八年级初二数学 勾股定理复习题及答案

一、选择题

1.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm,在容器内壁离容器

底部3cm的点8处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm的

点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm,则该圆柱底面周长为（）

A.20cmB.18cmC.25cmD.40cm

2./^^(:的三边分别为。,。,。，下列条件能推出AABC是直角三角形的有()

-c2=b2;®(a-b)(a+b)+c2=0®ZA=ZB_ZC；@ZA:ZB:ZC=

1：2：3；©tz=-,Z?=i,c=-；@a=10,匕=24,c=26

345

A.2个B.3个C.4个D.5个

ZADC=45°,AD=1,CO=3,则BD的长为（）

C.2"D.4

4.如图所示，在Rt2MBe中，AB=4,==90。.分别以4GBC,4B为直径作

半圆（以4c为直径的半圆恰好经过点色则图中阴影部分的面积是（）

A.4B.5C.7D.6

5.如果直角三角形的三条边为3、4、a,则a的取值可以有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.如图,A、B两点在直线I的两侧，点A到直线I的距离AC=4,点B到直线I的距离BD=2,且

CD=6,P为直线CD上的动点，则|Z4-P目的最大值是（）

T______/t

B

A.6显B.2虎C.2MD.6

7.如图，在数轴上点A所表示的数为。，则。的值为()

A.-1-75B.1-75c.-75D.—1+6

8.已知直角三角形的两条边长分别是3和5,那么这个三角形的第三条边的长()

A.4B.16C.734D.4或宿

9.勾股定理是"人类最伟大的十个科学发现之一我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽

在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北

京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是"赵爽弦图”的是()

节@&g

10.由下列条件不能判定AABC为直角三角形的是()

A.ZA+ZB=ZCB.ZA：ZB：ZC=1：3：2

C.a=2,b=3,c=4D.(b+c)(b-c)=a2

二、填空题

11.如图，在用卜ABC中,ZACB=90°,AC=4,BC=2,以AB为边向外作等腰

直角三角形曲，则CD的长可以是.

12.已知，如图：在平面直角坐标系中，。为坐标原点，四边形OA8C是矩形，点4C的

坐标分别为A(IO,0)、C(0,4),点。是。4的中点，点P在BC边上运动，当AODP

是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为.

13.如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的下底面A

点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，需要爬行的最短路程是

（口的值取3）.

14.在△ABC中，若/+/=25,/—/=7,。=5,则最长边上的高为

15.如图，在四边形ABCD中，AC平分/BAD,BC=CD=10,AC=17,AD=9,贝UAB=

16.如图，正方体的底面边长分别为2cm和3cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过四

个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm.

17.如图，在矩形ABCD中，AD>AB,将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为

-MN~

MN,连接CN.若ACDN的面积与△CMN的面积比为1：3,则——的值为

BM-

18.如图，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,BD是高，则点BD的长为

19.如图，把平面内一条数轴x绕点0逆时针旋转角9（0°<8<90°）得到另一条数轴

y,x轴和y轴构成一个平面斜坐标系.规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点

P作y轴的平行线交x轴于点A,过点P作x轴的平行线交y轴于点B,若点A在x轴上对

应的实数为a,点B在y轴上对应的实数为b,则称有序实数对（a,b）为点P的斜坐

标.在平面斜坐标系中，若6=45°,点P的斜坐标为（1,2拒），点G的斜坐标为

（7,-272），连接PG,则线段PG的长度是.

20.已知，在4ABC中,BC=3,NA=22.5。,将4ABC翻折使得点B与点A重合，折痕与边AC交于

点P,如果AP=4,那么AC的长为

三、解答题

21.如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米.

（1）此时梯子顶端离地面多少米？

（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？

22.如图1,在等腰直角三角形八ABC中，动点。在直线AB（点A与点B重合除外）上

时，以CD为一腰在CD上方作等腰直角三角形上成刀，且NECD=90°,连接AE.

（1）判断AE与B。的数量关系和位置关系；并说明理由.

（2）如图2,若BD=4,p,Q两点在直线AB上且EP=EQ=5,试求PQ的长.

（3）在第（2）小题的条件下，当点。在线段AB的延长线（或反向延长线）上时，判断

PQ的长是否为定值.分别画出图形，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由.

23.及AABC中，ZCAB=90＞，AC=4,AB=8,M、N分别是边AB和CB上的

动点，在图中画出AN+MN值最小时的图形，并直接写出AN+MN的最小值为

C

24.如图，仙皮）为边长不变的等腰直角三角形，AB=AD,ZBAD=90°,在‘ABD

外取一点£,以A为直角顶点作等腰直角△AEP,其中P在，内部，

NE4P=90°,AE=AP=短,当E、P、D三点共线时，BP=&.

下列结论：

①E、P、D共线时，点3到直线AE的距离为石；

②E、P、D共线时，S/VLDP+SAABP4+；

③SAABD=3+6

④作点4关于的对称点C,在尸绕点4旋转的过程中，PC的最小值为

5+273-72；

⑤绕点A旋转，当点E落在A3上，当点P落在AD上时，取BP上一点N,使得

AN=BN,连接ED,则4V_LED.

其中正确结论的序号是

25.如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形"，这两

条边的比称为"优比"(若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比)，记为底

(1)命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”,是真命题还是假命题？

(2)已知八ABC为优三角形，AB=c,AC=b,BC=a,

①如图1,若NACB=90°,b>a,b-6,求。的值.

②如图2,若cNbNa,求优比上的取值范围.

(3)已知'ABC是优三角形，且/ABC=120。，BC=4,求的面积.

26.我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图".2002年在北京

召开的国际数学家大会(ICM2002)的会标(图2),其图案正是由“弦图"演变而来"弦图”是由4

个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列

问题：

⑴叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)；

⑵证明勾股定理；

⑶若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求(a+8)2的值.

27.定义：在△ABC中，若BC=a,AC—b,AB—c,若a,b,c满足"+。2=炉，则称这个

三角形为“类勾股三角形〃，请根据以上定义解决下列问题：

图2

(1)命题"直角三角形都是类勾股三角形"是命题(填"真"或"假")；

(2)如图1,若等腰三角形ABC是"类勾股三角形"，其中AB=BC,AC>AB,请求NA的

度数；

(3)如图2,在△ABC中，ZB=2ZA,且NONA.

①当/A=32。时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割

线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；

②请证明AABC为"类勾股三角形”.

28.如图，在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，MBC,\ADE,AAFO均为等边

三角形，A在>轴正半轴上，点3(-6,0),点C(6,0),点。在AABC内部，点E在

AABC的外部，AD=36，/DOE=30。，在与A3交于点G,连接。歹，DG,

并说明理由;

(3)直接写出AAOG的周长.

29.已知九组正整数：第一组：3,4,5；第二组：8,6,10；第三组：15,8,17；第四

组：24,10,26；第五组：35,12,37；第六组：48,14,50；…

(1)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71?若存在，请写出这组数；

若不存在，请说明理由；

(2)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使

得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反

例.

30.已知：四边形ABC。是菱形，AB=4,4BC=60。，有一足够大的含60。角的直角三角

尺的60。角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合，两边分别射线CB、OC相交于点E、F,且

ZEAP=60°.

(1)如图1,当点E是线段CB的中点时，请直接判断AAEF的形状是.

(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证：BE=CF；

(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上，且/EAB=15。时，求点F到BC的距离.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【分析】

将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A,根据两点之间线段最短可知A'B的长度即

为最短路径，由勾股定理求出4。即圆柱底面周长的一半，由此即可解题.

【详解】

解：如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，

作A关于E的对称点A',连接45交EG于歹，

则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+防的长，

即+A'B=25cm,

延长6G,过4作A'O_L5G于。，

“AE=AE=3cm,:.BD^BG+DG=BG+AE=15-3+3=15cm,

.•.RtzXA'DB中，由勾股定理得：A'D==V252-157=20cm-

，该圆柱底面周长为：20x2=40cm,

故选D.

【点睛】

本题考查了平面展开一最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计

算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

2.D

解析：D

【分析】

根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.

【详解】

解：°2=匕2,得°2=62+02,符合勾股定理逆定理，则①正确；

•••(。―切(。+力+。2=0,得至1」/+02=/,符合勾股定理逆定理，则②正确；

；NA=NB-NC,得NB=NA+NC,

VZA+ZB+ZC=180°,

/.ZB=90°,故③正确；

VzA：ZB：ZC=1：2：3,ZA+ZB+ZC=180°,

3

/.ZC=180°x-------=90°,故④正确；

1+2+3

V(i)2+(1)V(l)2,则⑤不能构成直角三角形，故⑤错误；

102+242=262.则⑥能构成直角三角形，故⑥正确；

.•.能构成直角三角形的有5个；

故选择：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握用勾股

定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形.

3.B

解析：B

【分析】

过点A作AE_LAD交CD于E,连接BE,利用SAS可证明△BAEgZ\CAD,利用全等的性质

证得NBED=90。，最后根据勾股定理即可求出BD.

【详解】

解：如图，过点A作AELAD交CD于E,连接BE.

VZDAE=90°,ZADE=45",

...NADE=NAED=45°,

.•.AE=AD=1,

...在RWADE中，DE=J]2+]2=1,

VZDAE=ZBAC=90°,

ZDAE+ZEAC=ZBAC+ZEAC,即/CAD=/BAE,

又：AB=AC,

.♦.△BAE丝△CAD(SAS),

；.CD=BE=3,/AEB=/ADC=45°,

；./BED=90°,

.•.在RtZkBED中，BD=4BE?+DE?=*+3)=E,

故选B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅

助线构造出全等三角形是解题的关键.

4.D

解析：D

【解析】

【分析】

先利用勾股定理计算BC的长度，然后阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为

直径的半圆面积+以AC为直径的半圆面积.

【详解】

解：在RtdABC中

\-AB=4,AC=5,

：.BC2=AC2-AB2=52-42=9,

；.BC=3,

阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+「isr以AC为直

11111

径的半圆面积=2乂兀、22+)X7TX1.52+-X3X4--X7TX2.5Z6.故选D.

【点睛】

本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积.

5.C

解析：C

【解析】

【分析】

根据勾股定理求解即可，注意要确认a是直角边还是斜边.

【详解】

解：当a是直角三角形的斜边时,a=J3?+不=5；

当a为直角三角形的直角边时,a=442-32=77-

故选c.

【点睛】

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等

于斜边长的平方是解答此题的关键.

6.C

解析：c

【解析】

试题解析：作点B关于直线/的对称点连接并延长，与直线/的交点即为使得

\PA-P叫取最大值时对应的点P.

B1彳

尸一'

B

此时卜4_P叫=|必-

过点B'作B'E，AC于点E,如图，

B--彳

1厂。二一IE

---f—?

p

四边形B'DCE为矩形，

B'E=CD=6,EC=B'D=BD=2.

：.AE=2.

AB'JAE2+3'^=2M.

|Z4-的最大值为：2加.

故答案为：2M

7.A

解析：A

【分析】

首先根据勾股定理得出圆弧的半径，然后得出点A的坐标.

【详解】

解：＞/l2+22=V5

由图可知：点A所表示的数为：-1-褥

故选：A

【点睛】

本题主要考查的就是数轴上点所表示的数，属于基础题型.解决这个问题的关键就是求出斜边

的长度.在数轴上两点之间的距离是指两点所表示的数的差的绝对值.

8.D

解析：D

【解析】

试题解析：当3和5都是直角边时，第三边长为：产宝=后；

当5是斜边长时，第三边长为：尸至=4.

故选D.

9.B

解析：B

【分析】

“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.

【详解】

"赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所

不：

故选B.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规

则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.

10.C

解析：C

【分析】

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90。即

可.

【详解】

A、ZA+ZB=ZC,可得/C=90。，是直角三角形，错误；

B、ZA：ZB：ZC=1：3：2,可得/B=90。，是直角三角形，错误；

C,V22+3^42,故不能判定是直角三角形，正确；

D、：(b+c)(b-c)=a2,/.b2-c2=a2,BPa2+c2=b2,故是直角三角形，错误；

故选C.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的

长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

二、填空题

n.2M或2万或

【分析】

在AABC中计算AB,情况一：作AELCE于E,计算AE,DE,CE,可得CD；情况二:

作BELCE于E,计算BE,CE,DE,可得CD；情况三：作DE'LCE',计算

DF,DE',CE',可得CD.

【详解】

ZACB=90°，AC=4,BC=2,

•••AB=2下,

情况一：当40=48=2万时，作AELCE于E

A-BCAC=-ABAE,即4七=m，DE=1^5

2255

•••CE=^AC2-AE-=定

5

CD=yjCE2+DE2=2而

情况二：当8。=48=2追时，作于E,

：.-BCAC=-ABBE,即3石=型，DE=14^

2255

•••CE=弋BC?—BE?=辿

•*-CD=yJcEi+DE^=2师

E「一

情况三：当4)=成)时，作。£'_1。£',作3£，。£于£

J.^-BCAC^ABBE,

22

.RF46

5

.•GE

5

•；AABD为等腰直角三角形

：.BF=DF=-AB=>/5

2

•••DE'=DF+E'F=DF+BE=

5

CE'=EE'-CE=BF-CE=75-=拓

55

故答案为：2。记或2万或3拉

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键.

12..（3,4）或（2,4）或（8,4）.

【分析】

题中没有指明AODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的

坐标.

【详解】

解：（1）。。是等腰三角形的底边时，P就是。。的垂直平分线与CB的交点，此时。P=

PDH5；

（2）。。是等腰三角形的一条腰时：

①若点。是顶角顶点时，P点就是以点。为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，

在直角AOPC中，CP=,0p2_0C?=J52_42=3,则P的坐标是（3,4）.

②若。是顶角顶点时，P点就是以点。为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，

过。作于点M,

在直角△PDM中，PM=7PD2-DM2=3，

当P在M的左边时，CP=5-3=2,则P的坐标是（2,4）；

当P在M的右侧时，CP=5+3=8,则P的坐标是（8,4）.

故P的坐标为：（3,4）或（2,4）或（8,4）.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识，注意正确地进行分类，考虑到所有

可能的情况并进行分析求解是解题的关键.

13.15厘米

【分析】

要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A和C展开到一个平面内.根据两

点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程.

【详解】

解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，

矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB=3兀=9厘米，矩形的宽BC=12厘米.

蚂蚁需要爬行最短路程AC=^BC2+AB2=V122+92=15厘米.

故答案为：15厘米

【点睛】

求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之

间，线段最短.

12

14.—

5

【分析】

解方程/+〃=25,/—〃=7可求得a=%b=3,故三角形ABC是直角三角形，在利用三

角形的面积转化得到斜边上的高.

【详解】

解：Va2+b2=25,a2-b2=7,

将两个方程相加得：2a2=32，

Va>0,

a=4

代入得：42+k=25，

Vb>0,

b=3,

Va=3,b=4,c=5满足勾股定理逆定理，

/.AABC是直角三角形，

如下图，ZACB=90°,CD±AB,

S=--ACBC=-ABCD,

tABRCC22

即：L.3-4=--5CD,

22

12

解得：CD=y,

故答案为：—.

【点睛I

本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中,

一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.

15.21

【分析】

在AB上截取AE=AD,连接CE,过点C作CF_LAB于点F,先证明AADC四△AEC,得出

AE=AD=9,CE=CD=BC=10的长度，再设EF=BF=x,在RSCFB和RtACFA中，由勾股定理求

出X,再根据AB=AE+EF+FB求得AB的长度.

【详解】

如图所示，在AB上截取AE=AD,连接CE,过点C作CFLAB于点F,

VAC平分/BAD,

AZDAC=ZEAC.

在AAEC和AADC中，

AE=AD

<ZDAC=ZEAC

AC=AC

AAADC^AAEC(SAS),

；.AE=AD=9,CE=CD=BC=10,

又；CF_LAB,

；.EF=BF,

设EF=BF=x.

•.•在RtACFB中,ZCFB=90°,

.•.CF2=CB2-BF2=102-X2,

•.•在RtACFA中，ZCFA=90",

CF2=AC2-AF2=172-(9+X)2,即102-X2=172-(9+X)2,

x=6,

.・・AB=AE+EF+FB=9+6+6=21,

/.AB的长为2L

故答案是：21.

【点睛】

考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助

线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题.

16.5,/5

【解析】

【分析】

要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之

间线段最短解答.

【详解】

展开图如图所示:

Q

5

P2323。

由题意，在RtAAPQ中，PD=10cm,DQ=5cm,

蚂蚁爬行的最短路径长=「01=yjPD-+QD2=>/102+52=5/（cm），

故答案为：5后•

【点睛】

本题考查了平面展开-最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平

面图形后，再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上

构造直角三角形解决问题.

17.12

【解析】

如图，过点N作NGLBC于点G,连接CN,根据轴对称的性质有：

因为四边形ABCD是矩形，所以ADUBC,所以NANM=NCMN.

所以/AMN=/ANM,所以AM=AN.

所以AM=AN=CM=CN.

因为△CDN的面积与4CMN的面积比为1：3,所以DN:CM=1:3.

设DN=x,则CG=x,AM=AN=CM=CN=3x,

由勾股定理可得NG#，f=2日，

所以岷2=@岳］+（3x-x）2=12，，BMJ（3x）2—（2任］=x2.

MN212r2

所以竺\=耳=12.

BM2x2

枚本题应填12.

点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和

角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形（也就是基本图形

"平行线+角平分线少等腰三角形"）,所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解.

【解析】

试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC边上的高为8,然后根据三角形的面

积法可得1x10x5。=1x12x8,解得BD=竺.

225

19.275

【分析】

如图，作PA〃y轴交X轴于A,PHLx轴于H.GM〃y轴交x轴于M,连接PG交x轴于

N,先证明△ANP0ZSMNG(AAS),再根据勾股定理求出PN的值，即可得到线段PG的长

度.

【详解】

如图，作PA〃y轴交X轴于A,PH_Lx轴于H.GM〃y轴交x轴于M,连接PG交x轴于

VPA//GM,

.\ZPAN=ZGMN,

VZANP=ZMNG,

AANP^AMNG(AAS),

；.AN=MN=3,PN=NG,

VZPAH=45°,

；.PH=AH=2,

.•.HN=1,

PN=yjPH-+NH2=722+l2=不，

，PG=2PN=2好.

故答案为26.

【点睛】

本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解

题的关键.

20.5+2①3+2"

【分析】

过B作BFLCA于F,构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角

形的性质，即可得到AC的长.

【详解】

分两种情况：

①当NC为锐角时，如图所示，过B作BFLAC于F,

；.AP=BP=4,

；./BPC=2/A=45°,

•••△BFP是等腰直角三角形，

；.BF=DF=272-

又,:BC=3,

RtABFC中，CF=^BC2-BF2=1，

：.AC=AP+PF+CF=5+272；

②当/ACB为钝角时，如图所示，过B作BF_LAC于F,

同理可得，ABFP是等腰直角三角形，

，BF=FP=2j^，

又；BC=3,

•••RtABCF中，CF=7BC2-BF2=1，

，AC=AF-CF=3+2握.

故答案为：5+2g或3+26.

【点睛】

本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进

行求解.解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小

不变，位置变化，对应边和对应角相等.

三、解答题

21.(1)梯子顶端离地面24米(2)梯子底端将向左滑动了8米

【解析】

试题分析：(1)构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离;

(2)构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.

试题解析：(1)如图,AB=25米,BE=7米，

梯子距离地面的高度AE=,/252-72=24米.

答：此时梯子顶端离地面24米；

(2)梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=(24-4)=20米，

BD+BE=DE=VCD2-CE7=X/257-202=15，

DE=15-7=8(米)，即下端滑行了8米.

答：梯子底端将向左滑动了8米.

22.(1)AE=BD且AEJ_BD；(2)6；(3)PQ为定值6,图形见解析

【分析】

(1)由"SAS"可证4ACE电Z\BCD,可得AE=BD,ZEAC=ZDBC=45°,可得AE_LBD；

(2)由等腰三角形的性质可得PA=AQ,由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长；

(3)分两种情况讨论，由"SAS"可证△ACEgZXBCD,可得AE=BD,ZEAC=ZDBC,可得

AE±BD,由等腰三角形的性质可得PA=AQ,由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长.

【详解】

解：(1)AE=BD,AE±BD,

理由如下：:△ABC,Z\ECD都是等腰直角三角形，

；.AC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=90°,NABC=/CAB=45°,

.\ZACE=ZDCB,且AC=BC,CE=CD,

.♦.△ACE0△BCD(SAS)

；.AE=BD,NEAC=NDBC=45°,

.,.ZEAC+ZCAB=90°,

；.AE_LBD；

(2)VPE=EQ,AE±BD,

PA=AQ,

VEP=EQ=5,AE=BD=4,

；•AQ=QEQ2_A£2=J25_16=3，

PQ=2AQ=6；

(3)如图3,若点D在AB的延长线上，

•••△ABC,4ECD都是等腰直角三角形，

；.AC=BC,CE=CD,NACB=/ECD=90°,NABC=NCAB=45°,

AZACE=ZDCB,且AC=BC,CE=CD,

」.△ACE经△BCD(SAS)

；.AE=BD,ZCBD=ZCAE=135°,且/CAB=45°,

；./EAB=90°,

VPE=EQ,AE_LBD,

PA=AQ,

VEP=EQ=5,AE=BD=4,

•••AQ=QEQ2_AE2=05_16=3，

PQ=2AQ=6；

VAABC,^ECD都是等腰直角三角形，

；.AC=BC,CE=CD,NACB=/ECD=90°,NABC=NCAB=45°,

AZACE=ZDCB,且AC=BC,CE=CD,

」.△ACE经△BCD(SAS)

；.AE=BD,ZCBD=ZCAE=45°,且/CAB=45",

.\ZEAB=90°,

VPE=EQ,AE_LBD,

PA=AQ,

：EP=EQ=5,AE=BD=4,

/.AQ==725-16=3，

：.PQ=2AQ=6.

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等

知识，证明AE_LBD是本题的关键.

32

23.作图见解析,y

【分析】

作A点关于BC的对称点A，，AA与BC交于点H,再作A'M^AB于点M,与BC交于点

N,此时AN+MN最小，连接AN,首先用等积法求出AH的长，易证AACH0△A'NH,可得

A'N=AC=4,然后设NM=X,利用勾股定理建立方程求出NM的长，AW的长即为AN+MN的

最小值.

【详解】

如图，作A点关于BC的对称点A1,A'A与BC交于点H,再作AWLAB于点M,与BC交

于点N,此时AN+MN最小，最小值为A'M的长.

在RtAABC中,AC=4,AB=8,

BC=VAB2+AC2=^82+42=4V5

,/1ABAC=1BCAH

22

8x48x/5

.,.AH=—==-

4邪5

VCAXAB,A'M±AB,

；.CA〃A'M

/.ZC=ZA'NH,

由对称的性质可得AH=A'H,ZAHC=ZA'HN=90°,AN=A'N

在△ACH和△A'NH中，

,.,ZC=ZA'NH,ZAHC=ZA'HN,AH=A'H,

.".△ACH^AA'NH（AAS）

，A'N=AC=4=AN,

设NM=x,

在RtAAMN中，AM2=AN2-NM2=42-X2=16-X2

在RtZkAA'M中，AA'=2AH=166，A'M=A'N+NM=4+x

5

.\2

’16"

.*.AM2=AA，2-A'M2=-（4+x）2

5J

-（4+x）2=16-x2

解得-^=—

1232

止匕时4V+MN的最小值=A'M=A'N+NM=4+5

【点睛】

本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键.

24.②③⑤

【分析】

①先证得（45£三，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得NPE5=90。，利

用勾股定理求出BE,即可求得点B到直线AE的距离;

②根据①的结论,利用^\APD++AAPB~MEP+\BEP即可求得结论；

③在必中，利用勾股定理求得AB?，再利用三角形面积公式即可求得5MB0；

④当4、P、C共线时，PC最小，利用对称的性质，46=8。的长，再求得AC的长,

即可求得结论；

⑤先证得^ABP=^ADE,得到ZABP=NADE,根据条件得到ZABP=ZNAB,利

用互余的关系即可证得结论.

【详解】

①•；与/[AEP都是等腰直角三角形，

：.ZBAD=9Q°,ZEAP=90°,AB=AD,AE=AP,ZAPE=ZAEP=45。,

ZEAB=/PAD,

：.^ABE=^ADP（SAS）,

：.ZAEB=ZAPD=180。—NAPE=180°-45°=135°,

ZPEB=ZAEB-ZAEP=135°-45°=90°,

•••PE2+BE2=PB2，

•；AE=AP=拒，ZEAP=9Q°,

­■•PE=y/2AE=2，

2~+BE?，

解得：BE=6,

作BH±AE交AE的延长线于点H,

，点8到直线AE的距离为亚，故①错误；

2

②由①知：^ABE^^ADP,EP=2,BE=耳,

,,StAPD+^AABP=^MBE+AAPB

-av+q

_AAEP丁*\BEP

=-xAExAP+AxPExEB

22

=；x@右+；x2x召

=1+J5*,故②正确；

③在心AA//B中，由①知：EH=HB=娓,

邢2

:.AH=AE+EH=0+",

2

AB-=AH2+BH2="+06+7b=5+2。，

V27\27

S^D~AB•AD——AB1=—+\/3,故③正确；

④因为AC是定值，所以当A、P、。共线时，PC最小，如图，连接BC,

C关于的对称，

AB=BC=J5+2/，

AC=&BC=721，5+2.=710+473，

•.PCmm^AC-AP,

=J10+4邸—故④错误；

⑤•；&/由。与士AEP都是等腰直角三角形，

：.ZBAD=9Q0,/E4P=90。，AB=AD,AE=AP,

AB=AD

在^ABP和AADE中，＜NBAP=ZDAE,

[AP=AE

：.^ABP=^ADE（SAS）,

，ZABP=ZADE,

AN=BN,

：.ZABP=Z.NAB,

/EAN=ZADE,

•；ZEAN+ZDAN=90°,

：.ZADE+ZDAN=90°,

：.ANIDE,故⑤正确；

B

综上，②③⑤正确，

故答案为：②③⑤.

【点睛】

本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质,

勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是

解题的关键.

9

25.(1)该命题是真命题，理由见解析；(2)①a的值为一；②k的取值范围为

2

lWk<3；(3)AABC的面积为2c史或125m.

35

【分析】

(1)根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；

(2)①先利用勾股定理求出c的值，再根据优三角形的定义列出Ac的等式，然后求解

即可；

②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下。力，。之间的关

系，然后根据优比的定义求解即可；

(3)如图(见解析)，设如=彳，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC、AB的

长及AABC面积的表达式，再类似(2),根据优三角形的定义分三种情况分别列出等

式，然后解出x的值，即可得出AABC的面积.

【详解】

(1)该命题是真命题，理由如下：

设等边三角形的三边边长为a

则其中两条边的和为2a,恰好是第三边a的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为

优三角形

又因该两条边相等，则这两条边的比为1,即其优比为1

故该命题是真命题；

(2)①“/4。3=90。1=6

/.c—Ja2+//=[a2+36

根据优三角形的定义，分以下三种情况：

当〃+b=2c时，”+6=2，+36，整理得。2一4〃+36=0,此;方程没有实数根

._____9

当。+c=2b时，+36=12，解得—

当b+c=2。时，6+Jo1+36=2.，解得。=8〉6,不符题意，舍去

9

综上，a的值为工；

2

②由题意得：均为正数

根据优三角形的定义，分以下三种情况：QcNbia)

b

当。+b=2c时，则左=—>1

a

由三角形的三边关系定理得人一。<c<。+人

a+bh

则----<a+b,解得b<3o,即左二一<3

2a

故此时k的取值范围为1«左<3

当a+c=2b时，则左=£21

a

由三角形的三边关系定理得c-a<b<〃+c

〃+uc

贝!Jc一。<----<a-\-c,解得c<3a,即左二—<3

2a

故此时k的取值范围为1«左<3

当b+c=2。时，则左二£21

b

由三角形的三边关系定理得<b+c

b+cc

则C—b<——<b+c,解得c<3b,即k=一<3

2b

故此时k的取值范围为1Wk<3

综上，k的取值范围为1Wk<3；

(3)如图，过点A作贝iJZABD=180°—ZABC=180°—120°=60°

设3D=x

AB=2BD=2x,AD=y)AB~-BD2=底

AC=VAD2+CD2=J(居J+(4+尤产=2ylx2+2x+4

S.=—BC-AD=Lx4xyj3x=2>j3x

/vAizR>rc22、、

“AAfiC是优三角形，分以下三种情况：

当AC+BC=2AB时，即2/x2+2x+4+4=4x，解得x=~

则SAABC=2底=2褥XW=竺叵

ZA/IDC▼^33

当AC+AB=2BC时，即2&+2x+4+2x=8,解得％

则S,BC=2底=2"义|=不

当5。+川=24。时，即4+2x=4G+A+Z,整理得3/+4X+12=0,此方程没

有实数根

综上，AABC的面积为2°0或126.

35

A

DBC

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等

知识点，理解题中的新定义，正确分多种情况讨论是解题关键.

26.(1)见解析；(2)证明见解析；(3)25.

【分析】

(1)直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；

(2)利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即

可证明；

(3)将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出(a+6)2为大正方形面积和

4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.

【详解】

解：(1)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

在直角三角形中，两条直角边分别为a、b,斜边为c,a?+b2=c2.

(2)S大正方jg=c2,S小正方形=(b-a)2,4SRIA=4X—ab=2ab,

2

c2=2ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2,

即a2+b2=c2.

(3)4SIUA=S大正方形-S小正方形=13-1=12,

2ab=12.

(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+12=25.

【点睛】

本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股

定理是解答此题的关键.

27.(1)假；(2)/A=45。；(3)①不能，理由见解析，②见解析

【分析】

(1)先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2,再由勾股定理得a2+b2=c2,即可判断

出此直角三角形是等腰直角三角形；

(2)由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；

(3)①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；

②先求出CD=CB=a,AD=CD=a,DB=AB-AD=c-a