黑龙江哈尔滨六中2024届高三年级下册联考数学试题含解析

黑龙江哈尔滨六中2024届高三下学期联考数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

0,5

1.已知a=log35,b=O,4»c=log25,则a,b,c的大小关系为（）

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

2.f(x)=--在原点附近的部分图象大概是()

sinx

3.已知函数/(x)=3x+2cosx,若。=/(30)，b=/(2),c=/(log27),IU!|a,方，c的大小关系是()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

4.已知三棱锥D-ABC的外接球半径为2,且球心为线段BC的中点，则三棱锥Q-ABC的体积的最大值为()

24816

A.—B.—C.—D.—

3333

5.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积

为()

A.与B.273C.8D.873

6.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）

A.8B.32C.64D.128

7.已知函数丁=2sin<x<手J的图像与一条平行于x轴的直线有两个交点,其横坐标分别为小尤?，

则玉+%=（）

，3兀e2%「兀八兀

A.—B.—C.—D.—

4336

8.在空间直角坐标系。-孙z中，四面体。钻C各顶点坐标分别为：

0（0,0,0）,A（0,0,2）,B（gV3,O,oj,C10,|拒,0；假设蚂蚁窝在。点，一只蚂蚁从。点出发，需要在AB，AC±

分别任意选择一点留下信息，然后再返回。点.那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（）

A.242B.Ju—eC•^5+721D.2G

9.已知AB是过抛物线/=4x焦点R的弦，。是原点，则。4.06=（）

A.-2B.-4C.3D.-3

10.如图，在等腰梯形ABC。中，AB//DC,AB=2DC=2AD=2,ZZMB=60°,E为A5的中点，将AADE

与ABEC分别沿矶＞、EC向上折起，使4、3重合为点P，则三棱锥尸-DCE的外接球的体积是（）

32

C.—71D.—71

23

L1

11.已知向量。，b，8=（1，也）,且。在b方向上的投影为不，则“小等于（）

1

A.2B.1C.-D.0

2

12.已知函数/（x）=x/r,若对于任意的％e（O,e],函数g（x）=lnx—/+依一/5）+1在（0,0内都有两个不

同的零点，则实数。的取值范围为（）

2222

A.（1,c\B.（e,c\C.（e,cH—]D.（1,c]

eeee

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.图（1）是第七届国际数学教育大会（1CME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2））,其

中。=44=4A==44=1，则A4,AA的值是.

14.某种圆柱形的如罐的容积为128万个立方单位，当它的底面半径和高的比值为.时，可使得所用材料最省.

22

15.已知椭圆土+匕=1的左焦点为P，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段小的中点在以原点。为圆心，|。耳

9511

为半径的圆上，则直线小的斜率是.

16.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60。，侧面积为46，则该棱锥的体积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

,1121

17.（12分）已知数列｛4｝满足——=一且4=彳

an+\an2

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）求数列1工+2n1的前n项和S“.

-e'+e-'

x=------

2

18.（12分）在直角坐标系中，曲线。的参数方程为：，（其中，为参数），直线/的参数方程为

e-e

x=2+—j=m

<J（其中机为参数）

二审

（1）以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；

（2）若曲线C与直线/交于A,3两点，点p的坐标为（2,0）,求|9卜|正目的值.

19.（12分）每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打

车软件在网上预约出租车出行，出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天

的日平均气温（单位：。C）与网上预约出租车订单数（单位：份）；

日平均气温（℃）642-2-5

网上预约订单数100135150185210

（1）经数据分析，一天内平均气温xc与该出租车公司网约订单数y（份）成线性相关关系，试建立y关于x的回归

方程，并预测日平均气温为-7P时，该出租车公司的网约订单数；

（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于-5。（2,若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则

从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.

附：回归直线y^bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：

_"_n

b=上一^------------=号-----------,a=y-bx

0为-元）2麻2

z=li=l

20.（12分）已知函数/（%）=〃1!1（1+力拓（%）=5%3一如，/z（x）=e"-1.

(1)当定0时，f(x)<h(x)恒成立，求a的取值范围；

(2)当“V0时，研究函数尸(x)=h(x)-g(x)的零点个数；

(3)求证："型〈网〈的四(参考数据：inl.la0.0953).

10002699

sinx

21.(12分)已知函数/(x)=---,=21nx.

(1)求证：当xe(0,句时，/(x)<l；

(2)若对任意尤o«0,4］存在石«0,句和々e(O,»|(xw%2)使g(%)=g(x2)=/(xo)成立，求实数机的最小值.

22.(10分)在平面直角坐标系工分中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐

［X—一—2。H--后-1

标方程为夕sin2e=2acos8(a〉0),过点P(—2,—4)的直线/的参数方程为2(为参数)，直线/与曲

L2

线C交于M、N两点。

(1)写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程：

(2)若『/|,|〃州,上凶成等比数列，求a的值。

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

与中间值1比较，。可用换底公式化为同底数对数，再比较大小.

【详解】

11

05

0.4<blog35>l,X0<log52<log53,----->-----,Bplog25>log35,

l°g5/l°gsJ

c>a>b.

故选：D.

【点睛】

本题考查募和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数事比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数,

可借助中间值如0,I等比较.

2、A

【解析】

分析函数y=/(£)的奇偶性，以及该函数在区间(0,乃)上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.

【详解】

令sinx/0,可得上心左eZ},即函数y=/(x)的定义域为卜卜/左左,左wZ},定义域关于原点对称，

cos(-%)cos%

»=.=■__=_/(x),则函数y=/(x)为奇函数，排除C、D选项；

sin(—x)sinx

cosx

当0cx<7i时，ecosx>0，sinx>0,则〃x)=----〉0,排除B选项.

sinx

故选：A.

【点睛】

本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分

析问题和解决问题的能力，属于中等题.

3、D

【解析】

根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得/(x)在A上为增函数，又由

2=log24<log27<3<3^,分析可得答案.

【详解】

解：根据题意，函数y(x)=3x+2cosx,其导数函数r(尤)=3-2sinx,

则有f'{x}=3-2$泡%>0在尺上恒成立，

则Ax)在R上为增函数；

又由2=log24<log27<3<3巴

则b<c<a；

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题.

4、C

【解析】

由题可推断出ABC和一5CD都是直角三角形，设球心为。，要使三棱锥O-ABC的体积最大，则需满足/i=0。，

结合几何关系和图形即可求解

【详解】

先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA=OB^OC,故ABC是直角三角形，设AB=x,AC=y,则有

x2+/^42>2xy,又5小点=3孙，所以S^BC=g孙《4,当且仅当x=y=2®时，S^BC取最大值%要使三

11Q

棱锥体积最大，则需使高/z=O£>=2,此时匕昵一»=35.°/=§义4*2=§,

【点睛】

本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题

5、B

【解析】

根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积.

【详解】

解：分析题意可知，如下图所示，

该几何体为一个正方体中的三棱锥A-BCD,

最大面的表面边长为272的等边三角形ABC,

故其面积为走（2夜产=2百,

4

故选B.

【点睛】

本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题.

6,C

【解析】

根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.

【详解】

由题意，执行上述程序框图，可得

第1次循环，满足判断条件，S=l,k=l；

第2次循环，满足判断条件，S=2,k=2.

第3次循环，满足判断条件，S=8,攵=3；

第4次循环，满足判断条件，S=64水=4；

不满足判断条件，输出S=64.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关

键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7、A

【解析】

画出函数y=2sin[2x+弓1[o＜x(']的图像，函数对称轴方程为x=—£+与，由图可得看与/关于x=g

对称，即得解.

【详解】

函数y=2sin12x+孚＜x＜孚]的图像如图，

V

37r7T

对称轴方程为2x+—=—+k7l(kGZ),

42

7ikn

/.x---------1-----(kGZ)

82

_„371371

又、「0<x<—,..x——

48

37r

由图可得看与X关于X=—对称,

28

3不

2=2X0

二…T

故选：A

【点睛】

本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.

8、C

【解析】

将四面体Q钻C沿着。4劈开，展开后最短路径就是△AOO'的边OO',在中，利用余弦定理即可求解.

【详解】

将四面体Q43C沿着。4劈开，展开后如下图所示：

A

O'

最短路径就是AAOO'的边OO'.

易求得Z.OAB=ZO'AC=30°,

2r~4r-

由AO=2OB=—\3知AB=—v3

933

AC=-A/3,BC=^OB2+OC2=-46

33

AB?+AC?-BC?

ncosABAC=

2AB-AC

-1-61--16---8

3333

4

2XAXA

V3V3

由余弦定理知OO'1=AO2+AO'2-2AO-AO'-cosAOAO'

其中AO=AO'=2,cosAOAO'=cos(60°+ABAC)=3"^

：•OO'2=5+y/21,nOO'=75+721

故选：C

【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

9、D

【解析】

/2\/2\

设A+为，85-,%，设gx^my+1,联立方程得到％%=4计算

22

OAOB=/念+%%得到答案・

【详解】

(2、(2、22

设A与，％，'与，故。+%%.

\47V4716

x=my+1

易知直线斜率不为。，设A5：x=my+l9联立方程＜2\

[y=4x

得到,2—4加y—4=0,故X%=_4,OA-OB=

16

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为％=阳+1可以简化运算，是解题的关键.

10、A

【解析】

由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积.

【详解】

由题意等腰梯形中ZM=AE=£B=3C=CD,又NZMB=60。，,AAED,ASCE是靠边三角形，从而可得

DE=CE=CD,.•.折叠后三棱锥尸-DEC是棱长为1的正四面体，

设M是ADCE的中心，则引0，平面。CE,DM义立义1=6,FM=^FD2-DM2=—.

3233

厂-DCE外接球球心。必在高FN上，设外接球半径为R,即O尸=OD=H,

：山2=（舍一封+吟）2,解得R=手，

球体积为V=-7rR3--7TX(^^)3=^~兀.

3348

故选：A.

【点睛】

本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体.

11、B

【解析】

IIa-b

先求出问，再利用投影公式恸求解即可.

【详解】

解：由已知得W=J币=2,

ia-b1

由〃在〃方向上的投影为大，得丁丁二弓，

2\b\2

则==

故答案为：B.

【点睛】

本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题.

12、D

【解析】

将原题等价转化为方程Inx—*+依+1=/(%)在(0,0内都有两个不同的根，先求导尸(x),可判断xe((M)时，

r(x)>o,/(%)是增函数;

当尤e(l,e)时，f'(x)<0,〃尤)是减函数.因此0</(x)Wl,再令尸(x)=lnx—必+以+1,求导得

尸(x)=_2厂—ax一1,结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点为，使得少("=。在(O,e)有解，通过导

数可判断当x«0,xJ时尸(x)>0,网尤)在(0,石)上是增函数;当九«%,e)时尸(x)<0,b⑺在&,e)上是

减函数；则应满足网x)1mx=/％)>1,再结合2x；-咐-1=0,构造函数机(x)=ln.x+x2—1,求导即可求解；

【详解】

函数8(%)=足%-%2+Q一/(%0)+1在(0,6］内都有两个不同的零点，

等价于方程InX—d+依+1=/(%)在(0,e］内都有两个不同的根.

八%)="—xe5=(1—x)e』，所以当xe((M)时，r(x)>0,“可是增函数；

当尤«l,e)时，f'(x)<0,〃可是减函数.因此0</(x)WL

设F(x)=lnx-x2+ax+\,F\x)=~-2x+a=———~,

XX

若尸'(x)=0在(0,e)无解，则网x)在(0,e］上是单调函数，不合题意；所以尸(x)=0在(0,e)有解，且易知只能有

一个解.

设其解为司，当年(0,王)时尸(x)>0,尸⑺在(0,王)上是增函数；

当为«%,6)时尸(x)<0,歹(九)在(七,e)上是减函数.

因为Vxoe(0,e],方程Inx—三+㈤；+1=/(%)在(0,e]内有两个不同的根，

9

所以网同鹏二网内)>1,且-e)WO.由-e)WO,即Ine—e?+ae+lW0，解得a〈e—)

由/(同皿=/(%)>匕即ln%i一无；+3+1>1,所以In$一%;+g>0.

因为2x；—g—l=0,所以〃=2石---,代入1口不一无；>0,得出西+工；—1>0.

xi

设根(x)=lnx+%2-1,m'(x)=—+2%>0,所以加(X)在(0,e)上是增函数，

x

而和⑴=lnl+l-1=0,由In%+x；-1〉0可得加(xj>加⑴，得

c1/、1

由。=2%-一在(l,e)上是增函数，m<a<2e—.

玉C

综上所述l<aWe—2,

e

故选：D.

【点睛】

本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力,

属于难题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、叵

7

【解析】

先求出向量44和44夹角的余弦值，再由公式即得.

【详解】

如图，过点4作44的平行线交。4于点3,那么向量和44夹角为,

.•./&%=90,;.NAOA=/%4，04=44=1,且4044是直角三角形，...Q42=及,同理得

><

依二五^^二近，.,.cos(AA7,A7A)=sinZ^64O=^^=^'，；.A44A=llx,=^^

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积，解题关键是找到向量A4和4A的夹角.

1

14、-

2

【解析】

设圆柱的高为人，底面半径为厂，根据容积为1287个立方单位可得128不=》产力，再列出该圆柱的表面积，利用导

数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值.

【详解】

设圆柱的高为人，底面半径为八

•.•该圆柱形的如罐的容积为128乃个立方单位

192

；・128万=71rlh，即介=—―,

,该圆柱形的表面积为s=271rl+2兀rh=2兀/+17ir-=2兀/+上空.

rr

./\_22567r_../\.2567r

令g(r)=2»r+------,贝!|g(r)=4〃r-------.

rr

令g'⑺>0,得厂>4；

令g'(r)<0,得0<r<4.

；.g⑺在(0,4)上单调递减，在(4,+»)上单调递增.

r1

当厂=4时，g(r)取得最小值，即材料最省，此时：=

h2

故答案为：—.

2

【点睛】

本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题.

15、V15

【解析】

结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用

焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.

【详解】

方法1：由题意可知|0/|=|0M|=c=2,

由中位线定理可得仍制=21|=4,设尸（羽y）可得（x-2）2+V=16,

22

联立方程上+匕=1

95

321

可解得x=—-,x=一（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，

22

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知I。尸l=［0M|=c=2,

3

由中位线定理可得|尸制=21|=4,即a—叼=4=4=一］

z岳

求得尸一］'一'所以kpF=；=JiW.

2

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的

重要途径.

16、-V6

3

【解析】

如图所示，正四棱锥尸—ABCD,。为底面的中心，点"为AB的中点，则NR4O=60，设=根据正四棱

锥的侧面积求出。的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到答案.

【详解】

如图所示，正四棱锥尸-A3CD,。为底面的中心，点〃为AB的中点,

则ZPAO=60，设=

**-OA-a，..PA=y/2a，..PM=JP解—AM?=—a,

22

••4x(―,ci,—-a)—4^/7=>a—2,

PO=F£=旦,

V442

.■.V=-xa2xPO=^-.

33

故答案为：蛔.

3

A

)

【点睛】

本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

n+l

17、(1)(2)Sn=2+rr+n-2

【解析】

(1)根据已知可得数列｛4｝为等比数列，即可求解;

(2)由(1)可得,为等比数列，根据等比数列和等差数列的前〃项和公式，即可求解.

【详解】

12。111

(1)因为=—，所以=彳，又

4+1anan22

所以数列｛4｝为等比数列，且首项为:，公比为g.故4

(2)由(1)知工=2”,所以工+2〃=2"+2〃

册%

所以S,=2(1—2":(2+2〃)g=2'+i+/+“_2

”1-22

【点睛】

本题考查等比数列的定义及通项公式、等差数列和等比数列的前〃项和，属于基础题.

18、(1)夕2cos2。=1(86(—?,?))(2)5

【解析】

(1)首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据_r=〃cose,y=psmO,得到曲线的极坐标方程;

(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解;

【详解】

e'+e-'

x=------

2

解：(1)曲线C：,，消去参数，得到:x2-y2=l(x>1),

y=------

2

由x=pcos0,y=psinff,

得p1cos20-p1sin2e=i(ew(―i?))

所以22cos28=1(8e(—£,£))

44

x=2+；m

2小代入人…,

(2)《

y=^

一病一常〃，—3=。

5出

设PA=叫，PB：%由直线的参数方程参数的几何意义得:

4Hp@=|呵旬=5

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题.

3

19、(1)j=-9.5%+165.5,232；(2)-

【解析】

⑴根据公式代入求解;

(2)先列出基本事件空间Q,再列出要求的事件，最后求概率即可.

【详解】

n=5n=5

解：(1)由表格可求出亍=1,9=156,=20,5亍•y=780,X%：=85代入公式求出A=_9,5,

z=lz=l

所以a=y_/?x=165.5，所以'=-9.5x+165.5

当x=-7时，y=(-9.5)x(-7)+165.5=232.

所以可预测日平均气温为-7℃时该出租车公司的网约订单数约为232份.

(2)记这5天中气温不高于-5。(2的三天分别为A8,c,另外两天分别记为。，石，则在这5天中任意选取2天有

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10个基本事件，其中恰有1天网约订单数不低于210份的有

AD,AE,BD,BE,CD,CE,共6个基本事件,

所以所求概率P=*=g，即恰有1天网约订单数不低于20份的概率为|.

【点睛】

考查线性回归系数的求法以及古典概型求概率的方法，中档题.

20、(1)(—85；(2)见解析；(3)见解析

【解析】

(1)令H(x)=h(x)-f(x)=ex-1-aln(x+1)(x>0),求得导数，讨论a>l和aWL判断导数的符号，由恒成

立思想可得a的范围；(2)求得F(x)=h(x)-g(x)的导数和二阶导数，判断F(x)的单调性，讨论"-1,a

>-1,F(x)的单调性和零点个数；(3)由(1)知，当a=l时，ex>l+ln(x+1)对x>0恒成立，令》=,；由(2)

10

1,1

知，当a=-l时，产>—d+x+l对x<0恒成立，令工=--,结合条件，即可得证.

310

【详解】

(I)解：令H(x)=h(x)-f(x)=ex-1-aln(x+1)(x>0),

则H'(x)=eX一，

x+1

①若则一H*(x)>0,H(x)在［0,+oo)递增，

x+1

H(x)>H(0)=0,即f(x)<h(x)在［0,+oo)恒成立，满足，所以a<l；

rf

②若a>LH(x)=©*-^_在［0,+oo)递增，1r(x)>H(0)=l-a,且1-aVO,

x+1

且XT+CO时，H*(x)T+OO,贝归XOW(0,+oo),

使H，(xo)=0进而H(x)在［0,xo)递减，在(XO,+oo)递增，

所以当x£(0,xo)时H(x)<H(0)=0,

即当x£(0,xo)时，f(x)>h(x),不满足题意，舍去；

综合①，②知a的取值范围为(-8,1］.

(II)解：依题意得F(x)=h(xAg(x)=eX-14x3+ax(x<0),贝!JF(x)=ex-x2+a,

则F"(x)=ex-2x>0在(-co,0)上恒成立，故F'(x)=ex-x2+a(-oo,0)递增，

所以F(x)<F'(0)=l+a,且X--8时，F'(x)--oo；

①若1+aWO,BPa<-1,则F'(x)<F'(0)=l+a<0,

故F(x)在(-8,0)递减，所以F(x)>F(0)=0,F(x)在(-oo,0)无零点；

②若l+a>0,即a>-L则mx0'€(“o,0)使F'(xj)=0，

进而F(x)在(“o,xj)递减，在(xj,0)递增，F(x。')<F(0)=0,

且X--8时，F(x)=(ex-l)x(x2-3a)

F(x)在(YO,xj)上有一个零点，在[X0'，0)无零点，

故F(x)在(-8,0)有一个零点.

综合①②，当aW-1时无零点；当a>-l时有一个零点.

(III)证明：由(I)知，当a=l时，ex>l+ln(x+1)对x>0恒成立,

11095

令x=~~'则2>1+】皿1皿・。953湍即1唬>

X101000

由(H)知，当a=-l时，/〉与3+*+1对*〈0恒成立,

0

令*=七，则0-击>[，)3，+1-，所以听〈瑞

10e3、10'1030002699

故有嚼《1风〈黯.

10002699

【点睛】

本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能

力，属于难题.对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；

在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些.

21、(1)见解析；(2)

71-1

【解析】

(1)不等式等价于sinx<x,xe(O,句，-g/?(%)=sinx-x,xe(0,^],利用导数可证<0恒成立，

从而原不等式成立.

(2)由题设条件可得g(x)=〃Xo)在(°，句上有两个不同零点，且[0/)[y|y=g(x),xe(o,»]},利用导数讨论

g(x)的单调性后可得其最小值，结合前述的集合的包含关系可得机的取值范围.

【详解】

(1)设=sinx-x,贝！|p'(x)=cosx-l,

当xe(O,句时,由p'(x)<0,所以p(x)在(0,句上是减函数,

所以p(x)<p(O)=O,故sinx<x.

因为X«0,司，所以艺^<1,所以当xe(O,句时，

(2)由(1)当X由(0,句时,0</(x)<l；

任意九0存在石e(意句和9e(意句(%/%2)使8(玉)=8(%2)=/(%0)