专题05 一元二次方程、分式方程的解法及应用核心知识点精讲原卷版

专题05一元二次方程、分式方程的解法及应用核心知识点精讲1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】考点1：一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为．△>0方程有两个不相等的实数根；△＝0方程有两个相等的实数根；△<0方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．要点诠释：△≥0方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么．考点2：分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.

（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤

(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；

(2)解这个整式方程；

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公

分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.考点3：一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．【题型1：一元二次方程的有关概念】【典例1】方程化为一般形式后，的值分别是（

）A． B．C． D．1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，-4，-2 B．3，-2，-4C．3，2，-4 D．3，-4，02．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A． B． C． D．3．方程化成的形式是（）A． B． C． D．【题型2：一元二次方程的解法】【典例2】方程的解是（

）A． B． C． D．1．解方程(1)(2)．2．解方程(1)(2)(2)(3)【题型3：一元二次方程根的判别式】【典例3】一元二次方程根是（）A．两个相等的实数根 B．一个实数根C．两个不相等的实数根 D．无实数根1．如果是关于x的一元二次方程的一个根，那么a的值是（

）A．1 B． C．0 D．22．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（）A．﹣1 B．0 C．2 D．33．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足的条件是（

）A． B．且C．且 D．【题型4：一元二次方程的应用】【典例4】某品牌服装平均每天可以售出20件，每件盈利40元．受新冠肺炎疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价4元，平均每天就可以多售出8件，如果需要盈利1200元，那么每件降价多少元？设每件降价x元，下列方程正确的是（）A．（40﹣x）（20+×8）＝1200 B．（40﹣x）（20+8x）＝1200C．（40﹣x）（×8）＝1200 D．40×（20+×8）＝12001．主题为“绿色城市、健康生活”的世界园艺博览会将于2021年4月至10月在枣林湾举行．世园会的某纪念品受到热烈欢迎，从原价50元连续两次涨价达到72元，如果每次涨价的百分率都是x，则下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．2．电影《长津湖之水门桥》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为__________．35．某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x，根据题意列方程_________________.【题型5：分式方程及韦达定理的应用】【典例5】某工程队要对一条长千米的人行道进行改造，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，每天比原计划多改造米，结果所用时间比原计划少十分之一，求实际每天改造多少米？设实际每天改造米，则可列方程为（）A． B．C． D．1．若一元二次方程的两个实数根分别是a、b，则关于x的一次函数的图象一定不经过______________象限．2．已知是一元二次方程的两个根，则______________．3．已知是方程的两个不等的实数根，则的值为_____________．1．一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定2．已知，是方程的两根，则的值为（

）A．2 B．-2 C．-3 D．33．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，它的二次项系数是5，则一次项系数是（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．14．若，是一元二次方程的两个实数根，的值是（

）A．-1 B．1 C．-11 D．115．写出一个一元二次方程，使它的二次项系数、一次项系数和常数项的和为，可以是_____________．6．若，则代数式的值为_______________．7．方程的解是，方程的解是_____________.8．关于的方程有有理根，则整数的值为____________．1．若是关于x一元二次方程的一个根，则________．2．把方程x2－10x－11＝0化为(x＋m)2＝n的形式，结果为___________3．已知a，b是方程的两根，则代数式的值是____________．4．已知方程的解是，，则方程的解是___________．5．某玩具生产公司今年1月份的生产成本是100万元，由于新技术的引进，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是81万元，假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．6．元旦前夕，某批发市场礼品柜台以每张5元的进货价购进3200张贺卡．当销售价为7元时，平均每天可售出300张．(1)为了减少库存，摊主决定降价销售．市场调查发现：如果这种贺卡的售价每降低0.5元，那么平均每天可多售出100张．摊主想要在赢利的情况下平均每天刚好达到3000元营业额，则每张贺卡应降价多少元？(2)已知摊主在12月27日销售完1200张后，采取（1）中的降价措施，请你判断摊主能否在元旦前售完贺卡（12月共计31天）？若能售完，计算他此次销售贺卡的利润率；若不能售完，说明理由．7．我县交警大队在全县范围内持续开展道路交通安全综合整治“百日会战”，对骑乘电动自行车、摩托车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商购进一种头盔，进货单价为30元．当销售单价为40元时，月销售量为600个，在此基础上销售单价每提高1元，月销售量将减少10个．该经销商为使销售该头盔的月利润达到10000元，并且尽可能减少库存，则应将该品牌头盔的实际销售单价定为多少元？说明你的理由．8．今年国庆期间，某商场经营一种文具，进价为每个30元，试营销阶段发现：当销售单价定为40元时，每天能销售30个．(1)当销售单价每上涨1元时，每天的销售量将减少1个．请问当销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润为400元？(2)为了回馈广大顾客，同时提高该文具的知名度，商场营销部决定在11月11日（双十一）当天开展特别降价促销活动，若每件的销售单价在（1）的基础上降价%，则可多售出2%，为了使一天的销售额为1120元，求的最大值．9．某商场在2023年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元．(1)国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少?(2)国庆节过后，该商场商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，再次降价，当售价降为每件150元时，每天可售出10件．经过市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品共获利500元，则这天该商场商品在每件150元的基础上降价多少元？一、单选题1．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·山东滨州·统考中考真题）一元二次方程根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定4．（2023·湖南永州·统考中考真题）某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确