2020-2021学年北京十九中高二（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年北京十九中高二（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1.设z=（2+z）i,则复数Z的虚部为（）

A.2iB.2C.1D.i

2.直线/经过原点和（1,-1）,则它的倾斜角是()

A.45°B.-45°C.135°D.45°或135°

3.已知圆（X+1）2+）2=2,则其圆心和半径分别为()

A.(1,0),2B.(-1,0),2C.(1,0),加D.(-1,0),72

4.经过点A（8,-2）,斜率为-2的直线方程为()

A.x+2y-4=0B.x-2y-12=0C.2x+y-14=0D,x+2y+4=0

5.在复平面内，复数；1对应的点位于（）

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第一象限D.第四象限

6.抛物线产=4x上一点P到焦点尸的距离为5,则P点的横坐标为（）

A.3B.4C.5D.6

7.如图，正方形ABC。与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=®,AF=\,M在EF上,

且AM〃平面BDE,则仞点的坐标为（）

A.（1,1,1）B.（返,返，1）C.（返,返，1）D.（返,迎，1）

332244

22

8.已知椭圆工■上=i上一点P到一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为

2516

()

A.2B.5C.6D.7

9.圆N+)2+4x-2y+l=0截x轴所得弦的长度等于()

A.2B.2yC.2娓D.4

10.已知点M(-2,0),N(2,0),,动点户满足条件|PM|-|PN|=2j^.则动点P的轨

迹方程为()

B.Z_Z=1

A.——_^—=I(x>0)

2222

22

C.(x>0)D.'j

4242

11.设点A（-«,0）,B（«,0）,M为动点，已知直线AM与直线的斜率之积

为定值方，点M的轨迹是（）

22

A--^--y^=l（y7^0）B,》^-_乂2=1（丫声0）

22

C.-^--y=l（y7^0）D.x=1（y7^0）

oo

12.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：（N+）2）3=4x2y2被称为“四叶玫瑰线”（如

图所示）.给出下列三个结论：

①曲线C关于直线），=x对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；

③存在一个以原点为中心、边长为友的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）.

其中，正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.已知椭圆中心在原点，一个焦点为尸（-2y，0）,且长轴长是短轴长的2倍，则该

椭圆的标准方程是.

22

14.椭圆三_+工_=1的离心率e=.

2516

15.如图所示，在长方体ABC。-A出601中，AB=BC=2,ZL4i=l,则BG与平面

所成角的余弦值为_____________________

16.已知点P是平行四边形4BCD所在的平面外一点，如果标=(2,-I,-4),屈=

(4,2,0),却=(-1,2,-1).对于结论：①4PLAB；②AP1_A£>；③标是平面

ABCD的法向量；④下〃应.其中正确的是.

三、解答题(本大题共2小题，共36分)

17.(18分)已知抛物线C：y=2px(p>0)的焦点为凡点用(2,m)为其上一点，且

\MF]=4.

(1)求p与m的值；

(2)如图，过点尸作直线/交抛物线于A、B两点，求直线OA、OB的斜率之积.

18.(18分)在如图所示的几何体中，四边形ABCO是正方形，四边形AQP。是梯形，PD

TT

//QA,ZPDA=—,平面AOPQ_L平面ABC。，且A£>=P£>=2QA=2.

(I)求证：08〃平面PDC；

(II)求二面角C-PB-Q的大小；

(III)已知点，在棱尸。上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为马叵，求线段

的长.

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，共48.0分)

1.设z=(2+/)i,则复数z的虚部为()

A.2iB.2C.1D.i

【分析】根据复数的运算性质计算出z,即可得到答案.

解：z—(2+/)i--1+2/,

所以z的虚部为2,

故选：B.

2.直线/经过原点和(1,-1),则它的倾斜角是()

A.45°B.-45°C.135°D.45°或135°

【分析】利用斜率的计算公式先求出直线的斜率，再利用正切函数求出直线的倾斜角.

解：•••直线/经过坐标原点和点(1,-1),

直线/的斜率上=『=-1，

一直线I的倾斜角a=135°.

故选：C.

3.己知圆(x+1)2+^=2,则其圆心和半径分别为()

A.(1,0),2B.(-1,0),2C.(1,0),&D,(-1,0),我

【分析】利用圆的标准方程，即可得出结论.

解：圆(x+i)2+)a=2的圆心为(-1,0),

半径为

故选：D.

4.经过点A(8,-2),斜率为-2的直线方程为()

A.x+2y-4=0B.x-2y-12=0C.2x+y-14=0D.x+2.y+4=0

【分析】先求出直线方程的点斜式，然后化为一般式即可.

解：由题意得，经过点4(8,-2),斜率为-2的直线方程为＞2=-2(x-8),

B|J2x+y-14=0.

故选：C.

在复平面内，复数；I对应的点位于（）

5.

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第一象限D.第四象限

【分析】先对复数进行化解，然后由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案.

=辱对应点（/,[）在第一象限.

解:1-1+i

1-iCl-i)(1+i)

故选：A.

6.抛物线^=以上一点P到焦点厂的距离为5,则尸点的横坐标为（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,

已知|MQ=5,则”到准线的距离也为5,即点M的横坐标吗■,将p的值代入，进而

求出X.

解：•.•抛物线产=©=2*，：.p=2,

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，

：.\MF]=5=x+^,，x=4,

故选：B.

7.如图，正方形A8CD与矩形4CEF所在平面互相垂直，AB=®,AF=1,M在E/上,

且AM//平面BDE,则M点的坐标为（）

A.（1,1,1）B.（返,组1）C.（返,返，1）D.（返,返，1）

332244

【分析】设AC、BD交于点0,连结。E,由已知推导出OAME是平行四边形，从而历

是EF•的中点，由此能求出点M的坐标.

解：设AC、8。交于点。，连结0E,

•.•正方形ABC。与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=®AF=\

何在£尸上，且AM〃平面BDE,

J.AM//OE,又AO"EM,OAME是平行四边形,

是EF的中点，

；E(0,0,1),F(&,加，1),

22

8.已知椭圆心上=1上一点P到一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为

2516

()

A.2B.5C.6D.7

【分析】先根据条件求出。=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离”的等式即可得到结

论.

解：设所求距离为4,由题得：。=5.

根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2“得：2"=3+d=4=2A-3=7.

故选：D.

9.圆N+y2+4x-2)，+l=0截x轴所得弦的长度等于()

A.2B.273C.2娓D.4

【分析】首先令y=0,整理得两根和与两根积，进一步求出弦长.

解：令y=0,则圆的方程转换为x2+4x+l=0,

所以Xl+X2=-4,XIX2—1,

所以AB|=|XJ-x2I=«X[+X2)2-4X[X2=2«.

故选：B.

10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|「||-怛1||=2亚.则动点/＞的轨

迹方程为()

C.(X>0)

42

【分析】根据已知条件，结合双曲线的定义可得，点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲

线的右支，即可求解.

解：由题意可知，点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支，

:点M（-2,0）,N（2,0）,动点P满足条件|PM|-|PN|=2j^，

：.c=2,a=®

，b=Vc2-3a2=72-（V2）2=V2>

22

.•.动点尸的轨迹方程为工■一匚=1（x>0）.

22

故选：A.

11.设点A（-«,0）,3（«,0）,M为动点，己知直线AM与直线8M的斜率之积

为定值［•，点M的轨迹是（）

2.

A.---y=1(y7^0)B-—x2=1(yT^0)

yy

2.

C.-1(y7^0)D♦-^-x^lCyT^O)

o

【分析】根据已知条件，结合斜率公式，即可求解.

解：设动点M（x,y）,

则k#黄万，k武吉/号士爪），

•.•直线AM与直线BM的斜率之积为定值1，

O

化简可得’株--丫2=1@卉0），

X"3xvo3

2门

故点M的轨迹方程为三一一y2=10卉0）.

3

故选：C.

12.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C（N+炉）3=4炉炉被称为“四叶玫瑰线”（如

图所示）.给出下列三个结论:

①曲线C关于直线y=x对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；

③存在一个以原点为中心、边长为我的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）.

其中，正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【分析】对于①，用（y,x）替换方程中的（x,y）,方程形式不变，即可求解，对于

②,设点p（x,y）是曲线上任意一点，则。2+丫2）3=4/>2,则点p到原点的距离为Jx2+y2,

再结合基本不等式的公式，即可求解，对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心

的最小的圆的半径为1,所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即可求得

正方形的边长最短为2,即可求解.

解：对于①，用（y,x）替换方程中的（x,y）,方程形式不变，

所以曲线C关于直线），=x对称，故①正确，

对于②，设点尸（X，j）是曲线上任意一点，则（N+为3=4x2/

则点P到原点的距离为可*2+丫2,

22

由（?+尸）3=4X2）2W4X（X）2,解得dx2+y24i，故②正确，

对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1,

所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2,故③错

误.

故选：A.

二、填空题（本大题共4小题，共16・0分）

13.已知椭圆中心在原点，一个焦点为尸（-2«,0）,且长轴长是短轴长的2倍，则该

22

椭圆的标准方程是“上=1.

-164

【分析】先根据题意。=26,。=2日并且。2=〃+。2求出小b,c的值，代入标准方程得

到答案.

b2=4

a=2b,c=2V322

解：已知《a2=16「上二i为所求;

a2-b2=c2''164

F（-2炳，0）

故答案为:

223

14.椭圆。+2_=1的离心率e=一

2516-5-

【分析】利用椭圆方程，求出实轴长，短轴长，得到焦距的长，然后求解离心率即可.

22

解：椭圆―二i可得：。=5,b=4,c=3,

2516

所以椭圆的离心率e=—=^-.

a5

故答案为：

5

15.如图所示，在长方体ABC。-A山Cid中，A8=8C=2,AAi=L则8如与平面5囱出£>

所成角的余弦值为巡.

【分析】由题意画出图形，找出直线3G与平面所成角，再求出BG与平面BBOiD

所成角的余弦值即可.

,：ABCD-AIBICIDI为长方体，，平面平面A\B\C\D\,

取的中点O,连接CiO,

VBICI=CIDI,ACIOIBIDI,

又平面BBiDiOC平面A\B\C\D\=B\D\,，CiOJ_平面BBiDiD,

连接BO,则ZGBO为直线BC\与平面BB\D\D所成角,

由已知，可得力0=后，BCi=J^^工=遥,

则BO=小C1-C/=^^=如,

：.BCi与平面BBiDiD所成角的余弦值为cos/C1B0率金

1V55

故答案为：叵.

5

16.已知点尸是平行四边形ABC。所在的平面外一点，如果正=(2,-1,-4),标=

(4,2,0),AP=(7,2,-1).对于结论：©APVAB-,②4PLA。；③后是平面

ABCD的法向量；④族〃丽.其中正确的是①②③.

【分析】利用向量垂直与平行的性质能求出结果.

解：由屈=(2,-1,-4),标=(4,2,0),而=(-1,2,-1),知：

在①中,亚・瓦=-2-2+4=0,・,•屈_1晟.\AP_LA8,故①正确;

在②中，族•丽=-4+4+0=0,・•.加1.丽，.,.AP_L4£),故②正确；

在③中，由AP_LA3,APVAD,ABHAD=Af知际是平面A8CO的法向量，故③正确;

在④中，BD=AD-AB=⑵3,4),

'-1=2入

假设存在人使得下=入而，贝/2=3，无解，

-1二4九

与谢不可能平行.故④不正确；

综上可得：①②③正确.

故答案为：①②③.

三、解答题(本大题共2小题，共36分)

17.(18分)已知抛物线Cy2=2px(p>0)的焦点为凡点M(2,〃])为其上一点，且

|MF|=4.

(1)求〃与机的值；

(2)如图，过点尸作直线/交抛物线于A、8两点，求直线OA、。8的斜率之积.

【分析】(1)求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义，可得P的方程，求得P

和抛物线的方程，以及小的值；

(2)求出抛物线的焦点，讨论直线/的斜率不存在，求得交点A,B,可得斜率之积：直

线/的斜率存在，设为k(ZWO),则其方程可表示为：y=k(x-2),联立抛物线的方

程，消去x,设4(xi,yi),B(及，>2),运用韦达定理和直线的斜率公式，计算即可

得到所求之积.

解：(1)抛物线C：产2Px(p>0)的焦点为F号，0),准线为xj.

由抛物线定义知：点M(2,打)到尸的距离等于M到准线的距离，

故|MF|=2玲=4，

...p=4,抛物线C的方程为y2=8x

•.•点M(2,m)在抛物线C上，

'.in1—16,即加=±4

；.p=4,m—±4；

(2)证明：由(1)知：抛物线C的方程为V=8x,焦点为尸(2,0)

若直线/的斜率不存在，

则其方程为：x=2,代入方=为,

易得：4(2,4),8(2,-4),

IIh.,4-0、，-4-0,

从而k°Ak0B=k*万寸=7；

若直线/的斜率存在，设为k(4/0),则其方程可表示为：y=k(x-2),

fy=k(x-2)i

92

由49,消去％得：y=k(4y-2)>

y=8x8

B|Jky2-8），-16仁0（WO）,A=64+64R>0

设A（X],yi）,3（X2,”），

则丫］丫2=y=一16'

•*-xiX2=.y/)(看了？？)得(yj2)2含X(-16)2=4)

y1-0xZ4Hl平.4.

从而04卜08=高与

x2-0xlx24

综上所述：直线。4、。8的斜率之积为-4.

18.(18分)在如图所示的几何体中，四边形ABC。是正方形，四边形AOPQ是梯形，PD

JT

//QA,ZPDA=—,平面AOPQ_L平面ABC。，且AZ)=P£>=2QA=2.

(I)求证：。8〃平面PDC；

(II)求二面角C-PB