圆锥曲线中的定点定值问题的结论及多种证明方法讲义高三数学二轮专题复习

圆锥曲线中的定点、定值问题的结论及多种证明方法山东东营徐新华大家都知道，圆锥曲线的很多重要结论，特别是圆锥曲线的定点、定值问题并没有列入高中数学教材，但它们一直确是高考数学试题中考察的重要内容。本文件中，从多个角度、采用多种方法对圆锥曲线的定点、定值问题的结论作出了证明，并力求对证明过程给予最大化的展示。需要说明的是，个别证法有相当大的难度，其证明过程也极为复杂，因此叙述也就比较详细具体。一、椭圆、双曲线、圆中的定点、定值问题的统一结论及其证法已知点P(x0,y0)（其中y0≠0）是圆锥曲线C:Ax2+By2=1上的一个定点，过点作直线PA、PB分别与圆锥曲线C相交于点A、B.则必定存在以下结论：（1）当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=.（2）当k1+k2=t(t≠0)时，直线AB恒过定点（x0).（3）当k1k2=λ=时，kAB为定值,kAB=.（4）当k1k2=λ(λ≠)时，即直线AB恒过定点（）.利用平移证明：现平移圆锥曲线C，使得点P与原点O重合得到圆锥曲线，点A、B的对应点分别为、.设（x1,y1）、（x2,y2），则圆锥曲线的方程为A（x+x0）2+B（y+y0）2=1,即Ax2+By2+2Ax0x+2By0y+Ax02+By02=1。∵Ax02+By02=1，∴Ax2+By2+2Ax0x+2By0y=0。设直线的方程为：mx+ny=1，则Ax2+By2+（2Ax0x+2By0y）（mx+ny）=0，即（A+2Ax0m）x2+(B+2By0n)y2+（2Ax0n+2By0m）xy=0，∴(B+2By0n)()2+（2Ax0n+2By0m）+（A+2Ax0m）=0。由kAP=k1==，kBP=k2==得：k1+k2=，k1k2=(1)当k1+k2=0时，得2Ax0n+2By0m=0，kAB===,即kAB为定值。(2)当k1+k2=t(t≠0)时，得2Ax0n+2By0m=t(B+2By0n)，解得m=，∴直线的方程：mx+ny=1化为：x+ny=1，整理得。由得∴直线恒过定点（)，即直线AB恒过定点（x0)。(3)当k1k2=λ=时，=得x0m=y0n，kAB===即kAB为定值。当k1k2=λ(λ≠)时，=λ得(B+2By0n)λ=A+2Ax0m解得:m=;∴直线的方程：mx+ny=1化为：x+ny=1,整理得.由得∴直线恒过定点（),即直线AB恒过定点（x0+),即（）.推论1.若圆锥曲线C:Ax2+By2=1为椭圆时,（1）当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=.（2）当k1+k2=t(t≠0)时，直线AB恒过定点（x0).（3）当k1k2=λ=时，kAB为定值,kAB=.（4）当k1k2=λ(λ≠)时，即直线AB恒过定点（）.推论2.若圆锥曲线C:Ax2+By2=1为双曲线时,（1）当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=,（2）当k1+k2=t(t≠0)时，直线AB恒过定点（x0).（3）当k1k2=λ=时，kAB为定值,kAB=.（4）当k1k2=λ(λ≠)时，即直线AB恒过定点（）.推论3.若圆锥曲线C:Ax2+By2=1为圆时,（1）当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=.（2）当k1+k2=t(t≠0)时，直线AB恒过定点（x0).（3）当k1k2=λ=时，kAB为定值,kAB=.（4）当k1k2=λ(λ≠)时，即直线AB恒过定点（）.二、椭圆、双曲线、抛物线、圆中的定点、定值问题的统一结论及其证法已知点P(x0,y0)（其中y0≠0）是圆锥曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上的一个定点，过点作直线PA、PB分别与圆锥曲线C相交于点A、B.则必定存在以下结论：（1）当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=（2）当k1+k2=t(t≠0)时，直线AB恒过定点（x0)（3）当k1k2=时，kAB为定值,kAB=（4）当k1k2=λ(λ≠)时，即直线AB恒过定点（）.利用平移证明：现平移圆锥曲线C，使得点P与原点O重合得到圆锥曲线，点A、B的对应点分别为、.设（x1,y1）、（x2,y2），则圆锥曲线的方程为A（x+x0）2+B（y+y0）2+D（x+x0）x+E（y+y0）+F=0即：Ax2+By2+2Ax0x+2By0y+Ax02+By02+Dx+Ey+Dx0+Ey0+F=0，∵Ax02+By02+Dx0+Ey0+F=0，∴Ax2+By2+2Ax0x+2By0y+Dx+Ey=0。设直线的方程为：mx+ny=1，则Ax2+By2+[（2Ax0+D)x+(2By0+E)y）]（mx+ny）=0，即（A+2Ax0m+Dm）x2+(B+2By0n+En)y2+（2Ax0n+2By0m+Em+Dn）xy=0，∴(B+2By0n+En)()2+（2Ax0n+2By0m+Em+Dn）+（A+2Ax0m+Dm）=0。由kAP=k1==，kBP=k2==得：k1+k2=，k1k2=；当k1+k2=0时，得2Ax0n+2By0m+Em+Dn=0，kAB===,即kAB为定值。(3)当k1+k2=t(t≠0)时，得2Ax0n+2By0m+Em+Dn=t(B+2By0n+En)，得：(2By0+E)m=(2Ax0+2By0t+D+Et)nBt，∴直线的方程：mx+ny=1化为：(2By0+E)mx+(2By0+E)ny=(2By0+E)，即(2Ax0+2By0t+D+Et)nxBtx+(2By0+E)ny=(2By0+E),∴[(2Ax0+2By0t+D+Et)x(2By0+E)y]n+[Btx+(2By0+E)]=0.由得∴直线恒过定点（).即直线AB恒过定点（x0)当k1k2=λ时，则：=λ得(2Ax0+D)m=(2By0+E）nλ+λBA，当λBA=0时，即k1k2=λ，得(2Ax0+D)m=(2By0+E）nλ,kAB===,即kAB为定值.当λBA≠0时，即k1k2=λ(λ≠)时，=λ得:(2Ax0+D)m=(2By0+E）nλ+λBA，①∴直线的方程：mx+ny=1化为：(2Ax0+D)mx+(2Ax0+D)ny=(2Ax0+D),②把①代入②中整理得：(2By0+E)nλx+(λBA)x+(2Ax0+D)ny=2Ax0+D,[(2By0λ+Eλ)x+(2Ax0+D)y]n+[(λBA)x(2Ax0+D)]=0.由得∴直线恒过定点（),即直线AB恒过定点（x0+).推论：若圆锥曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0为抛物线y2=2px时，(1)当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=.(2)当k1+k2=t(t≠0)时，直线AB恒过定点（x0).(3)当k1k2=λ(λ≠0)时，即直线AB恒过定点（）.三、抛物线中的定点、定值问题的结论及其证法从另一个角度看：已知点P(x0,y0)（其中y0≠0）是圆锥曲线C:y2=2px上的一个定点，过点作直线PA、PB分别与圆锥曲线C相交于点A、B.则必定存在以下结论：(1).当k1+k2=0时，2y0m2pn=0，kAB=,即kAB为定值.(2).当k1+k2=t(t≠0)时，直线AB恒过定点（x0).(3).当k1k2=λ(λ≠0)时，即直线AB恒过定点（）.（一）利用平移证明：现平移圆锥曲线C，使得点P与原点O重合得到圆锥曲线，点A、B的对应点分别为、.设（x1,y1）、（x2,y2）,则圆锥曲线的方程为（y+y0）2=2p（x+x0），即y2+2y0y+y02=2px+2px0，∵y02=2px0，∴y2+2y0y2px=0.设直线的方程为：mx+ny=1,∴y2+（2y0y2px）（mx+ny）=0,即（1+2ny0）y2+（2y0m2pn)xy2pmx2=0,∴（1+2ny0）()2+（2y0m2pn)2pm=0.由kAP=k1==，kBP=k2==得：k1+k2=，k1k2=.(1)当k1+k2=0时，2y0m2pn=0，kAB===,即kAB为定值.(2)当k1+k2=t(t≠0)时，得2pn2y0m=t(1+2y0n)，即2y0m=(2p2y0t)nt，∴直线的方程：mx+ny=1化为：2y0mx+2y0ny=2y0，即(2p2y0t)nxtx+2y0ny=2y0，∴[(2p2y0t)x+2y0y]ntx2y0=0。由得∴直线恒过定点（)，即直线AB恒过定点（x0)。当k1k2=λ(t≠0)时，=λ,即2pm=λ2ny0λ，∴直线的方程：mx+ny=1化为：2pmx+2pny=2p，得(λ2ny0λ)x+2pny=2p,即（2y0λx+2py）n+λx2p=0。由得当k1k2=λ(λ≠0)时，直线恒过定点（），即直线AB恒过定点（）。（二）利用参数方程证明：设抛物线y2=2px的参数方程为：（s为参数）.则P(2ps02,2ps0),A(2ps12,2ps1),B(2ps22,2ps2),kAP=k1==,kBP=k2==,kAB=k==.(1)当k1+k2=0时，+=0，,2s0=s1s2,kAB==,即kAB为定值.(2)当k1+k2=t(t≠0)时，得+=t，得s1+s2+2s0=t[s1s2+s0(s1+s2)+s02]ts1s2=(ts01)(s1+s2)+ts022s0,直线AB的方程为y2ps1=(x2ps12),即y=x+2ps1s2;∴（s1+s2）ty=tx2p(ts01)(s1+s2)2p(ts022t0),即tx(2pts02p+ty)(s1+s2)+2p(ts022t0)=0.由得,即即直线AB恒过定点（x0).（3）当k1k2=λ(t≠0)时，=λ,即λs1s2+λs0(s1+s2)+λs02=1,直线AB的方程为y2ps1=(x2ps12),即y=x+2ps1s2,y=x+2p[s0(s1+s2)s02],即y=(x+2p2ps02)2ps0.,即直线AB恒过定点（）.四、椭圆中的定点、定值问题的结论及其证法若圆锥曲线C:Ax2+By2=1为椭圆时，（1）当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=.（2）当k1+k2=t(t≠0)时，直线AB恒过定点（x0).（3）当k1k2=λ=时kAB为定值kAB=.（4）当k1k2=λ(λ≠)时，即直线AB恒过定点（）.一般证法：设点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,联立b2x2+a2y2=a2b2,得（b2+a2k2)x2+2kma2x+a2m2a2b2=0,x1+x2=,x1x2=;当k1k2=t(t≠0)时，,(kx1+my0)(x2x0)+(kx2+my0)(x1x0)=t(x2x0)(x1x0),2kx1x2+(mkx0y0)(x1+x2)+2x0y02mx0=tx1x2tx0(x1+x2)+tx02,∴(2kt)x1x2+(mkx0+tx0y0)(x1+x2)+2x0y02mx0tx02=0.(2kt)(mkx0+tx0y0)+2x0y02mx0tx02=0。∴(2k(mkx0+tx0y0)2km+a2+(2x0y02mx0tx02)（b2+a2k2)=0即2a2km2ta2m22a2b2k+ta2b22a2km2+2a2x0k2m2ta2x0km+2a2y0km+2a2x0y0k22a2x0k2mta2x02k2+2b2x0y02b2x0mtb2x02=0∴ta2m22a2b2k+ta2b22ta2x0km+2a2y0km+2a2x0y0k2ta2x02k2+2b2x0y02b2x0mtb2x02=0∵b2x02+a2y02=a2b2，得：ta2m2+（2a2x0y0ta2x02）k2+（2a2y02ta2x0）km2a2b2k2b2x0m+2b2x0y0+ta2y02=0即：tm2+（2x0y0tx02）k2+（2y02tx0）km2b2k2x0m+2x0y0+ty02=0(kx0+my0)【（2y0tx0）ktmx0ty0】=0。∴kx0+my0=0（因为直线AB不过点P，舍去）或（2y0tx0）ktmx0ty0=0由（2y0tx0）ktmx0ty02=0得（2y0tx0）k=tm+x0+ty0；【1】AB的方程为y=kx+m化为：ty=tkx+tm,即ty=tkx+（2y0tx0）kx0ty0,即ty=【tx+（2y0tx0）】kx0ty0，由得即：当k1+k2=t(t≠0)时，直线AB恒过定点（x0)。当t=0时，（2y0tx0）k=tm+x0+ty0【1】化为：2y0k=x0；∴k=kAB=。即k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=,(3)当k1k2=λ(λ≠)时，,得(kx1+my0)(kx2+my0)=λ(x2x0)(x1x0)，k2x1x2+k(my0)(x1+x2)+(my0)2=λx1x2λx0(x1+x2)+λx02∴(k2λ)x1x2+[k(my0)+λx0](x1+x2)+(my0)2λx02=0，(k2λ)[k(my0)+λx0]+(my0)2λx02=0，即(k2λ)（a2m2a2b2)[k(my0)+λx0]2kma2+[(my0)2λx02]（b2+a2k2)=0，a2k2m2a2b2k2λa2m2+λa2b22a2k2m2+2a2y0k2m2λa2x0km+a2k2m22a2y0k2m+a2y02k2λa2x02k2+b2m22b2y0m+b2y02λb2x02=0，即a2b2k2λa2m2+λa2b22λa2x0km+a2y02k2λa2x02k2+b2m22b2y0m+b2y02λb2x02=0。∵b2x02+a2y02=a2b2得：a2b2k2λa2m2+λa2b22λa2x0km+a2y02k2λa2x02k2+b2m22b2y0m+b2y02λb2x02=0∴b2x02k2+λa2y02λa2m22λa2x0kmλa2x02k2+b2m22b2y0m+b2y02=0∴(b2x02+λa2x02)k2(b2λa2)m2+2λa2x0km+2b2y0m(λa2+b2)y02=0；【2】Δ=(2λa2x0)24(b2x02+λa2x02)[(b2λa2)m2+2b2y0m(λa2+b2)y02]=4x02[λ2a4m2+(b4m2λ2a4)m22(λa2+b2)b2y0m(λa2+b2)y02]=4x02[b4m22(λa2+b2)b2y0m+(λa2+b2)y02]=4x02[(λa2+b2)y0b2m]2∴k==即：k=[y0+m]或k=（my0)（因为直线AB不过点P，舍去）AB的方程为y=kx+m化为：y=[y0+m]x+m即y+x=m(1x)由得即直线AB恒过定点（）。当k1k2=λ=时，b2=λa2，由(b2x02+λa2x02)k2(b2λa2)m2+2λa2x0km+2b2y0m(λa2+b2)y02=0【2】化为：(b2+λa2)x02k2+2λa2x0km+2b2y0m(λa2+b2)y02=0，(b2+λa2)x02k2+2(λa2+b2)x0km+2(λa2+b2)y0m(λa2+b2)y02=0，x02k2+2x0km+2y0my02=0，即：(kx0+my0)(kx0+y0)=0。∴kx0+my0=0（因为直线AB不过点P，舍去）或kx0+y0=0；∴kx0+y0=0，即k=kAB=kAB为定值.五、双曲线中的定点、定值问题的结论及其证法若圆锥曲线C:Ax2+By2=1为双曲线时（1）当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=（2）当k1+k2=t(t≠0)时，直线AB恒过定点（x0)（3）当k1k2=λ=时kAB为定值kAB=（4）当k1k2=λ(λ≠)时，即直线AB恒过定点（）一般证法：设点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB的方程为y=kx+m,联立b2x2a2y2=a2b2，得（b2a2k2)x22kma2xa2m2a2b2=0，x1+x2=x1x2=；（1）当k1+k2=t(t≠0)时，，即(kx1+my0)(x2x0)+(kx2+my0)(x1x0)=t(x2x0)(x1x0),2kx1x2+(mkx0y0)(x1+x2)+2x0y02mx0=tx1x2tx0(x1+x2)+tx02,∴(2kt)x1x2+(mkx0+tx0y0)(x1+x2)+2x0y02mx0tx02=0,(2kt)(mkx0+tx0y0)+2x0y02mx0tx02=0,∴(2kt)a2(m2+b2)(mkx0+tx0y0)2kma2+(2x0y02mx0tx02)（b2+a2k2)=0,即2a2km2ta2m2+2a2b2kta2b22a2km2+2a2x0k2m2ta2x0km+2a2y0km+2a2x0y0k22a2x0k2mta2x02k22b2x0y0+2b2x0m+tb2x02=0.∴ta2m2+2a2b2kta2b22ta2x0km+2a2y0km+2a2x0y0k2ta2x02k22b2x0y0+2b2x0m+tb2x02=0∵b2x02a2y02=a2b2得：ta2m2+（2a2x0y0ta2x02）k2+（2a2y02ta2x0）km+2a2b2k+2b2x0m2b2x0y0+ta2y02=0,即：tm2+（2x0y0tx02）k2+（2y02tx0）km+2b2k+2x0m2x0y0+ty02=0,(kx0+my0)[（2y0tx0）ktm+x0ty0]=0.∴kx0+my0=0（因为直线AB不过点P，舍去）或（2y0tx0）ktm+x0ty0=0,由（2y0tx0）ktm+x0ty02=0得（2y0tx0）k=tmx0+ty0【3】AB的方程为y=kx+m化为：ty=tkx+tm,即ty=tkx+（2y0tx0）k+x0ty0,ty=[tx+（2y0tx0）]k+x0ty0.由得即：当k1+k2=t(t≠0)时，直线AB恒过定点（x0).（2）当t=0时，（2y0tx0）k=tmx0+ty0【3】化为：2y0k=x0,∴k=kAB=,即k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=.当k1k2=λ(λ≠)时，,得(kx1+my0)(kx2+my0)=λ(x2x0)(x1x0)，k2x1x2+k(my0)(x1+x2)+(my0)2=λx1x2λx0(x1+x2)+λx02∴(k2λ)x1x2+[k(my0)+λx0](x1+x2)+(my0)2λx02=0，(k2λ)[k(my0)+λx0]+(my0)2λx02=0。即(k2λ)（a2m2+a2b2)[k(my0)+λx0]2kma2+[(my0)2λx02]（b2+a2k2)=0，a2k2m2a2b2k2λa2m2λa2b22a2k2m2+2a2y0k2m2λa2x0km+a2k2m22a2y0k2m+a2y02k2λa2x02k2b2m2+2b2y0mb2y02+λb2x02=0，即a2b2k2λa2m2λa2b22λa2x0km+a2y02k2λa2x02k2b2m2+2b2y0mb2y02+λb2x02=0。∵b2x02a2y02=a2b2得：a2b2k2λa2m2λa2b22λa2x0km+a2y02k2λa2x02k2b2m2+2b2y0mb2y02+λb2x02=0，∴b2x02k2+λa2y02λa2m22λa2x0kmλa2x02k2b2m2+2b2y0mb2y02=0，∴(b2x02+λa2x02)k2+(b2+λa2)m2+2λa2x0km2b2y0m(λa2b2)y02=0；【4】Δ=(2λa2x0)24(b2x02+λa2x02)[(b2+λa2)m22b2y0m(λa2b2)y02]=4x02[λ2a4m2+(b4m2λ2a4)m2+2(λa2b2)b2y0m(λa2b2)y02]=4x02[b4m22(λa2+b2)b2y0m+(λa2+b2)y02]=4x02[(λa2b2)y0+b2m]2∴k==.即：k=[y0+m]或k=（my0)（因为直线AB不过点P，舍去），AB的方程为y=kx+m化为：y=[y0+m]x+m，即y+x=m(1x)。由得即直线AB恒过定点（）。（3）当k1k2=λ=时，b2=λa2，(b2x02+λa2x02)k2+(b2+λa2)m2+2λa2x0km2b2y0m(λa2b2)y02=0；【5】化为：(b2+λa2)x02k2+2λa2x0km2b2y0m(λa2b2)y02=0，(b2+λa2)x02k2+2(λa2b2)x0km+2(λa2b2)y0m(λa2b2)y02=0，∴x02k2+2x0km+2y0my02=0，即：(kx0+my0)(kx0+y0)=0∴kx0+my0=0（因为直线AB不过点P，舍去）或kx0+y0=0。∴kx0+y0=0，即k=kAB=kAB为定值.六、抛物线中的定点、定值问题的结论及其证法若圆锥曲线C:Ax2+By2=1为抛物线y2=2px时,(1)当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=.(2)当k1+k2=t(t≠0)时，直线AB恒过定点（x0).(3)当k1k2=λ(λ≠0)时，即直线AB恒过定点（）.一般证法：设点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB的方程为y=kx+m,联立y2=2px，得k2x2+(2km2p)x+m2=0，x1+x2=,x1x2=;（1）当k1+k2=t(t≠0)时，，∴(kx1+my0)(x2x0)+(kx2+my0)(x1x0)=t(x2x0)(x1x0)，2kx1x2+(mkx0y0)(x1+x2)+2x0y02mx0=tx1x2tx0(x1+x2)+tx02∴(2kt)x1x2+(mkx0+tx0y0)(x1+x2)+2x0y02mx0tx02=0(2kt)+(mkx0+tx0y0)+2x0y02mx0tx02=0，∴(2kt)m2+(mkx0+tx0y0)(2p2km)+(2x0y02mx0tx02)k2=02km2tm2+2pm2px0k+2ptx02py02km2+2x0k2m2tx0km+2y0km+2x0y0k22x0k2mtx02k2=0，即：(2x0y0tx02)k2tm2+(2y02tx0)km2px0k+2pm+2ptx02py0=0，∵y02=2px0∴(2x0y0tx02)k2tm2+(2y02tx0)km2px0k+2pm+2ptx02py0=0，化为：(kx0+my0)（2y0ktx0ktm+2pty0)=0，∴kx0+my0=0（因为直线AB不过点P，舍去）或2y0ktx0ktm+2pty0=0。∴2y0ktx0ktm+2pty0=0，tm=（2y0tx0）k+2pty0；【6】AB的方程为y=kx+m化为：ty=tkx+tm,即ty=tkx+（2y0tx0）k+2pty0。ty=[tx+（2y0tx0）]k+2pty0，由得即当k1+k2=t(t≠0)时，直线AB恒过定点（x0)。（2）当t=0时，tm=（2y0tx0）k+2pty0【6】化为：0=2y0k+2p；K=即当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=。（3）当k1k2=λ(λ≠0)时，即(kx1+my0)(kx2+my0)=λ(x2x0)(x1x0)，k2x1x2+k(my0)(x1+x2)+(my0)2=λx1x2λx0(x1+x2)+λx02∴(k2λ)x1x2+[k(my0)+λx0](x1+x2)+(my0)2λx02=0，(k2λ)+[k(my0)+λx0]+(my0)2λx02=0，即(k2λ)m2+[k(my0)+λx0](2p2km)+[(my0)2λx02]k2=0，k2m2λm2+2pkm2py0k+2λpx02k2m2+2y0k2m2λx0km+k2m22y0k2m+y02k2λx02k2=0，∴(y02λx02)k2λm2+(2p2λx0)km2py0k+2λpx0=0；【7】∵y02=2px0∴(2px0λx02)k2λm2+(2p2λx0)km2py0k+λy02=0，化为：(kx0+my0)[(2pλx0)kλmλy0)=0，∴kx0+my0=0（因为直线AB不过点P，舍去）或(2pλx0)kλmλy0=0。由:(2pλx0)kλmλy0=0，得：λm=(2pλx0)kλy0,AB的方程为y=kx+m化为：λy=λkx+λm,即λy=λkx+(2pλx0)kλy0,λy=[λx+(2pλx0)]kλy0,由得即当k1k2=λ(λ≠0)时，即直线AB恒过定点（）.七、圆锥曲线中的平行弦的问题在前面一、推论3（1）：“若圆锥曲线C:Ax2+By2=1为圆，直线AB交C于A、B两点，PA、PB的斜率分别为k1、k2，当k1+k2=0时，kAB为定值，kAB=”给出了平移图像法、一般法、参数方程法等多种证明方法。现在我们对一、推论3（1）采用另一种思维方式探究如下：设点P(x0,y0)是圆上的一定点，过点P作x轴的垂线交⊙O于点R,则点R(x0,y0).设l为经过点Q的圆的切线，可得l┴OR.∵kOR=，∴kl=k=过点P作直线PA、PB分别交⊙O于点A,B,设点A(x1,y1),B(x2,y2),k1=kPA,k2=kPB,由已知条件k1+k2=0得PA、PB关于直线PR对称。同理，过点P再任作两条直线PM、PN分别交⊙O于点M,N,设点M(x3,y3),N(x4,y4),k3=kPM,k4=kPN,假定k3+k4=0，则直线P