微积分公式与定积分计算练习

微积分公式与定积分计算练习〔附加三角函数公

式〕

一、根本导数公式

(c)'=°⑵〃sinx)=cosx

⑴%="T⑶

(cosx)=-sinx(5)(tan%)=sec2x“、(cot%)=-csc2x

(4)(6)、7

(secx)=secx-tanx(cscx)=-cscx-cotx

⑺(8)

(in%)'1

ax=axIna

(9)⑩(11)x

11

1(arcsinx)(arccosx)

⑫(g)’22

xina⑬1-x(14)1-x

1

]

(arctanx/(arccot%)

V1+-V2(17)

(15)1+x⑯

二、导数的四那么运算法那么

u+v]=u'±v'(wv)=ILV+uV

三、高阶导数的运算法那么

[1)[〃(X)土v(x)r)="(x)⑺土v(x)⑺(%)

⑵

["(%)•v(%)[⑺=ic)g)(x/(%)

[3)[沈(Qx+b)](〃)=。〃/〃)(QX+Z?)

⑷k=0

四、根本初等函数的n阶导数公式

•产"a=axIn"a

⑵⑶

=ansinax+b+n-—[cos(ax+Z?)y)=ancosax+b+n-

I2I2

(5)

.(«)nn

1I=(T.(a-n\[ln(ox+b)](〃)0・(n

\n+l

\ax-\-bax+b7)

(6)⑺

五、微分公式与微分运算法那么

⑴〃(c)=°="x»-'dx⑶d(sinx)=cosxdx

22

⑷d(cosx)=-sinxdx(5)d(tanx)=secxdx⑹d(cotx)=-escxdx

⑺d(secx)=secx-tanAz/xa、d(escx)二一escx•cotAZ/X

⑻\7

(9)+')=

exdx/"(a")=axInadxd(]nx]=—dx

⑩\)(11)x

d(arcsinx)=——dxd(arccosx)=——Jdx

=*公

⑫422

⑬yl—x⑭y/l—x

d(arccotx)=------^rdx

d(arctanx)=dx

2⑯')1+X2

六、微分运算法那么

^d[u±v)-du±dv⑵d(cu)=cdu

vdu-udv

d

⑶d=vdu+udv2

(4)v

七、根本积分公式

口+C"=ln|x|

kdx—kx+cJ11

⑴〃+l(3)X

faxdx=———\-c

exdx=ex+ccosAz/x=sinx+c

(4)Jln〃⑸(6)

2

JsinAZ/X=-cos%+c-----z-dx=fsecxdx=tanx+c

⑺JcosxJ

12

=jescxdx=-cotx+c—必:=arctanx+c

22

(9)sinx(10)1+x

j/1dx=arcsinx+c

(11)J后

八、补充积分公式

Jtanxdx——ln|cosx|+cJcotxdx=In|sinx|+c

Jsecxdx=In|secx+tanx|+cescxdx=Inescx-cotx+c

—1=—Inx-a

6&=-arctan-+c+c

aax—a2。x+a

1,.x1

/dx=arcsin—+c6k=Inx+y/x2±a2+c

y/a2-x2〃y/x2±a2

九、以下常用凑微分公式

积分型换元公式

u=ax+b

1/(ox+Z?)(ix=—1〃依+Z?M(ax+b)

J7(x"卜"％=-J7(x"Wx")

u=

j/(inx)--=j“In九*(ln九)w=lnx

X

J7㈤.《公=]7(/卜(，)u=ex

[f{ax)-axdx=^-\f(axyi(ax

)u=ax

Jf(sinx)•cosxdx=j/(sinx)d(sinx)w=sin%

u=cosX

Jf(cosx)•sinxdxf(cosx)d(cosx)

〃

j/(tan%)•sec2xdx=j/(tanx)d(tanx)=tanx

Jf(cotx)-esc2xdx=j/(cotx)d(cotx)u—cotX

Jf(arctanx)­2dx=^/(arc^nx)6?(arc^nx)

M=arctanx

j/(arcsinx)•/1?dx=/(arcsinx)d(arcsinx)w=arcsinx

y/l—x

十、分部积分法公式

⑴形如I，'改,令沈=x〃，dv=e"dx

形如$足皿令》=%〃，dv=sinxdx

形如J%cos%"%令"=%〃，dv=cosxdx

⑵形如州ctanx办:，令〃=arctan%,dv=xndx

形如卜In犬叱令〃=lnx,dv=xndx

『一

⑶/形如J\sinxdx,J[cosxdx令Au-e,bcin%r,cobs%r均可。

十一、第二换元积分法中的三角换元公式

⑴飞a2-x1x=asintQ)x=atant⑶飞炉-a2x—asoct

【特殊角的三角函数值】

.711

sin—sin—二——sin—=1

⑴sinO=O⑵62⑶32⑷2⑸sin»=O

7TV3711

cos—=——cos—=—cos—=0

⑴cosO=l⑵62⑶32⑷2⑸cos»二一1

兀7171

tan—=—tan—=Gtan—

⑴tan0=0⑵63⑶3⑷2不存在[5)tan»=0

n71八

cot-Gcot—cot—=0

[1)cot°不存在(2)6(3)33⑷2(5)cot乃不存在

十二、重要公式

「sin%1i

hm-1lim(zl+x)%=elim布(a>o)=l

⑴％-。X⑵x->0v7⑶n—>oo

limyfn=1limarctanx=—limarctanx=--

⑷⑸XT92⑹2

limarccotx=0limarccotX-TIlime"=0

⑺f⑻c—>-oo[9]x—>-oo

lime*=8limxx=1

〔10〕i0(11)

a

—0n—m

b°

Hm-x+…+%_0n<m

/叫/+…++bm

oon>m

〔（系数不为0的情况）

[12)

十三、以下常用等价无穷小关系1％―0）

l2

1-cosxx

sinxxtanx%arcsinxXarctanxX2

ln(l+x)x9-l

ex-1x(jx—1xlna(l+x)’dx

十四、三角函数公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A—B)=cosAcosB+sinAsinB

tanA+tanBtanA-tanB

tan(A+B)=tan(A-B)=

1-tanAtanB1+tanAtanB

cotA•cotB-lcotA-cotB+1

cot(A+B)=cot(A-B)=

cotB+cotAcotB-cotA

sin2A=2sinAcosAcos2A=cos12A-sin2A=l-2sin2A=2cos2A-l

2tanA

tan2A=

1-tan2A

.A1-cosAA1+cosA

sin——=cos—二

22~22

A11-cosAsinAA/1+cosAsinA

tan-=J------------cot——=J------------=-------------

2v1+cosA1+cosA2v1-cosA1-cosA

..7•a+ba-b..7a+b.a-b

sinQ+sin。=2sin--------cos--------sin〃一sin。=2cos--------sin--------

2222

7八a+ba-b7c-〃+b-a-b

cosa+cosb=2cos--------cos--------cosa-cosb=-2sin--------sin--------

2222

sin(〃+/?)

tana+tan/?=---------------

cosa•cosb

sinQsinb=一g[cos(Q+b)一COS(6Z-/?)]cosacosb=g[cos(a+b)+cos(a-Z?)]

sinacosb=g[sin(〃+/?)+sin(a-b)]cosasinb=g[sin(a+b)-sin(

a-匆

2tan—1-tan2—2tan—

.?2

sina---------cosa-------------tana------------

1+tan—1+tan—1-tan2—

222

sin2x+cos2x=lsec2x-tan2x=lesc2x-cot2x=l

tanx-cotx=lsecx-cosx=lcscx-sinx=l

sinxcosx

tan%=-------cotx=-------

cosxsinx

十五、几种常见的微分方程

.%="x)g(y)fl(x)gl(y)dx+f2(x)g2(y)dy=0

dy_y

dxX

孚+p(x)y=Q(x)力㈤，JQ(X)/。"公+c

去解为:

高考定积分应用常见题型大全

选择题（共21小题）

1.（2023•福建）如下图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,那么点P恰好取自阴影局部的概

率为〔）

4567

2.(2023•山东)由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为〔)

A.1B.1C.1D.7

1243?2

x2,x€[0,1]

3.设f[x)=[2-x,x€(1,2],函数图象与x轴围成封闭区域的面积为〔)

A.3B.4C.5D.g

4567

J?(2x+-)dx

4.定积分」1x的值为〔)

A.9B.3+ln2C.3-In2D.6+ln2

4

5.如下图，曲线y=x2和曲线y='八围成一个叶形图（阴影局部），其面积是（）

1c-1D-V2

23T

JT

J2n(x+cosx)dx

6.2=()

A.TTB.2C.-nD.4

7.函数f(x)的定义域为[-2,4],且f[4)=f(-2)=1,f(x)为f[x)的导函数，函数y=F[x)

的图象如下图，那么平面区域f(2a+b)<1(a>0,b>0)所围成的面积是()

C.5D.8

2

8.Jokxdx与JoHdx相比有关系式()

A.2B.2

/0%'dx</o%"dx/0%'dx>/o%、dx

C.2D.2

[J(/e'dx〕2=/o1exdxf0%'dx=foHdx

J^sinxdx]

9.假设a=T,b=J()cosxdx,那么a与b的关系是()

A.a<bB.a>bCa=bD.a+b=O

10.J0(Jl-(x-1)2-x2)dx的值是

(]

A.JT1B.711cK1D.

--——兀-1-

4343232

f-ex,x>l

|x|,x《l(e为自然对数的底数)，那么」T°【)dx_

11.假设f〔X)=()

A.1B.1c11D.1

2+e2-e2+e2-e2+e-2+e2-e

12.f(x)=2-|x|,那么,3f(X)dx=(

)

A.3B.4cD.

13.设f[x)=3-|x-1|,那么J-22f(x)dx=()

A.7B.8cD.

14.积分/_ava2_x2dx=()

A.12B.19C.TiaD.2na

一兀a小兀a

42

cosx,-^<x<0

f(x)=4

15.函数-x+1,0<x<l的图象与x轴所围成图形的面积为1）

A.1/2B.1C.2D.3/2

3兀

16.由函数y=cosx[0<X<2K）的图象与直线'X^-T7-及y=l所围成的一个封闭图形的面积是1

A.4B.3兀C.71D.2TC

T+1T+1

17.曲线y=x3在点（1,1）处的切线与〉;轴及直线X=1所围成的三角形的面积为〔）

A.1B.1C.1D.1

~12632

18.图中，阴影局部的面积是1）

jJ"，

A.16B.18C.20D.22

109.如图中阴影局部的面积是（）

A.2MB.9-273c.32D.35

~3~3

20.曲线尸血但-?三）

4与坐标轴围成的面积是〔）

A.近B.2-72C.&。«

~22-T

21.如图，点P[3a,a）是反比例函尸x[k>0）与。O的一个交点，图中阴影局部的面积为10兀，那

么反比例函数的解析式为1〕

C.12D.27

y二Xy二X

高考定积分应用常见题型大全〔含答案〕

参考答案与试题解析

选择题（共21小题）

1.（2023•福建）如下图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,那么点P恰好取自阴影局部的概

率为（）

A.1B.1C.1D.1

4567

考点：定积分在求面积中的应用；几何概型.501974

专题：计算题.

,根据题意，易得正方形。ABC的面积，观察图形可得，阴影局部由函数y=x与y=Mx围成，由定

积分公式，计算可得阴影局部的面积，进而由几何概型公式计算可得答案.

解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1x1=1,

2之/1

而阴影局部由函数y=x与y='"围成，其面积为」〔蛆-x〕dx=[3x2-2]10^6,

1

61

那么正方形OABC中任取一点P,点P取自阴影局部的概率为1=卫；

应选C.

点评：此题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影局部的面积.

2.[2023•山东）由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为〔）

A.1B.1C.1D.7

?243五

考点：定积分在求面积中的应用.501974

专题：计算题.

分析：要求曲线y=x[y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求//〔x'x3〕dx即

可.

解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是〔1,1〕，〔0,0]故积分区间是[0,口

-x1-AX1=-^

所求封闭图形的面积为I一〔/-edx=3412,

应选A.

点评：此题考查定积分的根底知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积.

x2,x€[0,1]

3.设f[x）=[2-x,x€（1,2],函数图象与x轴围成封闭区域的面积为〔）

A.3B.4C.5D.6

4567

考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用.501974

专题：计算题；数形结合.

分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两局部用定积分求出其面积，再

把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积.

J；x2dx+J（2-x）dx今（2--|）=1

应选C

点评：此题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题.解题

关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性.

J?（2x+-）dx

4.定积分1x的值为〔）

A.9B.3+ln2C.3-In2D.6+ln2

4

考点：定积分；微积分根本定理；定积分的简单应用.501974

专题：计算题.

分析：由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分根本定理求出定积分的值即可.

解答：J：（2x+-）dx2222

解：1X=〔X+lnx〕|i=〔2+In2〕-[1+lnl]=3+ln2

应选B.

点评：此题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于根底题.

5.如下图，曲线y=x2和曲线y=右围成一个叶形图（阴影局部），其面积是（）

7

1

A.1B.1c-1D.72

23T

考点：定积分；定积分的简单应用501974

专题：计算题.

刀析,联立由曲线y=x?和曲线y=爪两，

4解析式求出交点坐标，然后在xC[0,1]区间上利用定积分

的方法求出围成的面积即可.

解答：卜x2

解：联立得1支4，

（x=l（x=0

解得i厂1或i产0,

设曲线与直线围成的面积为S,

1

那么S=Jo1[Vx-X2]dx=3

应选：c

点评：考查学生求函数交点求法的能力,利用定积分求图形面积的能力.

J2n（x+cosx）dx

6.~T=[）

A.TTB.2C.-TTD.4

考点：微积分根本定理；定积分的简单应用.501974

专题：计算题.

分析：J.

b

由于F〔X〕=2x?+sinx为f〔X〕=x+cosx的一个原函数即F〔X〕=f〔X〕，根据faf［x］dx=F〔X〕

I—公式即可求出值.

解答：」

解:•/〔2x2++sinx］'=x+cosx,

2[x+cosx]dx

=〔2x2+sinx］2

=2.

故答案为：2.

点评：此题考查学生掌握函数的求导法那么，会求函数的定积分运算，是一道根底题.

7.函数f(x)的定义域为［-2,4］,且f〔4)=f〔-2)=1,F(x)为f［x)的导函数，函数y=F(x)

的图象如下图，那么平面区域f［2a+b)<1(a>0,b>0)所围成的面积是〔)

A.2B,4C.5D.8

考点：定积分的简单应用.501974

分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图,找出a、b满足的条件，画出平面

区域，即可求解.

解答：解：由图可知［-2,0］上f’〔X〕<0,

・•.函数f〔X〕在［-2,0］上单调递减，［0,4］上F〔X〕>0,

・•・函数f〔X〕在〔0,4］上单调递增,

故在［-2,4］上，f〔X〕的最大值为f⑷=f〔-2〕=1,

r-2<2a+b<4

,a>0

.•.f〔2a+b〕<1〔aNO,b\0］=>Ib>0

表示的平面区域如下图：

应选B.

b

点评：此题考查了导数与函数单调性的关系,以及线性规划问题的综合应用，属于高档题.解决时要注

意数形结合思想应用.

2

8.JoHcix与dx相比有关系式（)

A.2B.

f0%"dx<fo%>dx/o'e'clx〉]‘o%'dx

C.2D.2

〔JoVdx]2二jo%'dx1o1exdx=1o%'dx

考点：定积分的简单应用；定积分.501974

专题：计算题.

分析：2

根据积分所表示的几何意义是以直线x=0,X=1及函数丫=/或丫二^在图象第一象限内圆弧与

坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可.

解答：解：l/e^dx表示的几何意义是以直线x=0,x=l及函数y=e*在图象第一象限内圆弧与坐标轴围

成的面积，

22

/oVdx表示的几何意义是以直线x=0,x=l及函数y=e*在图象第一象限内圆弧与坐标

轴围成的面积，

如图

22

•.,当0<x<l时,exx>ex,故有:fo1exdx>Joxexdx

应选B.

点评：此题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意

义进行求解，属于根底题.

JKsinxdx]

9.假设a=T,b=J0C°sxdx,那么a与b的关系是1)

A.a<bB.a>bC.a=bD.a+b=O

考点定积分的简单应用.501974

专题计算题.

分析212

Jn-sinxdx|n-兀

2=[-cosx]2二〔一cos2]-〔-cos2〕二一cos2~sin24.6。,

b='ocdx=sinx।0=sinl-sinO=sinl=sin57.3°.

解答212

Jn-sinxdx|n-兀

解：:a二2二〔-cosx]2=[-cos2]-〔-cos2}--cos2--cosll4.6°=sin24.6o,

b=,gcosxdx_sinxI0=sinl-sin0=sinl-sin57.3°,

b>a.

应选A.

点评：此题考查定积分的应用，是根底题.解题时要认真审题，仔细解答.

10.J；（&-（x-1）2-x2）dx的值是〔）

A.n_1B.n_ic.JTD.ji_

T~1~2~

考点：定积分的简单应用.501974

专题：计算题.

分析：根据积分所表示的几何意义是以［1,0］为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x?在第一

象限的局部坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的局部与x

轴和直线x=l围成的图形的面积即可.

解答：解；积分所表示的几何意义是以［1,0］为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x?在第一

象限的局部坐标轴围成的面积，

故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的局部与X轴和直线X=1围成的图形的面

积之差.

兀

兀

兀11

3-21231-

a2一--

-X4X-X43

即odxOdx43O

---=

故答案选A

点评：此题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意

义进行求解，属于根底题

f-ex,x>l

<

11.假设f〔X)=1lx|，X<1〔e为自然对数的底数),

【)

A.1B.1C.1D.1

2+e2-e2+e2-e2+e-2+e2-e

考点定积分的简单应用.501974

专题计算题.

分析由于函数为分段函数，故将积分区间分为两局部，进而分别求出相应的积分，即可得到结论.

解答

解

应选C.

点评:此题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两局部，再分别求出相应的积分.

12.f(x)二2-|x|,那么‘-西(X)九二〔)

A.3B.4C.D

考定积分的简单应用.501974

点

专计算题.

题

r2

分2+j

由意

题+X)dyO

析由“X'由此可求定积分的值.

解

解题意，

答dx=⑵+忘?)|3+⑵-I0

应选C.

点此题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和.

评：

13.设f[X)=3-|x-1|,那么J.22f[x)dx=[)

A.7B.8C.D.

考点：定积分的简单应用.501974

专题：计算题.

分析：/-22f〔X〕dx=f-22[3-|x-1|]dx,将J-2Z[3-|x-1|]dx转化成f-2[2+x]dx+Ji2[4-x]

dx,然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可.

解答：1

221

解:f_2f〔X〕dx=f-2[3-|x-1|]dx=J-2[2+x]dx+\1[4-x]dx=〔2x+2x]|-2+〔4x

1

-2x2]|?=7

应选A.

点评：此题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于根底

题.

14.积分J-/相-x2dx：

〕

C2

A.12B•12C.TiaD.2na2

百7兀ra彳兀“

考点定积分的简单应用；定积分.501974

专题计算题.

分析

此题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数丫={&2X”与X轴所围成的图形的面积,

围成的图象是半个圆.

解答：

解：根据定积分的几何意义，那么J-x’dx表示圆心在原点，半