2024届北京市延庆区高二年级上册数学期末综合测试试题含解析

2024届北京市延庆区高二上数学期末综合测试试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量*（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据

如下表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为$=6.3x+6.8,下列说法正确的是（）

X23456

y1925★4044

A.看不清的数据★的值为33

B.回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨

C.据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨

D.回归直线$=6.3x+6.8恰好经过样本点（4,★）

2.如图，在四面体。LBC中，M,N分别是Q4,的中点，则MN=（）

1一1一1-

A.-OB+-OC--OAB.-OA——OC——OB

222222

C.-OB+-OC+-OAD.-OA+-OC--OB

222222

22

3.若双曲线L+2L=i的一个焦点为（―2,0）,则m的值为（）

3m

A.-V7B.-1

D.布

4.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光

线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点与、巴

的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点片发出，依次经S与T反射，又回到了点耳，历时：秒；若将装置中的

S去掉，如图②，此光线从点耳发出，经T两次反射后又回到了点耳，历时才2秒；若弓=3。，则T的长轴长与S的

实轴长之比为（）

A.l：2B.l：3

C.2:lD.3:l

5.在棱长为1的正方体A3CD-A31GR中，"是线段AG上一个动点，则下列结论正确的有（）

A.不存在M点使得异面直线BM与AC所成角为90°

B.存在M点使得异面直线BM与AC所成角为45。

C.存在加点使得二面角"-C的平面角为45。

9

D.当44M=AG时，平面瓦加截正方体所得的截面面积为％

8

6.设a=(l,y,2),b=(1-1-1),且打B，贝”等于()

A.-lB.1

C.-2D.2

7.若z=2Y,则z的虚部为()

1一2，

,1c1•

A.—B.—I

55

8.如图，在四面体ABC。中，E,F,G,H分别为A3,BC,CD,AC的中点，则:（AB+BC+C。）化简

的结果为（）

A.BFB.EH

ULIUL

C.HGD.FG

9.命题：“很<1,x2<lw的否定是（）

A.Vx^l,x2<lx2^l

C.Vx<LQiD.3x<l,

10.在各项均为正数的等比数列｛4,｝中，若01a7=9,贝!]3%）2-g=（）

A.6B.12

C.56D.78

11.阿基米德（公元前287年〜公元前212年）不仅是著名物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的

椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆。的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆c

的离心率为立，面积为8兀，则椭圆C的标准方程为（）

2

12.为了解义务教育阶段学校对双减政策的落实程度，某市教育局从全市义务教育阶段学校中随机抽取了6所学校进

行问卷调查，其中有4所小学和2所初级中学，若从这6所学校中再随机抽取两所学校作进一步调查，则抽取的这两

所学校中恰有一所小学的概率是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知aeR,命题p：Bx0e[l,2],tz>%0；命题g：VXGR>x+2ax+4>0>且。人4为真命题，则a的取

值范围为

14.达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品

中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）,

把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1,则点

R到直线QC的距离是

图3

15.由曲线三+72=2凶+2国围成的图形的面积为

%一x

16.若a,X],巧，x3,b与a,%,%,%，%，为，b均为等差数列，则一一=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知圆台的上下底面半径分别为2,5,母线长为5.求：

（1）圆台的高；

（2）圆台的体积

注：圆台体积公式：V=；（S'+呵+S）/i,其中S',S分别为上下底面面积，人为圆台的高

18.（12分）已知圆。：必+丁=1与圆C：（%-3）2+/=相

（1）在①加=3,②加=4这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答

若,判断这两个圆位置关系；

（2）若加=5,求直线x+y-1=0被圆C截得的弦长

注：若第（1）问选择两个条件分别作答，按第一个作答计分

19.（12分）已知函数/（%）=三一依?+人（。,〃wR）.

⑴若曲线y=/（尤）在点（1,/（1））处的切线方程为X+y—1=0,求。力的值;

（H）若a>0,求/（%）的单调区间.

20.（12分）2020年8月，总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，

在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围.为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣

传节约粮食的相关活动.现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽

样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动

（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？

（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？

（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10

天为单位来衡量宣传节约粮食的效果.在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：

前10天剩菜剩饭的重量为：24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2

后10天剩菜剩饭的重量为：23.221.520.821.320.419.420.219.320.618.3

借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）

21.（12分）已知正项数列｛4｝的前九项和S“满足4S“=d+2%+l（"eN*）

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）若a=2"4,求数列｛2｝的前”项和I；.

22.（10分）已知数列｛4｝的前“项和为S〃，满足

请在①后=〃；②为+1-。0=2,§3=9；③。“=（4-1）〃一1三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成上

述问题.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分

（1）求数列｛。”｝的通项公式；

（2）数列｛%｝满足bn=-^―,求数列加“｝的前”项和T„

anan+\

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】根据回归直线方程的性质和应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：因为元=2+3+；+5+6=4,将元=4代入£=6.3x+6.8,

故y=6.3x4+6.8=32,A★=32x5-(19+25+40+44)=32,故A错误；

对B,回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗大约增加6.3吨，故B错误；

对C,当x=8时，,=6.3x8+6.8=57.2,故C错误；

对D，因为无=4,歹=32,故夕=6.3彳+6.8必经过(4,32),故D正确.

故选：D.

2、A

【解析】利用向量的加法法则直接求解.

【详解】在四面体Q43C中，M,N分别是Q4,8C的中点，

:.MN=MA+AN=^OA+^AB+AC)=^OA+^(OB-OA+OC-OA^

=-OA+-OB+-OC-OA=-OB+-OC--OA

222222

故选：A

3、B

【解析】由题意可知双曲线的焦点在x轴，从而可得。2=3,〃=—加，再列方程可求得结果

22

【详解】因为双曲线'+匕=1的一个焦点为(—2,0),

3m

所以。2=3,护——m,c=2,

所以3+(—%)=4,解得力=一1,

故选:B

4、D

【解析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得ABF】和CDF1的周长，再根据光速相同，且t2=3%

求解.

【详解】在图①中，由椭圆的定义得：忸制+忸闾=26，由双曲线的定义得闾TM|=2a2，

两式相减得忸制+1A周+忸名A闾=2q-2%,

所以AB片的周长为2q-2%,

在图②中，CL用的周长为4q,

因为光速相同，且,2=3。，

所以1=25_ZM=1即3%,

t24q3

所以2%:2a2=3:1,

即T的长轴长与S的实轴长之比为3:1,

故选：D

5、D

【解析】由正方体的性质可将异面直线与AC所成的角可转化为直线与AG所成角，而当加为AG的中点

时，可得可判断A；"与4或G重合时，直线8W与AC所成的角最小可判断B；当"与G重合时，

二面角M—5D—C的平面角最小，通过计算可判断G过M作ER〃，3],交A用于R，交42于E点，由题意

可得四边形EFBD即为平面截正方体所得的截面，且四边形匹8£＞是等腰梯形，然后利用已知数据计算即可

判断D.

【详解】异面直线BM与AC所成的角可转化为直线BM与AG所成角，

当"为AG中点时，BM±\CX,此时BM与AC所成的角为90。，所以A错误;

当“与4或G重合时，直线与AC所成角最小，为60。，所以B错误；

当“与G重合时，二面角"―班＞—C的平面角最小，tan/C]OC=a＞1,所以NGOC〉45°,所以C错误;

对于D,过M作EF//QB],交44于交4。于E点，因为=所以E、R分别是42、4片的

中点，又BQJIBD,所以EF//DB,四边形EKBD即为平面世加截正方体所得的截面，因为取=,。4=变,

22

且BF=DE=,BB；+BF?=岑,所以四边形EKBD是等腰梯形，作尸GLO3交于G点，所以

BG=；（BD—EF）=号,FG=NFB?—BG2=当,所以梯形的面积为;（3。+政）xFG=：,所以D正确.

故选：D.

6、A

【解析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数y的值.

【详解】由已知可得〃力=1—y—2=0,解得y=-L

故选：A.

7、A

【解析】根据复数的运算化简，由复数概念即可求解.

1+z1+，（一_（1-0（1+2，）_3+i_3』

【详解】因为2=心”.

l-2i+555

所以Z的虚部为g,

故选：A

8、C

【解析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案;

【详解】|(AB+BC+CD)=1(AC+CD)=|AD=|X2HG=HG

故选：C

9、C

【解析】将特称命题否定为全称命题即可

【详解】根据含有量词的命题的否定，

则“很＜1,好＜1”的否定是“VXVI,.

故选：C.

10、D

【解析】由等比数列的性质直接求得.

【详解】在等比数列｛%｝中，由等比数列的性质可得：

由。/=6%=9,解得：。4=3；

由2+6=1+7可得：02a6~=99

所以(。2〃6)—々4=92—3=78.

故选：D

11、C

【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为之十1(。>b>,然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于

a°)

的方程组，求解方程组即可得答案

2

【详解】由题意，设椭圆。的方程为』+=l(a>t>>0)

a

由椭圆。的离心率为力，面积为8乃，

2

二一立

・•・＜I~a,~\/一2，解得"=16,〃=4,

8%=abn

22

...椭圆。的方程为匕+土=1,

164

故选：C.

12、A

【解析】由组合知识结合古典概型概率公式求解即可.

【详解】从这6所学校中随机抽取两所学校的情况共有C；种，这两所学校中恰有一所小学的情况共有种，则

其概率为安=书号=9

C66x515

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、口,2]

【解析】先求出命题p,g为真命题时的。的取值范围，根据P人4为真可知p,g都是真命题，即可求得答案.

【详解】命题P：玉°C[1,2],a'%2为真时，有aNl,

命题g：X/xeR,x2+2ax+4>0>则有A=4q2—16<0>

即—2WaW2,

故为真命题时，且—2WaW2,即lWaW2,

故a的取值范围为[L2],

故答案为：[1,2]

14、叵

【解析】根据题意，求得△BQC的三条边长，在三角形BQC中求边QC边上的高线即可.

【详解】根据题意，延长QN,54交于点河，连接QEFC,如下所示：

在^QFC中，容易知：QF=^QN2+NF-=J12+(V2)2=出;

同理IC=,心+(逐『=a,QC=^QM2+MC2=^22+(75)2=3,

满足。尸2+尸。2=。。2,设点R到直线QC的距离为d,由等面积法可知：

QFxFC^QCxd,解得d=息普=6,即点R到直线QC的距离是拒.

故答案为：母.

15>8+4乃

【解析】当x>o,y>。时，曲线/+黄=2|》|+2|丁|表示的图形为

以：：为圆心，以，;为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为

1t-:1

-22--4二-=：■-,根据对称性，可知由曲线

/+V=2|x|+2|y|围成的图形的面积为4尊书臧：=£淖4螃

考点：本小题主要考查曲线表示的平面图形的面积的求法，考查学生分类讨论思想的运用和运算求解能力.

点评：解决此题的关键是看出所求图形在四个象限内是相同的，然后求出在一个象限内的图形的面积即可解决问题.

3

16、-##1.5

2

【解析】由题意利用等差数列的定义和通项公式，求得要求式子的值

【详解】设等差数列a,X],4，W,b的公差为m,

等差数列。，%,%，%，%，%，6的公差为〃，

贝!1有b=a+4〃z,且Z?=a+6〃，

所以4m=6〃,

X-,-x,2mm3

则------=—=—=彳，

%-%2nn2

3

故答案为：-

2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)4;(2)52n.

【解析】(1)作出圆台的直观图，过点A作垂足为〃，由勾股定理可求圆台的高；

(2)结合(1),利用圆台的体积公式可求圆台的体积

【详解】(1)作出圆台的直观图，如图，

设圆台上下底面圆心分别为。”。2，A3为圆台的一条母线,

连接002，AO^BO,,过点4作AHLBU，垂足为H,则AH的长等于圆台的高,

因为圆台的上下底面半径分别为2,5,母线长为5

所以AOi=2,3。2=5,AB=5,

则期=5-2=3，可得4"=，452-5"2=4,

故圆台高为4；

(2)圆。］的面积1=4万

圆。2的面积为S?=25〃

故圆台的体积为g(4〃+10〃+25乃)x4==52兀

18、(1)选①:外离；选②：相切；

⑵

【解析】(1)不论选①还是选②，都要首先算出两圆的圆心距，然后和两圆的半径之和或差进行比较即可；

⑵根据点到直线的距离公式，先计算圆心到直线的距离，然后利用圆心距、半径、弦长的一半之间的关系求解.

【小问1详解】

选①

圆。的圆心为0(0,0),半径为1；

圆C圆心为C(3,0),半径为石

因为两圆的圆心距为=3,

且两圆的半径之和为1+百＜3,所以两圆外离

选②

圆。的圆心为。(0,0),半径为1.圆C的圆心为C(3,0),半径为2

因为两圆的圆心距为|0C|=3.且两圆的半径之和为1+2=3,

所以两圆外切

【小问2详解】

因为点C到直线x+y—1=0的距离1=爰=&,

所以直线x+y-1=0被圆C截得的弦长为2行二后=2退

19、(I)a=2,b=l

(II)f(x)在区间(-8,0),(g,+8)上单调递增,在区间上单调递减

［尸⑴T

【解析】(I)求出函数的导函数，根据题意可得c得到关于。泊的方程组，解得；

1/⑴=0

(II)求出函数的导函数，解/'(尤)>。得函数的单调递增区间，解了'(%)<0得函数的单调递减区间.

【详解】解：(I),f(x)=x3-ax2+b{a,bELR)

f\x)=3x2-lax

因为函数y=f(x)在点(1,/(1))处的切线方程为x+y—1=0

/")=3-2a=-l

/(l)=l-a+b=0

解得a=2,b=l

(II)/r(x)=3x2—lax=3x(x—:)

令/'(x)=0,得x=0或x=g.

°

因为a>0,所以xe(—oo,0)(W，+oo)时，f'(x)>0；

40田时，f'(x)<0.

故f(x)在区间(_g,0),仔,+s)上单调递增,在区间［o,g］上单调递减

【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

2

20、(1)6,4,2；(2)j；(3)答案见解析.

【解析】(1)先求出抽样比，然后每次按比例抽取即可求出；

(2)先求出抽出两人的基本事件，再求出两人都是高二学生包含的基本事件，即可求出概率；

(3)可求出平均值进行判断；也可画出茎叶图观察判断.

122

【详解】解：(1)报名的学生共有126人，抽取的比例为—=二，

12621

222

所以高一抽取63x—=6人，高二抽取42x—=4人，高三抽取21x—=2人.

212121

(2)记高二四个学生为1,2,3,4,高三两个学生为5,6,抽出两人表示为(x,j),

则抽出两人的基本事件为

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)

共15个基本事件，

其中高二学生都在同一组包含(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个基本事件.

记抽出两人都是高二学生为事件A,则P(A)=^=g，

2

所以高二学生都在同一组的概率是

(3)法一：(数字特征)前10天的平均值为23.5,后10天的平均值为20.5,

因为20.5<23.5,

所以宣传节约粮食活动的效果很好.

法二：(茎叶图)画出茎叶图

前10大觞10大

225

512

865423*>

522135

30246R

1934

因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近,

所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好.

21、(1)an=2n-l