《2.4.1圆的标准方程》教案、导学案、同步练习

《2.4.1圆的标准方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习圆的标准方程。在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用。在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征.B.能根据所给条件求圆的标准方程.C.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.1.数学抽象：圆的标准方程2.逻辑推理：圆的标准方程的推导3.数学运算：根据条件求圆的标准方程4.数学建模：圆的标准方程【教学重点】：会用定义推导圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系【教学难点】：根据所给条件求圆的标准方程【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学《古朗月行》唐李白小时不识月，呼作白玉盘。又疑瑶台镜，飞在青云端。月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?二、探究新知思考1圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的因素：圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.思考2已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？|MA|＝r,由两点间的距离公式,得＝r,化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.一、圆的标准方程点睛：(1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2.(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.(3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析:设圆心为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1,又点(1,2)在圆上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程为x2+(y-2)2=1.答案:A二、点与圆的位置关系圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=|PC|=(x位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外d>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2点在圆上d=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆内d<r(x0-a)2+(y0-b)2<r22.点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是()A.在圆上 B.在圆外C.在圆内 D.以上都不对解析:将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外.答案:B三、典例解析例1.求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.思路分析:解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径.解:(方法1)设点C为圆心,∵点C在直线:x-2y-3=0上,∴可设点C的坐标为(2a+3,a).又∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.∴(2解得a=-2.∴圆心坐标为C(-1,-2),半径r=10.故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.(方法2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),由条件知(2-故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.(方法3)线段AB的中点为(0,-4),kAB=-3所以弦AB的垂直平分线的斜率k=-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为:y+4=-2x,即y=-2x-4.故圆心是直线y=-2x-4与直线x-2y-3=0的交点,由y即圆心为(-1,-2),圆的半径为r=(-1所以所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.圆的标准方程的两种求法(1)几何法它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解——解方程组,求出a,b,r;④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.跟踪训练1．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．[解]法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为A(0,5)，B(1,－2)，C(－3,－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋5－b2＝r2，,1－a2＋－2－b2＝r2，,－3－a2＋－4－b2＝r2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1，,r＝5.))故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.法二：因为A(0,5)，B(1,－2)，所以线段AB的中点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，直线AB的斜率kAB＝eq\f(－2－5,1－0)＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－eq\f(3,2)＝eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7y＋10＝0，,2x＋y＋5＝0))得圆心的坐标为(－3,1)，又圆的半径长r＝eq\r(－3－02＋1－52)＝5，故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.跟踪训练2已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)周长最小的圆的方程;(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.(1)解:当AB为直径时,过点A、B的圆的半径最小,从而周长最小,即AB中点(0,1)为圆心,半径r=12|AB|=10则圆的方程为:x2+(y-1)2=10.(2)(方法1)AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方程是y-1=13x,即x-3y+3=0由x-3yr=|AC|=(3-1)∴圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.(方法2)待定系数法.设圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2,则(∴圆的方程为:(x-3)2+(y-2)2=20.例2(1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是()A.点P在圆内 B.点P在圆外C.点P在圆上 D.不确定(2)已知点M(5a+1,a)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是.

思路分析:(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径,然后利用P到圆心的距离和圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系;(2)首先确定圆心和半径,利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解.解析:(1)因为(m2)2+52=m4+25>24,所以点P在圆外.(2)由题意知a解得0≤a<1.答案:(1)B(2)[0,1)点与圆的位置关系及其应用点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.跟踪训练3若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是()A.a<-1或a>1 B.-1<a<1C.0<a<1 D.a=±1解析:由题意可知,(1-a)2+(1+a)2<4,解得a2<1,故-1<a<1.答案:B金题典例1.若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值．[提示]原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为eq\f(1,2)，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，最小距离为1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).2．若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．[提示]P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2)，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2eq\r(2)＋2，最小值为2eq\r(2)－2.3.已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求eq\r(x＋12＋y＋12)的最大值与最小值.思路探究：x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，即点P(x，y)是圆上的点．而eq\r(x＋12＋y＋12)表示点(x，y)与点(－1，－1)的距离．故此题可以转化为求圆x2＋(y＋4)2＝4上的点与点(－1，－1)的距离的最值问题．[解]因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，圆心C(0，－4)，半径r＝2，因此eq\r(x＋12＋y＋12)表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离．因为|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点A(－1，－1)在圆外．如图所示．而|AC|＝eq\r(0＋12＋－4＋12)＝eq\r(10)，所以eq\r(x＋12＋y＋12)的最大值为|AC|＋r＝eq\r(10)＋2，最小值为|AC|－r＝eq\r(10)－2.母题探究1：本例中条件不变，试求eq\f(y＋1,x＋1)的取值范围．[解]设k＝eq\f(y＋1,x＋1)，则此式可看作是圆上一点与点(－1，－1)连线的斜率．所以由k＝eq\f(y＋1,x＋1)可得y＋1＝k(x＋1)，此直线与圆应相交．圆心(0，－4)到直线的距离d≤r.即eq\f(|3＋k|,\r(k2＋1))≤2，解得k≥eq\f(3＋2\r(6),3)或k≤eq\f(3－2\r(6),3).2．本例条件不变，试求圆上一点到直线x＋y＝4的最大值与最小值．[解]圆心(0，－4)到直线x＋y＝4的距离d＝eq\f(|－4－4|,\r(2))＝eq\f(8,\r(2))＝4eq\r(2).所以圆上一点到直线x＋y＝4的最大值为d＋r＝2＋4eq\r(2)，最小值为d－r＝4eq\r(2)－2.与圆有关的最值问题的求解策略(1)本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用．(2)涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：①k＝eq\f(y－b,x－a)的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等．通过古诗中关于月亮的描述，引出建立圆的方程的问题，同时类比直线方程的建立过程，帮助学生通过类比建立圆的标准方程。学会联系旧知，制定解决问题的策略。让学生进一步感悟运用坐标法研究几何问题的方法。通过点与圆的位置关系，体会运用代数法和几何法解决问题的特点，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。在典例分析和练习中掌握求圆的标准方程的基本方法，即：代数法与几何法。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。通过与圆相关的最值问题的解决，提升学生数形结合的思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是()A.5 B.3 C.4 D.2解析:圆心坐标为(0,0),所以圆心到直线的距离为d=2532+答案:A2.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=25 B.(x+2)2+(y-3)2=65C.(x+2)2+(y-3)2=53 D.(x-2)2+(y+3)2=13解析:∵C(2,-3),B(5,-1),∴|BC|=(5-2)2+(-1+3)2=13,即圆的半径r=13,又∵圆心为C(2,-3),∴圆的方程为(答案:D3.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的取值范围是.

解析:由题意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.又m>0,故m的取值范围是(0,10).答案:(0,10)4.圆(x+2)2+y2=5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为.

解析:已知圆的圆心(-2,0)关于原点的对称点为(2,0),半径不变,故所求对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.答案:(x-2)2+y2=55.求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程.[解]法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－3，,r＝5.))∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.法二：(几何法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－3，))即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5.∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】在本节课的教学中，引导学生回顾确定直线的几何要素——两点（或者一点和斜率）的基础上，类比得到圆的几何要素——圆心位置和半径大小。由直线方程类比得到从圆心坐标和半径大小入手探究圆的标准方程。这一过程提升逻辑推理、数学抽样等数学素养。在求解圆的标准方程中，注意几何法与代数法的比较，提升学生数学运算素养。《2.4.1圆的标准方程》导学案【学习目标】1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征.2.能根据所给条件求圆的标准方程.3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.【重点和难点】重点：会用定义推导圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系难点：根据所给条件求圆的标准方程【知识梳理】一、自主导学(一)、圆的标准方程点睛：(1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2.(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.(3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.（二）、点与圆的位置关系圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=|PC|=(x位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外d>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2点在圆上d=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆内d<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2二、小试牛刀1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=12.点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是()A.在圆上 B.在圆外C.在圆内 D.以上都不对【学习过程】一、情境导学《古朗月行》唐李白小时不识月，呼作白玉盘。又疑瑶台镜，飞在青云端。月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?思考1圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？思考2已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？二、典例解析例1.求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.圆的标准方程的两种求法(1)几何法它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解——解方程组,求出a,b,r;④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.跟踪训练1．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．跟踪训练2已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)周长最小的圆的方程;(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.例2(1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是()A.点P在圆内 B.点P在圆外C.点P在圆上 D.不确定(2)已知点M(5a+1,a)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是.

点与圆的位置关系及其应用点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.跟踪训练3若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是()A.a<-1或a>1 B.-1<a<1C.0<a<1 D.a=±1金题典例1.若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值．2．若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．3.已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求eq\r(x＋12＋y＋12)的最大值与最小值.母题探究1：本例中条件不变，试求eq\f(y＋1,x＋1)的取值范围．2．本例条件不变，试求圆上一点到直线x＋y＝4的最大值与最小值．与圆有关的最值问题的求解策略(1)本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用．(2)涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：①k＝eq\f(y－b,x－a)的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等．【达标检测】1.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是()A.5 B.3 C.4 D.22.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=25 B.(x+2)2+(y-3)2=65C.(x+2)2+(y-3)2=53 D.(x-2)2+(y+3)2=133.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的取值范围是.

4.圆(x+2)2+y2=5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为.

5.求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程.【课堂小结】【参考答案】知识梳理二、小试牛刀1.解析:设圆心为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1,又点(1,2)在圆上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程为x2+(y-2)2=1.答案:A2.解析:将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外.答案:B学习过程思考1定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的因素：圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.思考2|MA|＝r,由两点间的距离公式,得＝r,化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.二、典例解析例1.思路分析:解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径.解:(方法1)设点C为圆心,∵点C在直线:x-2y-3=0上,∴可设点C的坐标为(2a+3,a).又∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.∴(2解得a=-2.∴圆心坐标为C(-1,-2),半径r=10.故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.(方法2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),由条件知(2-故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.(方法3)线段AB的中点为(0,-4),kAB=-3所以弦AB的垂直平分线的斜率k=-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为:y+4=-2x,即y=-2x-4.故圆心是直线y=-2x-4与直线x-2y-3=0的交点,由y即圆心为(-1,-2),圆的半径为r=(-1所以所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.跟踪训练1．[解]法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为A(0,5)，B(1,－2)，C(－3,－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋5－b2＝r2，,1－a2＋－2－b2＝r2，,－3－a2＋－4－b2＝r2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1，,r＝5.))故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.法二：因为A(0,5)，B(1,－2)，所以线段AB的中点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，直线AB的斜率kAB＝eq\f(－2－5,1－0)＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－eq\f(3,2)＝eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7y＋10＝0，,2x＋y＋5＝0))得圆心的坐标为(－3,1)，又圆的半径长r＝eq\r(－3－02＋1－52)＝5，故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.跟踪训练2(1)解:当AB为直径时,过点A、B的圆的半径最小,从而周长最小,即AB中点(0,1)为圆心,半径r=12|AB|=10则圆的方程为:x2+(y-1)2=10.(2)(方法1)AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方程是y-1=13x,即x-3y+3=0由x-3yr=|AC|=(3-1)∴圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.(方法2)待定系数法.设圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2,则(∴圆的方程为:(x-3)2+(y-2)2=20.例2思路分析:(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径,然后利用P到圆心的距离和圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系;(2)首先确定圆心和半径,利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解.解析:(1)因为(m2)2+52=m4+25>24,所以点P在圆外.(2)由题意知a解得0≤a<1.答案:(1)B(2)[0,1)跟踪训练3解析:由题意可知,(1-a)2+(1+a)2<4,解得a2<1,故-1<a<1.答案:B金题典例1.[提示]原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为eq\f(1,2)，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，最小距离为1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).2．[提示]P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2)，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2eq\r(2)＋2，最小值为2eq\r(2)－2.3.思路探究：x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，即点P(x，y)是圆上的点．而eq\r(x＋12＋y＋12)表示点(x，y)与点(－1，－1)的距离．故此题可以转化为求圆x2＋(y＋4)2＝4上的点与点(－1，－1)的距离的最值问题．[解]因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，圆心C(0，－4)，半径r＝2，因此eq\r(x＋12＋y＋12)表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离．因为|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点A(－1，－1)在圆外．如图所示．而|AC|＝eq\r(0＋12＋－4＋12)＝eq\r(10)，所以eq\r(x＋12＋y＋12)的最大值为|AC|＋r＝eq\r(10)＋2，最小值为|AC|－r＝eq\r(10)－2.母题探究1：[解]设k＝eq\f(y＋1,x＋1)，则此式可看作是圆上一点与点(－1，－1)连线的斜率．所以由k＝eq\f(y＋1,x＋1)可得y＋1＝k(x＋1)，此直线与圆应相交．圆心(0，－4)到直线的距离d≤r.即eq\f(|3＋k|,\r(k2＋1))≤2，解得k≥eq\f(3＋2\r(6),3)或k≤eq\f(3－2\r(6),3).2．[解]圆心(0，－4)到直线x＋y＝4的距离d＝eq\f(|－4－4|,\r(2))＝eq\f(8,\r(2))＝4eq\r(2).所以圆上一点到直线x＋y＝4的最大值为d＋r＝2＋4eq\r(2)，最小值为d－r＝4eq\r(2)－2.达标检测1.解析:圆心坐标为(0,0),所以圆心到直线的距离为d=2532+答案:A2.解析:∵C(2,-3),B(5,-1),∴|BC|=(5-2)2+(-1+3)2=13,即圆的半径r=13,又∵圆心为C(2,-3),∴圆的方程为(答案:D3.解析:由题意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.又m>0,故m的取值范围是(0,10).答案:(0,10)4.解析:已知圆的圆心(-2,0)关于原点的对称点为(2,0),半径不变,故所求对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.答案:(x-2)2+y2=55.[解]法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－3，,r＝5.))∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.法二：(几何法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－3，))即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5.∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.《2.4.1圆的标准方程-基础练》同步练习一、选择题1．以为圆心，4为半径的圆的方程为A． B．C． D．2．已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是()A．在圆内B．在圆上C．在圆外 D．无法判断3．圆的圆心到直线的距离是（）A． B． C．1 D．4．过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）A． B．C． D．5．（多选题）已知圆，则下列说法正确的是（）A．圆的圆心为B．圆的圆心为C．圆的半径为5D．圆被轴截得的弦长为66．（多选题）已知圆（为常数，）不经过第二象限，则实数的可取值为（）A．-2 B．0 C．2 D．4二、填空题7．经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是．8．直径的两个端点是的圆的方程为______．9．若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_____.10．已知点和圆，若点在圆上，则实数________；若点在圆外，则实数的取值范围为________.三、解答题11．已知点，求（1）过点A,B且周长最小的圆的方程；（2）过点A,B且圆心在直线上的圆的方程．12．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上.（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程.《2.4.1圆的标准方程-基础练》同步练习答案解析一、选择题1．以为圆心，4为半径的圆的方程为A． B．C． D．【答案】C【解析】以为圆心，4为半径的圆的方程为：，故选C．2．已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是()A．在圆内B．在圆上C．在圆外 D．无法判断【答案】B【解析】因为,所以点M在圆上，选B.3．圆的圆心到直线的距离是（）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】圆的圆心坐标为（1，0），∴圆心到直线的距离为，故选A．4．过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，点在圆上，排除A，故选C.5．（多选题）已知圆，则下列说法正确的是（）A．圆的圆心为B．圆的圆心为C．圆的半径为5D．圆被轴截得的弦长为6【答案】ACD【解析】由圆，故圆心为，半径为，则AC正确；令，得或，弦长为6，故D正确；故选：ACD.6．（多选题）已知圆（为常数，）不经过第二象限，则实数的可取值为（）A．-2 B．0 C．2 D．4【答案】CD【解析】圆C：（x﹣a）2+y2=4表示以C（a，0）为圆心，以2为半径的圆，此圆不经过第二象限，需OC≥2，故a≥2，故选：CD.二、填空题7．经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是．【答案】【解析】圆：x2＋2x＋y2＝0的圆心C(－1,0)，因为直线的斜率为，所以与直线垂直的直线的斜率为1，因此所求直线方程为，即x－y＋1＝08．直径的两个端点是的圆的方程为______．【答案】【解析】因为直径的两个端点是，所以圆心为，半径为，所以，圆的方程为：.9．若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：，故答案为.10．已知点和圆，若点在圆上，则实数________；若点在圆外，则实数的取值范围为________.【答案】；或【解析】由题,,当点在圆上时,,解得.当点在圆外时,,解得或.三、解答题11．已知点，求（1）过点A,B且周长最小的圆的方程；（2）过点A,B且圆心在直线上的圆的方程．【解析】(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，半径r＝|AB|＝.则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10.(2)解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x.即x－3y＋3＝0由圆心在直线上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C(3,2)．r＝|AC|＝＝2.∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.解法2：待定系数法设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.则∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.12．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上.（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程.【解析】(1)∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为－3．又∵点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0．(2)由,得,∴点A的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|＝.∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．《2.4.1圆的标准方程-提高练》同步练习一、选择题1．已知A(3，－2)，B(－5,4)，则以AB为直径的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100D．(x＋1)2＋(y－1)2＝1002．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的圆心位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若i为虚数单位，已知(a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的关系为（）A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．不能确定4．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A．4 B．5 C．6 D．75．（多选题）以直线与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为（）A． B．C． D．6.（多选题）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为二、填空题7．与圆同圆心，且面积等于圆面积的一半的圆的方程为_____.8．若圆的圆心到直线的距离为，则的值为_________.9．直线与轴、轴分别交于点，，则______；以线段为直径的圆的方程为_________．10．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是_________．三、解答题11．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．12．已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.《2.4.1圆的标准方程-提高练》同步练习答案解析一、选择题1．已知A(3，－2)，B(－5,4)，则以AB为直径的圆的