大学《概率统计》试题及答案

《概率论与数理统计》考试题及答案

一、填空题(每小题3分，共30分)

1、“事件A,5c中至少有一个不发生”这一事件可以表示

为.

2、设尸(4)=0.7,P(4月)=0.3,则「4五)=.

3、袋中有6个白球,5个红球，从中任取3个，恰好抽到2个红球的概

率.

4、设随机变量X的分布律为P(X=k)=*(4=1,2,、8),则

8

a=.

5、设随机变量X在(2,8)内服从均匀分布，则

P(-2<X<4)=.

6、设随机变量x的分布律为，则y=X?的分布律

是.

X-2-101

18~1~r

Pk515515

7、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且已知E[(X-1)(X-2)]=1,

贝二=.

8、设天冬,.「X9是来自正态总体N(-2⑼的样本,又是样本均植，则G

服从的分布是

二、（本题12分）甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产

品中有12件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家

企业生产的产品混合在一起存放，现从中任取1件进行检验.求：

（1）求取出的产品为次品的概率；

（2）若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.

三、（本题12分）设随机变量X的概率密度为

kx,0<x<3

/（%）=<2-1,3<x<4（1）确定常数左；（2）求X的分布函数

0,其它

个）;（3）求小<乂（口.

四、（本题12分）设二维随机向量（x,y）的联合分布律为

Y\X012

0.10.20.1

2a0.10.2

试求:（1）。的值;（2）x与y的边缘分布律;（3）x与y是否独立?为什么？

五、（本题12分）设随机变量x的概率密度为

x,0<x<1,

f（x）=l2-x,l<x<2,求E（X）,O（X）

0,其他.

一、填空题(每小题3分，共30分)

1、赤或屋BC2、0.63、与或巴或0.36364>15>-

C：i113

二、解设乙乙分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,8表示

取出的零件为次品，则由已知有

P(A)=-=—,P(A)=—=—,P(BIA)=—=-,P(BIA)=—=-...........2分

“111011-21101141605-2505

(1)由全概率公式得

P(JB)=P(A)P(JB|4)+JP(A)JP(5|A)=^-X|+AX|=1...................................7分

(2)由贝叶斯公式得

51

£^^2=42....................................................................12分

"P(B)111

5

三、(本题12分)

解(1)由概率密度的性质知

4

二[kxdx+2-|dx=-k+-^l

Jo324

故............................................................................................................................3分

(2)当x40时,F(x)=「f(t)dt=O-

J—00

当Ovxv3时，F(x)=j/⑺山=J。%力=g%2；

当3<x<4时，F(x)=j/⑺力=J；5力+([2—；)力=+2x—3；

当％"时,E（X）=）力=J：1，力+f[2-）力=1

故X的分布函数为

0,x<0

12

—X,0<x<3

12

R(x)=<9分

--x2+2%-3,3«4

4

1,x>4

7

(3)PJI<X<4=F12分

四、

解(1)由分布律的性质知

01.+0.2+0.1+tz+0.1+0.2=l

故a=0.3.................................................................................................................................4分

（2）（X,y）分别关于x和y的边缘分布律为

X012

分

~p~0.40.30.3....................................................................................................6

Y12

8分

p0.40.6

(3)由于尸{X=0,F=l}=0.1,P{X=0}P{F=l}=0.4x0.4=0.16,故

P{X=0,F=l}wP{X=0}P{F=l}

所以X与y不相互独立...........................................12分

五、（本题12分）设随机变量X的概率密度为

x,0<x<1,

/（X）=<2-x,l<x<2,

0,其他.

求石（X）,D（X）.

解E(X)=「xf(x)dx=j1%2dx+j'X2-x)dx=—x3+x2--=1.........................6分

L3JoL31

2+232

E(X)=jxf(x)dxxdx+「x(2-x)dx='.......................................................9分

D(X)=E(X2)-[E(X)]2=^............................................................................................12分

6

..........................................................填

空题(每空3分，共45分)

1、已知P(A)=0.92,P(B)=0.93,P(B|%)=0.85,则P(A|目)

P(AUB)

1

2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为5,A发生且B

不发生的概率与B发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率

为：;

3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日

在同一个月份的概率：

;没有任何人的生日在同一个月份的概

矢__________________________;

Aex,x<0

9(x)="1/4,0<x<2

mx-2,则常

4、已知随机变量X的密度函数为：

数A=______________,分布函数户(x)=_________________,概率

P{-O.5<X<1}=_________________,.

5、设随机变量X~B(2,p)、p),若P{X21}=5/9,则p

=,若X与Y独立，则Z=max(X,Y)的分布

律：;

6、设X〜3(200,0.01)/〜P(4),且X与Y相互独立，则

D(2X-3Y)=,

（12分）设连续型随机变量X的密度函数为:

1

一九,0<%<2

0(x)=<2

0,其它求：1)P{|2X-1|<2}；2)y=X2的密

度函数％⑶）；3）E（2X-1）；

2、（12分）设随机变量（X,Y）的密度函数为

9（.

1）......................................................

求边缘密度函数9x（%），外⑺；

2）问

X与Y是否独立？是否相关？计算Z=X+Y的密度函数如⑶

二、..........................................................应

用题（20分）

1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、

汽车或飞机来的概率分别是3/10,1/5,1/10和2/5。如果他乘飞机

来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4,

1/3,l/2o现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？

三............................................................填

空题（每空3分，共45分）

心或xll2.6!

1、0.8286,0.988；2、2/3；3、~~，声；4、

—e”,xW0

2

—+—,0<x<2

24

1,x>2

3_j_e_0.5

1/2,户(x)=P{-O.5<X<1}=15;5、p=

1/3,Z=max(X,Y)的分布律：Z012P8/27

16/273/27；

6、D(2X-3Y)=43,92:

四、..........................................................计

算题（35分）

9

P{|2X-1|<2}=P{—0.5<X<1.5}=—

1、解1)16

,、（9x（6）+9x（-6）），y〉。

9y（>）=，

o,y<0

0<y<4

=<4

0,其它

45

E(2X-l)=2EX-l=2x——1=-

3)33

X

+000<x<20<x<2

(px(x)=J0(x,y)dy=<=<25

—x

—00其它

2、解：1）a其它Q

"3),3<2

+oolvl<2

9y(y)=J(p(x,y)dx=<