专题17角平分线的四大模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（原卷版）

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题17角平分线的四大模型解题策略解题策略经典例题经典例题【例1】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级阶段练习）四边形ABCD中，DA=DC，连接BD．（1）如图1，若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．（2）如图2，若BD=BC，∠BAD=150°，求证：∠DBC=2∠ABD．（3）如图3，在（2）的条件下，作AE⊥BC于点E，连接DE，若DA⊥DC，BC=2，求DE的长度．【例2】（2022·山西·交城县教学研究办公室八年级期中）综合与实践：问题情境：已知OM是∠AOB的平分线，P是射线OM上的一点，点C，D分别在射线OA，OB上，连接PC,PD．(1)初步探究：如图1，当PC⊥OA，PD⊥OB时，PC与PD的数量关系是；(2)深入探究：如图2，点C，D分别在射线OA，OB上运动，且∠AOB=90°，当∠CPD=90°时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；(3)拓展应用：如图3，如果点C在射线OA上运动，且∠AOB=90°，当∠CPD=90°时，点D落在了射线OB的反向延长线上，若点P到OB的距离为3，OD=1，求OC的长（直接写出答案）．【例3】（2021·全国·八年级专题练习）如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【例4】（2021·贵州·九年级专题练习）【特例感知】（1）如图（1），∠ABC是⊙O的圆周角，BC为直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD=3，BD=4，求点D到直线AB的距离．【类比迁移】（2）如图（2），∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由．【问题解决】（3）如图（3），四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，BD=72，AB=6，求△ABC培优训练培优训练一、解答题1．（2022·全国·八年级课时练习）已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断△BEG的形状，并说明理由．3．（2022·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为．（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．5．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1，在△ABC中，CM是AB边的中线，∠BCN=∠BCM交AB延长线于点N，2CM=CN．（1）求证AC=BN；（2）如图2，NP平分∠ANC交CM于点P，交BC于点O，若∠AMC=120°，CP=kAC，求CPCM6．（2022·全国·八年级课时练习）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．7．（2022·全国·八年级课时练习）已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC．（1）如图1，求证：AB=AC；（2）如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且∠ABG=∠ACF，连接FG．①求证：∠AFG=∠AFC；②若S△ABG:S△ACF=2:38．（2022·全国·八年级）如图1，在△ABC中，AF，BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，AF和BE相交于D点．（1）求证：CD平分∠ACB；（2）如图2，过F作FP⊥AC于点P，连接PD，若∠ACB=45°，∠PDF=67.5°，求证：PD=CP；（3）如图3，若2∠BAF+3∠ABE=180°，求证：BE−BF=AB−AE．9．（2022·湖南·宁远县至善学校八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,a)，点B的坐标(b,0)且a，b满足a2（1）求A、B两点的坐标；（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点，OC<OB，BD⊥AC于D，交y轴于点E，求证：OD平分∠CDB．（3）如图（2），点F为AB的中点，点G为x正半轴点B右侧的一动点，过点F作FG的垂线FH，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，S△AFH10．（2022·全国·八年级课时练习）已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．11．（2022·全国·八年级课时练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．12．（2022·全国·八年级）在平面直角坐标系中，点A−5,0，B0,5，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点（1）如图①，若点C的坐标为（3，0），试求点E的坐标；（2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC<5，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分∠ADC（3）若点C在x轴正半轴上运动，当∠OCB=2∠DAO时，试探索线段AD、OC、DC的数量关系，并证明．13．（2022·全国·八年级）如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN//PQ．∠NAB和∠ABQ的平分线交于点C．（1）求证：BC⊥AC；（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE=AB；②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．14．（2018·湖北武汉·八年级期中）在平面直角坐标中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，A（0，a），B（b，0）．（1）如图1，若2a−b（2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE；（3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，-6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．15．（2018·辽宁·沈阳市第一四三中学八年级期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.

16．（2019·全国·九年级专题练习）已知：ΔABC中，D为BC的中点，AG平分∠BAC,CG⊥AG于G，连结DG，若AB=6,AC=4，求DG的长．17．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．（1）求证：∠BFC=90°+1（2）已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．18．（2022·广东·金辉学校九年级阶段练习）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=1，BC=3，动点O从点C出发，沿着C→B→A→C(1)若⊙O分别与AB，①利用直尺和圆规作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；②求出此r时的值；(2)当r=1时，设⊙O在运动的过程中与△ABC三条边的公共点个数为m，那么m的最小值是___________，最大值是___________．19．（2022·四川·石室中学八年级期中）如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，且AD=65