高考理科数学一轮复习（教学指导）直线的倾斜角与斜率直线的方程

’DIJIUZHANG'

V

第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程

最新考纲考向预测

1.在平面宜角坐标系中，结合具体图形，确定宜线位置的几何要素.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算命题倾斜角也是考查的重点.题型主要在解答题

公式.趋势中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时

3.掌握确定立线位置的几何要素，掌握立线方程的几种形式（点斜也会在选择题、填空题中出现.

式、斜截式、截距式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函核心

逻辑推理、宜观想象

数的关系.素养

靠碘知识，⑥❾回顾理教材•夯实必备知区.

:走进教材;

一、知识梳理

1.直线的倾斜角

（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线/,把X轴（正方向）按逆时

处方向绕着交点旋转到和直线/重合所成的角，叫作直线/的倾斜角.当直线/与无轴平行

或重合时，规定它的倾斜角为0°.

（2）倾斜角的范围为［0,兀）.

2.直线的斜率

（1）定义：一条直线的倾斜角a的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母上表

示，即左=%〃a,倾斜角是90°的直线没有斜率.

（2）过两点的直线的斜率公式

经过两点Pi（xi，以），尸2（x2,”）（XIWX2）的直线的斜率公式为％=三£=曾三善

3.直线方程的五种形式

名称已知条件方程适用范围

点斜式斜率k与点（为，力）y—yi=Z(x—xD不含直线X=X1

斜率k与直线在y轴不含垂直于X轴的直

斜截式y=—+Z?

上的截距b线

不含直线X=X1（X1=

两点式两点（XI，＞1），（%2，＞2）

J2-X2-Xi%2）和直线y=yiCn=

（阳丰X2，y1Wy2）J2）

直线在X轴、y轴上不含垂直于坐标轴和

截距式a—b--

的截距分别为。，b过原点的直线

（“WO,/。0）

Ax+By+C=O平面直角坐标系内的

一般式

直线都适用

常用结论

1.直线倾斜角和斜率的关系

不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为仁tana,当0,时，。越大，斜率k

就越大，同样]£俘兀)时也是如此，但当。£[0,兀)且“冷时就不是了.

2.五种特殊位置的直线方程

⑴元轴：y=0.

(2)y轴：x=0.

(3)平行于1轴的直线：y=/?(Z?W0).

(4)平行于y轴的直线：X=〃(QW0).

(5)过原点且斜率存在的直线：y=kx.

二、教材衍化

1.若过点M(—2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则根的值为.

m—4

解析：由题意得一;---=1,解得根=1.

—2—m

答案：1

2.直线3x—4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2,则实数4=.

kkkk

解析：令i=0,得＞=不令y=0，得x=一则有区一1=2,所以％=—24.

答案：一24

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()

(2)直线的斜率为tana,则其倾斜角为a.()

(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()

(4)经过点尸(xo，yo)的直线都可以用方程y—yo=Z(x—%。)表示,()

(5)经过任意两个不同的点尸1(处，》),尸2。2，＞2)的直线都可以用方程。一9)(%2—xi)=(x

—xi)CX2一%)表示.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)V

二、易错纠偏

常见误区|K(l)由直线方程求斜率的思路不清；

(2)忽视斜率和截距对直线位置的影响；

(3)忽视直线斜率不存在的情况；

(4)忽视截距为0的情况.

1.直线/：尤sin30°+ycos150°+a=0的斜率为.

解析：设直线/的斜率为左，则左=一厘嘿二=卓.

cos1503

竺安.

:3

2.如果ACvO且5CV0,那么直线—+3y+C=0不通过第象限.

,c,c

解析：由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距一了＞0,在y轴上的截距一方＞0,

ALJ

故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.

答案：三

3.过直线/：y=x上的点P(2,2)作直线机，若直线/,机与无轴围成的三角形的面积

为2,则直线相的方程为.

解析：①若直线机的斜率不存在，则直线机的方程为x=2,直线机，直线/和x轴围

成的三角形的面积为2,符合题意；②若直线相的斜率上=0,则直线机与x轴没有交点，

2

不符合题意；③若直线机的斜率4W0,设其方程为y—2=Mx—2),令y=0,得x=2一工,

依题意有92—1X2=2,即1—t=晨解得攵=3，所以直线机的方程为厂2=%一

2),即x—2y+2=0.综上可知，直线m的方程为％—2y+2=0或x=2.

答案：x—2y+2=0或％=2

4.过点尸(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.

解析：当截距为0时，直线方程为3%—2丁=0;

当截距不为0时，设直线方程为'+'=1,

23

则］+/=1,解得〃=5,所以直线方程为x+y—5=0.

答案：3x—2y=0或x+y—5=0

懑(©考点,旅停剖析明考向•直击考例考法.

［学生用书P150］

考点

直线的倾斜角与斜率(典例迁移)

网口]⑴直线xsina+y+2=0的倾斜角的取值范围是()

「、「兀[「3兀)

A.[0,7i)B.[O,4)口[不，少

r兀[「八兀](兀、

C.|_O,ajD.[0,兀)

(2)直线/过点P(l,0),且与以A(2,1),8(0,M5)为端点的线段有公共点，则直线/斜

率的取值范围为.

【解析】(1)设直线的倾斜角为仇则有tan8=—sina.因为sinaG[—1,1],所

TT3TT

以一iWtan8W1,又。£[0,兀)，所以0《。忘区或不W6V兀，故选B.

1—0

(2)出口图，因为fcip—2—1~1，

；=一小,所以直线/的斜率左e(—8,u[1,+°°).

【答案】⑴B(2)(—8,-^/3]U[1,+8)

【迁移探究1】(变条件)若将本例(2)中P(l,0)改为尸(-1,0),其他条件不变，求直

线/斜率的取值范围.

^AP\OX

解：因为尸(一1,0),4(2,1),2(0,5)，所以心P=2」二)4kBP=dUi)

=y[3.

如图可知，直线/斜率的取值范围为/

【迁移探究2】(变条件)若将本例(2)中的8点坐标改为(2,-1),其他条件不变，求

直线/倾斜角的范围.

解：如图，直线外的倾斜角为45°,直线网的倾斜角为135°,由图象知/的倾斜

角的范围为[0°,45°]U[135°,180°).

（1）求倾斜角的取值范围的一般步骤

①求出斜率左=tan。的取值范围；

②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角a的取值范围.

（2）斜率的求法

①定义法：若已知直线的倾斜角a或a的某种三角函数值，一般根据左=tan。求斜率;

②公式法：若已知直线上两点A（xi，yi）,Bgyz）,一般根据斜率公式左=港看（制/

尤2）求斜率.

［提醒］直线倾斜角的范围是［。，71）,而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据

斜率求倾斜角的范围时，要分［。，习，彳与（I，兀）三种情况讨论.由正切函数图象可以看出，

当倾斜角。金0,今）时，斜率左£［0，+°°）；当。=冷时，斜率不存在；当。金俘兀）时，斜

率上£（-8,0）.

同变式训练〉

1.若点4（4,3）,8（5,a）,C（6,5）三点共线，则a的值为.

5-3ci-3

解析：因为心°=口=1,3.由于A'B,C三点共线,所以a—3=1,

即4=4.

答案：4

2.已知点（一1,2）和惇，0）在直线/：依一y+l=O（a#O）的同侧，则直线/倾斜角的

取值范围是.

解析：点（-1,2）和pF，oj在直线I:ax-y+1=0同侧的充要条件是（-a—2+

1）（坐4+1）＞0,解得一审＜”一1,即直线/的斜率的范围是（一小，-1）,故其倾斜角的取

值范围是停，引.

答案:停,T）

考点2

求直线的方程(师生共研)

02]根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(一4,0),倾斜角的正弦值为瞎；

(2)直线过点(一3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)直线过点(5,10),且与原点的距离为5.

【解】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.

设倾斜角为a,贝Isina=[^(0WaV兀)，

从而cosa=+^^,贝k=tana=±|.

故所求直线方程为y=±/(x+4),

即x+3y+4=0或x—3y+4=0.

(2)由题设知纵横截距不为0,设直线方程为'+正匕=1,

又直线过点(一3,4),

-34、

从而=1,解得a=-4或a=9.

a12—a

故所求直线方程为4.r—j+16=0或x+3y—9=0.

(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x—5=0满足题意；

当斜率存在时，设其为左,则所求直线方程为y—10=Z(x—5),即日一y+10—5左=0.

由点线距离公式，得：”=5,解得左=弓.

7片+14

故所求直线方程为3尤一4y+25=0.

综上，所求直线方程为x—5=0或3尤一4y+25=0.

回陶陶郎

求直线方程的注意事项

(1)在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式.

(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先

考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零).

(3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性.

短变式训练求满足下列条件的直线方程：

(1)经过点A(—5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；

(2)经过点3(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.

解：(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为点+2=1,将(一5,2)代入所设方程，解

p1

付Q=—2，

所以直线方程为x+2y+l=0;

当直线过原点时，设直线方程为丁=辰,

2

则一5k=2,解得％=一亍

2

所以直线方程为y=一尹，即2x+5y=Q.

故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+l=0.

(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.

又过点(3,4),由点斜式得>一4=±。一3).

所求直线的方程为％—y+l=O或x+y—7=0.

3

直线方程的综合问题(典例迁移)

阿13](一题多解)已知直线/过点尸(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、8两

点，如图所示，求△A3。的面积的最小值及此时直线/的方程.

所以的面积的最小值为12,所求直线/的方程为2x+3v-12=0.

法二：依题意知，直线/的斜率k存在且N0,

可设直线I的方程为y~2=k(x~3)(^<0),

则A(30),8(0,2—3%)，

=1x（12+12）=12,

2

当且仅当一即左=-Q时，等号成立.此时直线/的方程为2x+3y—12=

所以AABO的面积的最小值为12,所求直线/的方程为2x+3y-12=0.

【迁移探究11(变问法)若本例条件不变，求QAI+Q用的最小值及此时I的方程.

32

解：法一：由原例题法一知,+3=1.

因为|。4|+|0引=[+/?,

所以(a+6)(|+D=5+A蓄，5+2"

32

当且仅当近0=小6,且1+后=1，

即a=3+#,6=2+加时，

|。4|+|08|的最小值为5+2^6.

此时，直线’的方程为/+赤=1，

即黄x+3y_6_3加=0.

法二：由原例题解法二知

2

|OA|+|OB|=3-v+2-3^<0)

K,

=5+(T)+(f)

25+2叱-/(-3B=5+2加.

当且仅当一看=一3匕即仁一半时，

KJ

|。4|十|0引取最小值5+2、历.

此时直线/的方程为y—2=—~^(x—3),

即*\/^x+3y—6—3y[6=0.

【迁移探究2](变问法)若本例条件不变.求筋•西的最大值及此时直线I的方程.

解：由原例题法二知A(3-p0),2(0,2—34)，丽•丽=(一％,-2)-(-3,一3左)=%+

6左=—[(—3+(—6©]W—2q(-()•(-6%)=-12,

当且仅当一号=—6%时，即k=—l时等号成立，此时直线/的方程为x+y—5=0.所以

以•沌的最大值为-12,所求直线/的方程为x+y-5=0.

施陶园国

(1)给定条件求直线方程的思路

①考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况；

②在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程；

③重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性.

(2)与直线有关的最值问题的解题思路

①借助直线方程，用y表示x(或用x表示y)；

②将问题转化成关于x(或y)的函数；

③利用函数的单调性或基本不等式求最值.

制变式训练，

1.已知直线(a—l)x+y—a—3=0(a>l),当此直线在尤，y轴上的截距和最小时，实数a

的值是()

A.1B.也

C.2D.3

a।3a।3

解析：选D.当x=0时，y=a+3,当y=0时，％=皆[，令/=4+3+%彳=5+(〃-1)

4/4

+〃_].因为,所以〃一1>0.所以/，5+2\/(。-1)•Q_])=9.

4

当且仅当〃一1—即〃=3时，等号成立.

a—1

2.已知直线Zi：依-2y=2。-4,fe：2x-\-a2y=2a2-\-4,当0V〃V2时，直线h，%与

两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数〃=.

解析：由题意知直线/i，/2恒过定点P(2,2),直线/1的纵截距为2—〃，直线b的横截

距为层+2,所以四边形的面积S=：X2X(2—a)+；X2X(〃2+2)="2—〃+4=(〃一，+*

当时，面积最小.

答案：I

⑤合素养，。昌培优提素养•拓展解题睡‘

[学生用书P152]

囿购国国巧构造，妙用斜率求解问题

一、比较大小

所已知函数/U)=log2(x+1),且a>6>c>0,贝卢铝，牛~，今匕的大小关系为

【解析】作出函数危）=10g2（%+l）的大致图象，如图所示，可知当X>0时，曲线上各

点与原点连线的斜率随％的增大而减小，

因为a>b>c>09

对于函数八光）图象上的两点（〃，犬。）），s,1。）），比较‘与‘的大小时,可转化

为这两点与原点连线的斜率来比较大小.

二、求最值

02］已知实数尤，y满足y=V—2x+2（—IWXWI）,试求陪的最大值和最小值.

如图，作出>=/一2苫+2（-1・；1・1）的图象（曲线段43）,则表示定点P（—2,-3）

和曲线段AB上任一点⑴y）的连线的斜率匕连接B4,PB,则或

易得A（l,1）,8（—1,5）,

也，，L（-3）4

所以kPA=i—（—2）=不

5—(—3)

3—1—(—2)=8

4Y+34

所以故仁］的最大值是8,最小值是,

对于求形如左=三,>=扁的最值问题,可利用定点与动点的相对位置,转化为

求直线斜率的范围，借助数形结合进行求解.

三、证明不等式

IYyiZ7

—13］已知〃，b,m^(0,+°°),且〃<Z?,求证：j।>T.

b+mb

【证明】

如图，设点P,M的坐标分别为(b,〃)，(—m,—rri).

因为0<a<b,所以点P在第一象限，且位于直线y=x的下方.

又机>0,所以点M在第三象限，且在直线y=x上.

,,,,aa-vm

连接OP,PM,则kop=%,岐=讦京

因为直线MP的倾斜角大于直线O尸的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角，

“ca

所以kMP>kop,即不镒>分

国骸E3甯

根据所证不等式的特点，寻找与斜率公式有关的信息，从而转变思维角度，构造直线斜

率解题，这也是解题中思维迁移的一大技巧，可取得意想不到的效果.

曲颔演练，③僖突破练好题,突破高分瓶颈,

［学生用书P370(单独成册)］

［基础题组练］

1.倾斜角为120°,在x轴上的截距为一1的直线方程是()

A.yf3x—y+l—0B.小x—y一小=0

C.y/3x+y-y/3=0D.y［3x+y+y［3—0

解析：选D.由于倾斜角为120°,故斜率上=一小.又直线过点(一1,0),所以方程为y

=-^3(%+1),即G+y+S=0.

2.直线办+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限，则a,6,c应满足()

A.ab>0,bc<0B.ab>3bc>0

C.ab<0,bc>0D.ab<3bc<0

解析：选A.由于直线以+力+c=0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方

ac/7c

程变形为>=一/一石•易知一/°且一r°，故曲>0,bc<0.

3.两直线.一：=a与:康=a(其中a为不为零的常数)的图象可能是()

解析：选B.直线方程上一可化为y="x—直线‘一上=。可化为y="x—〃za,

mnmnm•n

由此可知两条直线的斜率同号.

4.直线无一2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围

是()

A.[-2,2]B.(—8,-2]U[2,+°0)

C.[-2,0)U(0,2]D.(—8,+oo)

。

得

=一

解析：选C.令x=0,2

令y=0,得x=­b,

所以所求三角形的面积为321-。1=(匕2,且8wo,所以〃W4,所以/?的取值

范围是[-2,0)U(0,2].

5.若直线以+力=〃仇〃>0,fc>0)过点(1,1),则该直线在％轴，y轴上的截距之和的最

小值为()

A.1B.2

C.4D.8

解析：选C.因为直线〃x+/?y=〃Z?(〃>0,。>0)过点(1,1),

所以a+b=ab,即(+另=匕

所以a+6=(a+b)@+/

.b.a、入.入[ba,

一+工三、/「工=

=2+ab2+2\jab4,

当且仅当a=b=2时上式等号成立.

所以直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.

6.直线/经过点A(l,2),在x轴上的截距的取值范围是(一3,3),则其斜率左的取值

范围是.

2

解析：设直线的斜率为七,则直线方程为y—2=Z(x—1),直线在x轴上的截距为1一工.

21

令一3V1—7V3,解不等式得女V—1或女>不

KZ

答案：k<—1或k*

7.已知直线/：2—。=0在x轴和y轴上的截距相等，则。的值是.

解析：由题意可知〃W0.当％=0时，y=a+2.

〃+2

当y=0时，x=—^~.

..〃+2।

所以一~一=〃+2,

解得4=-2或4=1.

答案：一2或1

8.设点A(—1,0),5(1,0),直线2%+丁一匕=0与线段43相交,则。的取值范围是

解析：b为直线y=—2x+Z?在y轴上的截距，如图，

当直线y=-2x+Z?过点A(—l,0)和点5(1,0)时，Z?分别取得最小值和最大值.

所以匕的取值范围是[-2,2].

答案：[—2,2]

9.已知直线,与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线/的方

程：

(1)过定点A(—3,4)；

⑵斜率为去

4

解：(1)设直线/的方程为>=女(4+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是一y—3,3Z+

(4、2、8

4,由已知，得(3左+4)*自+3尸土6,解得而=一1或％2=—

故直线/的方程为2x+3y—6=0或8x+3y+12=0.

(2)设直线/在y轴上的截距为b,则直线/的方程是>=$+/?,它在x轴上的截距是一

6b,

由已知，得6b•。|=6,

所以b=±l.

所以直线I的方程为x—6y+6=0或x—6y—6=0.

10.已知射线Z1：y=4x(x20)和点尸(6,4),试在h上求一点Q使得PQ所在直线/和

Zi以及直线y=0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线/的方程.

解：设点Q坐标为(a,4<7),PQ与无轴正半轴相交于M点.

由题意可得。>1,否则不能围成一个三角形.

4〃—4

尸。所在的直线方程为：>一4=］二^。一6),

令y=0,尸溜",

因为所以SzkOQM=]X4〃X〃_]

22〃+1+2Q—

m10a(a?—2+11=

贝UM=UT=］0^=i)

-1一

10(〃一1)+丁彳+2240,

当且仅当(“一1)2=1时取等号.

所以〃=2时，。点坐标为(2,8),

所以此时直线/的方程为：x+y—10=0.

［综合题组练］

1.若直线/：区一y+2+4左=0(止R)交工轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点3,则当

△A05的面积取最小值时直线I的方程为()

A.X—2y+4=0B.工-2>+8=0

C.2x—y+4=0D.2x—y+8=0

(2+4%、

解析：选B.由/的方程，得小一一J-，0l,5(0,2+4上).

2+4-2

依题意得<k°'解得攵>0.因为S=1|O4H0.=,214k在+必尸］.(、墨"一=

12+4左>0,

1<4A141

d16k+~j-+16)^(2X8+16)=16,当且仅当16%=7,即％=不时等号成立.此时/的方程为

x—2y+8=0.

2.在等腰三角形MON中，MO=MN,点、0(30),M(-l,3),点N在x轴的负半轴

上，则直线MN的方程为()

A.3%—y—6=0B.3x+y+6=0

C.3x~y+6=0D.3x+y~6=0

解析：选C.因为MO=MN,所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以

kMN=-kM0=3,所以直线MN的方程为丁一3=3(%+1),即3%一丁+6=0,选C.

3.已知动直线/：ax+by+c—2=0(a>0,c>0)恒过点尸(1,m)且点。(4,0)到动直线

l的最大距离为3,则就1+押2最小值为()

R2

A.1B.4

C.1D.9

解析：选B.因为动直线/:ax+by+c—2=0(a>Qyc>0)恒过点尸(1,m),所以〃+6加

+c-2=0,又点。(4,0)到动直线/的最大距离为3,所以N(4—1)2+(一')2=3,解

得加=0,所以。+。=2,则导鸿(a+c)©+D=gl+>急需1+2也可号，

4

当且仅当c=2〃=1时取等号，故选B.

4.已知直线/：了一"少+小根=0上存在点M满足与两点4(一1,