北京市西城区41中2023-2024学年数学高一下期末质量检测试题含解析

北京市西城区41中2023-2024学年数学高一下期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a:b:c=3:4:5，则cosA．35 B．45 C．2．已知数列且是首项为2，公差为1的等差数列，若数列是递增数列，且满足，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．3．若直线经过A(1,0),B(2,3)两点，则直线A．135° B．120° C．60° D．45°4．已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）A． B． C． D．5．已知函数f(x)是定义在上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x-3，则A．14B．-114C．6．已知点A（1，0），B（0，1），C（–2，–3），则△ABC的面积为A．3 B．2 C．1 D．7．已知一几何体的三视图，则它的体积为（）A． B． C． D．8．一组数据0，1，2，3，4的方差是A． B． C．2 D．49．在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形10．设,为两条不同的直线，,为两个不同的平面，给出下列命题:①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，则与所成的角和与所成的角相等.其中正确命题的序号是()A．①② B．①④ C．②③ D．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数在的值域是______________.12．已知等差数列{an}的公差为d，且d≠0，其前n项和为Sn，若满足a1，a2，a5成等比数列，且S3＝9，则d＝_____，Sn＝_____.13．对任意的θ∈0,π2，不等式114．如图，在B处观测到一货船在北偏西方向上距离B点1千米的A处，码头C位于B的正东千米处，该货船先由A朝着C码头C匀速行驶了5分钟到达C，又沿着与AC垂直的方向以同样的速度匀速行驶5分钟后到达点D，此时该货船到点B的距离是________千米.15．已知函数，有以下结论：①若，则；②在区间上是增函数；③的图象与图象关于轴对称；④设函数，当时，．其中正确的结论为__________．16．过点直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当最小时，直线的一般方程为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，成等差数列，分别为的对边，并且，，求.18．已知向量，其中，记函数，已知的最小正周期为.(1)求；(2)当时，试求函数的值域.19．己知，，若．（Ⅰ）求的最大值和对称轴；（Ⅱ）讨论在上的单调性．20．已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一个无理数列（即对任意的，为无理数）．（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式；（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为；（3）已知，，试计算．21．已知向量的夹角为60°，且.（1）求与的值；（2）求与的夹角.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

设a=3k,b=4k,c=5k,利用余弦定理求cosC的值.【详解】设a=3k,b=4k,c=5k,所以cosC=故选D【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2、D【解析】

根据等差数列和等比数列的定义可确定是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列通项公式，进而求得；由数列的单调性可知；分别在和两种情况下讨论可得的取值范围.【详解】由题意得：，，是以为首项，为公比的等比数列为递增数列，即①当时，，，即只需即可满足②当时，，，即只需即可满足综上所述：实数的取值范围为故选：【点睛】本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，涉及到等差和等比数列定义的应用、等比数列通项公式的求解、对数运算法则的应用等知识；解题关键是能够根据单调性得到关于变量和的关系式，进而通过分离变量的方式将问题转化为变量与关于的式子的最值的大小关系问题.3、C【解析】

利用斜率公式求出直线AB，根据斜率值求出直线AB的倾斜角.【详解】直线AB的斜率为kAB=3-02-1【点睛】本题考查直线的倾斜角的求解，考查直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题。4、C【解析】由三视图可知，三棱锥的体积为5、D【解析】试题分析：函数f(x)是定义在上的奇函数，，故答案为D．考点：奇函数的应用．6、A【解析】

由两点式求得直线的方程，利用点到直线距离公式求得三角形的高，由两点间距离公式求得的长，从而根据三角形面积公式可得结果.【详解】∵点A（1，0），B（0，1），∴直线AB的方程为x+y–1=0，，又∵点C（–2，–3）到直线AB的距离为，∴△ABC的面积为S=．故选A．【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式、三角形面积公式以及直线方程的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7、C【解析】所求体积，故选C.8、C【解析】

先求得平均数，再根据方差公式计算。【详解】数据的平均数为：方差是＝2，选C。【点睛】方差公式，代入计算即可。9、B【解析】

先化简sinAcosB＝sinC=，即得三角形形状.【详解】由sinAcosB＝sinC得所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π），所以sinB＞0，所以cosA=0,所以A=,所以三角形是直角三角形.故答案为A【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10、D【解析】

根据线面平行的性质和面面垂直的判定可知②④正确.【详解】对于①，若，，或，故①错；对于②，过作一个平面，它与平面交于，则，因为，故，因为，故，故②成立；对于③，由面面垂直的性质定理可知前提条件缺少，故③错；对于④，如图所示，如果分别于平面斜交，且斜足分别为，在直线上分别截取斜线段、，使得，过分别作平面的垂线，垂足分别为，连接，则分别为与平面所成的角、与平面所成的角，因为，故，所以，故.当分别垂直于时，；当分别平行于时，；故与所成的角和与所成的角相等，故④正确.故选D.【点睛】本题考查空间中的点、线、面的位置关系，正确判断这些命题的真假的前提是熟悉公理、定理的前提条件，同时需要动态考虑它们的位置关系，观察是否有不同的情况出现.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

利用，即可得出．【详解】解：由已知，，又

，

故答案为：．【点睛】本题考查了反三角函数的求值、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12、2n2.【解析】

由已知列关于首项与公差的方程组，求解可得首项与公差，再由等差数列的前项和求解.【详解】由题意，有，即，解得，所以.故答案为：，.【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，属于基础题.13、-4,5【解析】1sin2θ+4cos2点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14、3【解析】

先在中，由余弦定理算出和，然后在中由余弦定理即可求出.【详解】由题意可得，在中，所以由余弦定理得：即，所以因为所以所以所以在中有：即故答案为：3【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，是基本知识的考查．15、②③④【解析】

首先化简函数解析式，逐一分析选项，得到答案.【详解】①当时，函数的周期为，，或，所以①不正确；②时，，所以是增函数，②正确；③函数还可以化简为，所以与关于轴对称，正确；④，当时，，，④正确故选②③④【点睛】本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质，属于中档题型.16、【解析】

设直线的截距式方程为，利用该直线过可得，再利用基本不等式可求何时即取最小值，从而得到相应的直线方程．【详解】设直线的截距式方程为，其中且．因为直线过，故．所以，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，故当取最小值时，直线方程为：．填．【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于的轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于轴的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式，特别地，如果考虑的问题是与直线、坐标轴围成的直角三角形有关的问题，可考虑利用截距式.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、或.【解析】

先算出，从而得到，也就是，结合面积得到，再根据余弦定理可得，故可解得的大小.【详解】∵成等差数列，∴，又，∴，∴.所以，所以，①又，∴.②由①②，得，，而由余弦定理可知∴即.③联立③与②解得或，综上，或.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.18、（1）1（2）【解析】

（1）先根据向量数列积得关系式，再根据二倍角公式以及配角公式化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数周期性得；（2）先根据x取值范围得范围，再根据正弦函数性质确定值域.【详解】（1）（2）由（1）知，，，所以函数的值域.【点睛】本题考查二倍角公式、配角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力.19、(1);，(2)在上单调递增，在上单调减.【解析】

(1)先由题意得到，再化简整理，结合三角函数的性质，即可求出结果；（2）根据三角函数的单调性，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（1）所以最大值为，由，，所以对称轴，（2）当时，，从而当，即时，单调递增当，即时，单调递减综上可知在上单调递增，在上单调减.【点睛】本题主要考查三角函数，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.20、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】

（1）根据不等式可得，把代入即可解出（2）根据化简，利用为有理数即可解决（3）根据题意可知，本题需分为奇数和偶数时讨论，通过求出．【详解】（1）∵，∴，即，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵，，为有理数列，为无理数列，∴，∴，以上每