高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测84直线与圆圆与圆的位置关系

[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届抚顺模拟)直线ax－y＋eq\r(2)a＝0(a≥0)与圆x2＋y2＝9的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．相切或相离解析：直线ax－y＋eq\r(2)a＝0(a≥0)可化为y＝a(x＋eq\r(2))，直线ax－y＋eq\r(2)a＝0过定点(－eq\r(2)，0)，而(－eq\r(2)，0)满足2＋02＜9，点(－eq\r(2)，0)在圆x2＋y2＝9内，所以直线与圆相交．答案：A2．(2017届湖南长沙一模)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切 B．相交C．外切 D．相离解析：两圆心的距离为eq\r(17)，∵1<eq\r(17)<5，即|r1－r2|<d<r1＋r2，∴两圆相交．答案：B3．(2018届沈阳模拟)直线x－3y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得弦长为()A.eq\r(30) B.eq\f(5\r(3),2)C．4eq\r(2) D．3eq\r(3)解析：圆(x－1)2＋(y－3)2＝10的圆心坐标为(1,3)，半径r＝eq\r(10)，圆心到直线x－3y＋3＝0的距离d＝eq\f(|1－9＋3|,\r(10))＝eq\f(5,\r(10))，故弦长为2eq\r(10－\f(25,10))＝eq\r(30)，故选A.答案：A4．(2017届山东青岛一模)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A．4 B．3C．2 D.eq\r(2)解析：圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，因为四边形PACB的最小面积是2，则此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为eq\r(5)，即eq\f(5,\r(1＋k2))＝eq\r(5)，解得k＝±2，又k>0，所以k＝2.答案：C5．(2017届广州一模)直线x－eq\r(3)y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)解析：画出图形，如图，圆心(2,0)到直线的距离为d＝eq\f(|2|,\r(12＋\r(3)2))＝1，∴sin∠AOC＝eq\f(d,|OC|)＝eq\f(1,2)，∴∠AOC＝eq\f(π,6)，∴∠CAO＝eq\f(π,6)，∴∠ACO＝π－eq\f(π,6)－eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3).答案：D6．(2016年山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切 B．相交C．外切 D．相离解析：圆M：x2＋y2－2ay＝0的圆心M(0，a)，半径为a，所以圆心M到直线x＋y＝0的距离为eq\f(|a|,\r(2)).由直线x＋y＝0被圆M截得的弦长为2eq\r(2)，知a2－eq\f(a2,2)＝2，故a＝2，即M(0,2)且圆M的半径为2.又圆N的圆心N(1,1)，且半径为1，根据1<|MN|＝eq\r(2)<3知两圆相交．故选B.答案：B7．(2017届河北正定中学月考)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．0<m<1 B．－4<m<2C．m<1 D．－3<m<1解析：圆的方程化为(x－1)2＋y2＝2，直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的充要条件是圆心到直线的距离d＝eq\f(|1＋m|,\r(2))<eq\r(2)，所以－3<m<1.所以直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是{m|－3<m<1}的子集．故选A.答案：A8．(2017届湖北武汉调研)圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为()A．1 B．2C．4 D．8解析：圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线的方程为x－y＋2＝0，它与两坐标轴分别交于(－2,0)，(0,2)，所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为eq\f(1,2)×2×2＝2.故选B.答案：B9．(2018届陕西模拟)若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是______________．解析：记题中圆的圆心为C，则C(1,0)，因为P(2，－1)是弦AB的中点，所以直线AB与直线CP垂直，易知直线CP的斜率为－1，所以直线AB的斜率为1，故直线AB的方程为x－y－3＝0.答案：x－y－3＝010．若圆x2＋y2＋mx－eq\f(1,4)＝0与直线y＝－1相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________.解析：圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(m2＋1),2)))2，圆心到直线y＝－1的距离eq\f(\r(m2＋1),2)＝|0－(－1)|，解得m＝±eq\r(3)，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝eq\r(3).答案：eq\r(3)11．(2018届南宁高三摸底)已知圆(x－a)2＋y2＝4截直线x－y－4＝0所得的弦的长度为2eq\r(2)，则a＝________.解析：由题意知，圆心为(a,0)，半径为2，圆心到直线y＝x－4的距离为eq\f(|a－4|,\r(2)).因为弦长为2eq\r(2)，所以eq\f(|a－4|,\r(2))＝eq\r(22－\r(2)2)，解得a＝2或a＝6.答案：2或612．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a则eq\r(a－22＋－2a＋12)＝eq\f(|a－2a－1|,\r(2)).化简，得a2－2a＋1＝0，解得a∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝eq\r(1－22＋－2＋12)＝eq\r(2).∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得eq\f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，∴直线l的方程为y＝－eq\f(3,4)x.综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.13．已知⊙O方程为x2＋y2＝4，定点A(4,0)，求过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹方程．解：解法一：设动圆圆心为P(x，y)，因为动圆过定点A，所以|PA|即为动圆半径．当动圆P与⊙O外切时，|PO|＝|PA|＋2；当动圆P与⊙O内切时，|PO|＝|PA|－2.综合这两种情况，得||PO|－|PA||＝2.将此关系式坐标化，得|eq\r(x2＋y2)－eq\r(x－42＋y2)|＝2.化简可得(x－2)2－eq\f(y2,3)＝1.解法二：由解法一可得动点P满足几何关系||OP|－|PA||＝2，即P点到两定点O、A的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA中点(2,0)，实半轴长a＝1，半焦距c＝2，虚半轴长b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(3)，所以轨迹方程为(x－2)2－eq\f(y2,3)＝1.14．求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．解：将圆C化为标准方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，则圆心为C(－5，－5)，半径为5eq\r(2).所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0.设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意，知O(0,0)，A(0,6)在此圆上，且圆心M(a，b)在直线x－y＝0上，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋0－b2＝r2，,0－a2＋6－b2＝r2，,a－b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3，,r＝3\r(2).))于是所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.15．判断下列两圆的位置关系，如果两圆相交，请求出公共弦的方程．(1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16；(2)x2＋y2＋6x－7＝0与x2＋y2＋6y－27＝0.解：(1)根据题意，得两圆的半径分别为r1＝1和r2＝4，两圆的圆心距d＝eq\r([2－－2]2＋5－22)＝5.因为d＝r1＋r2，所以两圆外切．∴无公共弦．(2)将两圆的方程化为标准方程，得(x＋3)2＋y2＝16，x2＋(y＋3)2＝36.故两圆的半径分别为r1＝4和r2＝6，两圆的圆心距d＝eq\r(0－32＋3－02)＝3eq\r(2).因为|r1－r2|<d<r1＋r2，所以两圆相交．两圆的公共弦方程为6x－6y＋20＝0即3x－3y＋10＝0.[能力提升]1．(2017届浙江嘉兴质检)已知直线l：xcosα＋ysinα＝2(α∈R)，圆C：x2＋y2＋2xcosθ＋2ysinθ＝0(θ∈R)，则直线l与圆C的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．与α，θ有关解析：圆C：x2＋y2＋2xcosθ＋2ysinθ＝0(θ∈R)，即(x＋cosθ)2＋(y＋sinθ)2＝1(θ∈R)的圆心C的坐标为(－cosθ，－sinθ)，半径为r＝1.圆心C到直线l：xcosα＋ysinα＝2(α∈R)的距离d＝eq\f(|－cosθcosα－sinθsinα－2|,\r(cos2α＋sin2α))＝2＋cos(θ－α)．当cos(θ－α)＝－1时，d＝r，直线l和圆C相切；当－1<cos(θ－α)≤1时，d>r，直线l和圆C相离，故选D.答案：D2．(2017届福建福州质检)若直线x－y＋2＝0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B两点，则eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值为()A．－1 B．0C．1 D．6解析：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－32＋y－32＝4，,x－y＋2＝0，))消去y，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A(1,3)，B(3,5)．又C(3,3)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2,0)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0,2)．∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－2×0＋0×2＝0.答案：B3．已知过点A(3,1)的直线l与圆C：x2＋y2－4y＝1相切于点B，则eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝________.解析：由x2＋y2－4y－1＝0可知圆C为圆心C(0,2)，半径r＝eq\r(5)，∴|AC|＝eq\r(3－02＋1－22)＝eq\r(10)，∴|AB|＝eq\r(10－5)＝eq\r(5)，∴∠ACB＝45°，故eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\r(10)×eq\r(5)×cos45°＝5.答案：54．(2017届宁夏银川一中检测)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程是________．解析：依题意得知，当∠ACB最小时，圆心C到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为1，因此所求的直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝05．(2017届湖南省东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C(a,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>－\f(5,2)))，则eq\f(|4a＋10|,5)＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．所以圆C：x2＋y2＝4.(2)如图，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\