+Ai)(c+M)=(ac-Z?d)+(6zJ+/?c)i,

则［zR=y/(ac—hd)2+(^ad+hc)2=+(bd)2+("d『+(%)~,

|zJ|z2|=\Ja2+h2•\/c2+d2=Q(ac)2+(，)2+(〃d『+(〃­)2=14z2|，

故D正确.

故选：BD

3.BD

【分析】对于A,举例判断，对于B,由复数相等的条件和复数的模的计算分析判断，对于

C,两个虚数无大小关系，对于D,对已知的式子化简变形即可

【详解】对于A,若Z1=l+i,Z2=0i,则满足㈤=上|=血，而不满足4=土马，所以A错

误，

对于B,由Z；=Z；,得Z；-z；=（Z1+Z2）（Z]-Z2）=0,

所以Z1+z?=0或Z1-Z2=0,所以Z|=-z?或4=4，所以㈤=%|，所以B正确，

对于C,因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误，

对于D,由（Z1+Z2）（Z「Z2）=O,得z；-z；=0,所以z；=z；,所以D正确，

故选：BD

4.ABD

【分析】首先根据题意得到z=f7-二Ji,再结合复数的定义和运算性质依次判断选

a2+4a2+4

项即可.

1a-2ia2

【详解】z=^T（a+2i）（”2i）=77rKL

4

2恸=|司=

对选项A,z=/+4,2+4i,S+4）2%2+4广

故A正确.

2

对选项B,"a2+4a2+4,'

z=-gi为纯虚数,

当4=0时,故B正确.

2a2-告

对选项C,ZH-----=-----------------------------i+。+2i=2+6f+

za2+4a2+4tz+4〃+4

令2-告

=0,即02+3=0无解，故C错误.

a~+4

Ii2a-411

对选项D,忖=荷可+万可=/百"小当且仅当。=°时取等号・

所以忖的最大值为9故D正确.

故选：ABD

5.BC

【分析】根据复数除法运算可得z=2+i,结合复数的相关概念理解辨析.

5i5i(l-2i)

【详解】：z=-------=T~、/、=2+i,则可得：

的i+2i(l+2i)(l-2i)

复数z的虚部为1,A错误；

z-2=i为纯虚数，B正确；

复数z的共辗复数为1=2-i，其对应点为(2,-1),在第四象限，C正确；

复数z的模为忖=亚弄=6，D错误；

故选：BC.

6.BCD

【分析】解方程，求出z=±2或z=2土i,从而判断四个选项的正误.

［详解】［±1（22-4）（22-42+5）=0,得Z2-4=0或Z2-4Z+5=0,

即22=4或（2—2）2=—1,

解得：z=±2或z=2±i,显然A错误，C正确；

各根之和为—2+2+（2+i）+（2—i）=4,B正确；

各根之积为-2x2x（2+i）（2-i）=-20,D正确

故选：BCD.

7.BD

【分析】对于A选项，举例判断，设4=l+i,Z2=l-i,分别计算等号左侧与右侧，即可

判断等式是否成立；对于B选项，设4=。+沅，z2=c+dx,计算判断即可；对于C选项,

设4=l+i,令〃=2,则等号左侧为虚数,右侧为实数,二者不等;对于D选项，设4=a+bi,

则[=进而计算判断即可.

【详解】对于A选项，当4=l+i,Z2=l-i时，

22

忆+z2|=|2|=2,|z,|=\/1+1,\z2\=+（-1）-=>/2,

则卜+z2blz^+㈤,故A错误；

对于B选项，当Z]=a+》i,Z2=c+M时，

z,z2=（6f+Z?i）（c+6fi）=（«c-Z?t/）+（（2J+Z?c）i,

则区Z21=yj（ac—bc/）2+^ad+bc\=yja2c2-2abcd-^-b2d2+a2d2-\-2abcd+b2c2

=如+,+”2）,

222

因为|zj={a+b'>|z2|=\/c+d,

则上z21Tzi忆|,故B正确；

对于C选项，若Z1=l+i,当”=2时，z；=2i,

㈤=JMF=JL则即z：*|z/，故C错误；

对于D选项，设4=a+bi,则-历,所以z%=（a+历）（4一加）=42+/,

|zj，|卜+2.“+(_〃)="2+从,即Z|Z|=|z』Z||,故D正确；

故选：BD

8.BD

【分析】根据复数的性质，结合特例法逐一判断即可.

【详解】A：若z：=i,z；=l-i,显然满足z：+z；＞0,但是不满足因此本选项说法

不正确；

B：当z：＞-z：成立时，显然有z：eR,-z；eR,因此本选项说法正确；

C：当马=1,22=1时，显然满足z：+z；=(),但是4=Z2=0不成立，因此本选项说法不正确；

D：当z：+z；＜0成立时，假设小Z2都不是虚数，则它们是实数，显然z：+z；＜0不成立，假

设不成立，因此小马至少有一个是虚数，所以本选项说法正确，

故选：BD

9.CD

【分析】对原方程分解因式，利用求根公式，即可直接求得结果.

【详解】对于方程丁=1,移项因式分解可得：(x-D(V+x+l)=O,x=l为实数根，

要求虚数根，解方程x2+x+i=0即可，解得x=T±'i.

2

故选：CD.

10.BC

【分析】根据复数的概念和几何意义即可求解.

【详解】对于A,由4=-2+i得，虚部为1,故A错误，

对于B,因为，忆―l+i|=2,z?在复平面内对应的点B为(x,y),贝4x-l)+(y+l)i|=2,

所以(x—iy+(y+l)2=4,故B正确，

对于C,由题意知，点8在以为圆心，半径为2的圆周上，

根据复数的几何意义，|明二区-引,

22

所以，\AB\nm=^(-2-1)+(1+1)+2=713+2,故C正确,

对于D,B+Z2|=|(-2+x)+(l+y)i|=J(x-2y+(y+l)2表示点B与定点(2,—1)的距离,易

知点在圆内，所以B+zj“n=2-J(2-iy+(-l+l)2=1,故D错误.

故选：BC.

11.AC

【分析】由已知r°(e)=cosioe+isini附结合复数的定义知sinioe=o,进而得。=求，

即可得解.

【详解】由题意知r°(，)=cosl06+isinl(^,

若r°(。)为实数，则sinlOO=O,:.M=k兀,kwZ,故。=霁，

TT7T

当k=1时，，^=—；当女=2时，9=M

故选：AC.

12.CD

【分析】根据复数的概念、共辗复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.

【详解】复数

z=-y/sin23+cos23+2sin3cos3+i7sin23+cos23-2sin3cos3=|sin3+cos3|+i|sin3-cos3|.因

为弓<3<乃，所以sin3+cos3=5/^sin(3+?)<0,sin3-cos3>0,所以原式

=-(sin3+cos3)+i(sin3-cos3),所以选项A错误；复数z的虚部为Jl—sin6，所以选项B

错误；z.云=(Jl-sin6)+(Jl+sin6)=2,所以选项C正确；z・(Jl-sin6+ijl+sin6)=

(Jl+sin6+ijl-sin6)•(Jl-sin6+ijl+sin6)=Jl-sin」6-Jl-sin26+i(1+sin6+1-sin6)=2i

，所以选项D正确.

故选：CD.

13.BCD

【分析】对于A,e2'=cos2+isin2,根据2eg,啕,即可判断出；对于38,根据欧拉

公式/=cosx+isinx逐项计算，然后判断正误即可.

【详解】解：对于A,由于解=cos2+isin2,

2e(―,1)，

2

/.cos2e(-l,0),sin2e(0,1),

.・./表示的复数在复平面中位于第二象限，故A错误；

对于B,=cos-+isin-=i,可得;为纯虚数，故8正确;

22e

对于C,3喈+汴呜=；+争，］的共加复数为白争，故C正确.

ex,cosx+zsinx(cosx+zsinx)(JJcosx+sinx>/3sinx-cosx.

对于"k衣=("+，)>一•)--4—十一一‘

可得其模的长为,(由弋+而与

2222

_/3cosx+25/3sinxcosx4-sinx+3sinx-25/3sinxcosx+cosx_1故O正确.

-V16+16~29，

故选：BCD.

14.ABD

【分析】根据e/=cos6+isin。可判断ABD,根据复数的乘法运算可判断C

【详解】因为e”'=cos6+isin0

所以e?=cos—+isin—=i,故A正确

22

故选：ABD

15.AD

【分析】根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解］令Z|=a+例,z2=c+d\\a,b,c,deR),z,z2=ac-bd+(ad+bc)i,

22222222

|z,z2|=《(ac-bd)：+(ad+/c)2=\lac+bd+ad+bc

=yj(a2+b2)(c2+d2)，

2222

|zj=yja+b>|z2|—yjc+d,

••・k4lTzIkl，A对;

ab=|a|-|/?|-cos0,：.\ct-b|=|a|-|b|•|cos0\=|a|♦忖不一定成立,B错;

zl+z2=(a+c)+(h+d)\,zl-z2=(a-c)+(h-d)it

\z}-z2|=|z1+z2|,:.ac+bd=O,

z/2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i10,C错.

将卜+H=卜两边平方并化简得a-b=0,D对.

故选：AD

16.AC

【分析】根据已知条件，由4-2马其为实数，求得。的值，依次计算即可得出结果.

【详解】因为4-2Z2为实数，所以a—2(〃—1)=0,解得a=2,

所以4=3+2i,z2=l+i,所以闵=>/^肓=旧，故A正确，

4Z2=(3+2i)(l+i)=l+5i,故B错误，

因为(l+i)?=2i,所以z，=(2i)s=32i,故C正确，

Z,3-2i(3-2i)(l-i)15门5、

因为％=3-2i,所以」=丁下=*^~9=7-彳1,其对应的点匕，-不在第四象限，

z21+1+22<22)

故D错误.

故选:AC.

17.ACD

【分析】根据复数的乘除法、乘方、模的运算可判断A,C,D：根据特殊三角函数值与共

物复数的关系可判断A.

【详解】对于A,由题可知三=-_L+Yli=cos包+isin型，所以A正确;

2233

175.13

----1---1---1---1

Z_22_22

对于B,因为]百丫一]向，所以B错误;

-------i-Ii

2222

\7

173.

--1---1

对于C,因为［=22

r1所以C正确;

173.

-----1

22

因为z?+z，=(z+z)，2-zz+z)=(z+z)[(z+z)-3zz=(-l)x[(-l)2-3xl]=2,故D正确.

故选：ACD

18.ACD

【分析】依题意可得z2+9=0或z2-2z+4=0,即z2=-9或(z-l)2=-3,从而求出z,即

可判断；

【详解】解:S(Z2+9)(Z2-2Z+4)=0,得T+9=0或Z2-2Z+4=0,即z?=—9或

(z-l)2=-3,

解得z=±3i或z=l±6i,

即方程的根分别为4=3i、z2=-3i,州=1+后、z4=1-用

所以Z1+Z2+z3+Z4=3i+(_3i)+(l+6i)+(l_6i)=2

故选：ACD.

19.BCD

【分析】由复数的几何意义对四个选项依次判断即可.

【详解】对于选项A,设z=a+Ai,只需〃+户=］即可，故错误；

对于选项B,复数6+5i与-3+4i分别表示向量Q4与08,

・•・表示向量BA的复数为6+5i-(-3+4i)=9+i,故正确；

对于选项C,点Z的坐标为(-11)，则［对应的点为在第三象限，故正确；

对于选项D,若复数z满足啜J|z|夜，则复数z对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1,

外圆半径为正的圆环上，故所构成的图形面积为2万-万="，故正确；

故选：BCD.

20.BCD

【分析】先求出复数z,再对四个选项一一验证:

对于A：直接求出复数z的虚部，即可判断；

对于B：直接求出|z『,zN,即可判断;

对于C：直接求出z?和z-l,即可判断；

对于D：直接求出复数z的共规复数，即可判断.

【详解】设复数z=“+历(a,beR).

因为同=|z-1|=1,且复数z对应的点在第一象限,

2

a+h-=1a=_._

2即z=1+」ii.

所以(a-l)2+b2=\,解得：<

b=B22

a>U,b>0

2

对于A：复数z的虚部为也.故A错误;

2

对于B：=1,z-z=+——^-i)=1.故Izr=z•zB正确；

|Z地)、(生

对于C：因为2?=—+i=——+z—1=——+,所以z?=z—1.故C正确；

I22）2222

对于D：复数z的共轨复数为立i.故D正确.

22

故选：BCD

21.ABC

【分析】利用向量数量积的运算法则及复数的几何意义即可求解.

【详解】因为|z,+z2|=|z,-z2|,所以|O4+OZJ=|O4—OZ2|,

则|OZ|+OZ2]=|OZ|-OZ42,即404-OZ2=0,则OZ^OZ?,故选项A正确；

因为所以

（0Z；+OZ；）_L（OZ；-0Z2）,（oz；+oz；）（oz,-oz2）=o,

即OZ：=OZ；，则㈤==|,故选项B正确；

设4=4+历（a,6eR）,因为4与Z?在复平面上对应的点关于实轴对称，

ljl!|z2=a-bi（a,b&R）,所以z,="+从，卜㈤=片+〃，则g=,闻,

故选项C正确；

若ZI=l+i,Z2=l-i满足闻=㈤,而z"z；,故选项D错误；

故选：ABC.

22.ABD

【分析】根据纯虚数、共辗复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解.

【详解】解：对A：因为复数e^=cos工+isine=i为纯虚数，故选项A正确；

22

对B：复数V=cos2+isin2,因为cos2<0,sin2>0,所以复数屋对应的点为（cos2,sin2）位

于第二象限，B正确；

对C：复数e芍=cos2+isin£=1+3i的共辗复数为走i,故选项C错误；

332222

对D：复数/=8$。+1$m。（。£1t）在复平面内对应的点为（85。,5m。）,

因为cos2®+sin2e=l,所以复数/(deR)在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D正确.

故选：ABD.

23.BCD

【分析】利用复数除法运算可知A正确；由复数乘法运算和共规复数定义可知B正确；由

纯虚数定义知C正确；由复数的向量表示和模长运算可知D正确.

【详解】对于A,二半=鲁芈g=与=；等

A错误;

z2-l+i+222

对于B,z,=(2+3i)(-l+i)=-5-i,.'.z,-z2=-5+i；

又Z1.Z2=(2_30(-l_i)=_5+i,;.z「Z2=4-Z2,B正确;

对于C,.Z|+m=2+，”+3i为纯虚数，.•.m+2=0,解得：m=-2,C正确;

对于D,由题意得：。4=(2,3),=.•.AB=O3-OA=(-3,Y),

.•.网=J9+16=5,D正确.

故选：BCD.

24.AB

【分析】根据复数实部和虚部特点，利用特值法依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A,若复数zeR,设z=。，其中awR,贝底彳£尺则选项A正确;

对选项B,若设其中。£/?,且则2=，£/?,则选项B正确；

za

对选项C,若Z2£R,设2=乙则Z?=-1CR,但Z=iW/?,则选项C错误；

对选项D,若复数ZI,Z2满足Z/Z2ER,设Z1=i,Z2=if则4吃2=-1£区,

而云=TWZ1,则选项D错误.

故选：AB.

25.BCD

【分析】先利用复数的除法运算化简复数z,利用模长公式求模长可判断A；利用共甑复数

的定义可判断B；计算zS可判断C；由复数的模的几何意义以及圆的性质可判断D,进而

可得正确选项.

2+i_(2+i)(l+i)」+3i_l3

【详解】7.---------------------------------------------------1----J

1-i(l-i)(l+i)222

对于A：|z|=Jgj+(|J=^,故选项A不正确;

13

对于B：z的共犯复数为故选项B正确；

对于C：z,z=(g+gi)(g_'|i)=；_:『=|,故选项C正确；

对于D：上一$也6+辽0$4表示复数2=；+率对应的点2(：,日)到点卜也6,-8$。)的距离,

ZZ\，乙乙)

而点(sind-cos。)的轨迹是单位圆/+尸=1,因为|0Z|=囱=半，圆的半径r=l,所以

|OZ|-r4|z-sinO+i8sq4|OZ|+r所以|z-sin6+icosq的范围为+l,故选

项D正确；

故选：BCD.

26.ABCD

【分析】利用虚数单位的幕的运算性质可以判定A;利用共规复数的性质可以判定B,利用复

数的模的性质可以判定C;利用复数的模的三角不等式可以得到集合X中的元素满足的充分

必要条件是XGX=存在实数240,使得x=k(l+i),进而根据复数的加法运算公式可判定

D.

【详解】对于人,设。=产乃=泮(勺,〃2WZ)则〃㊉力=〃力二产+叱一勺,〃2WZ,.・.牝+%WZ,所以

泮+叱£X,即。㊉匕£X,故A正确；

对于B,Vg€X,则〃.万=1,而=1,故修=1,即［力=即“㊉MX,故B正确;

对于cya,b^x，贝!例•例=|a|例＜1,即a乃wX,即〃㊉bwX,故C正确;

对于D,由于在复数范围内，闰=国,国=祝,

所以由|可+国4|x-M=|x|+|y|4|x-y|,有复数的模的不等式得到存在实数％40,使得

》=6仅<0),又>=l+i,于是xeXo存在实数k40,使得x=Z(l+i),

▼a,bwX,a=&(l+i)力=-(l+i)(A4(U'W0),所以a㊉斤a+b=(A+%)(l+i),因为440,%,

<0,:.k+k'<0,所以即〃㊉〃eX,故D正确；

故选：ABCD.

【点睛】本题考查复数的运算和模的性质，关键是认真审题，注意复数的模的性质的应用，

常用的模的性质：AL(左侧取等号的

|Z,Z2|=|ZI||Z2|,=^,|Z|=|Z|,||Z||-|Z2||<|Z,+Z2|<|Z1|+|Z2|

Z2Z2

条件是存在存在实数小0，使得Z1=kz2(z2丰0),右侧取等号的条件是存在存在实数k>0,

使得Z1=近2亿R0),共貌复数的性质有Z]Z?=Z1Z2，/lZ|+〃z?=/lZ]+〃Z2(/i,〃eR),这些公式

不难证明，在考试中往往十分有用.

27.ACD

【分析】利用复数的运算法则，共加复数的定义，几何意义即可求解

【详解】z=cos—+isin—=i

3322

故A正确

则)在复平面上对应的点为J：,-坐]位于第三象限

221221

故B错误

Z」+乌以1日、

---------1---------1

22

z3=z2-z=

2222

1-2P12I

44=4+4=

故C正确

2,1V3.173.,

z+z+1=------1---1---1+1=0A

2222

故D正确

故选：ACD

28.ACD

【分析】根据复数的运算法则，以及其几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选

择.

【详解】设z=x+)i(x,ywR),则5=

对A：|z|2=x24-y2=(x+yi)(x-3i)=zz,故A正确；

对B：z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyix2+y2=|z|2,故B错误；

对C：若|z|=l