历年高考数学（理）知识清单 直线与圆（原卷+解析版）

专练

1.已知直线/：y=k&+不)和圆C：x2+(y-D2=l,若直线/与圆C相切，则左=()

A.0B.j-

C.5或0D.4或0

2.圆：7+歹―2x—2y+1=0上的点到直线x—y=2距离的最大值是()

A.1+■B.2

C.1+,D.2+2点

3,直线/：>=%尤+1与圆。：/+y=1相交于A,8两点，则％=1”是“|A8|=5"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若三条直线/i：4x+y=3,/?：mx+y=0,h：尤一my=2不能围成三角形，则实数的取值最多有()

A.2个B.3个

C.4个D.6个

5.当。为任意实数时，直线(a—l)x—y+“+l=0恒过定点C,则以C为圆心，J5为半径的圆的方程为()

A.N+俨—2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0

C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2~2x~4y=0

6.与直线尤+>一2=0和曲线/+>2-12尤-12>+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是()

A.(x+2)2+(y-2)2=2

B.(x—2)2+(y+2)2=2

C.(x+2)?+(y+2)2=2

D.(x-2)2+(y-2)2=2

7.已知圆C关于x轴对称，经过点(0,1),且被y轴分成两段弧，弧长之比为2：1,则圆的方程为()

A.小用.B.x2+Zl=；

cWi+/=|D.E±W]+y

8.设圆x2+y2—2x-2厂2=0的圆心为C,直线/过(0,3)且与圆C交于A,8两点，若|阴=2正，则直线/

的方程为()

1

A.3元+4y—12=0或4尤—3y+9=0

B.3x+4y—12=0或x=0

C.4x-3y+9=0或x=0

D.3x—4y+12=0或4x+3y+9=0

9.关于曲线C：/+俨=1,给出下列四个命题：

①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；

②曲线C上的点到原点距离的最小值为1；

③曲线C的长度/满足/>4注；

④曲线C所围成图形的面积S满足兀<S<4.

上述命题中，真命题的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

10.已知直线/：x+ay-1=0（a©R）是圆C：彳2+俨一以一2》+1=0的对称轴.过点4（-4,0）作圆C的一

条切线，切点为B,则|AB|=（）

A.2B.4-J2

C.6D.2J7o

11.两个圆G:1+y2+2ax+02-4=0（。GR）与C2：I+y2-2外一l+4=03CR）恰有三条公切线,则。+

b的最小值为（）

A.3sB.-3y

C.6D.16

12.若圆（x—3）2+（j+5）2=声上有且只有两个点到直线4x-3y—2=0的距离等于1,则半径r的取值范围是

（）

A.（4,6）B.[4,6]

C.（4,5）D.（4,5]

13.若直线x—y+机=。被圆G—l）2+y2=5截得的弦长为2二，则根的值为（）

A.1B.-3

C.1或一3D.2

14.已知过点（一2,0）的直线与圆C：一+产一4》=0相切于点尸（尸在第一象限内），则过点尸且与直线•麻

=0垂直的直线I的方程为（）

A.x+.Jjy—2=0Bx+-«y—4=0

2

C.Jjx+y—2=0Dx+Jjy—6=0

15.圆元?+y2—2云—8y+13=0的圆心到直线ax+y—1=0的距离为1,贝l]a=()

A.--B.--

:4

C.JiD.2

16.已知圆(x—2)2+(y+l)2=16的一条直径通过直线x—2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直

线方程为()

A.3x+y—5=0B.x-2y=0

C.x~2y+4=0D.2x+y~3=0

17.圆心在曲线y==(%>0)上，与直线2x+y+l=0相切，且面积最小的圆的方程为()

x

A.(%—2)2+。一1/=25

B.(l2尸+0—1)2=5

C.(%—1产+(y—2尸=25

D.(x—l)2+(y—2>=5

18.已知圆。：N+,2=4上到直线/：的距离等于1的点至少有2个，则。的取值范围为()

A.(-3止，35)

B.(-00,-3g)U(3S，+oo)

5(-252加

D.L3.«,3日

lx+y<4,

19.已知点尸的坐标(x,y)满足卜女，过点尸的直线/与圆C：好+'2=14相交于A,5两点，则|A引的最

L>i,

小值是()

A.2-&B.4C.&D.2

20.过原点且与直线而一.«y+1=0平行的直线/被圆好+9一丁铲=7所截得的弦长为

21.已知人尤)=如+℃—26,如果人幻的图象在切点P(1,-2)处的切线与圆(x—2)2+(y+4)2=5相切，那么

3a+26=.

22.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为

几何问题加以解决，如：J(x—a)2+(y—b)2可以转化为平面上点加(羽y)与点、N(a,。)的距离.结合上

述观点，可得/G)=皿「4x43|+4：」入+的最小值为--------.

3

23.已知圆C的方程是x2+y2-8x-2y+8=0,直线y=a(无-3)被圆C截得的弦最短时，直线方程为.

24.已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0,点A(3,5).

(1)求过点A的圆的切线方程；

(2)。点是坐标原点，连接。A,OC,求AAOC的面积S.

25.在平面直角坐标系xOy中，圆C：尤2+,2+4X—2y+m=0与直线x—二一2=0相切.

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C上有两点N关于直线x+2y=0对称，且|加可=25，求直线的方程.

26.已知直线/：4x+3y+10=0,半径为2的圆C与/相切，圆心C在x轴上且在直线/的右上方.

(1)求圆C的方程；

(2)过点M(l,0)的直线与圆C交于A,8两点(A在无轴上方)，问在尤轴正半轴上是否存在定点N,使得x

轴平分NANB?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

4

高考押题专练

1.已知直线/：y=网尤+、「）和圆C：彳2+。—1）2=1,若直线/与圆C相切，则k=（）

A.0B.j-

C.5或0D.H或0

【答案】D

I-1+5用

【解析】因为直线/与圆C相切，所以圆心C（O,1）到直线/的距离d==1,解得左=。或k=6,

故选D.

2.圆：N+y2-2x—'2y+l=0上的点到直线x—y=2距离的最大值是（）

A.1+遂B.2

C.1+也D.2+2«

【答案】A

【解析】将圆的方程化为（尤一l）2+（y—1）2=1,即圆心坐标为（1,1）,半径为1,则圆心到直线x—y=2的距离

d=L户=5,故圆上的点到直线x—y=2距离的最大值为d+1=5+1.

M2

3,直线/：>=标+1与圆。：尤2+y=1相交于A,B两点，则'％=1”是“依8|=5''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】依题意，注意至uiA8iX70||»切"’等价于圆心。到直线/的距离等于*,即有•J=山，

右±1.因此，％=1”是“四|=4”的充分不必要条件.

4.若三条直线/i：4x+y=3,，2：mx+y=^,h：x—my=2不能围成三角形，则实数机的取值最多有（）

A.2个B.3个

C.4个D.6个

【答案】C

【解析】三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.若则加=4；

若11〃h,则加=一L若/2〃/3,则加的值不存在；若三条直线相交于同一点，则根=1或一；故实数机的

41

取值最多有4个，故选C.

5.当。为任意实数时，直线3—1）九一丁+。+1=0恒过定点C,则以C为圆心，U5为半径的圆的方程为（）

5

A.N+y2—2尤+4y=oB.x2+y2+2x+4y=0

C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2~2x~4y^0

【答案】C

【解析】由(a—l)x—y+a+1=0得(x+l)a—(x+y—1)=0,由x+1=0且x+y—1=0,解得x=—1,y=2,

即该直线恒过点(一1,2),••.所求圆的方程为(x+l)2+(y—2>=5,即x2+y2+2x—4y=0.

6.与直线尤+>一2=0和曲线尤2+“一12尤-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是()

A.(x+2产+(y—2户=2

B.(x-2)2+(y+2)2=2

C.(x+2)2+(y+2)2=2

D.(x—2)2+(j—2户=2

【答案】D

【解析】由题意知，曲线方程为(x—6)2+(y—6)2=(3g)2,过圆心(6,6)作直线尤+y—2=0的垂线，垂线方程

为〉=x,则所求的最小圆的圆心必在直线y=x上，又圆心(6,6)到直线兀+>—2=0的距离d」"=56,

故最小圆的半径为独二必=-上，圆心坐标为(2,2),所以标准方程为(x—2/+(y—2尸=2.

7.已知圆C关于x轴对称，经过点(0,1),且被y轴分成两段弧，弧长之比为2：1,则圆的方程为()

【答案】C

【解析】设圆的方程为(x±a)2+y2=r2(°>0),圆C与y轴交于4(0,1),8(0,-1),由弧长之比为2：1,易知

ZOCA=1ZACB=1X120°=60°,则tan60。=1=[,所以]二。伫一一‘，即圆心坐标为1一3'L

22\OC\\OC\3

r2=|AC|2=l2+l±3I2=4所以圆的方程为口士3^+y2=4,故选C.

33

6

8.设圆x2+y2-2x-2y—2=0的圆心为C,直线/过（0,3）且与圆C交于A,8两点，若以8|=25，则直线/

的方程为（）

A.3尤+4厂12=0或4x—3y+9=0

B.3x+4y—12=0或x=0

C.4x—3y+9=0或x=0

D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0

【答案】B

【解析】由题可知，圆心C（l,l）,半径r=2.当直线/的斜率不存在时，直线方程为x=0,计算出弦长为汕，

符合题意；当直线/的斜率存在时，可设直线/的方程为y=^+3,由弦长为可知，圆心到该直线的距

离为1,从而有,解得左=—；,所以直线/的方程为y=—；x+3,即3x+4y—12=0.综上，直线

/的方程为x=0或3x+4y-12=0,故选B.

9.关于曲线Cx2+/=l,给出下列四个命题：

①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；

②曲线C上的点到原点距离的最小值为1；

③曲线C的长度/满足/>4/；

④曲线C所围成图形的面积S满足兀<S<4.

上述命题中，真命题的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】①将（x,—y）,（一尤，y）,（―x,一丫）代入，方程不变，则可以确定曲线关于x轴，y轴对称，关于

原点对称，故①是真命题.

②由/+产=1得0夕2W1,0斗七1,故x2+y22x2+y2.y2=/+俨=1,即曲线C上的点到原点的距离为寸「不诵1,

故②是真命题.

③由②知，X2+/=l的图象位于单位圆/+y2=l和边长为2的正方形之间，如图所示，其每一段弧长均大

7

于正,所以/>4正，故③是真命题.

④由③知，JTX12<S<2X2,即7t<S<4,故④是真命题.综上，真命题的个数为4.

10.已知直线/：x+ay~\=0(。GR)是圆C：x2+y2-4x~2y+1=0的对称轴.过点A(—4,a)作圆C的一

条切线，切点为B,贝U|A8|=()

A.2B.

C.6D.2J7u

【答案】C

【解析】由于直线x+ay—1=0是圆C：9+俨一4x—2y+l=0的对称轴，二圆心C(2,1)在直线x+ay—1=

0±,...Z+a—l=0,解得。=一1,，4(一4,一1),|AC|2=(—4—2)2+(—1—1)2=40.又r=2,.,.|AB|2=40

-4=36,即|A8|=6.

11.两个圆。：/+产+2依+02—4=0(aGR)与C2：尤?+y2—2勿—1+〃=OSGR)恰有三条公切线，则。+

b的最小值为()

A.3sB.-3正

C.6D.-6

【答案】B

【解析】两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆Ci：。+。)2+川=4,圆C2：N+(y-

力2=1,所以G(—q0),C2(0,V),|C1C2|=2+1=3,即。2+岳=9.由rr」空芋，得(。+历次is

所以-3\〃%+后3\6,当且仅当“a=6”时等号成立所以a+6的最小值为一3产

12.若圆(元一3)2+(y+5)2=W上有且只有两个点到直线4x—3y—2=0的距离等于1,则半径〃的取值范围是

()

A.(4,6)B.[4,6]

C.(4,5)D.(4,5]

【答案】A

【解析】设直线4x~3y+m=0与直线4%—3y—2=0之间的距离为1,则有‘3=1,m=3或机=-7.圆

8

心（3,—5）到直线4x-3y+3=0的距离等于6,圆心（3,一5）到直线4x~3y-7=0的距离等于4,因此所求

圆半径的取值范围是（4,6）,故选A.

13.若直线无一y+机=0被圆（无一1）2+y=5截得的弦长为人八，则机的值为（）

A.1B.~3

C.1或一3D.2

【解析】因为圆（X—1）2+尸=5的圆心C（l,0）,半径厂=水.又直线x—y+机=o被圆截得的弦长为2.#.

所以圆心C到直线的距离d=\J,-f也…=小,

因此厂°+利=出,

VP4-<—I）2

所以加=1或机=一3.

【答案】C

14.已知过点（一2,0）的直线与圆CN+尸一4x=0相切于点尸（尸在第一象限内），则过点P且与直线-麻

=0垂直的直线/的方程为（）

A2=0B4=0

CJp：+y—2=0Dx+Jiy—6=0

【解析】圆C：x2+y2~4x=0的标准方程（x—2）2+y2=4,

所以圆心C（2,0）,半径r=2.

又过点（一2,0）的直线与圆C相切于第一象限，

所以易知倾斜角8=30°,切点尸（1,瓜），

设直线I的方程为x.+—«y+c=0,把点

尸（1,丁）代入，

所以l+3+c=0,所以c=-4..

所以直线I的方程为4=0.

【答案】B

15.圆工2+俨一2%—8y+13=0的圆心到直线以+〉一1=0的距离为1,贝1」。=（）

A.--B.--

C.J1D.2

【答案】A

【解析】因为圆N+y—2%一8y+13=0的圆心坐标为（1,4）,所以圆心到直线ax+y—1=0的距离d二

9

|a+4-1|1g出4

一)-----二1，角牛得a

\Ja2+l3

16.已知圆(无一2/+3+1)2=16的一条直径通过直线x—2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直

线方程为()

A.3x+y—5=0B.x—2y=0

C.x—2y+4=0D.2x~\~y—3=0

【答案】D

【解析】直线X—2y+3=0的斜率为:，己知圆的圆心坐标为(2,-1),该直径所在直线的斜率为一2,所以

该直径所在的直线方程为y+1=-2。-2),即2x+y-3=0,故选D.

17.圆心在曲线y=?(x>0)上，与直线2x+y+l=0相切，且面积最小的圆的方程为()

x

A.(x—2)2+(y—1/=25

B.U-2)2+(y-l)2=5

C.(l1产+(厂2)2=25

D.(x—l)2+(j—2尸=5

【答案】D

212〃+2+12\;+1.

【解析】设圆心坐标为则半任「=————>_V—«—=#,当且仅当2.=J即。=1

时取等号.所以当°=1时圆的半径最小，此时C(1,2),所以面积最小的圆的方程为(x—1)2+0-

2尸=5.

18.已知圆O：/+俨=4上到直线/：x+y=a的距离等于］的点至少有2个，则。的取值范围为()

A.(-3近,3而)

B(-oo,-3回(3日+00)

C.(-2瓜25)

D.L3«,3日

【答案】A

【解析】由圆的方程可知圆心为。(0,0),半径为2,因为圆上的点到直线/的距离等于1的点至少有2个，

所以圆心到直线/的距离火2+1=3,即=亨<3,解得aG(—3w，3®故选A.

10

|x+y<4,

19.已知点P的坐标(x,y)满足亚x,过点尸的直线/与圆C/+>2=14相交于A,B两点、,则|明的最

L>i,

小值是()

A.24B.4C.&D.2

【答案】B

【解析】根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点尸到圆心的距离为d,则求最短弦长，等价

于求到圆心的距离最大的点，即为图中的尸点，其坐标为(1,3),则此时1483=2,1j_不I

=4,故选B.

20.过原点且与直线而一、,母+1=0平行的直线/被圆N+(y—Jp=7所截得的弦长为

【解析】由题意可得/的方程为正工一y=0,I•圆心(0,宙)到/的距离为d=l,•••所求弦长=2、"二］=2乒^

【答案】2及

21.已知/(x)=x3+ax-2b,如果八x)的图象在切点尸(1,-2)处的切线与圆(x—2)2+(y+4)2=5相切，那么

3a~\-2b=.

【解析】由题意得八1)=-2=>1—2b=-3,又・・・1(九)=312+a,・・・汽工)的图象在点尸(1,

-2)处的切线方程为y+2=(3+a)(x—1),即(3+a)x—y—a—5=0,/.=\l5^ci=-

V(>+«>立+P

二。」，.•.3a+2b=—7.

4

【答案】-7

22.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休事实上，有很多代数问题可以转化为

几何问题加以解决，如：J(X—a)2+(y—b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,力的距离.结合上

述观点，可得占+的最小值为---------

/(x)=11T+20+G+2r+in

【解析】母)=*+&44a+0+2x+K>=UG*»4S-多2+lki+l),+m-助？式X)的

几何意义为点M(x,0)到两定点A(—2,4)与8(—1,3)的距离之和，设点4(—2,4)关于无轴的对称点为4,

则4为(-2,-4).要求/(X)的最小值，可转化为+的最小值，利用对称思想可知|M4|+闫

11

=J(*143)*+(>+4>>=5&即夫x)=Um+4x+2o+A/i»+2x+g的最小值为5近.

【答案】5,/；

23.已知圆C的方程是N+y一以―2y+8=0,直线y=。(尤一3)被圆C截得的弦最短时，直线方程为

【解析】圆C的标准方程为(x—4)2+(y—l)2=9,

所以圆C的圆心C(4,1),半径r=3.

又直线y=a(x—3)过定点尸(3,0),

则当直线y=a(x—3)与直线C尸垂直时，被圆C截得的弦长最短.

]-0

因此a,kep=a,=-1,所以a=-1.

4-3

故所求直线的方程为y=—(无一3),即x+y—3=0.

【答案】x+y-3=0

24.已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0,点A(3,5).

(1)求过点A的圆的切线方程；

(2)。点是坐标原点，连接。A,OC,求AAOC的面积S.

【解析】(1)由圆C：x2+/-4x-6y+12=0,配方，

得(X—2)2+0—3)2=1,圆心C(2,3).

当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为

y—5=k(x-3),

即kx—y+5—3Jc=0.

由寒1巡=1,得T

$+1*

又斜率不存在时直线X=3也与圆相切，

故所求切线方程为x=3或3x-4y+ll=0.

⑵直线04的方程为y=；x,即5x-3y=0,

点C到直线OA的距离为

aJ5X2—3x3|_1