甘肃省陇南市礼县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析）

甘肃省陇南市礼县2023-2024学年九年级上学期期末数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，点A表示的数可能是（）

A.3B.2C.1D.-1

2.根据中国信息通信研究院的预测，预计到2020年底，我国将在全国范围内累计开通

5G基站超过550000个.，数据550000用科学记数法可表示为（）

A.55xl04B.5.5xl05C.55xl05D.5.5xlO6

3.与55。的角互为余角的角的度数是（）

A.35°B.45°C.55°D.90°

4.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

A.

5.如图，△OOC是由△绕点。顺时针旋转31。后得到的图形,

上，且NAOC的度数为100°,则NOOB的度数是（）

A.34°B.36°C.38°D.40°

6.袋子里有4个球，标有2,3,4,5,先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个,所抽取的两个

球数字之和大于6的概率是（）

A.yB.—C.-D.-

21284

7•一元二次方程（x+2）2=x-5的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

8.如图，点A、B、C在O上，OB//AC,连接交。4于点若/ACB=20。,

9.如图，△ABC与^DEF是位似图形，位似比为2：3,已知DF=4,则AC的长为（）

n16

cID.—

10.如图①，在矩形ABCD中（3C>AB）,连接动点尸从点B出发，依次沿

a5->。。-»。8运动至点8停止，设点P的运动路程为x,△4PB的面积为y,y与尤

的函数关系图象如图②所示，则边3C的长为（）

图②

A.4B.3C.5D.8

二、填空题

11.分解因式：x-xy2=

13.如图，钟表的上半部分为正八边形，则该正八边形的每个内角的度数是

试卷第2页，共6页

14.不等式组的解集是

I2-x>1

15.在抛物线丁=加-26+。（"0）上有A（-0.5,yJ、3（2,%）和C（3,%）三点，若抛

物线与y轴的交点在负半轴上，则%、％和%的大小关系为.

16.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,BD平分NABC,P点是BD的中

点，若AD=6,则CP的长为.

17.如图①，在等腰直角三角形A3C中，分别以点A、C为圆心，AB,3c长为半径作

弧，两弧在ASC内围成如图①所示的阴影部分，用5个阴影部分的图案拼成如图②的

图形，若AB=BC=2,则图②图形的周长为.

图①图②

18.已知一列数：35》7高，9卷，11卷，…，按照这个规律写下去，第8个数是

三、解答题

19.计算：（2-若）（2+8）+卜-闽-（乃-3）°.

20.解方程

(l)x(x-5)+4=0；

(2)3(x—1)2=x(l-x).

21.图①、图②均为7x6的正方形网格，点A、B、C在格点（小正方形的顶点）上.

（1）在图①中确定格点D,并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对

称图形；

（2）在图②中确定格点E,并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心

对称图形.

22.如图，ABC中，AB^AC,/R4c=40。，将ASC绕点A按逆时针方向旋转100。

得到VADE,连接CE交于点F.

⑴求证：△ABD^AACE；

（2）求证：四边形ABFE是菱形.

23.如图，一次函数、=履+6与反比例函数y=T（x＞。）的图象交于A（2,3）、矶〃,1）两

点，与y轴交于点C.

⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）设点C关于x轴的对称点为。，连接A。、BD,求的面积.

24.传统节日“春节”到来之际，某商店老板以每件60元的价格购进一批商品，若以单

价80元销售，每月可售出300件.调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量

就减少10件.

试卷第4页，共6页

(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价无(元)间的函数关系式；

⑵单价定为多少元时，每月销售商品的利润达到6240元？

25.甘肃省博物馆馆内珍藏了众多珍贵的文物珍宝，尤其是馆内的马踏飞燕铜像、驿使

图画像砖等更是闻名遐迩的珍贵国宝.博物馆分为甘肃丝绸之路文明展、庄严妙相一一

甘肃佛教艺术展、甘肃彩陶展、甘肃古生物化石展和红色甘肃一走向1949五个基本

陈列(分别记为4B,C,D,E).小亮受邀周六、周日两天各从五个基本陈列中随机

选择一个进行义务讲解.

(1)求小亮周六选择“甘肃丝绸之路文明展”进行讲解的概率；

(2)用画树状图或列表的方法，求小亮周六、周日两天选择同一个基本陈列进行义务讲解

的概率.

26.如图，点B、C、D都在。O上，过C点作CA〃:BD交OD的延长线于点A,连接

BC,ZB=ZA=30°,BD=243.

(1)试说明：AC是。O的切线；

(2)求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积.(结果保留兀)

27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

【例题】

有一块三角形余料ABC,它的边8C=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，

使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的正方形零件的

边长是多少毫米？

【点拨】：解四边形EGHF为正方形，

BC//EF,

..AEFABC,

设正方形零件的边长为xmm,贝｝|KD=£F=xmm,AA'=(80-x)nim.

•/ADIBC,

EF票即告80—x

~BC80

解得x=48.故这个正方形零件的边长是48mm.

AAA

【问题探究】

(1)如果原题中要加工成的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,

如图①，此时，这个矩形零件的两条边长是多少？

(2)如果原题中所要加工成的零件只是一个矩形，如图②，求这个矩形面积的最大值和达

到这个最大值时矩形零件的两条边长.

28.如图，抛物线y=o%2+gx+c交x轴于A(-2,0),2两点，与y轴交于点C(0,2).

(1)求抛物线的解析式；

⑵点E从点A出发,在线段A3上以每秒2个单位的速度向点B运动，点F仄点、B出发，

在线段上以每秒血个单位的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个

点也停止运动，设运动时间为f秒，求当f为何值时，△3EF的面积取得最大值？并求

出面积的最大值；

(3)点P是抛物线上一动点，过点尸作x轴的垂线，交直线于点M,当△PCW是直

角三角形时，求点尸的坐标.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴三要素是解题的关键.根据数轴上点A的位置,

得到点A表示的数小于0,即可得到答案.

【详解】解：根据数轴上点A的位置，得到点A表示的数小于0,

故选D.

2.B

【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键.根据科学记数法的

定义即可得到答案.

【详解】解：数据550000用科学记数法可表示为5.5x105.

故选B.

3.A

【分析】此题主要考查了互为余角的定义，直接利用互为余角的定义分析得出答案.正确把

握互为余角的定义是解题关键.互为余角的两个角的和等于90°.

【详解】V90°-55°=35°

与55°的角互为余角的角的度数是35。.

故选A.

4.A

【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称

图形的定义是解题的关键.根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可得到答案.

【详解】解:既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项A符合题意;

不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意;

是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不符合题意;

是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意.

故选A.

5.C

答案第1页，共16页

【分析】根据旋转的性质求出ZAOD和/3OC的度数，计算出的度数.

【详解】解：由题意得，ZAOD=3\°,ZBOC=31°,又NAOC=100。，

ZDOB=100°-31°-31°=38°.

故选：C.

【点睛】本题考查的是旋转的性质，掌握旋转角、旋转方向和旋转中心的概念是解题的关键.

6.C

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽取的两个球数

字之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【详解】画树状图得：

开始

_—■、

2345

2345234523452345

・・•共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况，

・・・抽取的两个球数字之和大于6的概率是：=f.

168

故选C.

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完

成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

7.C

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握A>0,方程有两个不相等的实数

根；△=()方程有两个相等的实数根；△<()方程没有实数根是解题的关键.化成一般形式,

计算方程根的判别式，进而判断即可.

【详解】解：•••(x+2)z=x—5

x2+4x+4=x—5

x2+3x+9=0

；•A=62-4ac=32-4xlx9=-27<0,

...方程无实数根.

故选：C.

8.D

答案第2页，共16页

【分析】本题主要考查圆周角定理、平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握同弧所

对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键.

首先根据圆周角定理得到ZAOB=2ZACB=40。，然后根据平行线的性质得到

ZB=ZACB=20°,然后利用三角形外角的性质求解即可.

【详解】AB=AB

：.ZAOB=2ZACB=40°

OB//AC

：.ZB=ZACB=20°

ZADB=ZAOB+NB=60°.

故选：D.

9.C

【分析】位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比.利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】:△ABC与ADEF是位似图形，位似比为2：3,

AAC：DF=2：3,

AAC：4=2：3,

贝UAC=,

故选C.

【点睛】本题主要考查位似的定义.解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位

似比等于相似比的特点.

10.A

【分析】本题考查动点的函数图象问题.根据题意结合图象，可知：

BD+CD+BC^n,ABBC=l2,结合勾股定理进行求解即可.从函数图象中有效的获取信

息，是解题的关键.

【详解】解：由图象可知，当尸点在上运动时，AAPB的面积为定值，为6,点尸的总路

程为⑵

:矩形ABCD,

AB=CD,ZABC=NC=90°,

AB-BC=BC-CD=12,BD+CD+BC=T2,BD2=CD2+BC2,

A[12-(CD+BC)]2=(C£>+BC)2-IBCCD,

答案第3页，共16页

:.CD+BC=1,

CD+BC=1CD=4fCD=3

联立:，解得:BC=3^[BC=4

BC-CD=12

丁BC>AB,

：.BC=4；

故选A.

ii.x(i+y)(i-y)

【分析】先提取公因式X,再用平方差公式分解.

【详解】解：原式=x(l-y2)=x(l+y)(l-y).

故答案为：x(l+y)(l-y).

【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因

式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.因式分

解必须分解到每个因式都不能再分解为止.

1

12.

T^x

【分析】本题主要考查了分式的加法，先将分母转化为同分母，根据同分母分式的加法计算

法则求解即可.熟知相关计算法则是解题的关键.

1X

【详解】

l-x12~x2-l

1X

=--------H----------

1-x1-x

_1+X

_1+X

1

1-x*

故答案为：---•

13.135。/135度

【分析】本题考查正多边形的性质，多边形的内角和公式；根据多边形的内角和公式

(几-2)x180。求解即可，掌握求多边形的内角和的公式是解答本题的关键.

【详解】正八边形的内角和为(8-2)'180。=1080。

答案第4页，共16页

，该正八边形的每个内角的度数是1080。+8=135°.

故答案为：135。.

14.-4<x^l

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集

即可.熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不至『’的原则是解答此题的

关键.

J3（x+1）>2尤-1①

【详解】

12一尤21②

解不等式①，去括号得，3x+3>2x-l

移项，合并同类项得，x>T;

解不等式②，移项，合并同类项得，-xN-1

系数化为1得，%<1

故不等式组的解集为：Y<xWl.

故答案为：T<xWl.

15.必<%<%

【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键.根

据题意得到。<0,对称轴x=l,根据增减性即可得到答案.

【详解】解：抛物线与y轴的交点在负半轴上，

:.a<0,开口向下，且对称轴尤=-二=一事=1,

2a2a

故A（-0.55%）关于对称轴的对称点横坐标为2.5,

由于开口向下，当x>l时，函速达单调递减，

故答案为：％<%<%.

16.3

【分析】过点D作。于点E,根据直角三角形中，30。所对的直角边是斜边的一半求

出DE长，再根据角平分线的性质得CD=DE,再用一次刚才的定理求出BD,再根据直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CP的长.

【详解】解：如图，过点D作于点E,

答案第5页，共16页

VZACB=90°,Z/4BC=60°,

AZA=90°-60°=30°,

DE=-AD=3

2f

•「BD平分/ABC,

：.CD=DE=3ZCBD=-ZABC=30°

f29

在RtABCD中，BD=2CD=6,

TP是BD的中点，

CP=-BD=3.

2

故答案是：3.

【点睛】本题考查直角三角形的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边

上的中线的性质和含有30。角的直角三角形的性质.

17.5〃

【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关

键.根据弧长公式求出每段弧长即可得到答案.

【详解】解：为等腰直角三角形，

.•.ZA=NC=45。，

AB=BC=2,

n一n7iAB457rx2兀

故每段弧长为

故图②图形的周长为:7xl0=5万.

故答案为：5万.

18.—

72

【分析】本题考查了数字的变化类题目，根据题意找出分子和分母与序号的关系进而求解即

可，解题的关键是根据题目的变化规律得到相应的结果.

答案第6页，共16页

【详解】第1个数为|=制

第2个数为，=罕土

62x3

第3个数为

第4个数呜口

第5个数为『就1

•・・第8个数为含=*

17

故答案为：—.

19.痒1

【分析】本题考查的是零次幕的含义，二次根式的乘法运算,熟记运算法则是解本题的关键.

先利用平方差公式计算二次根式的乘法运算，零次幕和绝对值，再合并即可.

【详解】(2-⑹(2+⑹+卜闽一(万一3)°

=4-3+73-1-1

=A/3—1.

20.(1)%=1，%2=4

3

(2)Xj=—f4=1

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键.

(1)先去括号，然后利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而解方程即可；

(2)先移项，然后利用提公因式法把方程左边分解因式，进而解方程即可.

【详解】(1)解：5)+4=0,

/.f-5x+4=0,

(%-l)(x-4)=0,

••x—1—0或x—4=0,

答案第7页，共16页

解得%=1,%=4；

(2)解：V3(%-1)2=X(1-%),

3(x-l)"+x(x-l)=0，

：.[3(x-l)+x](x-l)=0,BP(4x-3)(x-l)=0,

/.4x—3=0或x—1=0,

,3

解得玉=屋*2=1•

21.(1)见解析；(2)见解析.

【详解】解：(1)如图:

22.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定.

(1)旋转的性质，得到“AD=NCAE=100°,A8=AD,AC=AE,SAS证明

即可;

(2)等边对等角，推出NABD+/E4£=180。，得到AEBD,同理.〃砂，得到四边

答案第8页，共16页

形ABEE是平行四边形，再根据AB=AE,即可得出结论.

掌握旋转的性质，是解题的关键.

【详解】（1）证明：•・,旋转，

ZBAD=ZCAE=100°,AB=AD,AC=AE,

：.AABD^AACE（SAS）；

（2）证明：,：AB=AC,AB=AD,AC=AEf

：.AB=AC=AD=AEf

9：ZBAD=ZCAE=100°,

：.ZABD=ZADB=ZACE=ZAEC=40°,

•・・ZBAE=ZBAD+ZDAE=140°f

：.ZABD^ZBAE=1SO0,

AEBD,

同理AB〃£F,

...四边形ABFE是平行四边形

AB=AE,

平行四边形ME是菱形.

23.（l）y=9（尤＞0）,y=--1x+4

⑵16

【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题.

（1）将点A代入反比例函数解析，求出左的值，把点8代入反比例函数解析式求出。的值,

再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；

（2）求出。点坐标，利用△ABD的面积等于SBC»-SA。，进行求解即可.

正确的求出函数解析式，利用分割法求面积，是解题的关键.

【详解】（1）解：：反比例函数〉=；（》＞0）的图象过4（2,3）、B（a,l）,

根=2X3=1XQ,

m=a=6,

：.y=?（x＞0）,8（6,1）,

答案第9页，共16页

把A(2,3)、3(6,1)代入一次函数解析式，得：

[2k+b=3

[6k+b=l'

\k=~-

解得：，2,

Z?=4

y=一＜犬+4；

(2)Vy=--x+4,

2

・••当％=0口寸，y=4,

C(0,4),

D(OT),

CZ)=8,

过点人作4"，'轴于点A/,过点8作BN_Ly轴于点N,

AM=2,BN=6,

△ABZ)的面积等于SBCD—SACD=—x8x6——x8x2=16.

24.(1)y=-1Ox2+1700x+66000

(2)当售价为86或84元时，每月销售商品的利润达到6240元.

答案第10页，共16页

【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，解一元二次方程的应用，理清题中的数

量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

（1）根据总利润等于每件的利润乘以销售量写出y与x之间的函数表达式并化简即可；

（2）令y=6240,得至1］一10f+1700尤+66000=6240解方程求解即可.

【详解】（1）解：由题意得：

y=（x-60）［300-10（x-80）］=-10x2+l700尤+66000,

y与龙之间的函数表达式为y=-10必+1700x+66000；

（2）令y=6240得，

-10/+1700%+66000=6240

解得%=86,x2=84,

•♦•当售价为86或84元时，每月销售商品的利润达到6240元.

25.（1）P=1

⑵P=（

【分析】本题主要考查了列表法与树状图以及概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键.

（1）直接利用概率公式计算即可;

（2）画树状图得到所有结果，找出符合条件的结果利用概率公式计算即可.

【详解】（1）解：由五个基本陈列（分别记为A,B,C,D,E）,

二小亮周六选择“甘肃丝绸之路文明展”进行讲解的概率P=j；

（2）解:画树状图，小亮周六、周日两天义务讲解一共有25种等可能的情况,

其中两天选择同一个基本陈列进行义务讲解是5种，

ABCDEABCDEABCDEABCDEABCDE

答案第11页，共16页

26.（1）证明见解析；（2）273-1^.

【分析】（1）连接0C,根据圆周角定理求出NCOA,根据三角形内角和定理求出NOCA,

根据切线的判定推出即可.

（2）求出DE,解直角三角形求出0C,分别求出4ACO的面积和扇形COD的面积根据转

换思想，由即S阴影=5AAe0-S扇形.co可得出答案.

【详解】解：（1）证明：如答图，连接OC,交BD于E,

ZB和NCOD是同弧所对的圆周角和圆心角，ZCOD=2ZB.

VZB=30°,AZCOD=60°.

VZA=30°,.,.ZOCA=90°,即OC_LAC.

；.AC是。O的切线.

(2)：AC〃BD,ZOCA=90°,ZOED=ZOCA=90°.

：BD=2如,DE=-BD=y/3.

2

DE

,在R3ODE中,sinACOD=-----,OD=2.

OD

AC

;在RtAACO中,tem^-COA.—......,**•AC=.

oc

]cc860-^-22c后2

,,S阴影=^AACO.S扇:膨。8=32.2'3一--=2^3--^.

【点睛】本题考查圆周角定理；三角形内角和定理；切线的判定；平行线的性质；垂径定理;

锐角三角函数定义;特殊角的三角函数值;扇形面积和三角形面积的计算;转换思想的应用.

27.(1芦mm,当mm

77

2

(2)最大值为2400mm2,止匕时PN=60mm,PQ=80--x60=40mm

【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，熟练掌握相似三角形的

判定和性质是解题的关键.

答案第12页，共16页

（1）设PN=2y,则PQ=y,然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出

即可;

⑵设PN=x,用P。表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出

比例式，根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题回答问题.

【详解】（1）解：设PN=2y,则=

由题意知AAPN(^AABC,

PNAE

BC~AD

2y80-y

即

120-80

w240

斛得y=

n2240c480

PN=x2=-----mm

77

480

故这个矩形零件的两条边长是寸mm-----mm；

7

（2）解：设PN=x,矩形PQMN的面积为S,

由题意知/\APNs2xABC,

PNAE

*BC-AD?

'也丝，

12080

2

解得PQ=80-丁，

272

:.S=PNPQ=x(80--x)=--x2+80x=--(x-60)2+2400,

2

.：S的最大值为2400mm2,此时PN=60mm,PQ=80--x60=40mm.

191

28.(1)y——xH—x+2

42

⑵不巫

220

(3)(2,2)或(一6,TO)

【分析】（1）将4（-2,0）,C（0,2）代入函数解析式，利用待定系数法即可求出答案;

⑵根据题意用含f的式子表示出==得到

答案第13页，共16页

SEFB=~BEFG=^x(6-2t)x^-t即可求出答案；

(3)分三种情况，当NMPC=90。，当NMCP=90。，当NCMP=90。时依次进行讨论分析.

【详解】(1)解：抛物线y=^+；x+c交x轴于A(-2,0),与y轴交于点C(0,2),

(0=4a-l+c

[c=2

fa=——1

4,

c=2

故抛物线的解析式为y=-9+；x+2；

(2)解：作FGLx轴于点G,

CO〃x