新高考数学二轮复习计数原理（选填题10种考法）（解析版）

专题11计数原理（选填题10种考法）

考法解读

r解题思路一分类加法，分步乘法

r列举法

一相邻捆绑法

L不相邻插空法

…—r倍缩法

-方法--定序-n

I排他法

屿就加生JT特殊位置优先

（―排列组合-j特殊优先彳

L特殊元素优先

I相同元素隔板法

r排队问题

厂排数问题

一多面手

一涂色问题

匚题型-

-分组分配

计

数J集合问题

原J环排问题

理最短距离

「①对于常数项，隐含条件是字母的指数为即次项）

指0（0

定②对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰

项--好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指

系数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解.

数

一③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是

非负整数，求解方式与求有理项一致

二

二

项

项对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

式

式

系

定一@c8+ci+ci+...+ca=2"

数二项式系数和一

理@Cl+a+ci+...=cA+c2+c5+...=2"-1

一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为4o,Ai,Az,A.,

系数的

最大项且第项最大，应用

I系Jt+1解出左，即得出系数的最大项.

数

系数和一赋值法

典例剖析

考法一排队问题—）r-考法六指定项系数

考法二排数问题考法七（二项式）系数和

计

数

考法三分组分配问题原考法八二项式系数的性质

理

考法四涂色问题考法九二项式定理的应用

考法五最短距离-1J考法十二项式定理与其他知识综合

考法一排队问题

【例1】（2023春•重庆沙坪坝）（多选）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（）.

A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法

B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法

C.5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法

D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法

【答案】BCD

【解析】对A：甲、乙、丙站前排，有A；=6种排法，丁、戌站后排，有A；=2种排法，

共有6x2=12种排法，故A错误；

对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，

若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有A：=24种排法，故B正确；

对C：5人站成一排，甲不在两端，共有A：A；=12x6=72种排法，故C正确；

对D：5人站成一排，有A；=120种排法，

则甲在最左端，乙不在最右端，共有C；A；=3x6=18种排法；

甲不在最左端，乙在最右端，共有C；A；=3x6=18种排法；

甲在最左端，乙在最右端，共有A；=6种排法；

则甲不在最左端，乙不在最右端，共有120-（18+18+6）=78种排法，故D正确.

故选：BCD.

【变式】

1.（2023秋•高二课时练习）（多选）把5件不同产品A,B,C,D,E摆成一排，则（）

A.A与8相邻有48种摆法

B.A与C相邻有48种摆法

C.A,B相邻又A,C相邻，有12种摆法

D.A与8相邻，且A与C不相邻有24种摆法

【答案】ABC

【解析】对于A选项：产品A与B相邻，把作为一个元素有A：=4x3x2xl=24种方法，

而A,8可交换位置，所以有2A：=48种摆法.故A选项符合题意.

对于B选项：同A选项一样分析可知产品A与C相邻也有48种摆法.故B选项符合题意.

对于C选项:当相邻又满足A,C相邻，

首先将产品AB,C捆绑起来作为一个元素并把产品A放在产品B与C之间，

注意到产品B与C可互换位置，所以首先排列A民C有A；=2x1=2种摆法，

把A民C组成的整体作为一个元素和剩下的两个元素D,E进行排列，又有A；=3x2x1=6种摆法，

所以A,8相邻又A,C相邻，有A；・A；=2x6=12种摆法故C选项符合题意.

对于D选项：由A选项可知A与B相邻有48种摆法，

由C选项可知A,2相邻又A,C相邻有12种摆法，

因此A与B相邻，且A与C不相邻有48-12=36种摆法.故D选项不符合题意.

故选：ABC.

2.（2023秋・河南郑州•高三校考开学考试）（多选）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出，下列

说法中正确的是（）

A.若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种

B.若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同的排列方式共有6种

C.若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有20种

D.若甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种

【答案】ACD

【解析】对于选项A：因为甲不在正中间，则甲的不同的排列方式有C：=4种,

剩余的四人全排列，不同的排列方式有A：=24种，

所以不同的排列方式共有4x24=96种，故A正确；

对于选项B：若甲、乙、丙三人互不相邻，则甲、乙、丙三人在首位、中间和末位，

则不同的排列方式有A；=6种，

剩余的2人全排列，不同的排列方式有A；=2种，

所以不同的排列方式共有6x2=12种，故B错误；

对于选项C：若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则有四个间隔空位，

若乙、戊不相邻，把乙、戊安排四个间隔空位中，不同的排列方式共有A：=12种；

若乙、戊相邻，把两人看成整体安排四个间隔空位中，不同的排列方式共有A；C：=8种；

所以不同的排列方式共有12+8=20种，故C正确；

对于选项D：若丙和丁相邻，不同的排列方式共有A；A：=48种，

若甲在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有C；A；A；=24种，

所以甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有48-24=24种，故D正确；

故选：ACD.

3.（2023春•河北石家庄）（多选）现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）

A.4个空位全都相邻的坐法有120种

B.4个空位中只有3个相邻的坐法有240种

C.4个空位均不相邻的坐法有120种

D.4个空位中至多有2个相邻的坐法有840种

【答案】AC

【解析】对于A,将四个空位当成一个整体，全部的坐法：A；=120种，故A对；

对于B,先排4个学生A：,然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入由4个学生形成的5

个空档中有A；种方法，所以一共有成=480种，故B错；

对于C,先排4个学生A：,4个空位是一样的，然后将4个空位插入由4个学生形成的5个空档中有C；种,

所以一共有A：C；=120种，故C对；

对于D,至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的有120种,

空位两个两个相邻的有A：C；=240,空位只有两个相邻的有A：C；C；=720,

所以一共有120+240+720=1080种，故D错;

故选：AC

考法二排数问题

【例2】（2023春•江苏泰州）（多选）从1,2,3,4,6中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有

（）

A.若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为125

B.若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为375

C.若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为70

D.若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为72

【答案】ABD

【解析】A选项：若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为53=125,故A正确；

B选项：若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为53x3=375,故B正确；

C选项：若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为A；=60,故C错；

D选项：若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为C；A：=72,故D正确.

故选:ABD.

【变式】

1.（2022,全国,统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

1112

A.-B.—C.-D.-

6323

【答案】D

【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3⑹,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种，

21-72

故所求概率尸=一=彳.

213

故选：D.

2.（2023•北京）（多选）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（）

A.可以组成300个四位数

B.可以组成156个四位偶数

C.可以组成96个能被3整除的四位数

D.将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2310

【答案】ABC

【解析】A选项，先从1,2,3,4,5五个数字中选出1个放在千位上，有C；=5种选择，

再从添上0后的剩余5个数中选出4个，放在百位，十位和个位上，有A；=60种选择，

所以可以组成没有重复数字的四位数个数为5x60=300,A正确；

B选项，分两种情况，当个位为0时，从1,2,3,4,5五个数中，选择3个放在千位，百位和十位上，有

A；=60中选择，

当个位不为0时，先从2,4中选择1个放在个位上，有C；=2种选择，

再考虑千位，从除去0外的剩余4个数中，选择1个放在千位，有C；=4种选择，

再从添上0后的4个数中，选择2个，和剩余的百位和十位进行全排列，有A；=12种选择，

故可以组成没有重复数字的四位偶数个数为60+C；C；A：=60+96=156,B正确；

C选项，能被3整除的四位数，数位上的数字之和要能被整除，

先从0,1,2,3,4,5六个数中，选出四个数，数字之和能被3整除的有0,1,2,3；0,2,3,4；0,1,3,5；0,3,4,5

和1,2,4,5；

其中0,1,2,3,先考虑千位，从除去0的三个数中，选出1个，有C；=3种选择，再考虑剩余的3个数，有A；=6

种选择，故可以组成的没有重复数字的四位数个数为3x6=18,

同理可得0,2,3,4；0,1,3,5；0,3,4,5,均可以组成的没有重复数字的四位数个数为18,

124,5,能组成没有重复数字的四位数个数为A：=24,

所以可以组成18x4+24=96个能被3整除的四位数，C正确；

D选项，若组成的没有重复数字的四位数千位为1,

此时剩余的5个数中，选择3个，分别安排在百位，十位和个位，有A；=60个，

若组成的没有重复数字的四位数千位为2,

此时剩余的5个数中，选择3个，分别安排在百位，十位和个位，有A：=60个，

60<80<120,故将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个四位数千位为2,

若组成的没有重复数字的四位数千位为2,百位为0,此时从剩余的4个数字中选择2个，放在十位和个位，

组成的没有重复数字的四位数有A”12个，60+12=72<85,

同理可得：若组成的没有重复数字的四位数千位为2,百位为1,组成的没有重复数字的四位数有A；=12个，

72+12=84<85,

故将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2301,D错误.

故选：ABC

考法三分组分配问题

【例3】（2022•湖南长沙•长郡中学校考模拟预测）（多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州

亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（）

A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为5"

B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为4C：

C.每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则

不同安排方案的种数是

D.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为

（c；c；+c；《）国

【答案】ABD

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于A,安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A

错误；

对于8,根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有

种安排方法，故8错误；

对于C,根据题意，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊中选出1人开车，

则有+制种安排方法，C正确；

对于。，分2步分析：需要先将5人分为3组，有1牛+签］种分组方法，将分好的三组安排翻译、导

游、礼仪三项工作，有用种情况，则有［当+臣］看种安排方法，O错误；

故选：ABD.

【变式】

1.（2023•全国•模拟预测）某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题

为"提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动,要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，

若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有（）

A.54种B.66种C.90种D.112种

【答案】C

【解析】由题意知可分为两类：

第一类：一个社区3人，剩下两个社区各1人，

当李医生、张医生2人都单独安排到一个社区时，有A；=6种不同的安排方法；

当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有C；C；A；=24种不同的安排方法；

第二类：一个社区1人，剩下两个社区各2人，

当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有C；C；A；=36种不同的安排方法；

当李医生、张医生都不单独安排到一个社区时，有C；C；A；=24种不同的安排方法；

综上可知，共有6+24+36+24=90（种），

故选：C.

2.（2023•湖南岳阳•湖南省平江县第一中学校考模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者参加新冠疫情防控志

愿者活动，现有A3，C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，

且甲不在A小区的概率为（）

,19310025

A.-----B.-----C.—D.一

24324339

【答案】B

【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有35=243种情况，

再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，

5人被分为3,1,1或2,2,1

当5人被分为3,1,1时，情况数为C；xA；=60；

当5人被分为2,2』时，情况数为，X%XA；=9O；

所以共有60+90=150.

由于所求甲不去A,情况数较多，反向思考，求甲去A的情况数，最后用总数减即可，

当5人被分为3,1,1时，且甲去A,甲若为1,则C：xA；=8,甲若为3,则C；xA；=12

共计8+12=20种，

当5人被分为2,2,1时，且甲去A,甲若为1,则圣xA；=6,甲若为2,则C；xC；xA；=24,共计6+24=30

种，

所以甲不在A小区的概率为150-+=100

243243

故选：B.

3.（2023春•福建泉州）（多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加运动会志愿者服务活动，有翻译、导游

、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的有（）

A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45

B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为A：C；

C.每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则

不同安排方案的种数是C；C；A；+C；A；

D.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为

舟+簧卜

【答案】ACD

【解析】对于A,安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方式，则有45种安排方

法，故选项A正确.

对于B,根据题意，分2步进行分析：先将5人分成4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有C；A：

种安排方法，故选项B错误.

对于C,根据题意，分2种情况需要讨论：①从丙、丁、戊中选出2人开车，②从丙、丁、戊中选出1人开车，

则有C；C；A；+C；A；种安排方法，故选项C正确.

「3rl「2「2

对于D,分2步进行分析：先将5人分成3组，有言+蜜种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、

礼仪三项工作，有A；种安排方法，则这5名同学全部被安排的不同方法数为,故选项D

正确.

故选：ACD.

考法四涂色问题

【例4】（2023•云南,校联考二模）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的"弦图",

后人称之为"赵爽弦图"，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的

颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜

色的概率是（）

111

A.—B.一C.一D.-

20765

【答案】B

【解析】所有的涂色方案分3类:

（1）用到三种颜色，为⑤一种颜色，①③同色，②④同色，涂色方法为A；=60；

（2）用到四种颜色，为⑤一种颜色，①③不同色，②④同色或⑤一种颜色，①③同色，②④不同色,

涂色方法为2A；=240；

⑶用到五种颜色，涂色方法为A；=120；

因此该方案恰好只用到三种颜色的概率是60+2*+120=I

故选：B.

【变式】

1.（2023春,江苏连云港）（多选）如图，在一广场两侧设置6只彩灯，现有4种不同颜色的彩灯可供选择,

则下列结论正确的是（）

A.共有46种不同方案

B.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1、4）也不同色，且4种颜色的彩灯均要使用，则共有186

种不同方案

C.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1、4）也不同色，且只能使用3种颜色的彩灯，则共有192

种不同方案

D.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1、4）也不同色，且只能使用2种颜色的彩灯，则共有12种

不同方案

【答案】ACD

【解析】对于选项A,每个彩灯颜色都有4种选择，根据分步乘法原理得，

有4x4x4x4x4x4=46种不同方案，故A正确；

对于选项B,第一类：先从4种颜色的彩灯选出3种颜色的彩灯有安装在1,2,3号位,则有A：=24种结

果，使用1种剩余的颜色和前3种颜色的2种安装4,5,6号位彩灯时，有C，C；=9种结果，

根据乘法原理得共有24x9=216种不同的安装方法；

第二类：先从4种颜色的彩灯选出2种颜色的彩灯有安装在1,2,3号位，则有A：=12种结果，

再安装4,5,6号位彩色灯，分两类：

第一类，4,5,6号位只用1,2,3号位剩余的2种彩色灯，有2种结果，

第二类，4,5,6号位用1,2,3号位剩余的2种彩色灯和前三个位置使用过的1种彩灯，

有C7A；+A；=6种结果，根据计数原理得共有A]（2+C]A；+A；）=96种不同的安装方法.

由分类加法原理得共有216+96=312种不同的安装方案，故B错误；

对于选项C,第一步：先从4种颜色的彩灯选出3种颜色的彩灯有安装在1,2,3号位，则有A：=24种结

果，第二步：分两类：第一类，4,5,6号位用1,2,3号位的3种彩色灯，有2种结果，

第二类，4,5,6号位用1,2,3号位的2种彩色灯，有C1C；=6种结果，

根据计数原理得共有A；•（2+C；=192种不同的安装方法.故C正确；

对于选项D,第一步：从4种颜色的彩灯选出2种颜色的彩灯安装在1,2,3号位，则有C[C；=12种结果，

第二步：安装4,5,6号位彩灯有1种，根据分步计数原理，可得有12x1=12种不同的安装法，故D正确；

故选：ACD

2.（2023•重庆•统考模拟预测）某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该

圆环区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植.要求相邻区域

不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有种.

【答案】30

【解析】若只用两种颜色的鲜花，则1,3位置的颜色相同，2,4位置的颜色相同，

即可得1，4位置的颜色不同，则5位置无颜色可选，不合题意；

故必用3种颜色的鲜花，则1,2的栽植方案有A；=6种，已用两种颜色，第三种颜色可能在3,4,5,可

得：

（i）若第三种颜色在3或5,有如下两种可能：

①3,5的颜色相同，则4的颜色有两种可能，栽植方案有C；=2种；

②3,5的颜色不相同，则4的颜色必和1的颜色相同，栽植方案有C；=2种；

栽植方案共有2+2=4种；

但）若第三种颜色在4,则3的颜色必和1的颜色相同，5的颜色必和2的颜色相同，栽植方案共有1种;

综上所述：总的栽植方案有6x（4+l）=30种.

故答案为：30.

3（2023•全国•高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，

每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域A,B,C,。和A，耳，q,2分别各

涂2种不同颜色的涂色方法共有种；区域A,B,C,。和四，G，A分别各涂4种不同

颜色的涂色方法共有种.

【解析】AC,即，AC，用自同色，所以先涂AC,即有：1A；,再涂AG，4A有A；种，所以共有:C：A；A；=24

种.

先涂A,8,C,£＞共有：A：=24种，设四种颜色为aOcd,假设涂的颜色分别为a,6,c,d,则

A，4G，Q涂色情况如下：

(b,a,d,c),(b,c,d,a),(b,d,,c,a),(c,a,d,&),(c,d,a,Z7),(c,d,b,aj,(d,a,b,c),(d,c,a,b),(d,c,b,a),共9种,

所以：A：x9=216种.

故答案为：24；216.

考法五最短距离

【例5】(2023云南)(多选)某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有()

A.C；种B.C；种C.12种D.32种

【答案】AB

【解析】因为从A地到2地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出:

①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；

②向东的走法定出后，向南的走法随之确定，

所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可，

故不同走法的种数有C；=C；种.

故选：AB

【变式】

1.（2023•全国•高三专题练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，

由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的

路，如图，假设夏老师家在M处，学校在N处，A3段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径

有（）条.

A.23B.24C.25D.26

【答案】D

【解析】由M到N的最短路径需要向右走四段路，向上走三段路，所以有《=35条路，

由M到A的最短路径需要向右走两段路，向上走一段路，所以有C；=3条路，

由B到N的最短路径需要向右走一段路，向上走两段路，所以有C；=3条路，

所以由M到N不经过AB的最短路径有C"C；C；=26.

故选：D.

2（2023•广东惠州•高三校考期末）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD

段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（）

—

CD

A

A.23条B.24条C.25条D.26条

【答案】D

【解析】先假设8是实线，

A7

则从A到8,向上3次，向右4次，最短路径有高7=35条，

其中经过8的，即先从A到C,然后C到。，最后。到B的最短路径有3x3=9条,

所以，当CO不通时，最短路径有35-9=26条.

故选：D

3（2023•北京）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会

生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一

个大正方体（由8个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从A点出发，沿着竹棍到达8点，则蚂蚁选择

的不同的最短路径共有（）

B

A

A.48种B.60种

C.72种D.90种

【答案】D

【解析】由题意可知，从A到3最少需要6步完成，其中有2步是横向的，2步是纵向的，2步是竖向的，

则蚂蚁选择的不同的最短路径共有C；C；C；=90种.故选：D.

考法六指定项系数

【例6-1］（2023•天津•统考高考真题）在12三-的展开式中，d项的系数为.

【答案】60

【解析】展开式的通项公式普=晨（2d尸1_口=（_球x26dxe”尤x,

令18-4左=2可得，k=4,

则d项的系数为（-1）4><26-4xC：=4x15=60.

故答案为：60.

【例6-2】（2023•河北衡水・衡水市第二中学校考三模）+的展开式中v的系数为.（用

数字作答）

【答案】24

【解析】=2X［X--Y+-fx--T-

IXX）\XJX\X）

其中,-J展开式的通项公式为以=C，-=（_1），C，-2，（o<r<6且reN）,

所以12x+口卜的展开式中含V的项为2x•或---•或/=24X，,

所以12尤+£|的展开式中/的系数为24.

故答案为：24

【例6-3］（2023・福建•校联考模拟预测）］尤+彳一1：展开式中的常数项为.（用数字做答）

【答案】49

［解析］+++++

展开式中得到常数项的方法分类如下：

（1）4个因式中都不取尤，则不取工，全取-1,相乘得到常数项.

X

常数项为C：（-1）4=1;

（2）4个因式中有1个取x,则再取1个工，其余因式取-1,相乘得到常数项.

X

常数项为C%C；（：］（-1）2=24；

（3）4个因式中有2个取x,则再取2个相乘得到常数项.

X

常数项为C%2C］.J=24.

合并同类项，所以展开式中常数项为1+24+24=49.

故答案为：49.

2023

【例6-4】（2023,湖南常德•常德市一中校考模拟预测）已知婢23=4+%（彳一1）+%（尤-1丫++a2023（%-l）,

贝!1。2022=-

【答案】2023

20232023

【解析】因为/侬=4+q(x—1)+/(尤—I)?++tz2023(x-I)=[1+(x—I)],

2023

而[1+(x-1)]的展开通项为Tr+l=q023(^-iy(0<r<2023,reN),

2022

令r=2022,得T2023=C焉;(尤-I),贝|a2022=C黑；=2023.

故答案为：2023.

【变式】

1(2022•天津•统考高考真题)[6+j]的展开式中的常数项为.

【答案】15

【解析】由题意(石+:]的展开式的通项为"G.函H=C；3.U,

4±yi=0BPr=l,则Cr3'=C；・3=15,

所以[&+椅]的展开式中的常数项为15.

故答案为：15.

2.(2022•全国•统考高考真题)的展开式中Vy6的系数为(用数字作答).

【答案】-28

【解析】因为(l-2L+y)8=(x+yy-2(x+y)8,

VxJx

所以(l-£j(x+y『的展开式中含Vy6的项为CK2y6-"3y5=-28^/,

[-1)(x+y)8的展开式中/y6的系数为一28

故答案为：-28

3.(2023•福建龙岩•统考二模)已知(a+x)(l+x)6的展开式中尤2的系数为21,则。=

【答案】1

【解析】由二项式定理可知(1+x)6的展开式中含X,X?的项分别为C；Xr.尤=6x©X/./=15/,

故(〃+无)(1+%)6的展开式中含炉的项为4X15尤2+%.6x=(15a+6)f,即15〃+6=21=>Q=1.

故答案为：1

4.(2023•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测)若(x-1)8=佝+弓(1+1)++%(%+1)7+/(九+1)8,

贝Ia5=•

【答案】-448

【解析】因为(%—球=%+4(x+1)++%(X+1)7+氏(X+1)8,

令，=%+1,则无=，一1,

所以(，—2)=%+%.+-+,

其中二项式Q-2)8展开式的通项为=C"8T-(-2)r(0<r<8MreN),

令8f=5,解得r=3,所以(=C15.(_2)3=—448f5,所以生=-448.

故答案为：-448

5(2023春・河南开封•高三统考开学考试)己知12尤-工-4的展开式中V的系数为-40,则实数爪=(

Vmx)

A.4B.2C.-2D.-4

【答案】A

展开式的通项为：鼠(2龙-1-1厂目0,6]且reN；

［解析］2%---1

\mxImxJ

2%--V'展开式的通项为：(2x)6-"=1-［「26»CL产心，丘［0,6-“且reN；

mx)\mx)\m)

Z=0k=l

令6—〃一2左=3,则-3或

r=1

."3的系数为(一工1.23(：；.晨.(一1)3+(_1].24(2；.或.(一1)=一160+辿=70,解得：祖=4.故选：A.

ImJmJm

考法七(二项式)系数和

1210

【例7-1】(2023•福建宁德•校考模拟预测)(多选)^(2x-l)°=a0+a1(x-l)+a2(x-l)++a10(x-l),

xeR,贝U()

A.4=1

B.%+%++=31°

C.“2=180

9

D.ax+2a2+3a3++10«10=10x3

【答案】AC

【解析】令％=1得：(2x1-1尸=1=%,所以选项A正确；

令％=2得：31°=a。+4+出++。10，所以4+%++aio—310—1,所以选项B错误;

因为(2x—1)。=[2(x—+,

所以&=，[2(%—1)丫%=C；°・22=180,选项C正确；

(2%-1)=%+〃](元一1)+4(元—1)+,，+—1)9

99

两边对x求导得：10x(2x-l)X2=6ZJ+2.2(%-1)+3。3(1-1)2++10tz10(x-l),

令x=2得：q+2a2+3/++lO%o=20x3、,选项D错误；

故选：AC.

【例7-2](2023•山东荷泽•山东省邺城县第一中学校考三模)(多选)已知多项式

(1—2x)2(l—3x)"‘=4+qx+a2%2H----F及,〃]=—19,贝!]()

1a

A.m+n=12B.生+生+/"---n—24

C.%=-4D.4+24+3/+,•,+——368

【答案】AD

【解析】因为(1—2x)2(1—3x)"'=(4x2—4x+1)(1—3x)w,

(1-3%产的展开式的通项公式为小=C；(-3小=(-3)%C3,

q=-4+(-3)C\=-4-3m=—19,得机=5,

〃=2+帆=2+5=7,所以m+〃=12,故A正确；

令x=0得%=1,令x=],得(1—2)2(1—3)5=4+4+/++%,

所以4+%+。3H=-32-1=-33,故B不正确;

%=4x1—4x(-3)C；+1x(—3『Cf=154,故C不正确；

由(1-2x)2(1-3x)5=%+%%_|_a?/-|----F两边对X求导得，

42

2(1-2%)-(-2)-(1-3x)5+(1一2幻2•5(i_3x).(-3)=%+2a2x+3a3x++,

令'x=1,2x(―1)x(—2)x(—2)5+(—I)2x5x(—2)4x(—3)=4+2/+3/++7%,

所以%+2%+3。3++7%=-368,故D正确.

故选：AD

【变式】

1.(2023•黑龙江大庆・大庆中学校考模拟预测)(多选)若

(%—I)，=4+q++++/(k+1)3++〃6(%+1)6,贝5J()

A.4=64B.%+%+〃4+。6=365

C.%=12D.%+2%+3〃3+4/+5%+6。6=—6

【答案】ABD

【解析】令X=-1,贝即。。=64,故A正确；

令X=0f贝！j〃0+%+/+〃3+“4+〃5+〃6=(0—I)'=1,

令'x=—2,贝!Ja。—q+%—q+。4—"5+&=(-2I)6—729,

1+729

则为+4+%+4=—~—=365,故B正确；

(X-1)6=[(X+1)-2]6,则小=《(％+1产(-2)、令k=\,贝！J%=C(—2)i=—12,故C错误;

由(X—I)，=CIQ+%(X+1)+〃2(X+1)?+%(%+1)?++4(X+1),两求导，

得6(x—I)，=4+2a2(x+1)+3a3(x+1)?++64(、+1)、，

令x=0,贝lj%+2%+3/+4%+5%+64=6x(0—I)，=—6,故D正确.

故选：ABD.

2.(2023,山东日照,三模)(多选)已知(％—l)(x+2)6=%+4%+%无2H----Fa1x1,则()

A.a。=-64B.%=-1

C.Q[+。2------F。7=0D.%+〃3+%+%=1

【答案】AD

【解析】由(尤—1)(%+2)6=%+Cl^X+//+•,,+,

令x=0得%=-64,故A正确；

r6r

由(x+的展开式的通项公式Tr+l=C；2x-,

得%=1，故B错误；

令x=1)得出+%+a2H----1-<z7=0(T),

再由%=-64,得q+为+…+%=64,故C错误；

令x=-1,得4