四川省成都市2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题（含答案解析）

四川省成都市成都西川中学2023-2024学年八年级上学期12

月月考数学试题

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.舛等于（)

A.2B.-2C.272D.-272

2.下列条件中,能判定为直角三角形的是（）

A.N/=30°B.Z5+ZC=120°

C.ZA;ZB;ZC=1:1:2D.AB=AC=1,BC=4i

3.下列运算正确的是（）

A.V36=±6B.46-30=1

C.V124-73=2D.lxV14=7

4.若点尸（，"+2,机+1）在y轴上，则点尸的坐标为()

A.(2,1)B.(0,2)C.(0,-1)D.(1,0)

5.下列命题中，是真命题的是（）

A.同角的余角互余

B.同位角相等

C.三角形的一个外角大于它的内角

D.两点之间，线段最短

6.如果一组数据2,3,4,5,x的方差大于另一组数据101,102,103,104,105的

方差，那么工的值可能是（）

A.3B.5C.6D.8

7.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知

长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根

绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺,

问木头长多少尺？可设木头长为工尺，绳子长为V尺，则所列方程组正确的是（）

2cx+y=।l+—1x

y-x=4.5

A.B.<

0.5^=x-l

x+2Cy=1+—Iy

试卷第1页，共6页

jy-x=4.5\y=x-4.5

Cjo.5y=x+lD，\^y=2x-l

一3

8.如图，在平面直角坐标系上，直线3分别与x轴、》轴相交于4、5两点,

将△405沿x轴翻折得到△49C,使点5刚好落在y轴正半轴的点。处，过点。作

CD上AB交AB于D,则CQ的长为（）

1824

A.B.—C.4D.5

y5

二、填空题

9.如图，每个小正方形的边长为1,45,C是小正方形的顶点，则//3C的度数

为.

io.已知最简二次根式GJ与二次根式风是同类二次根式，则》=.

11.已知点/（一2,1）,/8〃了轴，且/8=4,则3点坐标为.

12.如图，有两个同样的三角板，将60。锐角的顶点/叠放在一起，若4048=108。,

则ZCAE的度数为.

13.如图，一次函数〉=履+万分别与坐标轴交于48,0）,3（0/5）,点”为了轴上一点,

把直线沿翻折，点B刚好落在x轴的负半轴上，则点M的坐标为.

试卷第2页，共6页

三、解答题

14.(1)计算：(&一2阿x人6g

3（x-l）=y+5①

(2)解方程组:5日-1）=3（尤+5）②，

15.如图所示，在平面直角坐标系中，己知2(0,1)、8(2,0)、C(4,3).

(1)在平面直角坐标系中画出则。的面积是

(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为

(3)已知尸为x轴上一点，若的面积为1,求点尸的坐标.

16.为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在,

爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同

学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示.

捐款5元

捐款10元

捐款15元

捐款20元

捐款25元

(1)本次抽查的学生人数是.,并补全条形统计图;

试卷第3页，共6页

(2)本次捐款金额的众数为元，中位数为元；

(3)若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元?

17.如图，在“3C中，ZABC=90°,AC=20,BC=12.

(1)设点尸在线段48上，连接PC,若NPAC=NPC4,求/P的长;

(2)设点M在线段NC上，若AMBC是等腰三角形，求的长.

18.如图，在平面直角坐标系中，直线《：y=-2x+6交x轴于点A,交了轴于点3,点

c(加,4)在直线4上，直线4经过点C和点。(-7,0),。是直线4上一动点.

(1)求直线%的函数表达式；

(2)若S=S“AOB，求点。的坐标；

(3)若NQ/C=45。，求点。的坐标.

四、填空题

19.已知x=V2+1>y=V2_1>则X?-5xy+y2+6=.

f_v=k

20.已知关于x、y的二元一次方程组."的解满足方程x-2y=4,则左的值

[x+y=3

为.

21.如图，在平面直角坐标系中，4(8,0),5(0,16),P是线段N8上的一个动点，贝！IOP

取得最小值时，点A关于OP的对称点坐标是.

试卷第4页，共6页

22.在平面直角坐标系中，直线/：y=x-l与X轴交于点4,如图所示依次作正方形

4耳C0、正方形小与CzG，、…、正方形48“c“Gi，使得点4、4、4…在直线/上，

点C］、C2,C3…在V轴正半轴上，则△a(B3&2023a024的面积是.

153

23.如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=—,E为BC上一点，且BE=—,F为AB

22

边上的一个动点，连接EF,将EF绕着点E顺时针旋转45。到EG的位置，连接FG和

CG,则CG的最小值为.

五、解答题

24.某公园的门票价格规定如表:

购票人数1-50人51-100A100人以上

票价10元/人8元/人5元/人

(1)某校七年组甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙

班不足50人，如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起

一作为一团体购票，一共只要付515元.问：甲、乙两班分别有多少人？

(2)若有48两个团队共160人，以各自团队为单位分别买票，共用950元，问48两

试卷第5页，共6页

个团队各有多少人？

25.^ABC,48=/C,点。在线段8C上，点尸在射线4D上，连接CF,忤BE//CF

交射线40于E,NCFA=NBAC=a.

图1图2

(1)如图1,当a=70。时，乙43£=15。时，求的大小；

(2)当a=90。，/B=4C=8时,

①如图2.连长3尸，当BF=B4,求CF的长；

②若AD=56,直接写出CF的长.

3

26.如图1,在平面直角坐标系X。'中，直线＞=—x+6分别交无，V轴于点A,B,在

4

y轴负半轴有一点C,满足CM=OC,作直线ZC,点。是y轴正半轴上的一个动点.

(1)求直线/C的函数表达式；

⑵过点。作y轴的垂线，分别交直线4c于点P,。，若PQ=2PD,求点。的

坐标；

⑶如图2,连接将沿直线进行翻折，翻折后点。的对应点为点£,连

接BE,若△3DE为直角三角形，求OD的长度.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.B

【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义即可得到结果.

【详解】舛=-2,

故选：B.

2.C

【分析】根据直角三角形的判定可判断选项A和B,C选项中根据三角形的内角和定理以及

三个角的比例关系可求出/C为90。，根据勾股定理的逆定理可判断选项D,即可得出答案.

【详解】解：A.由乙4=30。无法得到“3C为直角三角形，故本选项不符合题意；

B.•■•ZB+ZC=120°,

Z.A=60°,无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意；

C.■：ZA:ZB:ZC=\:1:2,44+/8+/C=180。，

2

•••最大角ZC=---------x180P=90P,

1+1+2

是直角三角形，故本选项符合题意；

D.VAB=AC=\,BC=6,12+12=1+1=2，(V3)2=3,

.•・俨+俨片(6)2,

28c不是直角三角形，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握勾股定

理的逆定理.

3.C

【分析】此题主要考查二次根式的化简和二次根式的加减乘除运算，直接利用法则逐一判断

即可.

【详解】解：A.A=6,故此选项错误；

B.46-36=75,故此选项错误；

C./+6=2,故此选项正确；

D.4X旧=g,故此选项错误.

答案第1页，共24页

故选：c.

4.C

【分析】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握在y轴上的点的横坐标为0.根据y

轴上点的横坐标为0,计算出加的值，从而得出点尸坐标.

【详解】解：：点尸（以+2,以+1）在y轴上，

/.m+2=0,

解得〃?=—2,“2+1=—2+1=—1,

则点P的坐标为

故答案为：C.

5.D

【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相关定义、性质，难度不大.

利用余角的性质、线段的性质、三角形外角的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确

的选项.

【详解】解：A.同角的余角相等，此选项不符合题意；

B.两直线平行时同位角相等，此选项不符合题意；

C.三角形的一个外角大于与它不相邻的内角，此选项不符合题意；

D.两点之间，线段最短，此选项符合题意；

故答案为：D.

6.D

【分析】本题主要考查方差.观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出

后一组数据的方差，再取一个x的值计算出前一组数据的方差求解.

【详解】解：数据101,102,103,104,105中，相邻两个数相差为1,一组数据2,3,4,

5,x前4个数据也是相差1,

若x=l或尤=6时，两组数据方差相等，

而数据2,3,4,5,x的方差比另一组数据101,102,103,104,105的方差大，

则x的值可能是8；

故选：D.

7.A

【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相

应的方程组.

答案第2页，共24页

设木头长为X尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺;

将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得

解.

【详解】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，

y-x=4.5

由题意可得

0.5j^=x-l

故答案为：A.

8.B

【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点力,8的坐标，在Rt^/05中，利用

勾股定理可求出45的长，由折叠的性质可得出。。=05,进而可得出5C的长，再利用面

积法，即可求出的长.

3

【详解】解：当x=0时，y=—xO-3=-3,

・••点5的坐标为（0,-3）；

3

当歹=0时，—X-3=0,解得：x=4,

・••点4的坐标为（4,0）.

在RZX4O5中，ZAOB=90°,CM=4,OB=3,

AB7O#+OB1=5

由折叠可知：OC=OB=3,

：.BC=OB+OC=6.

;S"BC=gBC・OA=gAB・CD,

.BCW）A24

..CD=---------=—

AB5

故选B.

【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，三角形的面积公式,

勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

9.45°

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，连接/C,

2

利用勾股定理可求出/炉，AC,8c2的长，进而可得出NC2+3C2=/32,AC=BC,利用

勾股定理的逆定理可得出为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出

答案第3页，共24页

ZABC=45°.

【详解】解：连接/C,

根据题意，可知：BC2=12+22=5,^C2=12+22=5,ylS2=12+32=10.

?.AC2+BC-^AB1,AC=BC,

“3C为等腰直角三角形,

ZABC=A5°.

故答案为：45°.

10.4

【分析】本题考查最简二次根式，化为最简二次根式后，它们的被开方数相同，列出方程求

解是解题的关键.

【详解】解：：最简二次根式VT斤与二次根式g是同类二次根式，且加=26,

X—1=3j

解得：x=4,

故答案为：4.

11.（-2,-3）或（-或5）

【分析】根据43〃了与V轴，得到点A,8的横坐标相等，根据/B=4,分两种情况即可

得到点3的坐标.

【详解】解：•・•/3〃了与了轴，

•••点A,3的横坐标相等，

•••AB=4,

当点B在点A下方时，点3的坐标为（-2,-3）；

当点8在点A上方时，点3的坐标为（-2,5）；

故答案为：（-2,-3）或（-2,5）.

【点睛】本题考查坐标与图形性质，体现了分类讨论的思想，根据与V轴，得到点A,

B的横坐标相等是解题的关键.

12.12°

答案第4页，共24页

【分析】本题考查角的和差，通过图形直观得出角的和差关系是得出答案的前提.

根据角的和差可得结论.

【详解】解：：/CUB=108。，

ZDAE=ABAC=ZDAB-ZCAE=108°-60°=48°,

ZCAE=ACAD-ZADE=60°-48°=12°,

故答案为：12。.

【分析】本题综合考查了翻折变换以及一次函数图象上点的坐标特征，题中利用折叠知识与

直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键.

设沿直线将折叠，点8正好落在x轴上的C点，则有=而的长度根据

已知可以求出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到CM=氏以，在直角△CMO中

根据勾股定理可以求出,也就求出M的坐标.

【详解】解：如图所示，当点〃在y轴正半轴上时，

设沿直线将折叠，点8正好落在x轴上的C点,

则有N3=/C,

•.■^（8,0）,5（0,15）,

OA=8,05=15,

AB=782+152=17=AC>

:.CO=AC-AO=17-S=9,

.♦•点C的坐标为（-9,0）.

设〃点坐标为（0乃），则（W=6,CM=BM=\5-b,

-：CM2=CO2+OM2,

答案第5页，共24页

.-.(15-Z?)2=92+/>2,

5

x=5

14.(1)-12；(2)

y=7

【分析】本题考查实数的混合运算及解二元一次方程组，熟知运算法则及消元法是正确解决

本题的关键.

（1）先算乘法再算加减即可;

（2）先把方程组整理成一般形式，再用加减消元法解方程组.

【详解】解：(1)(76-2712)x^-6^1

=瓜乂应-2瓦x6-6个；

=372-12-372

=-12；

力户(1)=夕+5①

[5(j-l)=3(x+5)©-

3x-y=8(3)

整理得

-3x+5y=20@

③+④得，4y=28,

：.y=7,

把歹=7代入③得3x—7=8,

解得x=5,

[x=5

1•方程组的解为,

〔k7

15.（1）见解析，4

⑵（-4,3）

(3)(4,0)或(0,0)

答案第6页，共24页

【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中根据点的坐标描点，关于y轴对称点的性质，三

角形的面积公式等知识.

(1)直接利用“3C所在长方形面积减去周围三角形面积即可得出答案；

(2)利用关于y轴对称点的性质得出答案；

(3)根据三角形面积公式得到8P=2,进而得到点P的横坐标为4或0,即可求出点尸的

坐标.

【详解】⑴解：如图所示：“3C的面积为36,创2,仓必3,仓必4=4.

222

(2)解：点。与点C关于y轴对称，则点。的坐标为：(-4,3)；

故答案为：(-4,3)；

(3)解：：尸为x轴上一点，A/8尸的面积为1,

BP=2,

二点P的横坐标为：2+2=4或2-2=0,

故P点坐标为：(4,0)或(0,0).

16.(1)50,补全统计图详见解答；

(2)15,15；

(3)80407C.

【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解两个统

计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提.

(1)从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的16%,根据

答案第7页，共24页

频率=£裳可求出答案;

（2）根据众数、中位数的定义进行计算即可；

（3）求出样本平均数，估计总体平均数，再进行计算即可.

【详解】（1）解:8+16%=50（人），

“捐款为15元”的学生有50-8-14-6-4=18（人），补全条形统计图如下:

（2）解：学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15

元，

将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15

元，

故答案为：15,15；

（3）（3）样本平均数为------------------------------=13.4（兀/人），

所以全校八年级学生为600名，捐款总金额为13.4x600=8040（元），

答：全校八年级学生为600名，捐款总金额为8040元.

25

17.（l）y；

（2）8或10或g.

【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.

（1）根据勾股定理得到48==16cm，设4P=3P=x,根据勾股定理即可得

到结论；

答案第8页，共24页

(2)当Q0=3C=12时，AM8c为等腰三角形，当BM=BC=12,时，AM3c为等腰三

角形，过8作于〃，当2M=CN时，AM5c为等腰三角形，连接9,根据勾股

定理即可得到结论.

【详解】(1)解:AABC=90°,AC=20cm,8c=12cm,

AB=ylAC2-BC2=16cm，

VAPAC=ZPCA,

AP=PC,

设/尸=PC=x,

；.PB=16-xf

.-.(16-x)2+122=x2,

25

解得：x,

2

AP=--

(2)解：N"的长为8或10或g.

如图，当C8=CM=12时，AM=AC-CM=20-12=8,

如图，当=时，AM=BM^CM=-AC^\Q-

2

如图，当3C=W时，过3作于点〃

5

7223

AM=AC-CM=20——=——

55

答案第9页，共24页

综上所述，的长为8或10或点.

17

18.(l)y=-X+y;

(1311J2329

⑵-或

T,T

⑶(5,6)或(-3,2).

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)分以下两种情况讨论：①当点。在线段。C的延长线上时；②当点。在线段。C上时,

将点的坐标代入直线的方程，求解即可；

(3)分两种情况，①当点。在线段DC的延长线上时；②当点。在线段DC上时，构造一

线三直角，证明两个三角形全等，将点的坐标代入直线的方程，求解即可.

【详解】(1)解：点C(见4)在直线4上,

?.-2m+6=4,

..in—1,

.,.点C坐标为(1,4),

•••直线4经过点C和点。(-7,0),

设4为k—6,

将(1,4),。(-7,0)代入片"

得,;[—k+b==40'

k=-

解得；，

b=-

[2

7为d广宁1+万7；

(2)解：如图所示，

答案第10页，共24页

①当点。在线段。C上时，如图中点2,

当歹=0时，一2%+6=0,

..x=3，

OA=3；

/.=10,

当x=0时，y=6f

OB=6,

S^AOB=]x6x3=9,

••V-V

,3QAC~Q"OB，

此时=S"CD.'AQIAD，

设01(凡；4+'11，

m9=lxl0x4--xl0x|-a

22(2

13

解得〃二-二,

171(13711

—a+—=—x\■H-----二—

222125

②当点0在线段。。的延长线上时，如图中点。2,

答案第11页，共24页

此时邑=SMAD_S^ACD，

设。

得9=L10X(L+)L10X4,

2k22)2

23

解得6喂,

综上所述，点。的坐标为卜《，二J或彳卜

(3)解：当点。在线段DC上时，如图中点2,

作交直线。于点Q，

•1•AQAC=45°,即NQ34c=45°,

:.ZQ4AC=45°,

即点Q也是满足题意的点。，

作垂足分别为M、N,

v^C2=(3-1)2+(4-0)2=20,CD2=(-7-1)2+(0-4)280,

ylZ)2=102=100，

:.AC2+CD2=AD2,

:.A/CD是直角三角形，其中//。=/"04=9&,

■1■ZQ3AC=ZQ4AC,AC=AC,

答案第12页，共24页

:.AACQ3^ACQ4(ASA),

4。3=4。4,

•・•ZQ3AD+ZQ4AN=9(FfZQ3AD+ZAQ3M=9(F,

:.ZAQ3M=ZQ4AN,

ZAMQ3=ZANQ4=9(F,

:.^AMQ3^QANA(AAS),

/.AM=Q4NfQ3M=AN,

设点ojcgc+g17

,贝!j4M=QN=5C+5，03Af=/N=c_3,

可得;17+L-3,

222

解得c=5,

17-7…17,17crc

—CH—=—x5H—=6,3----c-----=3—m5——3,c—3=2,

22222222

二。3(-3,2)。(5,6),

综上所述，点0的坐标为(5,6)或(-3,2).

【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法、全等三角形的判定的性质、翻折问题、

一次函数与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是掌握作辅助线构造全等三角形解决问题,

属于中考压轴题，本题的计算量比较大.

19.7

【分析】根据已知条件先求出x-y和xy的值，再把要求的式子变形为(x-y)2-3xy+6,然后

代值计算即可.

【详解】解：..％=桓'+1,丫=及-1,

x-y=72+1-(6-1)=2,xy=l,

.*•x2-5xy+y2+6=(x-y)2-3xy+6=22-3+6=7；

故答案为7.

【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是完全平方公式和平方差公式，关

答案第13页，共24页

键是对要求的式子进行变形.

20.7

x+y=3、

【分析】首先结合得二一,求出”的值，再将”的值代入2x出得出答案即可.

【详解】根据题意，得

x+y=3

x-2y=4

10

x=一

3

解得

1

10

x=——

3

将1代入2x-y=k,

得2x9+."

解得上7.

故答案为:7.

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的

解的意义是解题的关键.

2432

21.

【分析】利用勾股定理求出AB,然后根据等面积法求得O尸的最小值，求出直线的解析

式，然后求出点尸的坐标，根据中点坐标公式即可求出结果.

【详解】解：：幺(8,0),8(0,16),

.・・。/=8,08=16,

,,AB=Vs2+162=85/5,

当。夕」/5时，OP的值最小,

：.-OAOB=-ABOP,

22

OAOB8x161675

：.OP=

AB-8后—5

设直线48的解析式为:"质+16,把4(8,0)代入得:

答案第14页，共24页

84+16=0,

解得：k=-2,

直线N3的解析式为：y=-2x+16,

设点P的坐标为：(加,-2加+16),

解得：叫=〃％=；-，

二点P的坐标为：(弓弓)，

设点点A关于OP的对称点为0,

,?OP1AB,

二点/关于。尸的对称点在直线48上，且点尸为04,的中点,

.•.根据中点坐标公式可得，点/的坐标为鼻蜘.

「2432、

故答案为：—-

【点睛】本题考查了坐标与图形性质，垂线段最短，勾股定理，根据题意得到“当。尸1/3时,

。尸的值最小”是解题的关键.

22.24043

【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的

坐标的变化找出变化规律“4(2-1,2"-'-1))(„为正整数)”是解题的关键.

根据一次函数图象上点的坐标特征找出4、4、4、4的坐标，结合图形即可得知点凡是线

段c“4用的中点，由此即可得出点用的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：观察，发现：4(1,0),4(2,1),4(4,3),4(8,7),4(16,15),

答案第15页，共24页

.•.4（2丁21-1）...,）（n为正整数）.

观察图形可知：点B,是线段C“4+i的中点，

...点田的坐标是（2〃，2"-1）,4（2"\2"T-1）（〃为正整数），

；・”,且4M的面积是，2"-1=22-3,

4043

‘△"20238202342024的面积=-2,

故答案为：2皿43.

23.-+372

2

【分析】将线段BE绕点E顺时针旋转45。得到线段ET,连接DE交CG于J.首先证明

NETG=90。，推出点G的在射线TG上运动，推出当CG_LTG时，CG的值最小.

【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45。得到线段ET,连接DE交CG于J.

・・•四边形ABCD是矩形，

・・・AB=CD=6,ZB=ZBCD=90°,

・・・/BET=NFEG=45。，

ZBEF=ZTEG,

VEB=ET,EF=EG,

AAEBF^AETG(SAS),

・•・NB=NETG=90。，

・••点G的在射线TG上运动，

・••当CG_LTG时，CG的值最小,

153

VBC=—,BE=-,CD=AB=6,

22

153

・•・CE=BC-BE=-----=6=CD,

22

答案第16页，共24页

・•・DE=yJcE2+CD2=V62+62=6五，

・・・NCED=NBET=45。，

ZTEJ=90°=ZETG=ZJGT=90°,

・•・四边形ETGJ是矩形，

3

・・・DE〃GT,GJ=TE=BE=一,

2

・・・CJ_LDE,

・・・JE=JD,

・•.CJ=vDE=-X6A/2=3后，

22

3

・・・CG=CJ+GJ=30+—,

2

.••CG的最小值为5+3VL

故答案为：—+3A/2-

【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最

短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题

中的压轴题.

24.(1)甲班55人，乙班48人；(2)A团队10人，B团队150人.

【分析】(1)本题等量关系有：甲班人数x8+乙班人数xl0=920；(甲班人数+乙班人数)x5=515,

据此可列方程组求解；

(2)A团队a人，B团队(160-a)人，根据收费标准进行分类讨论，并列出方程进行解答.

【详解】⑴设甲班有x人，乙班有y人.

8x+10y=920

由题意得:

5(%+y)=515

x—55

解得:

»=48

答：甲班55人，乙班48人;

⑵设A团队a人,B团队(160-。)人,

①当1<0450时，由题意得：100+5(160-0)=950,

解得<2=10,

则160-。=150.

答案第17页，共24页

即A团队10人，B团队150人；

②当51<a<100时，由题意得：8a+10(160-a)=950,

解得a=325,不合题意，舍去.

综上所述，A团队10人，B团队150人.

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用.(1)人数不同，对应的单票价不同，列方程时一

定要注意；

(2)A团队的人数a不确定，所以需分l<a450和51<a4100两种情况讨论.

25.(1)55°

(2)①述；②谨，皿

555

【分析】(1)由平行线的性质求解/8切=70。，再利用三角形的外角的性质可得答案；

(2)①证明ABE/之/C,可得FC=EF=AE=gAF,再利用勾股定理求解即可；②如

图，过A作力"，5。于"，当。在M的右边时，利用勾股定理下。2_4四2=3后，

可得助=4行+3逝=7后，与等面积法可得8月=日也，可得。E=痂匚*收，

AE=AD-DE=542-^-^2=证明△切£也△力。尸，从而可得答案；当。在M的左

边时，如图，同理可得答案.

9

【详解】(1)解：：BE//CF,ZCFA=ZBAC=a=10°f

：.ZBED=10°,

丁ABED=ZABE+/BAE,/ABE=15°,

・•・/氏4£=70。—15。=55。；

(2)①•：BF=BA,AB=AC,

：.BF=AC,

*：BE//CF,ZCFA=ZBAC=a=90°,

：.BE1AF,AE=EF,NABE=ZFBE,ABEF=ZAFC=90°,

ZABE+/BAE=90°=ZBAE+ZCAF,

：./ABE=ZCAF,

ZCAF=ZFBE,

：.小BEF知AFC,

答案第18页，共24页

：.EF=FC,

：.FC=EF=AE=~AF,

2

・・•AB=AC=8,

.9.CF2+（2CF）2=64,

解得：CF=^-（负根舍去）；

5

②如图，过A作于当。在”的右边时,

VABAC=90°,AB=AC=8,

BC=A/82+82=8A/2>AM=MC=AM=4&，

:AD=56，

•*-DM=\IAD2-AM2=372，

5。=4拒+3后=7后，

-BD-AM°。

：.BE=^-——=竺6,

-AD5

2

DE=y/BD2-BE2=—V2,

5

Q1A

：.AE=AD-DE=5y[2——41=-41,

55

由（1）得：ZABE=NCAF,

ifOZAEB=ZAFC=90°,AB=AC,

：.ABAE知ACF,

/.CF=AE=迪

5

当。在M的左边时，如图,

答案第19页，共24页