人教版九年级下册数学教案第28章 锐角三角函数

第28章锐角三角函数

28.1锐角三角函数

第1课时正弦

教材分析

本章是在学生已学了一次函数、反比例函数、二次函数以及相似的基础上进行的，它反映的不是数值与数值的

对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，这对学生来说是一个全新的领域.一方面，这是在学习了直角三角形

两锐角关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；另一方面，又为解直角三角

形等知识奠定了基础，在实际生活中有着广泛的应用，同时也是高中进一步研究三角函数、反三角函数、三角方程

的工具性内容.

本课时中正弦的概念是研究本章内容的起点，它为后面研究余弦和正切的概念提供思想和方法上的引导.教学

时要注意提醒学生，由于教材“思考”栏目中的RtAABC是任意画出的，而且第=坐的推导过程与RtAABC的大小

ADZ

无关，所以这里可以说“无论这个直角三角形的大小如何”.要充分重视锐角的正弦概念的教学，让学生真正理解

它的内涵，为后面的学习打好基础.

备课素材

新课导入设讦:

【归纳导入】

如图，请思考：

(1)RtAABC和Rt^AB2c2的关系是；

BCfB2c2迎口

(2)二-和力-的关系是________；

ADIAD2

(3)如果改变点B?在斜边上的位置，则陪和陪的关系是________.

AD1AD2

思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________,

根据是.

它的邻边与斜边的比值呢？

【说明与建议】说明：通过锐角确定的直角三角形图形的变化，让学生感受对边与斜边的比是确定的.

建议：让学生确定陪=若后，归纳出：在直角三角形中，当锐角一定时，其对边与斜边的比是唯一确定的.

ADIAD2

城命题热点〕

命题角度1考查正弦的定义

1.在AABC中，ZC=90°,CD_LAB于点D,下列式子表示sinB错误的是(D)

CDACADCD

A------n------p------n------

BCABACAC

命题角度2已知直角三角形的两边长，直接求锐角的正弦值

2.在RtZ\ABC中，ZA=90°,AB=5,BC=12,则sinC的值是(B)

A叵RA5D12

12121313

命题角度3根据网格图求锐角的正弦值

3.如图，在4X4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，4ABC的顶点都在格点上，则图中/ABC

的正弦值是逑.

B

命题角度4根据平面直角坐标系中点的坐标求锐角的正弦值

4.如图,在平面直角坐标系中，直线0A过点⑵1),则sina的值是当

命题角度5构造直角三角形求锐角的正弦值

39

5.(黑河中考)如图，。。是△ABC的外接圆,AD是。0的直径.若。0的半径为AC=2,则sinB的值是

命题角度6利用正弦值求直角三角形的边

6.如图,在AABC中,NA=9。。,sinB—BC=6,则AC的长为区

教学设计

课题28.1第1课时正弦授课人

1.通过探究学生能知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比是一个固定值，引出正弦

的概念.

素养目标

2.理解正弦的概念并能根据正弦的概念正确进行计算.

3.会用数学的思维方式思考、发现、总结、验证.

教学重点正确认识、理解正弦的概念，会根据边长求出正弦值.

教学难点引导学生比较、分析并得出：在直角三角形中，对任意锐角，它的对边与斜边的比是一个固定值.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

提出问题：回顾直角三角形

1.直角三角形中存在哪些重要的性质？试着说一说.的相关性质，为新

回顾

2.若直角三角形中有一个锐角为30°,则哪两条边之间存在2倍的关系？课题的学习做好

3.在运用勾股定理求解线段长度时，存在哪些情况呢？铺垫.

在学生用“直角三

角形中，30°角所

对的直角边是斜

【课堂引入】

边的一半”解决问

问题：如图1,为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设

题的基础上，引出

活动一：创水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角

研究直角三角形

设情境、导(/A)为30°,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管？

边角关系的具体

入新课

内容和方式，研究

喜/■看*#04a.4c

锐角和它的对边

图1

与斜边之比之间

的关系，为下一环

节奠定基础.

活动二：实一、探究发现1.培养学生用数

践探究、交探究【课堂引入】中的问题.学语言表达实际

流新知师生活动：学生组织语言与同伴交流，教师及时了解情况，并适时引导，把实问题的意识，提高

际问题抽象为数学问题：在RtZkABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=35m,数学表达能力.

求AB的长.2.让学生体验合

根据“直角三角形中，30。角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：需要准理猜想是数学学

备70nl长的水管.习中研究问题的

问题1：如果使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管？方法之一，同时为

问题2：对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边有怎学生提供自主探

样的数量关系？可以用一个怎样的式子表示呢？究的空间，增强学

师生活动：学生用数量关系表示，并引导学生得出/常'边然后归纳：生的语言表达能

力.

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么不管这个直角三角形的大小如

3.让学生在一系

何，这个角的对边与斜边的比都等于:

列的问题解答中，

二、类比思考、猜想验证

经历从特殊到一

问题：在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还

般的建立数学概

是;吗？例如：如图2,任意画一个RtaABC,使NC=90°,NA=45°,计算

念的过程，感受得

/A的对边与斜边的比，由此你能得出什么结论？出定义的方式：先

研究合理性，再下

定义.

CB

图2

问题：在Rt^ABC中，/C=90°,当/A=30°时，NA的对边与斜边的比都

等于;，它是一个固定值；当/A=45。时，/A的对边与斜边的比都等于坐，

它也是一个固定值.由此你能猜想出什么一般的结论呢？

教师讲解：在Rt^ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小

如何，/A的对边与斜边的比都是一个固定值.这个固定值随锐角A的度数的

变化而变化，由此我们给这个“固定值”以专门的名称.

如图3,在Rt^ABC中，NC=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做/A

问题：当/A=30°时，/A的正弦为多少？当/A=45°时呢？

1、历

教师给出：sin300=-,sin45°=+.同时强调正弦的三种表示方式：sinA（省

略角的符号）,sin30°,sinZBAC.

【典型例题】

例1（教材第63页例1）如图，在RtZkABC中，ZC=90°,求sinA和sinB

的值.

例2在RtZkABC中，ZC=90°,如果sinA=；那么下列各式正确的是(B)

A.AB=4ACB.AB=4BCC.AC=4BCD.BC=4AC通过运用三角函

学生自主解答问题后，分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示数的定义求三角

自己的答案，共同得到正确的结论.通过运用三角函数的定义求三角函数值,函数值，学会解决

学会解决简单的三角函数问题.简单的三角函数

活动三：开【变式训练】问题.

放训练、体利用所学知识，解

现应用决问题，不但完善

了思维也锻炼了

能力，使学生形成

了对知识的总体

第1题图

把握.

2.如图所示，AABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为

第2题图

给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对

学习有困难的学生适当引导、点拨.

【课堂检测】通过设置课堂检

活动四：课

1.在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=3,AC=2,则sinA的值为(A)测，进一步巩固所

堂检测

乖乖22乖

A.七-B.~~C.-D.R学新知，同时检测

o乙Jo

4

2.已知在AABC中'NC=90。,sinA=->BC=20,则AABC的周长是©学习效果，做到

“堂堂清”.

A.40B.50C.60D.70

3.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的。0的圆心0在格点

上，点A,B,C,E也都在格点上，CB与。。相交于点D,连接ED.则NAED的

正弦值等于坐

：£：：

C

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,3)和点B(7,0),贝Usin/

AB。的值等于？

一「

学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.

1.课堂总结：

请同学们根据以下问题回顾本节课的内容：

引导学生梳理所

(1)什么叫做锐角的正弦？

学内容，提炼学习

课堂小结(2)定义锐角正弦的过程、方式是什么？与以前下定义的方式有什么不同？

中的数学思想方

师生活动：引导学生思考、回顾、组织语言回答.

法.

2.布置作业：

教材第64页练习第1,2题.

28.1锐角三角函数

第1课时正弦

.■/A的对边a

smA—々［、/—.提纲挈领,重点突

板书设计斜边c

B出.

对边a

4邻边bC

反思教学过程和

教学反思

教师表现,进一步

提升操作流程和

自身素质.

经典导学设计

详见电子资源

第2课时余弦和正切

教材分析

本课时的余弦和正切是在学习了正弦的概念后的内容，教材上余弦和正切的概念是直接给出的，意图是将求特

殊角的三角函数值的过程留给学生，让学生通过自主探索，进一步体会角度与比值之间的对应关系，深化对锐角三

角函数概念的理解.

备课素材

新课导入设讦:

ACACAC

【归纳导入】如图，由RtAABCsRt^ABzCzsRt^ABsCs,得寻=芋=寻=仁可见，在RtZkABC中，当锐角A

ADIAL)2AL>3

确定以后，无论直角三角形或大或小，其邻边与斜边的比是唯一确定的.

思考：当锐角A确定以后，无论直角三角形或大或小，其对边与邻边的比是唯一确定的吗？

【说明与建议】说明：通过锐角确定的直角三角形图形的变化，让学生感受邻边与斜边的比是确定的.

建议：让学生找出端=祟=祟后，归纳出：在直角三角形中，当锐角一定时，其邻边与斜边的比是唯一确定

ADIAL)2AD3

的.

CL命题热点〕

命题角度1已知直角三角形的两边长，直接求锐角的三角函数值

1.如图，在RtzXABC中，/C=90°,ZA,ZB,NC的对边分别为a,b,c.若b=6,c=10,求sinA,cosA

和tanA.

解：sinA=7，COSA=7，tanA=-

553

命题角度2构造直角三角形，求锐角的三角函数值

2.如图，N1的正切值为(A)

11

A."B.-C.3D.2

0/

命题角度3转化等角，求锐角的三角函数值

3.如图，在Rtz\ABC中，NACB=90°,AB=5,BC=3,CD_LAB于点D,求cos/BCD.

c

ADB

EAC4

cosZBCD=cosA=-=-

命题角度4利用已知角的某一个三角函数值求其他三角函数值

、后1

4.在Z\ABC中，若NC=90°,sinA—则tanA=g.

o4

命题角度5利用锐角三角函数求边长

5.在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=m,那么边AC的长为（A）

m

A.msinBB.mcosBC.mtanBD.----

tanB

今）数学文化拓展阅谈

正切和余弦

公元727年，唐朝卓越的天文学家、高僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》.为了获得全国各地一年中各节气

的日影长度，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表，而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切函

数.著名的叙利亚天文学家、数学家阿尔―巴坦尼于920年左右编制成相隔1。的余弦函数表.我们知道，太阳高

度（角）与太阳天顶距（角）互为余角，这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年.

教学设计

课题28.1第2课时余弦和正切授课人

1.通过探究学生知道同正弦一样，当直角三角形中的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的

比也是一个固定值，在此基础上引出余弦、正切的概念.

素养目标2.理解余弦、正切的概念并能根据余弦、正切的概念正确进行计算.

3.引导学生体验数学活动中充满着探索与发现，学会用数学的思维方式思考、发现、总结、验证，

并学会应用.

教学重点正确认识理解余弦、正切的概念，会根据边长求出余弦值、正切值.

教学难点引导学生类比正弦的概念，正确理解余弦、正切的概念.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

提出问题：

1.正弦函数的定义是什么？请画图进行说明！

回顾正弦函数的

2.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,CD_LAB于点D.已知AC=A/LBC=2,

相关知识，引导学

那么sinZBCD=(B)

回顾生回顾旧知，为新

c

zK课题的学习做好

铺垫.

ADB

A/522J5A/5

A.B."C.1D.■-

0004

【课堂引入】

探究：如图所示，在Rt^ABC中，NC=90°,当锐角A确定时，NA的对边与余弦和正切的概

斜边的比也随之确定，此时其他边的比是否也确定呢？念是类比正弦得

活动一：创

至U的，因此对余弦

设情境、导斜

对边a和正切的教学可

入新课4^—---------oc

“邻边b

以仿照正弦来进

师生活动：教师给予学生充分的时间讨论，并请他们说出自己的理由，可画出行.

图形进行思考，联系正弦函数的知识，让学生进行讨论.

一、锐角三角函数的定义

师生总结：在直角三角形中，当NA确定时，/A的邻边与斜边的比、/A的对

边与邻边的比也都是确定的.我们把NA的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，一次函数、二次函

记作cosA,即cosA=/^|用=2把/A的对边与邻边的比叫做NA的正切，数等函数都是数

斜边C

值与数值的对应，

A日口ANA的对边a

记作tanA,即tanA一/八的邻边一方

活动二：实而锐角三角函数

践探究、交/A的正弦、余弦、正切都是/A的锐角三角函数.是数值与比值的

流新知二、锐角三角函数的解析对应,教师应指导

1.教师引导学生回顾函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,学生认真探讨、总

并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们说x结比较，加深对函

是自变量，y是x的函数.数概念的理解.

2.教师让学生思考正弦、余弦、正切与角度之间的关系，请学生互相讨论，

并比照函数的概念进行探索：

对于锐角A的每一个确定的值,sinA都有唯一确定的值与它对应；同样地,cosA,

tanA与角度之间也有这样的对应关系，NA的正弦、余弦、正切都是/A的锐

角三角函数.NA是自变量，其取值范围是0°〈/A<90°,三个比值是函数，

当NA确定时，三个比值分别唯一确定；当NA变化时，三个比值也分别有唯

一确定的值与之对应.

【典型例题】

例1(教材第65页例2)如图，在Rt^ABC中，NC=90°,AB=10,BC=6,

求sinA,cosA,tanA的值.

B

/

例2在RtaABC中，若各边长都扩大为原来的3倍，则锐角A的正切值(C)

A.扩大为原来的3倍B.缩小为原来的9

C.不变D.以上都不对

学生自主解答问题后，分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示1.例题的设置存

自己的答案，共同得到正确的结论.在梯度,给予学生

【变式训练】层次递进的学习

活动三：开1.如图，已知在Rt/XABC中，ZACB=90°,AC：AB=3:5,贝UtanA的值为过程.

放训练、体(B)2.培养学生运用

A

现应用知识解决问题的

能力，使学生形成

C.B

对知识的总体把

3434

B.§CqD.-

握.

2.如图，在△ABC中，ZC=90°,设/A,ZB,/C所对的边分别为4,3,5,

则⑻

A

CB

A.5=3sinBB.3=5sinB

C.4=3tanBD.3=5tanB

给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对

学习有困难的学生适当引导、点拨.

【课堂检测】

1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，4ABC的三个顶点在格点上,

则cosA=(D)

3

2.在AABC中，4=9。。，AC=6,c°sA=：则BC的长为(B)

A.6B.8C.10D.9

通过设置课堂检

3.在AABC中，NC=90°,tanA=2,则cosA的值为(A)

测，进一步巩固所

2A/51

活动四：课A.mtC-D.2

552学新知，同时检测

堂检测

4.如图所示的半圆中，AD是直径，且AD=3,AC=2,则tanB的值是(B)学习效果，做到

A.芈B.芈C.哗D.好

“堂堂清”.

5532

5.如图所示，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CD_LAB于点D,已知AC=m，

AB=3,那么sinZACD=4=.

O

学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.

1.课堂总结:

请同学们根据以下问题回顾本节课的内容：引导学生梳理所

(1)什么叫做锐角三角函数？分析锐角三角函数的增减性.学内容，提炼学习

课堂小结

(2)学习本节课后，还存在哪些疑惑？中的数学思想方

2.布置作业：法.

教材第65页练习第1,2题.

板书设计28.1锐角三角函数提纲挈领,重点突

第2课时余弦和正切出.

斜

对边a

AA^~---邻---边--方---------°C

NA的邻边bNA的对边a

COsA-斜边—c'l”"A—NA的邻边—b

反思教学过程和

教师表现,进一步

教学反思

提升操作流程和

自身素质.

经典导学设计

详见电子资源

第3课时特殊角的三角函数值

教材分析

特殊角的三角函数值是在学习了直角三角形的相关性质之后进一步学习的.前两节我们主要探索了直角三角形

中锐角三角函数正弦、余弦、正切的概念、表示方法和计算方法，而本节主要让学生熟记特殊角的三角函数值，运

用特殊角的三角函数值进行加、减、乘、除运算，并能根据函数值说出对应的锐角度数.教学中要注意引导学生比

较这两个方面，看清它们的实质.学好本节内容学生能灵活运用锐角三角函数解决实际生活中的问题.

备课素材

斤课导入设计;

【情景导入】师：我们在学习了锐角三角函数的概念后，知道了在直角三角形中，如何求解任意一个锐角的正

弦值、余弦值和正切值.观察一副直角三角尺，它有几个不同的锐角？分别是多少度？那么这些特殊锐角的正弦值、

余弦值和正切值各是多少？本节课我们一起来探究这些特殊锐角的三角函数值.

【说明与建议】说明：教师从学生熟悉的问题入手，回顾复习.

建议：可以让学生自己回答上述问题，为本节课学习特殊角的正弦值做好铺垫.

【归纳导入】探索特殊角的锐角三角函数值.

(1)观察：一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？

⑵如图，思考：①回忆：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的二生.

②sin30。==,cos30°=噂，tan30°=好，你是怎样得到的？

乙乙。

(3)类似地，请你根据等腰直角三角形的性质填空:

sin45°cos45°tan45°=1.

22-

(4)你能得到60°角的锐角三角函数值吗？

【说明与建议】说明：用学生熟悉的三角尺，结合所学的直角三角形和等腰三角形知识来引入，让学生觉得

简单易懂.

建议：在引入新课时，把此问题设置成练习题或探究题都可以，让学生思考、练习、探究，教师要能放开手,

学生才能得到真正的提高.

城命题热点〕

命题角度1直接求特殊角的三角函数值

1.(天津中考)tan30°的值等于(A)

A立R亚C1no

A.Q15.QL1U•LJ

o乙

命题角度2含特殊角三角函数的实数计算

2.计算：2cos30°-病-6T=一2m—4.

3.计算：2sin45°+2cos60°—^3tan60°

命题角度3由三角函数值确定角度

、回

4.已知cosa=有，且a是锐角，则a=(A)

A.30°B.45°C.60°D.90°

命题角度4互余两角三角函数的关系

4

5.如图，在AABC中，NC=90°，COSA=E，则sinB=(A)

5

命题角度5锐角三角函数的增减性的应用

6.当NA为锐角，且;<cosAV当时，NA的范围是(B)

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<60

C.60°<ZA<90D.30°<ZA<45

7.如果30°<ZA<45°,那么sinA的范围是(B)

11.A/2

A.0<sinA<―B.-<sinA<~~

A/2.J3

C.■^-<sinA<^_D.■^_<sinA<l

合>数学文化拓展砌

三角函数

正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数统称为三角函数.尽管三角知识起源于远古,

但是用线段的比来定义三角函数是欧拉在著名的《无穷小分析引论》一书中首次给出的.在欧拉之前，研究三角函

数大都是在一个确定半径的圆内进行的，如古希腊的托勒密定半径为60；印度人阿利耶毗陀定半径为3438；德国

数学家里基奥蒙特纳斯为了精确地计算三角函数值曾定半径为600000；后来为了制定更精密的正弦函数表又定半

径为107.因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长.

教学设计

课题28.1第3课时特殊角的三角函数值授课人

1.通过探究学生能推导并熟记30。，45。，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐

角的度数.

素养目标2.能熟练计算含有30°,45。，60°角的三角函数值的算式.

3.通过学习认识数学知识之间是相互联系的，新旧知识结合能得到新的规律，日常生活中很多事情

也是如此.

教学重点正确推导并熟记30°,45。，60。角的三角函数值，并能熟练有关计算.

教学难点30°,45°,60°角的三角函数值的推导过程和记忆.

授课类型新授课课时

教学活动-----------------------

教学步骤师生活动设计意图

提出问题：回顾所学内容，为

回顾1.锐角三角函数的定义是什么？请画图进行说明！本节课的教学内

2.在Rt^ABC中，NC=90°,AC=5,BC=12,求NB的锐角三角函数值.容做好准备.

【课堂引入】

由实际问题引出

1.李明沿着倾斜角度为45°的斜面往上走了200米，请你求出李明上升的竖

特殊角的三角函

活动一：创直高度和沿水平方向前进的距离.

数值，既能激发学

设情境、导2.文文身高是1.