2019-2020学年人教A版安徽省安庆市高一第一学期（上）期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共12小题）

1.已知全集Z/={2,3,5,7,11,13,17,19},集合4={2,7,11},集合分={5,11,

13},则([/)DB=()

A.{5}B.{13}C.{5,13}D.{11,13)

2.计算：Iog32-Iog36=()

A.1B.-1C.-log32D.-2log32

3.已知森函数f(x)=(J-2a-2)•，在区间(0,+8)上是单调递增函数，则a的

值为()

A.3B.-1C.-3D.1

4.在△48C中，已知sin4=2sin氏osC,则该三角形的形状是()

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

5.若实数“〃满足2"V2",则下列不等关系成立的是（）

A.Iog2/n<Iog2nB・Vm^-Vn

C.—>—D.dvd

mn

6.下列关系式一定正确的是(

A.sin2<0B.cos3>0

C.sin(n-3)=-sin3D.|sin2a|W2|sina

7.若函数尸sin2x的图象经过点P(K,必)，则其图象必经过点()

兀

A・(一痴,M)B.(―+x0,y0)

兀

D

C・(―-x0，y0)-(n-即，必)

兀

8.已知tana=2,贝寸tan(a--^-)+tan2a=()

517

A.-1B.1C.—D.—

315

9.函数f(x)=As\n(OJA+0)(其中G>0,3>0,|0|<n)的图象如图所示，则co,

（D的值为（）

论：①该函数的值域为(0,+8)；②该函数在区间［0,+8)上单调递增；③该函数

的图象关于直线x=1对称；④该函数的图象与直线7=-3(aWR)不可能有交点.

则其中正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

sinx

11.函数y=；------------“Ic-xi在区间»3,0)U(0,3］上的图象为()

10§201912-2|

12.已知函数,(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,若对任意的x,MGR且*〈船有

f(x1)-f(x2)

1

-------.............->-3,则不等式11。改(3*-2)］<log216-3log2(3x-2)的解集为

xl-x2

()

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域,

答案写在试题卷上无效.

13.函数f(x)=lg(x+l)」7T的定义域为_____.

x-2

14.计算：sin39°cos21°+sin51°sin21°=.

/、2

15.已知函数f(x)=-3—+tanx,«f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=.

4X+1

16.若/为不等边△脑的最小内角，则f(A)=2s：nAcosA的值域为_____.

1+sinA+cosA

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知集合4={x|x》1},集合8={x|3-aW/3+a,aGR}.

(I)当a=4时，求4U8;

(II)若比/,求实数a的取值范围.

18.已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点户(3,-4).

(I)求sina-cosa的值；

(II)求sin(兀+a)+cos(?+a)的值.

cos(2兀+a)+sin(-a)

TTIT

19.已知函数f(x)=sin(3x—J+cos3x(3〉0)图象两条相邻对称轴间的距离为

62

(I)求函数，(x)在［0,n］上的单调递增区间；

JT

(II)将函数y=，(x)的图象向左平移;二个单位后得到函数尸g(x)的图象，求函

6

数y=g(x)图象的对称中心坐标.

20.已知函数/'(x)=且寸+耐+4,其中a,6GR,且a#=0.

(I)若函数尸,(外的图象过点(-3,1),且函数f(x)只有一个零点，求函数

f(x)的解析式；

(II)在(I)的条件下，若a6Z,函数g(x)=/n［f(x)-〃x］在区间［2,+~)上

单调递增，求实数々的取值范围.

21.某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在

某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖

面积达到27平方米.该生物覆盖面积y(单位：平方米)与经过时间x(xGN)个月的

关系有两个函数模型y=ka(/r>0,a>1)与*=⑶G+q(p>0)可供选择.

(I)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；

(II)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？(参考数据：

加=1.41,A/3^1.73,/屋右0.30,/#3«0.48)

22.已知函数f(x)=2亚sin(xC~)•cosx-1-

(I)当xE,7-］时，/(x)-mf(x)-庆°恒成立，求实数m的取值范围；

88

(II)是否同时存在实数a和正整数〃，使得函数g(x)=f(x)-。在［0,〃n］上恰

有2019个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和"的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知全集Z/={2,3,5,7,11,13,17,19},集合/={2,7,11),集合8={5,11,

13},则([/)CS=()

A.{5}B.{13}C.{5,13}D.{11,13}

【分析】进行补集、交集的运算即可.

解：3,5,7,11,13,17,19},A={2,7,11},B={5,11,13},

M={3,5,13,17,19},(C渊)(14{5,13).

故选：C.

2.计算：Iog32-log36=()

A.1B.-1C.-log32D.-2log32

【分析】利用对数的性质和运算法则求解.

91

解：Iog32-1咱6=1。83百=1。83"?"=T，

故选：B.

3.已知幕函数f(A-)=(a2-2a-2)•x"在区间(0,+°0)上是单调递增函数，则a的

值为()

A.3B.-1C.-3D.1

【分析】利用幕函数的定义和单调性即可算出结果.

解：•.•森函数A(x)=(a2-2a-2)•x'在区间(0,+°0)上是单调递增函数，

.Ia：-2a-2=l,解得a=3,

a>0

故选：A.

4.在△脑中，已知sin/=2sin氏。sC,则该三角形的形状是()

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即

可判断三角形的形状.

解：因为sin4=2sin氏osc,所以sin(*C)=2sin氏osC,

所以sin氏osC-sinCbos5^0,即sin(B-6=0,

因为4,B,。是三角形内角，所以"C.

所以三角形是等腰三角形.

故选：C.

5.若实数加，〃满足2"V2",则下列不等关系成立的是()

A.log2OT<log2/7B.

11,,

C.—>—D.mVn

mn

【分析】直接利用用不等式的应用求出结果.

解：实数m,"满足2"V2",所以

由于没有确定"和〃的符号，所以48c都错误.

对于选项。：(〃-加(rf+mdd)=(.n-m)[5+称)？+■^―]>0,

所以ri>m.

故选：D.

6.下列关系式一定正确的是()

A.sin2<0B.cos3>0

C.sin(n-3)=-sin3D.|sin2a|W2|sina|

JT

【分析】对于4B,由于0V2Vn,—<3<n,利用正弦函数，余弦函数的图象即可

判断错误；对于C,由于sin(n-3)=sin3,即可判断错误；对于〃，利用二倍角公

式化简，即可证明正确.

解：对于/,由于0V2Vn,可得sin2>0,故错误；

JT

对于8,由于”-V3Vn,可得cos3V0,故错误；

对于C,由于sin(n-3)=sin3,故错误；

对于〃，由于|sin2al=2|sina||cosa|W2|sina|<=>sina=0,或|cosa|W1,成立,

故正确.

故选：D.

7,若函数尸sin2x的图象经过点夕(指，”)，则其图象必经过点()

c/兀、

A.(-xo%)

9B.Cy+x。，y0)

c-哈。，）

-xy0D.(n-Ab,y&)

【分析】由已知可得％=sin2M,利用诱导公式逐项求值验证即可得解.

解：•.•y=sin2x的图象经过点"（弱，yQ）,可得必=sin2局,

对于4由于y=sin2（一指）=-sin2Ab=一用/抬,故错误;

(-^■痴)=sin(n+2x)=-s\n2x=-yb=#yb,故错误；

对于8,由于y=sin200

兀

对于C,由于y=sin2XQ)=sin(n-2x0)=sin2Ab=垓=刃，故正确；

对于4由于y=sin2(n-Ab)=sin(2TI-2M)=-sin2刖=一%丰先,故错误.

故选：C.

兀

8.已知tana=2,则tan(a--^J+tanZa=()

A.-1B.1c-f

【分析】由题意利用两角和差的正切公式、二倍角的正切公式，求得要去式子的值.

解：Vtana=2,则tan（a-?）+tan2a二十,tan；=

41+tana1-tanCL1+21-4

T,

故选：A.

9.函数f（x）=4sin（3/0）（其中J4>0,3>0,|0|<n）的图象如图所示，则3,

6的值为（）

A.3=3,@=4B.3=3,（J）=—C.3=6,Q=—D.3=6,（p=；—

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出3,由五点法作图求出。的值,

求出函数的解析式.

解：根据函数A（x）=/fein（3/0）（其中/>0,u）>0,|0|<n）的图象,

可得4=1,4"求得3=3.

43124

再根据五点法作图可得3・—+0=n,

4

求得4>=2TT_,

4

故选：A.

10.某数学课外兴趣小组对函数，（x）=2匠'|的图象与性质进行了探究，得到下列四条结

论：①该函数的值域为（0,+8）;②该函数在区间［0,+OO）上单调递增；③该函数

的图象关于直线x=1对称：④该函数的图象与直线y=-a?（aGR）不可能有交点.

则其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】在①中，该函数的值域为［1,+8）；在②中，该函数在区间［0,+8）上先减

后增；在③中，该函数的图象关于直线x=1对称；在④中，该函数的图象与直线尸-

a（aGR）不可能有交点.

解：由函数,（x）=2-'|的图象与性质，得：

在①中，该函数的值域为［1,+8）,故①错误；

在②中，该函数在区间［0,+oo）上先减后增，故②错误；

在③中，该函数的图象关于直线L1对称，故③正确；

在④中，Vf（x）=2卜-'|X1,y=-a2<0,

该函数的图象与直线y=-J（aGR）不可能有交点，故④正确.

故选：B.

sinx

函数尸-在区间［-3,0）U（0,3］上的图象为（）

11.xx

log2019|2-2-|

【分析】由函数为奇函数排除由f(3)>0排除C.

.，、sin(-x)sinx、

解：--------x=---------1cXxc-Xx故函数为奇函数,

log2019|2^-2|log2019|2-2|

由此排除47,

sin3sin3

f(3)=-

又排除£

log201918-^-1log2019^

故选：B.

12.已知函数F(x)是定义在R上的函数，f(1)=1.若对任意的M，MGR且有

f(x1)-f(x2)、

------------—>-3,则不等式11幅(3x-2)]<log216-3log2(3x-2)的解集为

xl-x2

()

B-S,C.(f,仔)D.a-H3O)

,1)

【分析】构造函数令g(x)=f(x)+3x,结合其单调性之间的关系，即可得到结论.

f(x1)-f(x2)

解：•.•对任意的XzGR且为VM有------------—>-3,

x「X2

f(Xi)-f(X2)<-3X+3X2,

即f(xj+3xi<f(x2)+3x2,

令g(x)=f(x)+3x,则可得g(x,)<g(3,

(x)在R上单调递增，且g(1)=2(1)+3=4,

Vf[log2(3x-2)]<log216-3log2(3x-2),

.,.f[log2(3x-2)]+3logz(3x-2)<4,

即g[log2(3z-2)]<g(1),

log?(3x-2)<1,

：.0<3x-2<2

••母y

故不等式的解集为号,

O

故选：C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域,

答案写在试题卷上无效.

9

13.函数f(x)=lg(x+l)的定义域为(-1,2)U(2,+8).

x-2

【分析】根据函数A(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可.

,，9

解：函数f(x)=lg(x+l)——

x-2

x+l>°,解得x>-1且x手2;

令＜

[x-2关0

所以函数5(x)的定义域为(-1,2)U(2,+8).

故答案为：(-1,2)U(2,+oo).

14.计算：sin39°cos210+sin510sin210=返.

—2―

【分析】由题意利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得结果.

解：sin39°cos210+sin51°sin210=sin39°cos21°+cos39°sin21°=sin(39°

+21")=sin600=返，

2

故答案为：返.

2

15.已知函数f(x)=F—+tanx,则2(-2)+2(-1)+2(0)+2(1)+尸(2)=5.

4X+1

【分析】解题的关键是根据式子结构，推导出f(x)+，(-x)=2,进而得解.

22

解：f(x)+f(-x)=——+tanx"t——+tan(-x)=

4X+14^+1

2.22-4~x+2-4x+4„

+=-2,

4X+1「+14*+4/+2

：.f(,-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=5.

故答案为：5.

16.若4为不等边△4%的最小内角，则f(A)=ZsinAcosA的值域为(0,，万_打.

1+sinA+cosA

TT

【分析】根据条件可得0V4V----,求出cos⑷~sin彳的取值范围后，令t=sin4^cos/,

3

从而得到?(⑷=2s：nAcosA=5i,再根据大的范围求出f(/)的值域.

1+sinA+cosA

TT

解：・・Y为不等边△48。的最小内角，：.0<A<—,

3

TT

:.sin4+-cos>4='n右(1，•

令t=sin今cos/,则2sinAcosA=t2-1,

2sinAcosAt2-1

二f(A)='=t-ie(0,V2-H-

1+sinA+cosA1+t

/.f(.A)的值域为(0,&-1].

故答案为：(0,祀-1].

解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知集合彳=,集合Q{x|3-aER}.

(I)当a=4时，求4U8；

(II)若比4,求实数a的取值范围.

【分析】(I)当a=4时，求出集合4,集合8,由此能求出/U8.

(II)当5=0时，3-a>3+a,当今08f,f3-a<3+a由此能求出实数a的取值范

l3-a>l

解：(I)当a=4时，集合4={x|x,1},集合4{x|-1WK7}.

/.XU5={x|x>-1}.

(II)•.•集合4={*|xi1},集合5={x|3-aW;<3+a,aCR},A,

，当B=0时，3-a>3+a,解得aVO,

当今。时，]3-af3+a,解得()Wa近2.

综上，实数a的取值范围是(-8,2].

18.已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(3,-4).

(I)求sina-cosa的值；

(II)求singa)+cos今+a)的值.

cos(2H+a)+sin(-a)

【分析】(I)由题意利用任意角的三角函数的定义，求得Sina,cosa的值，即可得

解sina-cosa的值.

(II)由条件利用诱导公式，即可求解.

解：(I)•.•角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,

-4),

故x=3,y=-4,/•=1明=49+16=5,

(II)sin(兀+a)+cos(-^~+a)_-sin0--sinO._5_8

cos(2兀+a)+sin(-a)Josa-sina-H)F

bb

TTTT

19.已知函数f(x)=sin(3x-「)+cos3x(3〉0〉图象两条相邻对称轴间的距离为.

62

(I)求函数f(X)在［0,TT］上的单调递增区间；

(II)将函数y=F(x)的图象向左平移一外单位后得到函数尸g(x)的图象，求函

6

数(x)图象的对称中心坐标.

【分析】(/)先结合两角和的正弦公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正

弦函数的单调性即可求解,

(//)结合函数的图象平移及正弦函数的对称性可求.

解：(/)f(x)=sin(W+cosWx(W>0),

6

Vs1

=j-sin3户■泮su)x,

=sin(3/----),

6

TT

・・•图象两条相邻对称轴间的距离为”-,

即T=n,

IT

•\a)=2,f(x)=sin(2A+----),

6

i7rljrir

令-■■兀+2k兀W2A+—7-<大■几+2k兀，可得4TT——+-r-,kGZ,

26236

K9jr

故函数A(x)在［0,n］上的单调递增区间［0,—］,［J-,n］；

63

ir

(II)由题意可得y=g(x)=sin(2户二二1)，

令2A+2-=〃TI可得x=-三。n,kGZ,

242

.,.函数y=g(x)图象的对称中心坐标(-2匚•《An,0),kGZ.

42

20.已知函数f(x)=ax+bx^4,其中a,6GR,且a#0.

(I)若函数y=，(x)的图象过点(-3,1),且函数，(x)只有一个零点，求函数

f(x)的解析式；

(II)在(I)的条件下，若aGZ,函数g(x)=/n［f(x)在区间［2,+°°)上

单调递增，求实数〃的取值范围.

【分析】(I)根据题意得，1=9尹3加4,即6=3>1①，△="-4aX4=6-16a=0

②，即可解得a,b,进而得出函数于(x)的解析式.

(II)因为aGZ,由上可知a=1,f(x)=/+4A+4,函数g(x)=/"［父+(4-A)A+4］

在区间［2,+oo)上单调递增，由复合函数的单调性得，y=f+(4-Qa4在区间［2,+

8)上单调递增，且任意xG［2,+8),A(4-A-)户4>0,即可解得力的取值范围.

解：(I)根据题意得,

1=9>394,即6=3>1,①

△=6-4aX4=N-16a=0,②

二」

由①②解得J9或1软=1,

,4[b=4

I吨

所以函数f(x)=f-x'+"^"x+4,或f(x)=X+4A+4,

(II)因为a£Z,由上可知a=1,

f(x)=f+4卢4,

函数g(x)=/n[f(x)(4-〃)A+4]在区间[2,+<»)上单调递增,

由复合函数的单调性得，

y=4+(4-〃)/4在区间［2,+oo)上单调递增，且任意x£［2,+8),(4-A)A+4

>0,

可得2》导卫24(4-QX2+4>0,

K8且4V8,

所以〃的取值范围k<8.

21.某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在

某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖

面积达到27平方米.该生物覆盖面积v(单位：平方米)与经过时间x(xGN)个月的

关系有两个函数模型a(Zr>0,a>1)与/=W^+q(p〉O)可供选择.

(I)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；

(II)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？(参考数据：

72^1-41,73^1.73,/必Q0.30,/依、0.48)

【分析】(I)判断两个函数y=ka(A>0,a>1)与与尸外G+q(p>0)在(0,+

8)的单调性，说明函数模型y=〃a'(〃>0,a>1)适合要求.然后列出方程组，求解

即可.

(II)由题意列指数方程，求解得答案.

解：(I)因为片=妙a(Zr>0,a>1)的增长速度越来越快，而尸^yQ+qlp〉。)增

长速度越来越慢，

f2_

ka

故依题意应选择尸ka*(4>0,a>1),则有，T8,解得.所以y=8・(-1)x;

ka3=27

Lk=8

(II)当片=0时，y=8,设经过x个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍，

Q1。mnno

则8・