2016年全国高中数学联赛贵州省预赛试题及答案

2016年全国高中数学联赛贵州省预赛试题及答案

一.选择题（每小题5分，共30分）

(1)若集合d={x-X-12W0},B=.xI<0»。={x且x任B},则

集合C=(D)

(A)[-3,-l)U(l，4](B)[-3,-l]U(l»4]

(C)[-3,-l)(j[l，4](D)[一3,-1]11[1，4]

解：

依题意，d={x|x?-x-12近0}=[-3,4],B=\x|—<0[=(-1,1).

x-1

由xw/,知-3W^4；B,知M-1或.

所以，-3&W-1或1&W4,即0=[-3,-1]141，4].

（2）若函数/（.D=[x♦-2X-4，XW3'（。>0,且）的值域为[3,十功，则实数。的

2+logax,x>3,

取值范围为（A）

(A)(1,3]

(C)(3,+oc)

解：

当M3时，函数“X)

当工>3时，2+logax>3,即x>3时，logax>l=logaa

（第3

o>1,且x>3时，x2a恒成立|

〈庐3,a的取值范围为H,3].

J

（3）如图，在四面体尸-4BC中，已知P4、PB、PC两两互相垂直，且尸.4=尸8=PC=3.

则在该四面体表面上与点d距离为2出的点形成的曲线段的总长度为（B）

（A）岳（B）巫n（C）毡万（D）3后

22

解：（B）

如图.^AE=AF=AG=14i（E在48上，尸在P8上，G在PC上）.

由&_LP8,PA上PC,PB1PC,PA=PB=PC=3,

知PF=PG=4i，^PAF=-,AEAF=---=—.

64612

二在面PdB内与点4距离为2君的点形成的曲线段（图中弧Ef）长为

三x2^W.

126

同理，在面尸.4。内与点4距离为2瓜的点形成的曲线段长为立力.

6

同理，在面dBC内与点Z距离为2出的点形成的曲线段长为

l43=—.

3x23

同理,在面尸8C内与点X距离为2出的点形成的曲线段长为石=4.

所以.该四面体表面上与点.4距离为2点的点形成的曲线段的总长度为士史.

（4）AABC中，"A<5<C”是“cos2d>cos25>cos2C”的（C）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（O充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

解：（C）

A<B<C=a<bvc=sin,4<sin5<sinC

01-20--4>l-2sin:B>1-2sin2C=cos2J>cos25>cos2C.

2

(5)已知函数f(x)=2016'+log2016(Vx+1+x)-2016f+2,则关于x的不等式/(3x+l)+/(x)>4的

解集为()

A.B.C.D.

解法1令g(x)=/(x)-2,则函数g(x)为奇函数且在实数上为增函数，

不等式转化为g(3x+l)+g(x)>0=g(3x+l)>g(-x)<=>3x+l>-x

解法二：>,=/(“)关于(0,2)中心对称且在实数上为增函数3x-l+x>onx>—2.

4

(6)记A/(X，KZ)为x.y.z三个数中的最小数，若二次函数/(x)=ax2+bx+c(a,b,c>0)有零点，

则.匕.巴心)的最大值为(B)

abc

(A)2(B)-|(C)-(D)1

42

M.(B)

可以不妨设a262c>0.因为成，所以。22/24比，故一W1.0<上W2

aa4

cc+a(b-a)(a+b+c)―b+ca+b(c-a)(a+b+c)一

所以----------=--------------W0.----------=--------------W0.

ababacac

所以Af(也土2)="Qwi+1=工(当且仅当a=6=4c>0时取等号)

abca44

填空题(每小题8分，共64分)

(7)数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，

一人得铜牌.老师猜测：“小明得金牌,小乐不得金牌，小强得的不是铜牌.”结果老

师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是小乐，小强，小明.

(8)省中医院3月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排

2人.若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有

____种.

解：分两类

(1)甲、乙同一天值班，则只能排在1号，有。；=6种排法；

(2)甲、乙不在同一天值班，有。；。卜3=36种排法，

故共有42种方法.

(9)已知函数f(x)=-ox+a-l,aGR•若对于任意的ae(0,4),存在使得

成立，则t的取值范围为•

解.0

解法一：函数/(.X)视作为a的函数/(a)=(l-初。+(x+l)]

问题等价于对于Vaw(0,4],f〈|/(a)|

由于xt[0,2],所以"(a)1mM=*-4X+3|

所以问题等价于玄€血2],区|/(。)」=|£—4》+3]

即冈/-4工+3|皿，所以Wl.

解法二：由题意得/(x)=(x+a-lXx-l)

对于％e[0,2]则只需rWmax{|a-l|,|3-a|,|--a2+a-l|)

4

^^(o)=max(|a-l|.|3-a|.|--a:+a-l|}

4

此时g(a)111n=1

所以对于Waw(0,4)只需Wg(a)由，所以fWl.

解法三，若对任意的ae(0,4),存在/e[0,2]使得W|/(%)|

当fW0时符合条件；

当7>0时等价于若对任意的ae(0.4),存在.qc[0,2]使得或/(x/W—r.

若fW/(3)则因为aw(0,4),所以^€(0").

所以函数/(xK2—6+。-1在(0t)为减函数，在弓,2)为增函数

所以当ae(0,2]时,，W3—a进而有0<Wl；

当ae(24)时，？Wa—l进而有：0<rWl；

所以0<r$L

②若1AM°)W-f,则W——a+1.

4

所以Vaw(0.4)应有：，WO这与1>0矛盾，舍去.

综上：WL

(10)已知a>0,b>Q,a3+b3=l.则a+b的取值范围为.

解：(1.V4]

由0<a辰(0了)及]=<?+/=(a+》)(a，-ab+b，)=(a+b)[(a+b)--3ab]

有l(a+b)3w<(a+b)3,所以l<a+bWW.

4

(11)已知/(X)是偶函数，后0时，/(x)=x-[.x|(符号"]表示不超过X的最大整数)，若关

于X的方程/(x)=h+左(k>0)恰有三个不相等的实根,则实数上的取值范围为

作出函数J=/(K)与%无T+k的草图(如图所示).

易知直线「=匕+£恒过点(-1,0),x=-1是方程/(X)=fct+R的一个根.

从图像可知，

当上匕WA<上匕，即［时，两个函数的图像恰有三个不同的交点.

2-(-1)1-(-1)32

•••左的取值范围为

(12)已知点户为椭圆工+4=l(a>b>0)的右焦点，椭圆的离心率为立，过点厂的直线/交

a"fr2

椭圆于43两点(点4在工轴的上方)，且工了=3万，则直线/的斜率为.

解：—>/2.

极点在右焦点的极坐标方程为P=一里一，

l+ecos6

所以|/尸|=—空一,|BF|=—空---

l+ecos6l-ecos6

从而一空一=-解一,可得cos6=-且，tan<9=->/2,

1+ecos^1-e8s63

所以直线/的斜率为-五.

(13)方程2(x+lXy+l)-l=.q，z(x<y)的正整数解(x,y,z)为(写

出所有可能的情况).

解:(1,3,5),(3,7,3).

2xy+2x+2v+1=xyz.

/.xy|(2xy+2x+2y+1),/.xyr\(2x+2y+1),qW2x++1.

由x<y,知x+因此，2x+2r+l<4y.

x<4,x=L2,3

若x=l,则y|(2y+3),y|3,v=3.

将x=l,》=3代入题中方程，得15=3z,z=5.

若x=2,则2y|(2j，+5),2>«|5.由>2知，》不存在.

若x=3,贝!)3j|(2'+7).以，3yW2y+7,又y>3,因此，y=4,5,6,7.

经验证只有y=1符合3y|(2y+7).

将x=3,y=7代入题中方程，得63=21z,z=3.

，符合条件的正整数解有(x,y,z)=(1,3,5)或(3,7,3).

(14)一个有限项的数列满足：任何3个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和

都是正数，则此数列项数的最大值为.

解：5

一方面可以构造5项的数列：2,2,-5,2,2符合题设：

另一方面，证明满足条件的数列不超过5项.

否则取出前6项，作出如下排列：

生,%q

w：色

由每行的和为负数，知这12个数之和为负数：

由每列的和为正数，知这12个数之和为正数.

矛盾.

三.解答题(共56分)

(15)(本小题16分)

已知函数g(x)=(a+l)A2+i(a>o)的图象恒过定点力,且点4又在函数

/(X)=log.O-Q)的图象上.

(I)求实数a的值I

(II)当方程|g(x+2)-2|=2b有两个不等实根时.求b的取值范围；

_]]

(III)设a”=g(〃+2).i>=—---.neN*>求证t"+b、+b3T----i-bn<—,(weN

4%,3

解：

(I)函数g(x)的图像恒过定点d,A点的坐标为(2,2)

又因为d点在/(x)上，则/(2)=log^(2+a)=2

即2+a=3,;.a=l

(II)|g(x+2)-2|=2b即忙+1-2|=2,.-.|2x-l|=2b

故b的取值范围为；0,；］.

由图像可知：0<2b<l,

211

(ni)4=2"+i&

(2"+lX2-*1+l)2"+l2+

,,,.111

(16)(本小题20分)

22.

如图，椭圆。：最■+5=l(a>b>0)的离心率6=短轴的两个端点分别为凤，区,焦点为

小外,四边形石与外约的内切圆半径为中.

(I)求椭圆C的方程；

(II)过左焦点石的直线交椭圆于M,N两点，交直线x=-4于点尸，设

用7=2标.西=〃丽.试证2+〃为定值，并求出此定值.

2)如图所示，|

设四边形6耳用用的内切圆与边国出的切点为G,一

连接OG,|OG|=^.「

由Sw&K=\\OB:\-\OF2\=^\B2F2\-\OG\,\OB2\=b,\OF2\=C,\B2F2]=a.

得be-孚a.

又0=£=L.〃=Zr+c?.解得a=2.b=旧.

a2'

22

故椭圆。的方程为C:9+凸=L

(n)根据巳知条件，可设直线A£V的方程为J=£(x+1),

代入椭图方程，整理得(3+4及2)1+8£、+4(4：-3)=0.

设M(Xj,'),N{x.,y2),则x1+x2=一弟/，再毛=f)-

又P(—4,一3火)，石(一L0),由市=Z说,PN=/2NF\,

得…嘉…黑

2xzxz+5(X]+X])+8

(Xi+lXXj+l)

•.•2演三+5(演+三)+8=2・^^+5-(一^^)+8

JI,4rC

8次：一24—40*2+24+32左：

=0

3+4丁,

/.2+4=0为定值.

(17)(本小题20分)

2

已知函数/(X)=—,直线I，=Lr为曲线y=/(X)的切线.

e”e

(1)求实数a的值；

(II)用min{用,”}表示m.”中的最小值，设函数g(x)=min{/(.t).x-L}(x>0),若函数

x

力(x)=g(x)-cd为憎函数，求实数C的取值范围•

解:

2xex-x2ex_x(2-x)

对/(x)求导得r(x)=a

(1)(e、y~aex

设直线j=Lx与曲线尸=f(x)切于点P(x0,y0),则

e

LQ.*二々)

.ee"

解得a=x0=l.所以。的值为i.

1V-1

(II)记函数尸(x)=f(x)-(x-2)=、-x+±.x>0,下面考察函数y=F(x)的符号.

xex

对函数v=F(.x)求导得尸(x)=坐N一1一义.x>o.

ex

当x22时尸XDvO恒成立.

当0<x<2时，X(2-X)^[V~(；~A-]2=1.

从而广(x)=^^-l-LwL-l-4<1-1-3=一乙<0.

ex犬exx2x2x2

二尸'(x)<0在(0,+8)上恒成立.故y=F(x)在(0,+x)上单调递减.

J

143

•••F(l)=->O.F(2)=—一一<0,F(l)-F(2)<0.

ee2

又曲线j=F(x)在［1,2］上连续不间断,所以由函数的零点存在性定理及其单调性知

三惟一的％e(L2),使尸(.q)=0

•*.xe(O.xo).F(x)>0;xe(x0.-t-oc).F(x)<0.

g(x)=min{/(x),x——}=<

—X>X

e}0