湖南省永州市2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

2024年上期九年级开学集中测试（数学）

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.-2024的相反数是（）

11

A.2024B.-2024C.------D.---------

20242024

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

C""”"D.

3.新华网，2023年4月14日，我国首颗太阳探测卫星，夸父一号”已获得原始太阳观测

数据大约84000000兆字节.将数据84000000用科学记数法表示为（）.

A.0.84xl08B.8.4x108C.8.4xl06D.8.4x107

4.下列运算正确的是()

A.-3(x-4)=-3x+12B.(-3x)2=6/

C.3x+x2=3x2D.x8+x2=x4

5.如图，一根直尺E下压在三角板30。的角/A4c上，欲使CBHEF,则应使乙村磔

的度数为（）

A.120°B.100°C.110°D.130°

6.若关于x的方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A.1<>-1且1<30B.k>-1C.k<-1D.k<l且k30

7.要调查九年级学生周末完成作业的时间，下面最恰当的是（）

A.对任课教师进行问卷调查B.查阅学校的图书资料

C.进入学校网站调查D.对学生进行问卷调查

8.某中学八（1）班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共捐款400元，捐款

情况记录表如下：

试卷第1页，共6页

捐款（元）35810

人数2■■31

表格中捐款5元和8元的人数不小心被墨水污染看不清楚.若设捐款5元的有x名同学,

捐款8元的有y名同学，根据题意可得方程组（）

[x+y=12（x+y=12

A。15x+8y=84B'[5x+8y=400

（x+y=45（x+y=45

C'[5x+8j=84D-[5x+8y=400

9.如图，zUBC内接于。。，//=60。，BC=2。,则病的长为（）

32

10.如图，在平面直角坐标系工。歹中，点4,C分别在坐标轴上，且四边形O4BC是边

长为3的正方形，反比例函数y=：（x>o）的图像与3C,边分别交于£,。两点，

△OOE的面积为4,点P为y轴上一点，则PO+PE的最小值为（）

A.3B.2#>C.3亚D.5

二.填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

11.将g化成最简二次根式为―.

2

12.当工=_____时，分式上r，-4的值为零.

x+2

13.点（T4）关于原点。对称的点的坐标为.

试卷第2页，共6页

14.对甲、乙两个小麦品种各100株小麦的株高x（单位m）进行测量，算出平均数

和方差为：辱=0.95,s/=i.01,坛=0.95,s乙2=1.35,于是可估计株高较整齐的小

麦品种是.

15.对于有理数a,b,定义一种新运算，^a&b=\a+b\+\a-b\.则计算3。（-4）

的值为.

4

16.在平面直角坐标系中，如果点”（-3,加）在一次函数＞=］X+8图象上，那么点/和

坐标原点的距离是—.

17.如图，E是平行四边形A8CD边3c的延长线上一点，3c=2CE,则—.

18.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希

腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为。，b,c,记

p=a+b+c^则其面积5=而［而二丽二这个公式也被称为海伦一秦九韶

公式.若P=7,a=6,则此三角形面积的最大值为.

三.解答题（共8小题，满分66分）

19.计算：卜一码+1_£）-2cos45°+O+（Jr-2024）°.

20.先化简，再求值：fl1+『］"：1然后在0,1--2三个数中选一个合适的

数，代入求值.

21.如图，在平行四边形N3C。中，连接8。，E为线段的中点，延长5E与。。的

延长线交于点尸，连接小.

R

⑴求证：四边形F是平行四边形；

4

⑵若b=90。，40=10,cosZADB=-,求四边形8CDE的面积.

22.第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.某网络经销商购进

了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元.根据市场调

试卷第3页，共6页

查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元,

每日文化衫就会少售出10件.设该批文化衫的销售单价为x元(x>40).

(1)请你写出销售量V(件)与销售单价x(元)的函数关系式.

(2)若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？

23.2022年是我国航天事业辉煌的一年，神舟十四号和神舟十五号两个飞行乘组6位

航天员在太空会师，在神州大地上掀起了航天热潮，某学校为了解本校学生对我国航天

事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成

绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.

组号成绩频数频率

40<x

120.04

50<x-

2a0.1

60<x

3180.36

70<x-

490.18

80<x<

5bm

90<x

620.04

合计501.000

其中60Vx<70这一组的数据如下:

61,62,62,63,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,66,67,67,69

根据以上提供的信息，解答下列问题:

试卷第4页，共6页

(1)补全频数直方图，并计算机=；

(2)60Vx<70这一组数据的众数是,中位数是；

(3)若将成绩在70Wx<90的记为“良好”，试估计全校3000名学生参与竞赛时成绩为“良

好”的人数.

24.在学习反比例函数后，数学兴趣小组参照学习反比例函数的过程与方法，探究函数

y=W?(xw-2)的图象与性质，因为y=2=2(x+2)5=2一_"，即

x+2'7/x+2尤+2x+2

——1+2,所以我们对比函数夕=-一、来进行探究.

x+2x+2

2x—1

(2)在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以丫=—相应的函数值为纵坐

标，描出相应的点，并用光滑的曲线画出函数图象；

(3)观察图象并分析表格，写出这个函数的两条性质：

①；②.

2x—1

(4)函数y=——^与直线必=-5x-8交于点/,B,求。03的面积.

x+2

试卷第5页，共6页

25.如图，线段3C是半圆的直径，点A为的中点，在线段8C的延长线上取点。,

过点。作ON的切线，切点为尸，点G是弧3尸(不与点8,尸重合)上一点，延长8G

交于。尸的延长线于点£.

(1)连接FG,FC,若NGBF=NCFD,求证：BE//AF；

(2)在(1)的条件下，若BE=2,DE=4,求。/的半径.

26.综合与探究.

24

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数.旷=-§/+§工+2的图象与x轴交于A,B

两点(点A在点8的左侧)，与了轴交于点C,连接3c.

(2)若点尸是x轴上一点，当ABCP为等腰三角形时，求点尸的坐标；

(3)点。是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点。使4。。8=乙48。？若存在,

请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

1.A

【分析】本题考查相反数，解题的关键是熟练掌握相反数的定义（只有符号不同的两个数互

为相反数），据此解答即可.

【详解】解：-2024的相反数是2024.

故选：A.

2.D

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项判断即可.

【详解】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，

图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

3.D

【分析】

对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成ax10"的形式，其中14团|<10,〃是比原整数

位数少1的数.

【详解】84000000=8.4xlO7.

故选D.

【点睛】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的

表示形式为ax10”的形式，其中"为整数,表示时关键要正确确定。的值以及〃

的值.

4.A

【分析】

根据去括号法则，积的乘方法则，合并同类项法则以及同底数哥的除法法则逐项计算即

可.

【详解】

解：A、-3（x-4）=-3x+12,故A符合题意；

答案第1页，共17页

B、（-3X）2=9X2,故B不符合题意；

C、3x与/不能合并，故C不符合题意；

D、X84-X2=X6,故D不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查了去括号，积的乘方，合并同类项以及同底数塞的除法运算，熟练掌握运算法则是

解答本题的关键.

5.A

【分析】本题考查了平行线的判定，根据48+N五"5=180°时，〃所列式计算即可.

【详解】解：由题意得：Z5=60°,

当48+/EA"=180。时，CB//EF,

ZFMB=nO°.

故选：A.

6.A

【分析】利用一元二次方程的概念及一元二次方程根的判别式计算即可.

【详解】根据题意得1<¥0且4=（-2）2-4xkx（-1）>0,

所以k>-1且k/）.

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）ZXAOQ方程有两个

不相等的实数根；（2）△=（）=方程有两个相等的实数根；（3）△<0。方程没有实数

根.

7.D

【分析】对调查方式的合理性，调查对象的全面性，代表性，逐一判断.

【详解】

解：A.对任课教师进行问卷调查，这种方式不合理；

B.查阅学校的图书资料，不合理；

C.进入学校网站调查，不合理；

D.对学生进行问卷调查，合理.

故选：D.

答案第2页，共17页

【点睛】本题考查了调查特点，关键是在选取样本时，选取的样本要全面，具有代表性.

8.A

【分析】设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，利用八(1)班学生人数为45

得出一个方程，然后利用共捐款400元得出另外一个方程，再组成方程组即可.

【详解】解：设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得：

(x+y=45-33(x+y=12

j2x3+5x+8y+10x31=400'即后+8>=84，

故选：A.

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，关键是利用总人数和总钱数作为等量关系列方程

组.

9.C

【分析】

连接08、OC,过点。作。£>"L8C于。，根据垂径定理求出AD,根据圆周角定理求出

/80C,根据余弦的定义求出08,根据弧长公式计算，得到答案.

【详解】

解：连接。3、OC,过点。作0。，8C于。，

贝BD=DC=-BC=V3,

2

由圆周角定理得，NBOC=2N4=120°,

•••OB=OC,

:"OBC=NOCB=30°,

：.OD=^OB,OB2=BD2+OD2,

21

HP<952=(V3)"+-(9S2,

・•.OB=2(负值已舍)，

答案第3页，共17页

120^x24

部的长==—7l

1803

故选：C.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、弧长的计算、垂径定理的应用，掌握圆周角

定理、垂径定理、弧长公式是解题的关键.

10.B

【分析】

由正方形0/8。的边长是3,得到点。的横坐标和点E的纵坐标为3,求得。(3,：),E(1,

3),根据三角形的面积列方程得到。⑶2),£(2,3),作E关于7轴的对称点£，，连接交

»轴于P,则。/的长=PO+PE的最小值，根据勾股定理即可得到结论.

【详解】

正方形CM8C的边长是3,

点D的横坐标和点E的纵坐标为3，

可，3),

kk

:.BE=3——,BD=3——

33

,.,△OOE的面积为4,

\ck1k1k、］.

「.3x3——x3x------x3x--------x(3——)=4,

232323

:%=3或-3(舍去),

.•.0(3,1),£(1,3),

作E关于了轴的对称点。，连接。交了轴于尸，则。戌的长=PD+PE的最小值,

\'CE=CE'=\=AD,

二.BE'=4,BD=2,

答案第4页，共17页

:.DE'=ylBE'2+BD2=A/42+22=275，

即PD+PE的最小值为2也，

故选：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的系数上的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的

性质，正确的作出图形是解题的关键.

11.逅

3

【分析】

根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可.

【详解】解：

故答案为：逅.

3

【点睛】此题考查了二次根式的化简方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法.

12.2

【分析】

根据分式的值为零的条件：分子为0,分母不为0,即可求出x的值.

【详解】

解：•.•分式Hzl的值为零，

x+2

,b2_4=0

[x+2w0'

..x=2,

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了分式值为零的条件，分母为零分式无意义，分子为零且分母不为零分式的值为

零.

13.(1,-4)

【分析】

根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反即可求解.此题主要考查了关于原点对称

答案第5页，共17页

的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律.

【详解】

点(T4)关于原点对称的点的坐标为(1,-4),

故答案为：(1,-4).

14.甲

【分析】

本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，根据方差越小越稳定即可得到答案.

【详解】解：•••茶=0.95,s甲2=1.01,互=0.95,s乙2=1.35,

——22

工甲=X乙，s甲＜S乙，

.•.可估计株高较整齐的小麦品种是甲，

故答案为：甲.

15.8

【分析】

根据题中的新定义进行计算即可得.

【详解】

解：根据题中的新定义得：30(-4)=|3+(-4)|+|3-(-4)|=1+7=8,

故答案为：8.

【点睛】本题考查了有理数加减混合运算，绝对值的运算，解题的关键是理解题意.

16.5

【分析】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，先求出点/的坐标，再用勾股定理

求解即可.

【详解】

44

解：将点4-3,加)代入一次函数y=§x+8得机=§x(-3)+8=4,

.•.点4-3,4),

・••点A和坐标原点的距离是732+42=5.

故答案为：5.

答案第6页，共17页

17.1:2

【分析】根据平行四边形的性质得到/D〃8C,AD^BC,易证AEFCS/FD,由相似三

角形的性质即可求解.

【详解】•••四边形/3CD是平行四边形，

AD//BC,AD=BC=2CE,

AEFCS^AFD,

CFCE

"~DF~~DA，

CFCE\

"1）F~2CE~2,

故答案为：1:2.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的

对应边成比例是解题的关键.

18.3不

【分析】

本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，先根据公式得到6=8-c,进而求出

S=J-7（C-4）2+63,再由二次函数的性质即可求出答案.

【详解】解：产，P=7,a=6,

・•・6+c+6=14,

：.b=S-c,

••­s=ylp（p-a）（p-b）（p-c）

="（7-6）（7-8+c）（7-c）

=J-7(c-4y+63,

-7<0,

.•.当c=4时，-7(c-盯+63的值最大，最大为63,

答案第7页，共17页

.•.若p=7,(7=6,则此三角形面积的最大值为而=35，

故答案为：377.

19.2

【分析】

本题主要考查了实数的运算，根据卜-亚卜夜-1,(-1r2=4,cos45°=~~~1V-8=-2,

(^-2024)°=1,再计算即可.

【详解】原式=0一l+4-2x*+(-2)+l

=V2+2-V2

=2.

3

20.——，当x=0时，原式=一3

x-}

【分析】

本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的

条件选择合适的值代值计算即可.

,、4h-n(13、x2-2x+1

【详解】解：1--------~~—

Vx+2J3x+6

x+2-3,(x-1)2

x+23(x+2)

x-13(%+2)

x+2(x—I,

3

•••分式要有意义，

卜+2w0

•.[x-lwO'

••・Xwl且XH-2,

3

・•・当x=0时，原式--=-3

0—1

21.(1)见解析

⑵36

答案第8页，共17页

【分析】本题主要考查平行四边形性质及应用，矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股

定理以及三角函数等知识.

(1)由四边形48CD是平行四边形，得/BAE=/FDE,而点£是4D的中点，可得

△BEA知FED(ASA),即知所=£3,从而四边形/ADF是平行四边形；

4

(2)先证明四边形4题甲是矩形，再由/=90。，40=10,cos/405=1求出

AB，BD，以及s矩形.8=48,S.BED=\2,再求出SBS=24即可得出结论.

【详解】(1)证明：•・・四边形/BCD是平行四边形，

.-.BA//CD,

・•・/BAE=/FDE,

•・•点E是4。的中点，

*'•AE=DE,

在和△FEQ中，

ABAE=AFDE

<AE=DE,

/BEA=NFED

.-.^BEA^FED(ASA),

•••EF=EB,

又•：AE=DE,

・•・四边形ABDF是平行四边形,

(2)解：由(1)得：四边形Z&)方是平行四边形，

•・•ZBDF=90°,

・•・四边形45。b是矩形，

4

vZBDF=90°,4。=10,cosZADB=~,

5

BD_4

,•j

AD5

BD=8

由勾股定理得，AB=^AD'-BD2=V102-82=6>

•••S矩形"。尸="3.2D=6X8=48，

答案第9页，共17页

•••S&BED~WS矩形"OF-12,

••・四边形ABCD是平行四边形，

CD=AB=69

.-.SADK^cLn)=-23D-CD2=-x8x6=24,

四边形BCDE的面积S=S.BED+S.BCD=12+24=36,

所以，四边形的面积为36.

22.(l)j=1000-10x(x>40)

(2)若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为50元或80元

【分析】

本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用：

(1)根据销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件求出销售量即可；

(2)根据总利润=单件利润x销售量列出方程求解即可.

【详解】(1)解：由题意得：y=550-10(x-45)=1000-10x(x>40);

(2)解：由题意得：(x-30)(1000-10x)=10000,

整理得：X2-130X+4000=0,

解得x=50或x=80,

答：若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为50元或80元.

23.(1)补全图形见解析，0.28

(2)64；64

(3)1380名

【分析】

(1)先根据频率之和等于1求出m的值，再根据频数=频率x总数求出0,6的值，最后补

全频数分布直方图即可；

(2)根据众数和中位数的定义求解即可；

(3)先求出样本中“良好”的频率，再利用样本估计总体求解即可.

【详解】(1)解：m=\-0.04-0.1-0.36-0.18-0.04=0.28,

答案第10页，共17页

。二50x0.1=5；

6=50x0.28=14,

补全条形统计图如下:

“人数/人

20-

故答案为：0.28；

(2)解：60Vx<70这一组的数据按从小到大的顺序排列如下:

61,62,62,63,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,66,67,67,69

数据64出现次数最多，共10次，故众数为：64；

最中间的两个数为：64,64,故中位数为：上64+六64=64,

故答案为：64；64；

(3)解：3000x(0.18+0,28)=1380(名)

答：估计全校3000名学生参与竞赛时成绩为“良好”的人数为1380名.

3

24.(1)7；-

(2)见解析

(3)①当x<-2时，y随x的增大而增大；②函数没有最大值(答案不唯一)

(4)SA/OB=8

【分析】

(1)将自变量代入计算即可；

(2)结合表格数据先描点，再连线即可作答；

(3)结合反比例函数的特点作答即可；

(4)先求出两个函数的交点坐标，再求出必=-5x-8与x轴的交点坐标，问题随之得解.

【详解】(1)在丫=生一曲线上，

x+2

答案第11页，共17页

2r-1

当工二一3时，a=y=------=7；

x+2

当x=2时，b=y=-X=：,

x+24

.、3

故答案为：7；—.

4

(2)函数图象如图所示

(3)结合(2)中的函数图象有：

①当x<-2时，y随x的增大而增大;

②函数没有最大值(答案不唯一).

(4)根据题意得上==-5》-8,

解得尤=-1或X=-3.

当x=-l时，必=-3；

当尤=-3时，必=7,

••・交点为(T-3),(-3,7),

如图，

答案第12页，共17页

解得：X=-|,即弘=-5x-8与X轴交于点

1O

・••SA/OB=万*/（7+3）=8.

【点睛】本题是一道涉及反比例函数的拓展题，题目难度不大，通过类比，紧扣反比例函数

的图象与性质，是解答本题的关键.

25.（1）证明见解析

5-V|

2

【分析】

本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的性质与判

定：

（1）由线段3c是半圆的直径，。厂是半圆的切线得到

ZAFB+ZAFC=90°=ZCFD+ZAFC,进而证明ZAFB=ZCFD,从而得到ZGBF=ZAFB,

由此即可证明2E〃//；

（2）利用切线的性质和平行线的性质可得/E=90。，利用勾股定理求出2D,证明

AAFDSABED,最后根据相似三角形的性质求解即可.

【详解】（1）证明：•••线段是半圆的直径，

ZBFC=90°,

厂是半圆的切线，

ZAFD=90°，

答案第13页，共17页

・•.ZAFB+ZAFC=90。=NCFD+ZAFC,

・•.ZAFB=ZCFD,

•・•ZGBF=ZCFD,

・•・/GBF=ZAFB,

・•.BE//AF

(2)解：・・・。尸是04的切线,

•••4/即=90。.

BE〃AF,

:"E=/AFD=90°.

BE-2,DE=4,

BD=dBE?+DE?=275.

设半径为R,则/。=2右一7?.

•••NE=AAFD=90°,/D=/D.

AAFDs^BED,

AFADnnR2V5-7?

♦F即

・•.R=^L

2

.・・。/的半径为匕回.

2

26.(l)/(-l,0),3(3,0),C(0,2)

(2)(3_而,0)或(3+而,0)或(-3,0)1,0

⑶(/2c,c2)、或一3(28，一3286、J

【分析】

o4

(1)当尸0时，即0=-三2+y+2,解方程可得图象与X轴交于点8(3,0),

当x=0时，y=2,从而得图象与歹轴交于点C(0,2)；

(2)先利用勾股定理求出8