2024年九年级中考数学复习：二次函数的实际应用（图形运动问题）

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的实际应用（图

形运动问题）

一、单选题

1.如图1,在平行四边形中，BCLBD,点、/从点B出发，以lcm/s的速

度沿3T>（7一£>匀速运动，点E从点A出发；以lcm/s的速度沿Af8匀速运动，

其中一点停止时，另一点随之停止运动，图2是ASEF的面积S（cn?）时间f（s）变化

的函数图象，当的面积为lOcn?时，运动时间，为（）

AEB610x

图1

B.5sC.4s或二sD.3s或7s

2.如图，等边三角形43c边长为20cm,点。在边A3上（不与A,8重合），过点

D作DE〃BC交AC于点E.当3。=;rcm时，NADE的周长比MC的周长减少了％cm,

2

面积减少了y2cm.当x在一定范围内变化时，％和%都随x的变化而变化，则外与x,

为与x满足的函数关系分别是（）

A.反比例函数关系，一次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，一次函数关系D.一次函数关系，二次函数关系

3.如图，在RtZVIBC中，NACB=90。,AC=BC=2&,C£>_LAB于点。.点尸从点C出

发，沿CfDfA的路径匀速运动，运动到点A停止，过点P作P£_L8c于点£,设

点P运动的路程为的面积为y,则>与x的函数图象是（）

4.如图，在菱形ABC。中，ZA=60°,AB=4,动点M,N同时从A点出发，点M以

每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段A。

向终点O运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为丈秒,

AAMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与X函数关系的图象是（）

5.如图1,在RtAABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB的长为。，动点。在A3边上

从点A向点B运动，过点。作OE，AC,DFYBC,垂足分别为E,F,设AD的长为x,

矩形CEDF的面积为随x变化的关系图象如图2所示，其中点P为图象的最高点,

且纵坐标为6,则。的值为（）

D.8

6.一副三角板（BCM和△A£G）如图放置，点E在8c上滑动，AE交BM于D,EG

交MC于尸，且在滑动过程中始终保持防=。£.若MB=4,设8E=x,_£FC的面

积为“则y关于x的函数表达式是（）

A.y-2y/3xB.y=2\/5x+l

C.y=x（40-x）D.>=；,4石-，

7.如图，正方形ABC。边长为4,E、F、G、，分别是AB、BC、CD、D4上的点，且

AE=BF=CG=DH.设A、E两点间的距离为x,四边形EFGH的面积为户则y与x

的函数图象可能是（）

8.如图，菱形ABC。是边长为8,NC=60。，点E在边AD上以1个单位每秒的速度由

A向。运动，同时点尸由点。以2个单位每秒的速度沿方向运动，连接EF,

AF.设运动时间为x,ZiA"■的面积为九下列图象能正确反映出y与1的函数关系

的是（）

工

BC

k

OK

]/.

二、填空题

9.如图，在RtaABC中，ZC=90°,AC=（5cm,BC=2cm.点P在边AC上，从点A

向点C移动；点。在边CB上，从点C向点B移动，连结PQ.点P,。均以lcm/s的速

度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止.设运动的时间为公，线段PQ

的长为£cm.当，=时，L的最小值为cm.

10.如图，在矩形ABC。中A8=2,AO=3,动点E从点。出发向终点4运动，连接BE,

以8E为边在8E上方作正方形8EFG,在点E运动的过程中，阴影部分的面积最小

11.如图，一"C和‘A'B'C'是边长分别为5和2的等边三角形，点?、C、B、C都

在直线/上，,ABC固定不动，将,A'UC在直线/上自左向右平移.开始时，点C'与点

8重合，当点8'移动到与点C重合时停止.设夕C'移动的距离为x,两个三角形重

叠部分的面积为了,请写出y与x之间的函数关系式.

12.如图，在_ABC中，?B90?,AB=12mm,8C=24mm,动点尸从点A开始沿

边向点B以2mm/s的速度移动，动点。从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度

移动，如果P、。两点分别从A、8两点同时出发，设运动时间为四，那么一PBQ的面

积S的最大值为mm2.

13.如图（1）所示，E为矩形ABC。的边AO上一点，动点P,。同时从点B出发，点

P沿折线BE-£»-DC运动到点C时停止，点。沿8c运动到点C时停止，它们运动的

速度都是lm/s.设P,。同时出发f秒时，VBPQ的面积为yen?.已知y与f的函数关

系图象如图（2）（曲线0M为抛物线的一部分），则cos/AfiE=;当，=时,

），=g（x-2）2+l向左平移得到一条新抛物线，其中点P,Q（，%4）,平移后的对应点分别

为点P'，Q',若曲线段尸。扫过的面积为15（图中阴影部分），则新抛物线的解析式

为一.

15.如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（1,2）,（6,2）,（6,

0）.点A为线段M0上的一个动点，连接AC,过点A作AB1AC交y轴于点B.当点

A从M运动到N时，点B随之运动，点B经过的路径长是.

16.如图，点A（9,0）,8（0,3）,P为x轴上一动点，将线段尸5绕点P顺时针旋转90。

得到PC,连接AC.则AC的最小值是

三、解答题

17.如图，在A3c中，？390?,AB=\2xxm,BC=24mm,动点尸从点A开始沿边

A8向点3以2mm/s的速度移动（不与点8重合），动点。从点8开始沿边8c向点C以

4mm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P,。两点分别从A,B两点同时出发;

A

（1）求出，P8。的面积S随出发时间f的函数解析式;

（2）求经过多少秒，四边形APQC的面积最小？最小值是多少？

18.如图，在矩形45CZ）中，AB=6,8c=8,点尸从点C出发，沿C8向点8匀速运

动，速度为每秒1个单位，过点P作交对角线BD于点M.点。从点B出

发，沿对角线8。向点。匀速运动，速度为每秒1个单位.P、。两点同时出发，以PM、

PQ为邻边作平行四边形PMN。.设P、。的运动时间为f秒（0<f<8）.

⑴当，=.秒时,沿直线DP翻折，点C与点〃重合;

（2）当点N在A8上时，求f的值;

（3）设平行四边形PMNQ的面积为S（cm2）,求S与f之间的函数关系式，并提供相应的f

的取值范围.

19.如图，在中，ZA=90°,AB=AC=4cm.动点尸从点A出发，沿A8方向

以lcm/s的速度向终点B运动，同时动点。从点B出发，沿84方向以lcm/s的速度向

终点A运动.以转为一边向上作正方形APDE,过点。作QF〃8C,交AC于点F.设

点户的运动时间为x(s)(x>0),正方形APOE和.4QF重叠部分图形的面积为y(cm2).

⑵当点。落在BC上时，求x的值.

(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

20.如图，等腰的直角边钻=2,点尸、Q分别从A、C两点同时出发，以

相同速度作直线运动.已知点P沿射线A3运动，点。沿边8c的延长线运动，户。与直

线AC相交于点。.

(1)设4P的长为x,△PC。的面积为S.求出S关于x的函数关系式;

(2)当AP的长为何值时，SMCQ=S△川

(3)作P£_LAC于点E,当点尸、Q运动时，线段OE的长度是否改变？证明你的结论.

参考答案：

1.B

【分析】当6VY10时，点尸在。。上运动，而点E继续在A3上运动4s,可求得

CD=AB=lxl0=10(cm),BC=1x6=6(cm),由勾股定理得

BD=ylCD2-BC2=V102-62=8(cm),然后分当0<146时和当6<10时两种情况讨论

即可，求出S与f之间的函数关系式是解题的关键.

【详解】由图1、图2可知，当f=6时，点尸与点C重合；

当6</力0时，点尸在。上运动，而点E继续在45上运动4s,

•••四边形ABC。是平行四边形，点F、点E的速度都是lcm/s,

CD=AB=1x10=10(cm),BC=lx6=6(cm),

BCLBD,

：.NCB£>=90°,

/.BD=yJCD2-BC2=7102-63=8(cm),

当0<f46时，如图3作HC，AB,交A8的延长线于点G,则NG=NCBE>=90。,

图3

,?AB//CD,

AGBF=Z.C,

BGFS£BD,

.GFBF

・•----=-----，

BDCD

/.GF==—xr=—r(cm),

CD105v7

S=-x—f0O—/)=——+4,,

2

当S=10时，则一g"+4f=i。，

解得％=U=5；

当6vxW10时，如图4,作C”_LA8,交A3的延长线于点H,

A-xlOCH=-x6x8,

22

解得C”=2g4,

i?412

AS=-x—（10-r）=——r+24,

25v）5

12

当S=10时，则—1，+24=10,

解得”丫35，不符合题意，舍去，

6

综上所述，运动时间1为5s,

故选：B.

【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数

的性质、一次函数的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，

2.D

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理.先

证明VADE是等边三角形，分别求出VAO石和JU3C的周长，再证明

可求出VA。石的面积，即可求解.

【详解】解：・・•ABC是等边三角形，

/.AB=BC=AC=20cn}fZA=Zfi=ZC=60°,

•:DE〃BC,

：.ZA=ZADE=ZAED=60°f

・•・VA。石是等边三角形，

/.AD=DE=AE=（20-x）cm,

:.yx=20x3-3（20-x）=3Acm,是一次函数;

如图，过点A作A/13c于点F,交DE于点、G,则AGJ_DE,

E

/i\

BL-------b-----\c

F

：.BF=-BC=\Ocm

2f

AF=10V3cm,

・2

.，SABC=；BC又AF=100>/3cm，

•IDE//BC,

：./XADE^ABC9

=偿)=(V)=焉/-本+、

22

SADE=f—X-I0>/3X+100^Icm,

%=1006-1券Y-IO屈+1006=-^-x2+105/3xIcm2,是二次函数.

故选：D

3.B

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的性质与判定，二次函数的图象与性

质；分两段来分析：①点P从点C出发运动到点。时，写出此段的函数解析式，则可排除A

和D；②尸点过了。点向A点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口

方向可得答案.

【详解】解：,•,NACB=90。，AC=BC=20,

/.ZA=45°,AB=4,

又

：.AD=BD=CD=2,ZACD=ZBCD=45°,

'：PEVBC,

四边形CEPF是矩形，

当尸在线段CD上时，即0<x42时，

，PE=CE=—PC^—x

22

:-y=^Yx\=；/,此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项A、D错误;

当P在线段A£>上时，即2<xM4时，如图：

依题意得：AP=4-x9

•：PE1.CB,AACB=90°

：.PE//AC

:.△BPEsMAC

.PE_PBAB-AP

■.就一诟一_AB

.PE_4-（4-x）

♦,寻二4

解得;在=立尺

2

■:PE//AC

.CEBC

・・赤一瓦

.CE20

•«--=----

4-x4

CE=@T）

2

，丫=，。《'/^='*正（4-》）'也》=-'/+8此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下,

"222'"24

故选项C错误;

故选：B.

4.A

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，

勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的

关键.连接8£>,过B作于E,根据已知条件得到是等边三角形，根据相似

三角形的判定定理得到根据相似三角形的性质得到N/WM=NAEB=90。，

当04x<2时，点M在AB上，当24x44时，点M在BC上，根据三角形的面积公式即可

得到结论.

【详解】解：连接8。，过B作于E,当04x<2时，点M在AB上，

在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,

：.AB=AD>

是等边三角形，

AE=ED=^AD=2,BE=>/3AE=2-^3,

.AM=2x,AN=x,

AMABc

二.---=——=2,

ANAE

ZA=ZA,

AMNs.ABE,

.\ZAW=ZA£B=90°,

MN=^AM'-AN-=向>

y=—xx~j3x=—x2

22

当2WxV4时，点M在BC上,

综上所述，当04x<2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当24x44时，函数图

象是直线的一部分，

故选：A.

5.B

【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据含30度角的直角三角形的性质，得到

DE=^-AD=^-x,BC=:4?=W，勾股定理，得至I」4正=叵,4。=叵，求出CE的长,

222222

利用矩形的面积公式得到二次函数关系式，利用二次函数的性质进行求解即可.

【详解】解：：NA=3O。，A£>的长为x,A3的长为a,

.,.在中，DE=-AD=-x,在RtZVlCB中，BC=-AB=-a,

2222

/.AE=sjAD2-DE2=—X,AC=>]AB2-BC2=—,

22

/.CE=AC-AE=—(a-x),

由图象可知：虫/=石,

16

・\。=4（负值已舍去）.

故选：B.

6.D

【分析】根据题意可以分别用含元的代数式表示出点F到8边的高和EC的长，从而可以表

示出的面积.

本题考查根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件，利用数形结合的思想解答.

【详解】解：作于点”，如图所示，

则NaE=90。，

/.AFEH+Z.EFH=90°

,ZDEF=9O°,

:"DEB+/FEH=90。,

:.ZEFH=ZDEB,

在,.。的和△EFH中，

NB=NFHE

<Z.DEB=NEFH,

DE=EF

DEB空EFH(AAS),

・,.BE=HF,

BE=x,

HF=x,

MB=4,?B90?,ZC=30°,

BC=4C，

:.EC=BC-BE=4>j3-x,

二瓦C的面积为是：1(48-幻，

即y=^x(4y/3-x)f

故选：D.

7.A

【分析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形

的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案.

【详解】解：正方形ABCD边长为4,AE=BF=CG=DH

AH=BE=CF=DG,ZA=NB=NC=ND

/XAEHmWFE^ACGF名乙DHG

.1y=4x4-gx(4-x)x4

=16-8x+2f

=2(X-2)2+8

是x的二次函数，函数的顶点坐标为(2,8),开口向上

从4个选项来看，开口向上的只有A和B,C和D图象开口向下，不符合题意

但是8的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的

关键.

8.C

【分析】需要分情况求得的面积＞关于运动时间x的函数：当04r44时；当4＜，48

时.

【详解】如图所示，过点歹作交A。于点N,过点。作。WJ.BC,交BC于点

M.

根据题意可知4E=x(0<x48).

•.•四边形ABC。为菱形，

，BC=CD.

又NC=60。，

...△BCD为等边三角形.

:.ZDBC=ZBZX?=60°,DB=BC=8.

DM=BD.sinZDBC=4百.

•••四边形ABC。为菱形，

二ZADB=NBDC=60。.

又当0<x44时，DF=2x,

：.FN=DF-sinZADB=y/3x[O<x<4).

当0<x44时，

y=—AEFN=-xxx>/3x

222

当4<x48时，

V=—AE-DM=—xxx4G=2®.

•22

故选：C.

【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象和性质、菱形的性质，牢记一次函数和二

次函数的图象和性质是解题的关键.

9.2275

【分析】本题考查了勾股定理以及二次函数的应用，当运动时间为公时，AP=tcm,CQ=tcm,

则PC=(6-r)cm.利用勾股定理可得出Z?=2(f-3『+18,利用二次函数的性质可求出万的

最小值，再结合L为正值，即可得出：当，=2时，L取得最小值，最小值为2逐.

【详解】解：当运动时间为抬时，AP=fcm,CQ=rem,

PC=(6-f)cm.

PQ2=PC2+CQ2,

.-.A2=(6-r)2+/2,即L2=2r2-12r+36=2(r-3)2+18,

,2>0,S.0<t<2,

.•.Z?随1的增大而减小，

.•.当f=2时，Z?取得最小值，最小值=2x(2-3)2+18=20,

又­L为正值，

...当f=2时，L取得最小值，最小值为2石.

故答案为：2；2\[5.

10.”

4

【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，正方形的性质，矩形的性质，正确

表示出阴影部分的面积是解题的关键.设4E=x,矩形ABC。中钻=2,4)=3,可得

0cx<3,NBAE=9O°,由勾股定理可得BE?=A)+AE?=2?+Y+4,再由

S|»|=S正方形8WG—SABE列出二次函数求解即可.

【详解】解：设A£=x,

在矩形ABC。中A8=2,AD=3,

/.0<x<3,Z.BAE=90°,

BE2=AB2+4炉=2?+ff+4,

...3阴=s正方形3防G一SA3E=BE?一gABAE=f+4_/x2x=(x-g]+—»

,a=l>0,0<x<3,

・•・当x时，S阴有最小值，为*

故答案为：?

4

—X2(0<X<2)

11.y='>/3(2<x<5)

半(7-X)2(5<X47)

【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当0<x42时，两个三角形重叠部分为△8CO的

面积，当2<x45时，两个三角形重叠部分为二A'8'C的面积，当5<x47时，两个三角形重

叠部分为△ECD的面积，分别求解即可.

【详解】解：①当0<xV2时、如图1所示，两个三角形重叠部分为△BC'O的面积，

由题意得，BCr=x,

ABC和一4£。是边长分别为5和2的等边三角形，

是边长x的等边三角形，

过点D作DE_LBC于点E,

BE=­x,

2

：.DE=—x,

2

..S.——•BC,DE——,xx——x,

BprCDn2224

②当2<x45时，如图2所示，两个三角形重叠部分为，A'8C'的面积,

由题意得，8'。=2,

过点A作A'ELB'C'于点E,

A'E=6

:.S..R,r,=--B'C'-A'E=-xy/3x2=^/3,

22

即y=0;

③当5<xK7时，如图3所示，两个三角形重叠部分为△98的面积,

由题意得，BC=x,

和‘A'B'C'是边长分别为5和2的等边三角形，

是等边三角形，且B'C=7-x,

过点。作QEJ.3C于点E,

OE=+(7-x),

2

SHCD=,B'C-DE=-^-(7-x)-^y-(7-jc)=^-(7-x),

即y=乎(7-*)2；

—X2(0<JC<2)

综上，写出y与x之间的函数关系式为y=，6(2<x«5)

—(7-X)2(5<X<7)

二O<X<

3-2)

4<X<5)

故答案为：y=<-

73

V43-X)2(5<x<7)

图3

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角

形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键.

12.36

【分析】本题主要考查二次函数应用一动点问题，二次函数图象与性质等知识，理解动点运

动中时间与P8Q的面积关系是解题的关键.

根据题意得到”=2^01,80=4^01,则BP=(12-2/)mm,有三角形的面积公式可得

S=g8尸•BQ="12-2f)x4f=24f-4/(O<f<6),利用二次函数的性质即可求得，P8Q的面

积S的最大值.

【详解】解：根据题意有：A尸=2rmm,仅2=4rmm,

*.*AB=12mm,BC=24mm,

/.BP=（12-2f）mm,

S=^BPBe=1（12-2f）x4r=24r-4r,

VBQ=4t>0,BP=V2-2t>0,

/.0<z<6,

故S关于，的函数解析式为S=24f-4『（O<f<6）；

VS=24t-4t2=-4（r-3）2+36,

-4<0,

.•.当f=3时，的面积S有最大值36mm2.

故答案为：36.

429

13.-/0.8——

54

【分析】此题是二次函数综合题，三角函数，主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质、

相似三角形的性质.先根据图（1）和（2）的信息，得

AD=BC=BE=5,CD=AB=4,AE=3,DE=2,结合三角函数以及相似三角形的性质，

列式计算，即可作答.解题的关键是读懂图象信息求出相应的线段，学会转化的思想，把问

题转化为方程的思想解决，属于中考常考题型.

【详解】解：由图象可知，•••>=10,工=5,速度为lm/s,且曲线OM为抛物线的一部分

二BE=5+1=5,8c=5+1=5

■:t=7s,图（2）成了一次函数，说明点。已经停止运动，即点。与点C重合

ED=1-BE=1-5=2,

：A8CO为矩形

/.AD=BC=BE=5,AE=5-3=2

即AB=CZ）=j25-9=4

故">=3C=8E=5,CD=AB=4,AE=3,DE=2,

：.ABtAD=4：5,

AR4

则cos/43E=——=-

BE5

•/、ABEsqBP,且.ABE是直角三角形，

所以28P一定就是直角三角形，

当点P在£8上时，因为速度都一样，则8P=8Q,且N£B。小于90。

当点P在ED上时，因为速度都一样，

此时BE+EP=BC,即PQ不可能垂直BC

所以只有在CO上，点。与点C重合，且满足线=工

ABAE

.5CP

・♦———

43

：.CP=—

29

则/=(8E+EO+OQ)+1=5+2+

T

429

故答案为：",—

54

I

14.y=](x+3)9~+l

【分析】先根据二次函数的解析式求出顶点坐标P,再根据题意求出PP=5,最后结合二

次函数的平移即可求解.

【详解】解：•・•抛物线y=g(x-2y+i的顶点为点p,

P(2,l),

曲线段尸。扫过的面积=(%-%)x尸产=3PP'=15,

则PP=5,

故抛物线向左平移5个单位，则y=：(x-2+5)2+1=g(x+3『+1,

故答案为：y=g(x+3『+l.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质和二次函数的平移，灵活运用所学知识求解是解

决本题的关键.

15.6.5

【分析】延长交y轴于P点，连接CN冼证然后设尸4=X,PB=y，根据“相

似三角形对应边成比例''列比例式，求出y与x之间的函数关系式，再在1WXW6范围内求

出y的范围，从而可求出点8经过的路径长.

【详解】解：如图，延长交y轴于尸点，连接CN

N、C三点的坐标分别为(1,2),(6,2),(6,0).

轴，NCJ_x轴

.-.MNINC

.­.ZAPB=ZCNA=90°

Zft4C=90°

:.ZPAB+ANAC=90°

又,ZW4C+ZNC4=90°

:.ZPAB=ZNCA

；jPABS_NCA,

:.PABS_NCA

.PBPA

"'~NA~~NC'

设R4=x,则N4=PN—P4=6-x,设尸8=y,

1<x<6,

当户1时，PB=2.5,

.♦.X从1到3的时候?8是从2.5到4.5运动了2,

x从3到6的时候，户8从4.5到0运动了4.5,总和是6.5.

综上所述，点B的运动路径的长为6.5.

故答案为：6.5.

【点睛】本题是一个动点问题，主要考查了相似三角形的判定和性质，以及在一定范围内求

二次函数的最大值与最小值.解题的关键是要把y与x的关系式表示出来.

16.3亚

【分析】过点C作C£＞，x轴交x轴于。，设P（机0）,利用一线三垂直模型证明△BOWBDC

推出。（3+帆机），根据勾股定理表示出ACz,然后根据二次函数的性质求解即可.

【详解】解：如图1所示，过点C作CCx轴交x轴于。，设P（〃?,0）,

由旋转的性质可得3P=PC,ZBPC=90°,

图1

二NOPB+ZDPC=90。=ZOPB+NOBP,

NOBP=NDPC,

又•:NBOP=ZPDC=90°,BP=PC,

：.AB（9/^AP£）C（AAS）,

•；8（0,3）

PD=OB=3,CD=OP=m,

OD=3+机，

/.C（3+/«,m）,

：A（9,0）,

AC2=（3+m-9）2+nr=2n^-\2m+36=2（/w-3）2+18,

•••AC2的最小值为18,

.♦.AC的最小值是3TL

故答案为：3板.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等等，二次函数

的性质，根据题意表示出AC?是解题的关键.

17.（1）S=T产+24r

⑵当/=3时，四边形APQC面积最小，最小值是108mm2

【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握三角形面积公式，割补法求四边形面积，

二次函数解析式配方求最值，是解决问题的关键.

(1)根据A8=12,AP=2t,得到BP=12—2f,根据BQ=4f,?B90?,运用三角形的

面积公式计算即可；

(2)根据S四边形A/)GC=S.C-S.BC，结合(1)结论列出函数关系式，配方求最小值.

【详解】(1),/AB=12,AP=2t,

:.BP=AB-AP=12-2t,

：.ABC中，?B90?,BQ=4t,

：.S=^BQBP=^x4t(n-2t)=-4t2+24t-

(2)S四边形八.=S即G-SPBQ

=1xl2x24-(-4r+24r)

=4r2—24r+144

=4。一3尸+108,

V«=4>0,

，当f=3时，四边形APQC面积最小，最小值是108mm2.

18.(1)3

-72

(2)—

29

「27312768八32

(3)5=—r2-----1+——0<r<—

252525

【分析】(1)首先根据矩形的性质可得N8a)=NB4)=90°,AB=CD=6,BC=AD=8,

进而利用勾股定理解得8£>的长度；利用翻折的性质可得CP=MP=r,DM-DC-6,再

在Rt8Mp中，利用勾股定理解得/的值即可；

PMBMPB

(2)首先证明一BMPSBCD,利用相似三角形的性质可得==累=胃，进而可得

DC£>CDD

34

PAf=-(8-r),BM=-(8-r),再结合平行四边形的性质证明，3QNS_BA。，并利用相似

三角形的性质获得关于l的方程，求解即可获得答案;

（3）利用平行四边形PMNQ的面积S=2S.M0,即可获得S与f之间的函数关系式：根据

PM>0,MQ>0,列出关于，的不等式并求解，即可求得，的取值范围.

【详解】(1)解：•.•四边形ABC。为矩形，AB=6,8c=8,

:.NBCD=NBAD=9CP,AB=CD^6,BC=AD=8,

BD=ylAB2+AD2=yJ(r+82=10，

•••沿直线OP翻折，点C与点M重合，

/.CP=MP,DM=DC=6,

：.BM=BD-DM=10-6=4,

根据题意，CP=MP=t,则BP=BC-CP=8-f,

又：PMLBD,

在RtBMP中，可有MP2+BM2=BP2，

即产+42=(87)2,解得r=3

...当f=3秒时，沿直线OP翻折，点C与点M重合.

故答案为：3；

(2):PMLBD,

：.ZBMP=ZBCD=90°,

又,:NPBM=NDBC,

二BMPsBCD,

.PMBMPB

,•DC一BC一DB'

PC=BQ=t,

PB=8-t,

.PMBM8-r

••---=----=----,

6810

34

/.PM=-(8-Z),BM=g(8-D，

・・・四边形尸MNQ为平行四边形，

3

PM=NQ=-(8-t)9PM〃NQ,

■:PM1BD,

・.NQ工BD,

当点N在A3上时，如下图,

・.・ZBQN=ZBAD=90°,4QBN=ZABD,

:..BQNSc.BAD,

,•.蟹=吗即郛

DABA^—7—=7

oo

解得f嗡72，

72

・・・当点N在AB上时，求f的值为与；

34

(3)由(2)可知，PM=1(8-r),W=-(8-Z),

根据题意，PC=BQ=t,

329

・・・MQ=BM_BQ=hm，

・・•四边形PMN。为平行四边形,

平行四边形PMNQ的面积S=25麻=2xgMQx,

332927c312768

5=_(8_0x(___?)=_r-----1H------

2525

VS>0,

3329

・・・一(87)>0,--------r>0,

555

・

../<—32.

9

又・・・OU<8,

-八

・・0</<3—2,

9

s与f之间的函数关系式为s=|^2-蛋f+翳

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、

平行四边形的性质、二次函数的应用等知识，利用含，的代数式表示出相应线段的长度是解

题关键.

4

19.(l)y

⑵x=2

(3)当0c时,y=x?；当g<x42时,y=--1x2+12x-8；当2cx44时,y=；x?-4x+8

【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，动点问题，二次函数的

应用，分类讨论是解题的关键.

(1)根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得4P=PQ=BQ=x,进而即可求

解；

(2)根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得AP=8P=x,进而即可求解;

(3)分三种情况：当0<x］4时，当4?<x42时，当2VxM4时，画出图形，结合图形即

33

可求解.

【详解】(1)：ZA=90。，AB=AC=4cm,

,ZB=ZC=45°,

当点。在。尸上时，如图所示，此时AP=BQ=_vcm,

-QF//BC,四边形APDE为正方形，

，N8=NPDQ=45。，AP=DP,^APD=NDPQ=90。

：.ZPDQ