南省郴州市2024年中考数学模拟试题含解析

南省郴州市2024年中考数学模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，已知数轴上的点A、B表示的实数分别为a,b,那么下列等式成立的是（）

JII

BQA

A.|a+b|=a-bB.|a+b|=-a-b

C.|a+b|=b-aD.|a+b|=a+b

2.已知关于x的一元二次方程3x?+4x-5=0,下列说法正确的是（）

A.方程有两个相等的实数根

B.方程有两个不相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

3.如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（）

4.八边形的内角和为（）

A.180°B.360°C.1080°D.1440°

5.如图，若二次函数y=ax?+bx+c（a#0）图象的对称轴为x=l,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B（-1,0）,

则

①二次函数的最大值为a+b+c；

②a-b+c<0；

@b2-4ac<0；

④当y>0时，-l<x<3,其中正确的个数是（）

D.4

6.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.正五边形B.平行四边形C.矩形D.等边三角形

7.如图是一个正方体的表面展开图，如果对面上所标的两个数互为相反数，那么图中x的值是（）.

A.-3B.3C.2D.8

8.如图，已知4（；,%）,3（3,%）为反比例函数V=l图象上的两点，动点P（x,o）在X轴正半轴上运动，当线段AP与

线段之差达到最大时，点P的坐标是（）

A.(―,0)B.(―,0)C.(―,0)D.(―~,0)

3333

9.下列各式中计算正确的是

22622224

A.(x+y)-=x+yB.(V)=xC.(3x)=6xD.a+a=a

10.如图，AABC是等边三角形，点尸是三角形内的任意一点，PD//AB,PE//BC,尸尸〃AC,若△ABC的周长为

12,则尸。+PE+Pf=()

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

4

11.在平面直角坐标系xOy中，点A、B为反比例函数y=—(x>0)的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均

x

4一

为1，将y=—(x>0)的图象绕原点O顺时针旋转90。，A点的对应点为A，，B点的对应点为BL此时点B，的坐标是

X

12.如图，利用标杆座测量建筑物的高度，已知标杆破高1.2心,测得A3=l.6m,BC=12.4加，则建筑物CD的高是

13.计算罕的结果等于

14.如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上，则NOAB的正弦值是

15.如图是由几个相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体至少为

16.已知a2+a=L则代数式3-a-a?的值为.

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)为了了解初一年级学生每学期参加综合实践活动的情况，某区教育行政部门随机抽样调查了部分初一学生

一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题:

(I)本次随机抽样调查的学生人数为,图①中的m的值为；

(II)求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；

(III)若该区初一年级共有学生2500人，请估计该区初一年级这个学期参加综合实践活动的天数大于4天的学生人

数.

18.(8分)如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后,

将剩下的三块拼成新的矩形.用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；m=7,n=4,求拼成矩形的面积.

19.(8分)随着高铁的建设，春运期间动车组发送旅客量越来越大，相关部门为了进一步了解春运期间动车组发送

旅客量的变化情况，针对2014年至2018年春运期间的铁路发送旅客量情况进行了调查，过程如下.

(I)收集、整理数据

请将表格补充完整：

年份20142015201620172018

动车组发送旅客hta亿人次0.87L141.461.802.17

铁路发送旅客总收b亿人次2.522.763.073.423.82

动车组发送旅客量占比gx10034.5%41.3%47.6%52.6%

h

(II)描述数据

为了更直观地显示动车组发送旅客量占比的变化趋势，需要用什么图(回答“折线图”或“扇形图”)进行描述;

(in)分析数据、做出推测

预估2019年春运期间动车组发送旅客量占比约为多少，说明你的预估理由.

20.(8分)如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-x+1与抛物线y=ax2+bx+c(a/0)相交于点A(1,0)和点D(-

4,5),并与y轴交于点C,抛物线的对称轴为直线x=-l,且抛物线与x轴交于另一点B.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若点E是直线下方抛物线上的一个动点，求出AACE面积的最大值；

(3)如图2,若点M是直线x=-l的一点，点N在抛物线上，以点A,D,M,N为顶点的四边形能否成为平行四边

形？若能，请直接写出点M的坐标；若不能，请说明理由.

21.(8分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数丫=(x-a)(x-3)(0<a<3)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B

的左侧)，与y轴交于点D,过其顶点C作直线CPLx轴，垂足为点P,连接AD、BC.

(2)若△AOD与4BPC相似，求a的值；

(3)点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.

22.(10分)如图，矩形ABC。中，AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点8落在点E处，AE交于

点F,连接。E,求证：ZDAE=ZECD.

23.（12分）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图，当在点A处放置标杆时，李明测得

直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立

标杆高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.2m,已知标杆直立时的高为1.8m,求路灯的高CD的长.

24.每年4月23日是世界读书日，某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取20名学生，对每人每周用于课外阅读的

平均时间（单位：机加）进行调查，过程如下：

收集数据:

306081504011013014690100

60811201407081102010081

整理数据:

课外阅读平均时间X

0<x<4040士V8080<x<120120qV160

（min）

等级DCBA

人数3a8b

分析数据:

平均数中位数众数

80mn

请根据以上提供的信息，解答下列问题;

(1)空：u—9%=__；m—,n—；

(2)已知该校学生500人，若每人每周用于课外阅读的平均时间不少于80碗”为达标，请估计达标的学生数；

(3)设阅读一本课外书的平均时间为260而加，请选择适当的统计量，估计该校学生每人一年(按52周计)平均阅读

多少本课外书？

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解析】

根据图示，可得：b<0<a,|b|>|a|,据此判断即可.

【详解】

,.<b<0<a,|b|>|a|,

/.a+b<0,

/.|a+b|=-a-b.

故选B.

【点睛】

此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握.

2、B

【解析】

试题分析：先求出A=42-4x3x(-5)=76>0,即可判定方程有两个不相等的实数根.故答案选B.

考点：一元二次方程根的判别式.

3、B

【解析】

分析：由平面图形的折叠以及正方体的展开图解题，罪域正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形.

详解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”.

故选B.

点睛：本题考查了正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手分析及解答问题.

4、C

【解析】

试题分析：根据n边形的内角和公式(n-2)xl80«可得八边形的内角和为(8-2)xl80«=1080«,故答案选C.

考点：n边形的内角和公式.

5、B

【解析】

分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案.

详解：①,二次函数y=ax?+bx+c(a/0)图象的对称轴为x=l,且开口向下，

.♦.x=l时，y=a+b+c,即二次函数的最大值为a+b+c,故①正确；

②当x=-1时，a-b+c=O,故②错误；

③图象与x轴有2个交点，故b2-4ac>0,故③错误；

④•.•图象的对称轴为x=L与x轴交于点A、点B(-1,0),

AA(3,0),

故当y>0时，-1VXV3,故④正确.

故选B.

点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键.

6、C

【解析】

分析：根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解.

详解：A.正五边形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.

B.平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误.

C.矩形，既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确.

D.等边三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.

故选C.

点睛：本题考查了对中心对称图形和轴对称图形的判断，我们要熟练掌握一些常见图形属于哪一类图形，这样在实际

解题时，可以加快解题速度，也可以提高正确率.

7、D

【解析】

根据正方体平面展开图的特征得出每个相对面,再由相对面上的两个数互为相反数可得出x的值.

【详解】

解:“3”与“-3”相对,“y”与“-2”相对,“x”与“-8”相对,故x=8,故选D.

【点睛】

本题主要考查了正方体相对面上的文字，解决本题的关键是要熟练掌握正方体展开图的特征.

8、D

【解析】

求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b,把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关

系定理得出在△ABP中，|AP-BP|VAB,延长AB交x轴于P。当P在P，点时，PA-PB=AB,此时线段AP与线段BP

之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可.

【详解】

把5(3,%)代入反比例函数>=工，得：%=3,y2=l,

3X3

3),B(3,i),

在AABP中，由三角形的三边关系定理得：

,延长AB交X轴于尸，当P在尸点时，PA-PB=AB,

即此时线段AP与线段BP之差达到最大,

设直线的解析式是y=履+匕，

-=3k+b

3

把A,3的坐标代入得:

3=-k+b

3

解得：k=-l,b=y,

1-2x>15,直线AB的解析式是y=-x+£,

当y=0时，x=—,即P(¥，0),

故选D.

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题

目比较好，但有一定的难度.

9、B

【解析】

根据完全平方公式对A进行判断；根据塞的乘方与积的乘方对B、C进行判断；根据合并同类项对D进行判断.

【详解】

A.(x+y)~=无?+2孙+y2,故错误.

B.卜3丫=/,正确.

C.(3x)2=9/,故错误.

D.a1+a1=2a2,故错误.

故选B.

【点睛】

考查完全平方公式，合并同类项，塞的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键.

10、C

【解析】

过点P作平行四边形PGBD,EPHC,进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可.

【详解】

延长EP、FP分另!|交AB、BC于G、H,

A

则由PD〃AB,PE〃BC,PF//AC,可得，

四边形PGBD,EPHC是平行四边形，

；.PG=BD,PE=HC,

又XABC是等边三角形，

又有PF〃AC,PD〃AB可得APFG,△PDH是等边三角形,

；.PF=PG=BD,PD=DH,

又AABC的周长为12,

1

.\PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=-xl2=4,

3

故选C.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，等边三角形的性质：等边三角形的三个内角

都相等，且都等于60。.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、(1,-4)

【解析】

利用旋转的性质即可解决问题.

【详解】

如图，

由题意A(1,4),B(4,1),A根据旋转的性质可知，(4,-1),B'(1,-4)；

所以，Bf(1,-4)；

故答案为(1,-4).

【点睛】

本题考查反比例函数的旋转变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

12、10.5

【解析】

先证再利用相似的性质即可求出答案.

【详解】

解：由题可知，BELAC,DCVAC

,：BEHDC,

:.△AEBs^ADC,

.BEAB

••=9

CDAC

1.2_1.6

即:

CD1.6+12.4

/.CZ>=10.5(m).

故答案为10.5.

【点睛】

本题考查了相似的判定和性质.利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键.

13、叵

5

【解析】

分析：直接利用二次根式的性质进行化简即可.

浮硒A/3_V3x^5_y]15

Vrffir:-产7=7==------•

V5V5xV55

故答案为巫.

5

点睛：本题主要考查了分母有理化，正确掌握二次根式的性质是解题的关键.

14、.

5

【解析】

如图，过点O作OCLAB的延长线于点C,

贝！JAC=4,OC=2,

在RtAACO中，AO=7AC2+OC2=V42+22=2非，

,OC2后

..sinZOAB=----=一方=—.

OA2后5

故答案为好.

5

15、8

【解析】

主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形.

【详解】

由俯视图可知：底层最少有5个小立方体，

由主视图可知：第二层最少有2个小立方体，第三层最少有1个小正方体，

.••搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5+2+1=8(个).

故答案为：8

【点睛】

考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子,

然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数.

16、2

【解析】

・•2i

•Cl+Q=1，

-'-3—a—a2—3—(a2+a)=3—1=2,

故答案为2.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(I)150、14；(II)众数为3天、中位数为4天，平均数为3.5天；(III)700人

【解析】

(I)根据1天的人数及其百分比可得总人数，总人数减去其它天数的人数即可得m的值；

(II)根据众数、中位数和平均数的定义计算可得；

(III)用总人数乘以样本中5天、6天的百分比之和可得.

【详解】

解：(I)本次随机抽样调查的学生人数为18+12%=150人，m=100-(12+10+18+22+24)=14,

故答案为150、14；

4+4

(II)众数为3天、中位数为第75、76个数据的平均数，即平均数为——=4天，

2

1x18+2x21+36x3+33x4+27x5+15x6丁

平均数为-------------------------------------=3.5天;

150

(III)估计该区初一年级这个学期参加综合实践活动的天数大于4天的学生有2500x(18%+10%)=700人.

【点睛】

此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键.

18、(1)矩形的周长为4m；(2)矩形的面积为1.

【解析】

(1)根据题意和矩形的周长公式列出代数式解答即可.

(2)根据题意列出矩形的面积，然后把m=7,n=4代入进行计算即可求得.

【详解】

(1)矩形的长为：m-n,

矩形的宽为：m+n,

矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m；

(2)矩形的面积为S=(m+n)(m-n)=m2-n2,

当m=7,n=4时，S=72-42=l.

【点睛】

本题考查了矩形的周长与面积、列代数式问题、平方差公式等，解题的关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答.

19、(I)见表格；(II)折线图；(III)60%、之前每年增加的百分比依次为7%、6%、5%、4%,据此预测2019年

增加的百分比接近3%.

【解析】

(I)根据百分比的意义解答可得；(II)根据折线图和扇形图的特点选择即可得；(HI)根据之前每年增加的百分比

依次为7%、6%、5%、4%,据此预测2019年增加的百分比接近3%.

【详解】

(I)

年份20142015201620172018

动车组发送旅客量a亿人次0.871.141.461.802.17

铁路发送旅客总量b亿人次2.522.763.073.423.82

动车组发送旅客量占比100%34.5%41.3%47.6%52.6%56.8%

b

(II)为了更直观地显示动车组发送旅客量占比的变化趋势，需要用折线图进行描述，

故答案为折线图；

(III)预估2019年春运期间动车组发送旅客量占比约为60%,

预估理由是之前每年增加的百分比依次为7%、6%、5%、4%,据此预测2019年增加的百分比接近3%.

【点睛】

本题考查了统计图的选择，根据统计图的特点正确选择统计图是解题的关键.

20、(1)y=x2+2x-3；(2)—；(3)详见解析.

8

【解析】

试题分析：(1)先利用抛物线的对称性确定出点B的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),将点D的坐

标代入求得a的值即可；

(2)过点E作EF〃y轴，交AD与点F,过点C作CHLEF,垂足为H.设点E(m,m2+2m-3),则F(m,-m+1),

贝!)EF=-m2-3m+4,然后依据△ACE的面积=△EFA的面积-AEFC的面积列出三角形的面积与m的函数关系式，然后

利用二次函数的性质求得AACE的最大值即可;

(3)当AD为平行四边形的对角线时.设点M的坐标为(-1,a),点N的坐标为(x,y),利用平行四边形对角线互

相平分的性质可求得x的值，然后将x=-2代入求得对应的y值，然后依据上士幺=二，可求得a的值；当AD为

22

平行四边形的边时.设点M的坐标为(-1,a).则点N的坐标为(-6,a+5)或(4,a-5),将点N的坐标代入抛物线

的解析式可求得a的值.

试题解析：(1)；.A(1,0),抛物线的对称轴为直线x=-1,

0),

设抛物线的表达式为y=a(x+3)(x—1),

将点D(—4,5)代入，得5a=5,解得a=l,

二抛物线的表达式为y=x2+2x-3；

⑵过点E作EF〃y轴，交AD与点F,交x轴于点G,过点C作CHLEF,垂足为H.

设点E(m,m2+2m—3),则F(m,—m+1).

.\EF=—m+1—m2—2m+3=—m2—3m+4.

.1111,37,25

•.SAACE=SAEFA-SAEFC=-EF'AG-----EF,HC——EF'OA-------(mH)2H-------

222228

25

/.△ACE的面积的最大值为：；

(3)当AD为平行四边形的对角线时：

设点M的坐标为(一1,a),点N的坐标为(x,y).

平行四边形的对角线互相平分，

.—1+x1+(—4)y+a0+5

••-------，—，

2222

解得x=—2,y=5—a,

将点N的坐标代入抛物线的表达式，得5—a=-3,

解得a=8,

.•.点M的坐标为(一1,8),

当AD为平行四边形的边时：

设点M的坐标为(一1,a),则点N的坐标为(一6,a+5)或(4,a—5),

.,.将x=-6,y=a+5代入抛物线的表达式，得a+5=36—12—3,解得a=16,

16),

将x=4,y=a—5代入抛物线的表达式，得a—5=16+8—3,解得a=26,

26),

综上所述，当点M的坐标为(一1,26)或(一1,16)或(一1,8)时，以点A,D,M,N为顶点的四边形能成为平行四边

形.

7

21、(1)(1)A(a,0),B(3,0),D(0,3a).(2)a的值为(3)当@=6时，D、O、C、B四点共圆.

【解析】

【分析】(1)根据二次函数的图象与x轴相交，则y=0,得出A(a,0),B(3,0),与y轴相交，则x=0,得出D(0,

3a).

(2)根据(1)中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴x=5,AO=a,OD=3a,代入求得顶点C(—,-f—),

22\2

ri/=。+33~u

从而得PB=3-^―=——；再分情况讨论：①当△AODS/\BPC时，根据相似三角形性质得

22

解得：a=-3(舍去);

a3a

------------=--------7

②△AODsaCPB,根据相似三角形性质得「3—a丫3-«,解得：(舍)，a=-

3。ai=323;

33

(3)能；连接BD,取BD中点M,根据已知得D、B、O在以BD为直径，M-a)为圆心的圆上，若点C

22

也在此圆上，则MC=MB,根据两点间的距离公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案.

【详解】(1)Vy=(x-a)(x-3)(0<a<3)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),

AA(a,0),B(3,0),

当x=0时，y=3a,

AD(0,3a)；

(2)VA(a,0),B(3,0),D(0,3a)..•.对称轴AO=a,OD=3a,

,a+3,

当*=r-时,

2

a+33—ci

/.PB=3--------

2

①当△AOD^ABPC时,

.AOOP

••=,

BPPC

a_3a

即3~a~(3-a^,

23

解得：a=-3（舍去）；

©△AOD^ACPB,

.AOOP

••二,

CPPB

a_3a

即（3_吟2—。-«