高考物理复习 瓜豆原理之直线型

大招瓜豆原理之直线型

@0

gTQ模型介绍

运动轨迹为直线

问题1:如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，Q点轨迹

是？

解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.

理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ,所以QN始

终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线.

问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ,且/PCQ为定值，当点P在直线AB上

运动，Q的运动轨迹是？

解析：当C尸与C。夹角固定，且/尸=幺。时，P、0轨迹是同一种图形，且PPI=I

理由：易知aCPPi名Z\CPPi,则NCPP尸Ci,故可知Q点轨迹为一条直线.

模型总结

团条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量.

的结论：①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；

②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角

③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长;

或口例题精讲

【例1].如图，在平面直角坐标系中，A(-3,0),点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x

正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边AABP,点B在y轴上运动时，求OP的最小值.

解：求OP最小值需先作出P点轨迹，根据4ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点

轨迹也是直线.

取两特殊时刻：(1)当点B与点。重合时，作出P点位置Pi；(2)当点B在x轴上方且AB与x

轴夹角为60。时，作出P点位置P2.连接P1P2,即为P点轨迹.

根据NABP=60。，可知：BP2与y轴夹角为60。，作OP_LP】P2，所得OP长度即为最小值，0P2

A变式训练

【变式1-1].如图，尸0是等腰直角三角形，4以0=90°,当点尸在线段8c上运动时，画出点。的

运动轨迹.

【变式1-2].如图，等边△ZBC中，/B=8C=NC=6,点A/是8c边上的高/。所在直线上的点，以BM

为边作等边连接。N,则DN的最小值为_3_.

—2―

,?△48C和是等边三角形，

：.AB=BC,BM=BN,NABC=/MBN=60°,

NABM=NCBN,

"：AD±BC,

：.ZBAD=ZCAD=30°,BD=CD=3,

在和△C8N中,

fAB=BC

<ZABM=ZCBN-

BI=BN

:AABMmACBN(S/S),

：.AM=CN,NBAD=NBCN=3G°,

...点N在与BC成30度的射线CN卜一运动,

,当ON_LCN时，ZW有最小值，

,:DNLCN,NBCN=3Q°,

13

:.DN=±CD=J

22

故答案为：1.

2

【变式1-3].如图，已知点”(-3,0),B(0,3),C(-1,4),动点P在线段45上，点尸、C、M按

逆时针顺序排列，且NCPM=90°,CP=MP,当点尸从点A运动到点5时,则点M运动的路径长为6.

解：•.•点X(-3,0),B(0,3),

：.4B=，

,?C(-1,4),动点尸在线段48上，NCPM=90°,CP=MP,

ACP_=V2_；p为主动点，M为从动点，C为定点，

CM2

由“瓜豆原理”得「运动路径(AB)与加运动路径之比等于空,

CM

.•・点M运动的路径长为+券=6,

故答案为：6.

【例2】.如图，边长为5的等边三角形/8C中，W是高C4所在直线上的一个动点，连接M8,将线段8M

绕点8逆时针旋转60°得到BN,连接HN.则在点M运动过程中，线段"N长度的最小值是（)

5

D.

2

解：如图，取8c的中点G,连接MG,

:旋转角为60°,

：.4MBH+NHBN=60",

又'.*/加8，+/〃8c=N/8C=6()°,

，NHBN=ZGBM,

,:CH是等边a/BC的对称轴，

:.HB=LB,

2

:.HB=BG,

又旋转到8N,

:.BM=BN,

在△M8G和△M?”中，

，BG=BH

<ZMBG=ZNBH-

1HB=NB

:.丛MBGR4NBH(S/S),

：.MG=NH,

根据垂线段最短，MGLC”时，MG最短，即HV最短,

此时•.,N8C4=A_X6O。=30°,CG=X18=1X5=5,

2222

：,MG=—CG=—,

24

:.HN=&,故选：A.

4

A变式训练

【变式27].如图，等边△N8C的边长为4,点。是边ZC上的一动点，连接8D,以8。为斜边向上作等

腰RtZiBOE,连接/E,则ZE的最小值为（）

解：如图，过点8作8/AL4C于〃点，作射线

是等边三角形，BH±AC,

:.AH=2=CH,

■:NBED=/BHD=9G",

；.点B,点£>,点“，点E四点共圆，

:.NBHE=NBDE=45°,

...点E在NAHB的角平分线上运动，

...当，时，/E的长度有最小值,

VZAHE=45°,

：.AH=42AE=2,

二/E的最小值为让,故选：B.

【变式2-2],如图，正方形/8CD的边长为4,E为8c上一点，且8E=1,尸为边上的一个动点，连

接EF,以E尸为边向右侧作等边△后/G,连接CG,则CG的最小值为（)

A.0.5B.2.5C.&D.1

解：由题意可知，点厂是主动点，点G是从动点，点尸在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动

将△£■/区绕点E旋转60°,使E尸与EG重合，得到△£/〃;，连接8“，得至“△EFBgAEHG

从而可知△£8”为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，

延长HM交CD于点N.

则△EFBBAEHG,

：.HE=BE=\,NBEH=6Q°,NGHE=NFBE=9Q°,

.♦.△EBH为等边三角形.

•.•四边形Z88是矩形，

：.ZFBE^90°,

:.NGHE=NFBE=90°,

.•.点G在垂直于HE的直线HN上,

作由垂线段最短可知，CW即为CG的最小值，

作£P_LCM,连接2”,EH,

则四边形"为矩形，

：.MP=HE=\,ZHEP=90°,

:.NPEC=30°.

'：EC=BC-BE=3,

.•.CP=LC=3,

22

,CM=MP+CP=1+3=立，

22

即CG的最小值为S.

2

方法二：以CE为边作等边三角形CEH,连接尸，,

：.CG=FH,

当卜应1/8时，卬7AH、=l+3=5.

22

故选：B.

【变式2-3].如图，等腰RtZXZBC中，斜边的长为4,。为力8的中点，尸为ZC边上的动点，

。0，。尸交8。于点。，M为尸。的中点，当点P从点/运动到点C时，点M所经过的路线长为2

解：连接OC,OM,CM,如图，

为尸。的中点，

：.OM=^-PQ,CM=^PQ,

C.OM^CM,

...点M在OC的垂直平分线上，

...点M运动的轨迹为△/IBC的中位线,

.•.点M所经过的路线长=」38=2.

2

故答案为2.

实战演练

1.如图，长方形/8C。中，AB=3,BC=4,E为8c上一点，且8E=1,尸为边上的一个动点，连接

EF,将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG,则CG的最小值为（）

挈5

2+C2-

A.B.D.2

解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET,连接G7,连接DE交。G于/

•.•四边形488是矩形，:.AB=CD=3,NB=NBCD=90°,

■:NBET=NFEG=45°,:.NBEF=NTEG,

EB=ET

在△E8F和△TTG中，/BEF=NTEG,

.EF=EG

:.△EB&4TEG(SAS'),:.NB=NETG=90°,

.•.点G的在射线TG上运动，，当CGVTG时，CG的值最小,

：8C=4,BE=1,CD=3,:.CE=CD=3,

:・NCED=/BET=45°,：.ZTEJ=90°=NETG=/JGT=90°,

二四边形ETGJ是矩形，J.DE//GT,GJ=TE=BE=\,

:.CJLDE,：.JE=JD,.•©=如£=挈.•.CG=C7+GJ=1+挈

，CG的最小值为1+竽，故选：B.

2.如图，已知直线^=区+2/分别交x轴和v轴于48两点，以为边作等边△Z8C（4,B,C三点逆

时针8排列），D,£两点坐标分别为（-6,0）,（-1,0）,连接C£>,CE,则CD+CE的最小值为（）

：.k(x+2)=0,

•.•20,

Ax-2=0,

：.A(-2,0),

■:E(-1,0),0(-6,0),

在X轴上方作等边A/O尸，

ZCAB^ZFAO^60a,

：.ZCAB+ZBAF=-ZBAF+ZFAO,

即/C/F=/8ZO,

在△408和△/人?中，

rAB=AC

<ZCAF=ZBAO-

AF=AO

A/\AOB^/\AFC(SAS),

；.N"C=408=90°,

.•.点C的轨迹为定直线CF,

作点£关于直线CF的对称点£,连接C£,CE=CE',

：.CD+CE=CD+CE',

，当点。、C、£在同一条直线上时，O£=CC+CE的值最小,

•.1F=/O=2,N刈0=60°,N4FG=90°,

：.AG=4,EG=3,EE'=2X^-AF=3,

4

即£（_1,司应）,

22

3.如图，在RtZ\48C中，/4C8=90°,/C=8,点。在8c上，且CD=2,点P是线段AC上一个动点,

以产。为直径作G）O,点。为直径P。上方半圆的中点，连接Z。，则力。的最小值为（）

C.4D.4近

解：如图，连接O。，CQ,过点4作交CQ的延长线于7,

P

,・,前二而，

・•・OQLPD,

：.ZQOD=90°,

・・・NOC0=//QOD=45°，

VZACB=90°,

AZACT=45°,

■:AT上CT,

：.ZATC=90°,

VJC=8,

.•./7=/C・sin45°=4&,

"：AQ^AT,

•X024注,

的最小值为：4&,

故选：D.

4.如图，//。8=30°,0。=4,当点C在。4上运动时，作等腰RtZ\CDE,CD=DE,则O,E两点间

距离的最小值为

解：；/4。2=30°,(9/)=4,点C在。4上运动时，CD=DE,CD±DE,

；.C为主动点，E为从动点，。为定点,

由“瓜豆原理”，C在CM上运动，则E在垂直04的直线上运动,

当。C_LO4时，如答图：

A

答图

过£作£村_1。/于〃，交.OB于N,则直线即为E的运动轨迹，0M的长为。，£两点间距离的最

小值,

：408=30°,O£)=4,DCLOA,：.CD=2,

"：CD=DE,：.DE=2,

'：ZOCD^ZCDE^=90°,J.DE//OA,而EM_LO4,

；.NDEN=90°,NEDN=3Q°,.*.在△£)£7中可得£W=竽,

+竽，中可得

.•.ON=4△OMNOM=^x(4+=2+271故答案为：2+2百.

5.如图，在矩形48。中，AB=5,2c=5点P在线段8c上运动（含8、C两点），连接4尸，以点

力为中心，将线段/P逆时针旋转60°到/0,连接。Q,则线段。。的最小值为

解：如图，以为边向右作等边△Zb尸，作射线尸。交4。于点E,过点。作。于，.

♦.•四边形/8C。是矩形,

；.NABP=NBAD=90°,

AABF,△/尸。都是等边三角形，

：.ZBAF=ZPAQ=60°,BA=FA,PA=QA,

：.NBAP=NFAQ,

在△氏4P和△E40中，

，BA=FA

<NBAP=NFAQ，

PA=QA

:.ABAP安△%(S/S),

:.NABP=NAFQ=90°,

物E=90°-60°=30°,

AZAEF=90°-30°=60°,

"：AB=AF=5,/£=/尸+cos30°

...点Q在射线FE上运动，

,:AD=BC=5如,

:.DE=AD-AE=^^-,

3

■:DHLEF,NDEH=/AEF=60°,

.•.£>//=£>E・sin60°=^ZLx近=2

22

根据垂线段最短可知，当点。与，重合时，。。的值最小，最小值为2

6.如图，在△48C中，//C8=90°,点。在8c边上，BC=5,CD=2,点E是边/C所在直线上的一

动点，连接DE,将OE绕点。顺时针方向旋转60°得到。尸，连接8兄则8斤的最小值为.

解：如图，以8。为边作等边三角形。8”,连接£77,过点H作HNLBD于N,

"：BC=5,8=2,：.BD=3,

♦：ADHB是等边三角形,HNLBD,

37

:.DN=BN=],DB=DH,ZHDB=60°,：.CN=p

•.•将DE绕点。顺时针方向旋转60°得到DF,；.DE=DF,NEDF=60°,

：./EDF=NHDB,NEDH=ZFDB,

(DE=DF

在丛DHE和丛DBF中，1/.EDH=/.FDB,

\DH=DB

:./XDHEm4DBF(SZS),:.EH=BF,

...当E”有最小值时，8厂有最小值，

由垂线段最短可得：当E//L/C时，E4有最小值，

此时，'JEH1.AC,N/C8=90°,HNLDB,

77

四边形CN，E是矩形，.♦.〃E=CN=，故答案为：

42

BE4

7.如图，矩形43C。中，AD=6,。。=8,点E为对角线4C上一动点，BEkBF,-=BGLEF于点、

BF3

G,连接CG,当CG最小时，CE的长为.

解：如图，过点3作3PL4。于点P,连接尸G,

:./\ABCs[\EBF,：.ZCAB=ZFEB,

■:NAPB=NEGB=90",:.AABPs^EBG,

ABEB1AC5

—=一,NABP=NEBG,:./ABE=NPBG,

pi港sin乙BACBC3

:•△ABEsAPBG,:・/BPG=/BAE,

即在点E的运动过程中，NBPG的大小不变且等于N84C,

...当CGLPG时，CG最小，

……AEAB53

设此时AE^x,'：—=-='-PG=-FX,

rbrD5J

CP5

VCG1PG,:・/PCG=/BPG=/BAC,：.—=

PG3

代入尸G=|x,解得CP=x,

・；CP=BC・sinNCBP=BC・sinNBAC=等，

.*.x=.,.AE=/.CE=故答案为：三■.

8.如图，已知点Z是第一象限内横坐标为的一个定点，NC_Lx轴于点"，交直线y=-x于点M若点

尸是线段ON上的一个动点，NAPB=30°,BAVPA,则点尸在线段ON上运动时，力点不变，8点随之

运动.求当点尸从点。运动到点N时，点8运动的路径长是

解：如图I所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点8为氏，连接/P,ABt，BBi,

'：AO±AB\,APLABi，

：.NOAP=NBiABi，

),

又•.78i=/0・tan3O°,ABi=AP-tan30,

：.AB\：AO=ABitAP,

：.ZAB}Bi=ZAOP.

同理得AABiB2sA4ON,

Z.ZAB]B2=ZAOP,

：.NABtBi=NABiB2,

.♦.点8-在线段以历上，即线段8/2就是点8运动的路径（或轨迹）.

由图形2可知：RtZk/PBi中，乙4P81=30°,

.AB11

•----=f--，

APV3

中，N4VB2=30°,

.AB2_1

.KF'

•AB]_AB2]

,•而=而二方

•；NP4BI=NN4B2=90°,

：.ZPAN=ZBIAB2,

：./\APNs/\AB\B2,

.B[B2;AB1尸1

"-pNAP_7T

•；ON的解析式为：y=-X,

.•.△OA/N是等腰直角三角形，

OM=MN—V3，

:.PN=G

是线段8历2,其长度为加.

9.如图，菱形/8C。的边长为4,N8=120°,E是8C的中点，尸是对角线/C上的动点，连接EF,将

线段E尸绕点F按逆时针旋转30°,G为点E对应点，连接CG,则CG的最小值为

AD

BEC

解：如图取8的中点K,连接FK,KG,EK,延长KG交8c于J,作CHUK于H.

AD

BEJC

:四边形是菱形，：.ZFCE=ZFCK,CB=CD,AB//CD,

AZDCB+ZS=180°,

VZ5=120°,;.NDCB=60°,

•:BE=EC,CK=KD,：.CK=CE,是等边三角形，

,:CF=CF,/FCK=4FCE,CK=CE,

△尸CK畛（.SAS）,：.FK=FE,

1

•；FG=FE,:.FE=FG=FK,:.NEKG="EFG=15。,

'：ZCKE=60°,ZCKJ=45°,.•.点G在直线K./上运动，

根据垂线段最短可知，当点G与，重合时，CG的值最小，

1

在RtZ\CKH中，':乙CKH=45°,NCHK=9Q°,CK=^CD=2,

.•.C”=K〃=VL；.CG的最小值为夜，故答案为四.

10.如图，已知△ZBC为直角三角形，N4=30°,ZACB=90°,BC=4,。是直线上一点.以CO

为斜边作等腰直角三角形CDE,求AE的最小值.

连接OE,OH,EH,作AGLEH交EH的延长线于G.

：.OE=OH=OC=OD,

：.C,E,H,。四点共圆,

：.ZEHC=ZEDC=45°,

...NZHG=90°-NEHC=45°,

二点E的运动轨迹是直线G”,当/E与4G重合时，/E的值最小,

在RtZ!U8C中，；8C=4,Z0/15=30°,

：.AC=y/3BC=4y/3,AH=AC-cos300=6,

'：AG1HG,

.•.NG=90°,

VZAHG^ZGAH=45°,

:"AG=GH=

."E的最小值为3&

11.如图，在等边△/8C中，AB=6,BDA.AC,垂足为。，点E为边上中点，点尸为直线8。上一点.当

点M为BE中点,点N在边ZC上，且DN=2NC,点尸从8。中点。沿射线。。运动，将线段EF绕点

£顺时针旋转60°得到线段EP,连接FP,当可尸+玄叱最小时，直接写出△OPN的面积.

解：以M为顶点，MP为一边,作NPA〃=30°,ML交BD于点、G,过点P作尸”，地于点，，设四产交

BD于点、K,如图，

RtZXPMH中，HP=^MP,...NP+aMP最小即NP+HP最小，此时MP、〃共线，

•••将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP,

.•.尸在射线0厂上运动，则点P在上运动，根据“瓜豆原理”，尸为主动点，P是从动点，E为定点,

NFEP=60°,则尸、尸轨迹的夹角NQKP=NF£P=60°,

；.NBKM=60°,

VZ/4BD=3O°,AZBMK=90°,VZP,W£=30°,：.ZBML=60r),

：.ZBML=ZA,：.ML//AC,：.ZHNA=\S0Q-ZPHM=90°,

'：BD±AC,:./BDC=NHN4=NPHM=90",；.四边形G//NZ)为矩形，:.DN=GH,

:等边△ABC中,AB=6,BDLAC,：.CD=3,

又,：DN=2NC,：.等边LABC中,AB=6,点£为46的中点，点M为中点，

：.BM=l，8O=43・sinJ=6Xsin60°=373,

RtABGAf中，MG=^BM=^,8G=8M・cos30°=牛，

L4-4,

:.MH=MG+GH=%GD=BD-BG=当,RtZ\A/〃P中，HP=MH-tan30Q=

PN=HN-HP=GD-HP=竽，Z.S^DPN=±PN•DN=竽.

12.如图，等边三角形Z8C的边长为4,点O是直线上一点.将线段CD绕点。顺时针旋转60°得到

线段DE,连接8E.

(1)若点D在4B边上(不与4,8重合)请依题意补全图并证明/D=8E；

(2)连接/E,当/E的长最小时，求CD的长.

解：(1)补全图形如图1所示，AD=BE,理由如下:

•.,△4BC是等边三角形,

:.AB=BC=4C,N/=N8=60°,

,：DC=DE,ZCZ)£=60°,

...△COE是等边三角形，

...//C8=/OCE=60°,CD=CE,

：.ZACD=NBCE,

：./XACD^/XBCE(S/S),

.,.AD=BE.

(2)过点A作AF±EB交EB延长线于点F.

,：△ACDgLBCE,

：.ZCBE=ZA=60a,

，点E的运动轨迹是直线BE,

根据垂线段最短可知：当点E与尸重合时，NE的值最小,

此时CD=CE=CF,

VZACB=ZCBE=60°,

C.AC//EF.

AFA.BE,

：.AFLAC.

•••CF=VAC2+AF242+(2V3)2=2用,

：.CD=CF=2y/7

A\D

AD

图1

13.如图，在Rt^ZBC中，ZBAC=9Qa,/8=/C,点。是BC边上一动点，以为边向右作等腰Rt

△ADE,其中ND4E=90°,AD=AE.

(1)在图①中，画出当点。从点8运动到点C的过程中，点E的运动轨迹；

(2)如图②，若AB=6,点F为48的中点，连接EF,求M的最小值.

BDC

图①

解：⑴:NBAC=NDAE=90°,

:.NBAD=NCAE,

连接CE,如图,

A

在和△/(7£■中，

fAB=AC

<ZBAD=ZCAE-

,AD=AE

A/\ABD^/\ACE(SAS),

：.NABD=NACE,

VZBAC=90°,AB=AC,

；.NABC=N4CB=45°,

...N4CE=45°,

：.ZBCE=90°,BPCELBC,

.,.点E始终在过C点作BC的垂线上，

根据题意得，线段CF为所求作的点E的运动轨迹;

(2)由题意可知，当£7口_。后时，E尸取最小值，如图，过点尸作8c于点M,

VZCMF=ZCEF=ZMCE=90°,

，四边形CEFM为矩形,

；.EF=CM=BC-BM=+--|V2=-1^2-

的最小值为巧.

14.如图，矩形/SCO中，AB=4,4。=3,点E在折线8c。上运动，将/E绕点力顺时针旋转得到力R

旋转角等于N8/C,连接CF.

(1)当点E在5c上时，作月W_L/C,垂足为A/,求证：AM=AB；

(2)当/E=3&时，求CF的长；

(3)连接。尸，点E从点8运动到点。的过程中，试探究。尸的最小值.

垂足为

图I

・・•四边形/8CQ是矩形,

：.ZB=90°,

VFMUC,

：.ZB=ZAMF=90°,

・.,NBAC=NEAF,

：.ZBAE=/MAF,

在QBE和△力Mb中,

2B=NAMF

<ZBAE=ZMAF>

,AE=AF

:.△ABEg^AMF(AAS),

：.AB=AM-,

(2)解：当点£t在8c上，在Rt£u48E中，/B=4,AE=3版,

•••5£=VAE2-AB2=V(3V2)2-42=V2,

AABE<AAMF,

：.AB=AM=4,FM=BE=近,

在RtZ\48C中，AB=4,8c=3,

：.代=｛小祀C2r42+32=5,

：.CM^AC-AM^5-4=1,

VZCAfF=90°,

CF=VCM2+FM2=V12+(V2)2=V3.

当点石在8上时，可得CF=JE.

综上所述，C尸的值为遥或丁石；

(3)解：当点E在8c上时，如图2中，过点。作〃，上厂A/于点

图2

/^ABE^/\AMF9

*.AM=AB=4,

VZAMF=90°，

・•・点尸在射线EAY上运动，当点尸与K重合时，。产的值最小,

\"ZCMJ=ZADC=90°,ZMCJ=ZACD,

：.l\CMJsXCDA、

.CMMJ=£L

"CD=ADAC'

.1=MJ=CJ

435

.•.M=W,G7=&,

44

：.D.J=CD-CJ=4-&=以，

44

■:/CMJ=NDHJ=90°,NCJM=NDJH,

：ACMJs»DHJ,

•CM=QJ

*'DHDJ!

5

•i=£

.•丽一红’

4

.•.力”=旦，

5

厂的最小值为旦.

5

当点E在线段C£＞上时，如图3中，将线段/£＞绕点/顺时针旋转，旋转角为/比1C,得到线段/及，连

接FR,过点。作。。，/汽于点0,DKLFR于点K.

'：NEAF=ABAC,NDAR=NB4C,

：.NDAE=NRAF,

\'AE=AF,AD=AR,

:.AADE注AARF(SAS),

:.N4DE=NARF=9Q°,

...点尸在直线RF上运动，当点。与K重合时，OF的值最小,

■:DQL4R,DKLRF,

:・/R=/DQR=/DKR=90°,

・•・四边形。KR0是矩形，

:・DK=QR,

••・4Q=4Q・COSN8/C=3X_A=W

55

u

：AR=AD=3f

:.DK=QR=AR-4。'，

；.£＞尸的最小值为3,

5

••3C旦

.•.力尸的最小值为3.

5

解法二：当点E在8c上时，如图，将线段绕点/逆时针旋转，旋转角的度数=N8/C,得到NT,

连接07,ET,DF.

证明△N/名△。£',推出。尸=7E,

当笈，8c时，。厂的值最小，可得。尸的最小值为2L.

当点E在8上时，同法可得CF的最小值为2.

5

15.问题提出:

(1)如图①，/\BCE^/\ACD,请在图中找到一组相似的三角形ACABs2CDE.

问题探究：

(2)如图②，点D为等腰直角三角形Z8C的直角边BC上的动点，力。绕点。顺时针旋转90°得到ED,

连接8E,求NNOE与NE的关系.

(3)如图③，点。是等边三角形/8C的/C上的动点.连接。8,将。8绕点。逆时针旋转120°得到

DE,连接EZ,EC,若48=2,直接写出口+EC的最小值.

"：/\BCE^/\ACD,

：.BC=AC,CE=CD,ZBCE=ZACD,

.•.型=>21=1,NBCE+/ACE=/ACD+NACE,

ACCD

:.NBCA=/ECD,弛=或，

CECD

：./\CAB^^CDE,

故答案为：/XCABs/XCDE；

(2)绕点。顺时针旋转90°得到ED,

：.AD=DE,N/Z)E=90°,

：.ZE=ZEAD=45°,

NADE=2NE；

(3)延长ZC到尸，使CP=3C.

'：/\ABC为等边三角形，DB绕点D逆时针旋转120°得到DE,

:.NEDF=NFCB=120°,

EDFC.

BD"BC

IAEDBSAFCB,

：.NDBE=ZCBF,

：.ZDBC=ZEBF,

BDBE

BC"BF'

△EBFsXDBC,

NDCB=NEFB=6Q°,

...点E在的边尸E上运动.找C关于尸E的对称点C',

:.NEFC'=NEFC=30°,ZC'EF=90°,ZABF=90°,CF//AB,

：.A,E,C共线，且ZC'LFC,AC最小.则四边形48FC'是矩形,

..."+EC最小=/C'=BF=2A/3.

16.菱形/8CD的对角线交于点O.

(1)如图1,过菱形N8CO的顶点力作8c于点E,交OB于点H,若N/3C=60°,四边形4ECO

的面积为24\巧，求菱形ABCD的边长；

(2)如图2,菱形中，过顶点/作Z尸，8c于点E,交。C延长线于点尸，线段工尸交08于点”,

若力。=』尸，求证：0H=^~^BH-OC；

2

(3)如图3,菱形48C。中，48c=45°,48=9,点尸为射线49上一动点，连接8P,将8尸绕点

8逆时针旋转60°至IJ80,连接/。，直接写出线段4。的最小值.

(1)解：如图1中，设4。=2，公

图1

;四边形Z3CO是菱形，

：.AB=BC=CD=AD=2m,

：NA8C=60°,

.♦.△/8C是等边三角形，

'：AE±CB,

**•BE=CE=m,

:・AE=y[^m,

=

•二S四边形/EC£）=—X（zw+2加）X24yf^»

，加=4或-4(舍去4

・'.4£)=8；

(2)证明：如图2中，连接"，在OC上取一点0，使得OH=OQ,连接〃。.

图2

u

\ADA.ADfAD=AFf

：.ZADF=ZF=45°,

・・•四边形片8。是菱形，

AZABC=ZADC=45Q,AD//CB.

：.AE±BCf

：.ZAEB=ZAEC=90°,

\'DA=DC,

：.ZDAC=ZDCA=61.5°,

：.ZEAC=ZEBH=22.5°,

:•△BEH^AAECCASA),

：.BH=AC=2OC>

・・・班)垂直平分线段ZC,

：.HA=HC,

：.ZHCA=ZHAC=22.5°,

•・・OQ=OH,

：.ZOHQ=ZOQH=45C,

・.・ZOQH=/QHC+NQCH,

：.ZQHC=ZHCQ=22.5°,

:.QH=QC=®OH,

设。//=加，则HQ=CQ=y]2m,

OC=m+\[^m,

:・OH+OC=m+m+yf^m=2m+yl~^m，

...*B，=&oc=&(，"+&，")=V22m+2m,

J?

：.OH=y-^BH-OC；

2

(3)解：如图3中，以49为边向下作等边△力87,连接P7,过点、T作THL4D于点H,在777上取一

图3

■:NPBQ=/ABT=60°,

・・・/ABQ=NTBP,

■:BP=BQ,BA=BT,

：./\ABQ^/\TBT(SAS),

：.AQ=PT,

・••当7P与7,重合时，7P的值最小，此时4。的值最小.

・・•四边形/8CQ是菱形，

C.AD//CB,

：.ZBAD+ZABC=\^°,

VZABC=45°,NBAT=60°,

：.ZBAD=135°,/TA